calc4n-prova1

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Disciplina: Cálculo IV
Professor: Paulo Takashi Taneda Turma: Noturno - 2012.1N
Tipo de avaliação: Prova 1 Data: /10/2013
Uso de calculadora: Permitido. Consulta: Não é
Material a ser consultado: Não se aplica
Uso de laboratório de informática: Não é permitido.
Nome do aluno:
Curso: R.A.:
Instruções: (1) Este exame é individual.
(2) A interpretação e o entendimento das questões faz parte da avaliação,
portanto leia atentamente os enunciados.
(3) A prova pode ser feita a lápis ou caneta (azul ou preta).
(4) Escreva suas respostas de forma legı́vel: RESOLUÇÕES ILEGÍVEIS
NÃO SERÃO CONSIDERADAS NA CORREÇÃO.
(5) Cuide da organização de suas respostas, indicando claramente a
questão que está sendo resolvida (as questões podem ser resolvidas fora
de ordem).
(6) Seja preciso e completo ao resolver as questões, justificando todas as
passagens e explicitando o raciocı́nio utilizado para resolver os exercı́cios.
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NÃO SERÃO CONSIDERADAS NA
CORREÇÃO.
Visto do professor:
Questões
Questão 1. (2,5 pontos) Calcule
∫∫
B
ln(4x2 + 9y2) dx dy, onde B é o conjunto de todos os
(x, y) ∈ R2 tais que 1 ⩽ 4x2 + 9y2 ⩽ √e, com y ⩾ 0.
Questão 2. (2,5 pontos) Calcule a integral de linha
∫
γ
F⃗ dγ, onde F⃗(x, y) = (x + y,−x + y) e
γ é a semi-circunferência x2 + y2 = 1, com y ⩾ 0, orientada no sentido horário.
Questão 3. (2,5 pontos) Calcule a integral de linha
∫
γ
F⃗ dγ, onde
F⃗(x, y) =
(
x
x2 + y2
,
y
x2 + y2
)
eγ(t) = (et , (t−1) ln(t+1) ), com 0 ⩽ t ⩽ 1. (Sugestão: verifique se F⃗ é um campo conservativo.)
1
Questão 4. (2,5 pontos) Calcule a integral de linha
∫
γ
(
− y
3
3
+ x2
)
dx+
(
x3
3
+ y2
)
dy, onde
γ é a elipse 4x2 + 9y2 = 1 orientada no sentido anti-horário. (Sugestão: utilize o teorema de
Green.)
2