P1 - Laboratório de Álgebra Aplicada 2 (Gabarito) (2)

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Disciplina: Lab. Algebra Aplicada 2
Turma: 2012.1N
Prova: GABARITO P1
Professor: Flausino Lucas Neves Spindola
Visto:
Data: 03/10/2013 Nome:
R.A.: Curso:
Consulta a livros e/ou apontamentos: Não é permitido. Uso de calculadora: Permitido.
Uso de laboratório de informática: Não permitido. Software: Não
Questões
Questão 1 (3 pts.). Nos seguintes casos, diga se os funcionais apresentados são lineares. Se sim, prove. Se
não, justifique:
a) f : M2 −→ R dado por f(A) = det(A)
Resposta: não é linear. det(I) = 1 = det(−I), mas det(I − I) = det(0) = 0
b) f : M3 −→ R dado por f(A) = tr(A)
Resposta: é linear. conferir as propriedades.
c) f : R3 −→ R dado por f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
Resposta: não é linear. f(1, 0, 0) = 1 = f(0, 1, 0), mas f(1, 1, 0) = 2.
Questão 2 (2 pts.). Mostre que, se V é um funcional linear não-nulo em um espaço vetorial de dimensão finita
n, então Nuc(f) é um hiperplano de V .
Resposta: demonstração feita em sala
Questão 3 (2 pts.). Defina um funcional linear emM2 cujo núcleo seja o subespaço das matrizes 2×2 simétricas
Resposta: f
(
a b
c d
)
= b− c
Questão 4 (3 pts.). Considere um problema de dois bens, bem 1 e bem 2, sendo dados p1 o preço do bem 1
e p2 o preço do bem 2. Ao se deparar com o preço dos bens, o consumidor determina sua cesta de consumo
(x1, x2) , que determina as quantidades de bem 1 e 2 a serem consumidas, respectivamente. Determinamos o
funcional precificação por f(x1, x2) = p1x1 + p2x2.
a) Determine o núcleo deste funcional. Assumindo p1, p2 > 0, existe alguma cesta com ambas quantidades
positivas pertencente ao núcleo?
Resposta: p1x1 + p2x2 = 0, não há cestas.
b) Se o consumidor possui renda m, escreva a equação de restrição orçamentária, e mostre que esta equação
define um hiperplano afim.
Resposta: p1x1 + p2x2 = m, hiperplano afim paralelo a p1x1 + p2x2 = 0
c) Mostre que o vetor de preços (p1, p2) é ortogonal à restrição orçamentária, segundo o produto escalar usual.
Resposta: f(x1, x2) = (p1, p2) · (x1, x2) = p1x1 + p2x2. Assim, a restrição orçamentária é paralela ao
hiperplano caracterizado por (p1, p2) · (x1, x2) = 0.
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d) Quanto maior a renda m, o que ocorre com a restrição orçamentária?
Resposta: se desloca paralelamente à direita.
e) Admita agora que a renda esteja fixada m e que p1=1. O que ocorre com a restrição orçamentária quando
p2 aumenta? E quando p2 diminui?
Resposta: quando p2 aumenta, o coeficiente angular da reta vai ficando mais negativo, ficando mais baixo
o ponto em que toca o eixo das abcissas. o contrário ocorre quando p2 diminui.
f) Admitindo p1 = 2, 00, p2 = 3, 00 e m = 20, 00, dê duas cestas de consumo com quantidades estritamente
positivas que estão sobre a restrição orçamentária desse consumidor.
Resposta: 2x1 + 3x2 = 20. o aluno tem liberdade de dar os pontos.
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