Probabilidade Cap. 2

Prévia do material em texto

Capítulo II - Variáveis Aleatórias 
 
2.1 - Conceito de Váriável Aleatória. 
Os resultados obtidos em um experimento aleatório são especificados no espaço amostral S. 
Para cada resultado s  S será associado um número real X(s), através de uma regra X 
denominada de variável aleatória. X é uma função cujo domínio é o espaço amostral S e o 
contradomínio é o conjunto RX composto pelos números X(s). 
 S RX 
 
 X 
 
 s 
 
 
 domínio contradomínio 
 
 X(s1) e X(s2) são os valores que a variável aleatória X assume. 
 
Ex 2.1.1- Duas cartas são retiradas ao mesmo tempo, de um conjunto formado pelas cartas de 
número 1, 2, 3 e 6 . Para este experimento aleatório a variável aleatória X representa o 
produto dos números que as cartas retiradas mostram. Faça a representação esquemática 
desta variável aleatória e obtenha o seu contradomínio RX. 
 
Ex. 2.1.2 – Uma moeda é lançada três vezes. Para este experimento aleatório a variável 
aleatória X é definida como sendo a ocorrência de caras. Determine Rx. 
 
2.2 - Probabilidade associada à variável aleatória 
 Determinar a probabilidade da V. A. assumir um determinado valor X(s), ou seja, 
P[X= X(s)] 
 
Ex 2.2.1- Determine a probabilidade da variável aleatória X, definida no exemplo 2.1.1, 
assumir os seguintes valores: a) 2 ; b) 6; 
 
Ex 2.2.2- Determine a probabilidade da variável aleatória X, definida no exemplo 2.1.2, 
assumir os seguintes valores: a) 2 ; b) 1; c) 0. 
 
2.3 - Variáveis aleatórias discretas e contínuas. 
2.3.1- Variável Aleatória Discreta. 
 Se o contradomínio RX da V.A. X é composto de um número finito ou infinito 
numerável de valores, ou seja, de números discretos, então a V. A. é denominada de discreta. 
 
2.3.2- Variável Aleatória Contínua. 
Se o contradomínio RX da V. A. é um intervalo ou uma coleção de intervalos, sendo 
estes formados por um número infinito não numerável de valores, então a V. A. é denominada 
de contínua. 
 
2.4 - Função Densidade de Probabilidade e Função Distribuição de Probabilidade. 
 
2.4.1 - Função Densidade de Probabilidade, ou Função de Probabilidade, ou Função de 
Probabilidade de Massa para uma V.A. Discreta. 
 s1 
 
s2 
X (s1) 
 
X (s2) 
 Denomina-se de função densidade de probabilidade de uma Variável aleatória X 
discreta para a função p(xi) = P[X= xi], que representa a probabilidade da V.A. X assumir um 
determinado valor xi e tem que satisfazer as seguintes condições: 
a) p(xi )  0 para todo xi ; 
 
  
b)  p( xi ) = 1. 
 xi = - 
Ex 2.4.1.1- um experimento aleatório consiste na retirada de duas bolas, sucessivamente, de 
uma urna contendo quatro bolas azuis e três vermelhas, sem reposição da primeira bola 
retirada. Para este experimento é definida a variável aleatória X como sendo o número de 
bolas vermelhas retiradas. Determine a função densidade de probabilidade de X. 
 
2.4.2 - Função Distribuição de Probabilidade, ou Função Distribuição Acumulada para uma 
Variável Aleatória Discreta. 
 De uma forma geral, denomina-se de função distribuição de probabilidade de uma 
variável aleatória X para a função F(x) = P[ X x ] com -  x  . 
Para uma variável aleatória X discreta a função distribuição de Probabilidade assume a forma: 
 
 
 x 
 F(x) =  p(xi) 
 xi = - 
e que representa a probabilidade da variável aleatória X discreta assumir um valor menor ou 
igual a x. 
 
Ex 2.4.2.1- Para o experimento aleatório do exemplo anterior, determine a probabilidade da 
variável aleatória assumir valores entre 0 e 1 (0  x  1) 
 
2.4.3- Função Densidade de Probabilidade para uma Variável Aleatória Contínua. 
 A função representada por f(x) é definida como sendo a função densidade de 
probabilidade de uma variável aleatória contínua se são satisfeitas as seguintes condições: 
 
a) f(x)  0  x  RX 
  
b)  f(x) dx = 1 
 - 
 
Ex 2.4.3.1 - Seja X uma variável aleatória. Dada a função f(x) = a x 0  x  1 
 ax / 2 1  x  2 
 0 para outros x . 
Determine: 
a) o valor de a para que f(x) seja uma função densidade de probabilidade de X. 
2.4.4- Função Distribuição de Probabilidade, ou Função Distribuição Acumulada para uma 
Variável Aleatória Contínua. 
 Se f(x) é uma função densidade de probabilidade, então a função: 
 x 
 F(x) =  f(x) dx 
 - 
é denominada de Função distribuição de probabilidade da Variável aleatória X contínua. 
 
 
Observações: b 
a) para um intervalo (a,b) a P[a  X  b] =  f(x) dx, onde ab 
 a 
b) Sendo X uma V. A. contínua a P[ X= x0 ] = 0 
 
Ex 2.4.4.1 - Para a variável aleatória X do exemplo anterior determine: 
a) F(1/2); b) P[1/2  X  3/2]; c) F(x); 
 
2.4.5- Propriedades da Função Distribuição de Probabilidade, 
a) F(x) é crescente, isto é, se x1  x2, então tem-se que F(x1)  F(x2); 
 
b) Lim F(x) = 0 = F( -); 
 x - 
 
c) Lim F(x) = 1 = F() 
 x  
 
d) dF(x) /dx = f(x): 
 
e) F(x) é contínua a direita, isto é, F(x+) = F(x) , onde: 
 F(x+) = lim F(x +  ) 
  0 
   0 
2.5 - Distribuições de Probabilidade 
 O comportamento probabilístico de uma variável aleatória é expresso por meio da 
função densidade de probabilidade e/ou pela função distribuição de probabilidade. 
 Quando as observações geradas para diferentes experimentos aleatórios possuem um 
mesmo tipo de comportamento probabilístico, então, as variáveis aleatória associadas a esses 
experimentos podem ser descritas pela mesma distribuição de probabilidade e, portanto, 
representadas por uma única fórmula, que pode ser pela função densidade de probabilidade ou 
pela função distribuição de probabilidade. 
 
2.5.1- Distribuições para Variável Aleatória Discreta. 
2.5.1.1- Binomial 
a) Características: 
a.1) o experimento aleatório é repetido n vezes; 
a.2) o experimento aleatório conduz a somente dois resultados ou eventos; 
a.3) Os resultados ou eventos são independentes um do outro; 
a.4) as probabilidades dos eventos permanecem constantes nas n repetições. 
b) Parâmetros que caracterizam a Distribuição Binomial: 
b.1) P - representa a probabilidade do evento de interesse ocorrer; 
b.2) Q - representa a probabilidade do outro evento ocorrer; 
b.3) n - representa o número de vezes que o experimento é repetido; 
b.4) xi - representa o número de vezes que o evento de interesse ocorre nas n repetições ou o 
valor que a variável aleatória pode assumir 
b.5) P+ Q = 1 
c) Função Densidade de Probabilidade para a Distribuição Binomial. 
 xi xi n-xi 
p(xi)= C P Q  representa a probabilidade do evento de 
 n interesse ocorrer xi vezes nas n repetições 
 
d) Função Distribuição de Probabilidade para a Distribuição Binomial 
 x xi xi n-xi 
F(x) =  C P Q 
 xi = 0 n 
 
Ex 2.5.1.1.1- Qual é a probabilidade de obter-se, exatamente, duas vezes o número 1 em três 
lançamentos de um dado?Ex 2.5.1.1.2- Qual é a probabilidade de obter-se, no máximo, uma vez o número 1 em três 
lançamentos de um dado? 
 
2.5.1.2 - Poisson 
 Representa uma extensão da distribuição binomial e se aplica quando o número de 
vezes que o experimento é repetido é grande e a probabilidade do evento de interesse ocorrer 
é muito pequena 
a) Parâmetros 
a.1)  - representa um valor médio e é dado por  = n P 
a.2) xi - representa o número de vezes que o evento de interesse ocorre nas n 
repetições ou o valor que a variável aleatória pode assumir 
b) Função Densidade de Probabilidade da Distribuição de Poisson 
 - xi 
p(xi) = e  / xi 
 
c) Função Distribuição de Probabilidade da Distribuição de Poisson 
 x - xi 
F(x) =  e  / xi 
 xi = 0 
 
Ex 2.5.1.2.1- Em um processo de manufatura, em que produtos de vidros são fabricados todos 
os dias, bolhas e defeitos ocorrem ocasionalmente, fornecendo uma peça indesejável para o 
mercado. Sabe-se que, a probabilidade de um item fabricado apresentar defeito é de 0,001. 
Qual é a probabilidade de que , em uma amostra aleatória de 8.000 itens, haverá menos de 
cinco itens com bolhas? 
 
2.5.2 - Distribuições de Probabilidade para Variável Aleatória Contínua. 
 
2.5.2.1 - Retangular Uniforme ou Uniformemente Distribuída 
 
a) Função densidade de probabilidade 
 
f(x) = { 0 x  a 
 { 1/ (b-a) a < x < b com b  a 
 { 0 x  b 
 
b) Função distribuição de probabilidade 
F(x) = { 0 x  a 
 { (x-a) / (b-a) a  x  b 
 { 1 x  b 
 
Ex 2.5.2.1.1- Uma variável aleatória X é uniformemente distribuída entre 10 e 20. Determine 
a probabilidade da variável aleatória assumir valores entre 12 e 16. 
 
2.5.2.2 - Distribuição Gaussiana ou Normal 
a) Função densidade de Probabilidade 
 
 ___ - (1/2) [( x - x) / x] 2 
f(x) = (1/ x  2 ) e -  x 
onde: x - desvio padrão da V. A. X; x - média da V. A. X 
 
b) Função distribuição de probabilidade 
 x 
F(x) =  f(x) dx 
 - 
2.5.2.2.1 - Distribuição normal unitária 
 É um caso particular da distribuição normal ou gaussiana, que ocorre quando x = 0 e x = 1. 
Desta forma a função densidade de probabilidade toma a forma: 
 ___ - x2 / 2 
f(x) = (1/  2 ) e -   x 
 
 
 
 
2.5.2.2.2 - Transformação de uma distribuição gaussiana em normal unitária. 
 
Ex 2.5.2.2.1- Uma variável aleatória X é normalmente distribuída com média igual a 1200 e 
desvio padrão igual a 200. Qual é a probabilidade P[ 800 X 1000] 
 
2.5.2.3 - Distribuição Exponencial 
a) Função densidade de probabilidade 
 - x/ 
f(x) = { (1/ ) e x 0 
 { 0 x 0 
 
onde  é o valor médio 
 
b) Função distribuição de probabilidade 
 x - x/ 
F(x) =  (1/ ) e dx 
 0 
 
Ex 2.5.2.3.1- Em um experimento aleatório verificou-se que a variável aleatória Y, associada 
ao experimento, seguia uma distribuição exponencial com média igual a 20. Determine a 
probabilidade desta variável aleatória assumir valores entre 10 e 20, ou seja, P[ 10  Y 20]. 
 
 
 
 
2.6 - Variável Aleatória Bidimensional 
2.6.1 - Conceito. 
 Seja S o espaço amostral associado a um experimento aleatório. Se X e Y são duas 
funções que atribuem a cada resultado s  S um número real X(s) e Y(s), respectivamente, 
então o par (X,Y) será denominado de váriável aleatória bidimensional 
 
 
 S RXY 
 
 (X,Y) 
 
 ss 
 
 
 
 
 
 
 Domínio Contradomínio 
 
 
[X(s1),Y(s1)] e [X(s2),Y(s2)] são os valores que a variável aleatória bidimensional (X,Y) 
assume para os resultados s1 e s2 pertencentes a S, respectivamente. 
 
Ex 2.6.1.1- Um experimento aleatório consiste na retirada de duas cartas, ao mesmo tempo, 
de um conjunto formado pelas cartas 1 , 2 , 3 e 4. Define-se para este experimento as 
seguintes variáveis aleatórias: X - representa o produto dos números que as cartas retiradas 
mostram; Y - representa a soma dos números que as cartas retiradas mostram. Determine o 
contradomínio da V. A. bidimensional (X,Y) 
 
 
2.6.2 - Probabilidade associada a variável aleatória bidimensional. 
 Objetivo é determinar P[ X=X(s), Y= Y(s)], ou seja, a probabilidade da V. A. X 
assumir o valor X(s) e a V. A. Y assumir o valor Y(s). 
 
Ex 2.6.2.1- Para o exemplo visto anteriormente, determine as seguintes probabilidades: 
 s1 
 
 
 s2 
 
[X(s1),Y(s1)] 
 
 
[X(s2),Y(s2)] 
 
 
a) P[ X= 2, Y= 3]; b) P[X=6,Y=7] ; c) P[X=6, Y=5] 
 
2.6.3 - Variáveis aleatórias bidimensionais discretas e contínuas. 
 Se o RXY é composto de números discretos, então a V. A. será discreta. Se o RXY é 
composto de números contínuos (intervalos), então a V. A. será do tipo contínua. 
 
2.7 - Função densidade de probabilidade conjunta e função distribuicão de probabilidade 
conjunta para uma variável aleatória bidimensional. 
 
2.7.1- Função densidade de probabilidade conjunta para uma V.A. bidimensional discreta. 
 é uma função definida por p(xi, yJ) = P[X= xi , Y= yJ] e tem que satisfazer as seguintes 
condições: 
 
a) p(xi, yJ)  0  xi ,yJ  RXY 
 
  
b)   p(xi, yJ) = 1 
 yJ= -  xi= -  
 
Ex 2.7.1.1- Considere o experimento de retirada de quatro bolas, ao mesmo tempo, de uma 
urna contendo 6 bolas azuis e 4 bolas vermelhas. Para esse experimento aleatório são 
definidas as seguintes variáveis aleatórias: X é o número de bolas azuis retiradas; Y é o 
número de bolas vermelhas retiradas. Determine a função densidade de probabilidade 
conjunta de (X,Y). 
 
2.7.2 - Função distribuição de probabilidade conjunta para uma variável aleatória 
bidimensional discreta. 
 De uma forma geral. chama-se de função distribuição de probabilidade conjunta para a 
função F(x,y)=P[X x,Y y]. 
Para uma variável aleatória bidimensional discreta tem-se que; 
 y x 
F(x,y)=   p(xi , yJ) 
 yJ= -  xi = -  
 
Ex 2.7.2.1- Para o exemplo anterior determine as seguintes probabilidades: 
 a) P[ X  1, Y  2] ; b) P[X  3,Y  2]; P[ X<4, Y<2]. 
 
2.7.3- Função densidade de probabilidade conjunta para uma variável aleatória contínua.. 
 Chama-se de função densidade de probabilidade conjunta para a função representada 
por f(x,y) e que tem que satisfazer as seguintes condições: 
 
a) f(x,y)  0  x,y  RXY ; 
   
b)   f(x,y) dx dy = 1 
 - - 
 
Ex. 2.7.3.1 Determine o valor de a para que a função dada abaixo possa representar uma 
função densidade de probabilidade conjunta. 
f(x,y) = { a xy / 4)] 1 x  2 e 1 y  4 
 { 0 para outros intervalos de x e y 
 
2.7.4- Função distribuição de probabilidade conjunta para uma variavel aleatória bidimesional 
continua.. 
 
 Se a função f(x,y) é uma função densidade de probabilidade conjunta, então a 
função representada por 
 y x 
F(x,y)=   f(x,y) dx dy é denominada de função distribuição 
 - - de probabilidade conjunta 
 
Ex 2.7.4.1- Considerando-se a função densidade de probabilidade do exemplo anterior, com o 
valorde a obtido, determine P[ X 3/2 , Y 3] 
 
Ex 2.7.4.2- Determine a função distribuição de probabilidade conjunta na forma literal ou 
genérica para a variável aleatória que apresenta a função densidade de probabilidade dada no 
exemplo anterior. 
 
2.7.4.1 - Propriedades da função distribuição de probabilidade conjunta. 
a)F(-,-) = 0; b) F(- , y)= 0; c) F(x,- ) = 0; 
d)F(,y) = FY(y)  função distribuição de probabilidade marginal da variável aleatória Y; 
e)F(x,) = FX(x)  função distribuição de probabilidade marginal da variável aleatória X; 
f) F( ,  ) = 1 
g) f(x ,y ) =  2 F(x,y) / X Y 
 
2.8 - Função Densidade de Probabilidade Marginal e Função Distribuição de probabilidade 
Marginal. 
 
 A variável aleatória Bidimensional (X,Y) é composta de duas variáveis aleatórias 
unidimensionais X e Y. Se estivermos interessados em estudar as características de apenas 
uma das variáveis aleatórias que compõem a variável aleatória bidimensional, então as 
características desta variável aleatória são denominadas de marginais. Para tanto é necessário 
que nenhuma restrição seja imposta em relação aos valores que a outra variável aleatória 
possa assumir 
 
 
2.8.1- Função Densidade de Probabilidade Marginal para uma Variável Aleatória Discreta 
 É a função designada por pX(xi)= P[X=xi , sem nenhuma restrição sobre a v. a. y]. A v. 
a. Y pode assumir todos os valores desde - até +, ou seja: 
pX(xi) = P[X=xi ,Y=y1;ou X=xi , Y=y2 ; ou ...] 
   
pX(xi) =  P[X=xi ,Y=yJ]  pX(xi) =  p(xi , yJ) 
 yJ= - yJ= - 
 
Ex 2.8.1.1- Para um experimento aleatório onde obteve-se a seguinte tabela, na qual estão 
representados os valores da função densidade de probabilidade conjunta das V. A. (X,Y), 
determine pY(4); 
 
 xi 3 10 12 
 yj 
4 0,12 0,13 0,2 
5 0,1 0,12 0,08 
6 0,07 0,08 0,1 
 
 
2.8.2- Função Distribuição de Probabilidade Marginal para uma Variável Aleatória Discreta. 
 É a função representada por: 
FX(x) = P[X x, sem nenhuma restrição sobre a V. A. Y] 
FX(x) = P[X x, Y ] = F(x, ) 
 x  x 
FX(x) =   p(xi, yJ)  FX(x) =  pX(xi) 
 xi= - yJ = -  xi= - 
Ex 2.8.2.1- Para o exemplo anterior determine FX(10). 
 
2.8.3- Função Densidade de Probabilidade Marginal para uma Variável Aleatória Contínua. 
 
 Por analogia com a função densidade de probabilidade Marginal obtida para uma 
variável aleatória discreta, tem-se que a função densidade de probabilidade marginal para uma 
variável aleatória contínua é dada por: 
 
  
fX(x) =  f(x,y) dy 
 - 
 
Ex 2.8.3.1- Sabendo-se que a função densidade de probabilidade conjunta f(x,y) é dada por: 
f(x,y) = { x2 +(xy)/3 0 x 1 ; 0 y 2 
 { 0 para outros valores de x e y 
Determine a função densidade de probabilidade marginal para a variável aleatória X 
2.8.4- Função Distribuição de Probabilidade Marginal para uma Variável Aleatória Contínua. 
 
 Sabe-se que F(x, ) = FX(x) representa a função distribuição de probabilidade 
marginal da V. A. X, então: 
 
 x  x 
FX(x) =   f(x,y) dy dx  FX(x) =  fX(x) dx 
 -  -  -  
 
Ex 2.8.4.1- Para o exemplo anterior determine a função distribuição de probabilidade 
marginal para a variável aleatória X 
 
2.9 - Função Densidade de Probabilidade Condicional e Função Distribuição de Probabilidade 
Condicional. 
2.9.1 - Função Densidade de Probabilidade Condicional para uma Variável Aleatória 
Discreta. 
 Sabe-se que P[A/B] = P[AB]/P[B] . 
Se A ={ X=xi } representa o evento a v. a. X assumir o valor xi e B = {Y=yJ } representa o 
evento a v. a. Y assumir o valor yJ. Então, tem-se que: 
 P[ X= xi / Y= yJ] = P[X= xi , Y= yJ] / P[Y= yJ] , que é a probabilidade da variável aleatória X 
assumir um valor xi dado que a variável aleatória Y assumiu um valor yJ, que pode ser 
expressa pela equação: 
pX/Y(xi /yJ) = p(xi ,yJ) / pY(yJ) que é a função densidade de probabilidade condicional para uma 
variável aleatória discreta. 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 2.9.1.1- Para um experimento aleatório onde obteve-se a seguinte tabela, na qual estão 
representados os valores da função densidade de probabilidade conjunta das V. A. (X,Y), 
determine pX/Y(xi/yj); 
 
xi 
yj 
4 5 Total 
1 0,15 0,3 0,45 
2 0,18 0,12 0,3 
3 0,07 0,18 0,25 
Total 0,40 0,60 1,00 
 
2.9.2 - Função Distribuição de Probabilidade Condicional para uma Variável Aleatória 
Discreta. 
 Esta função representa a probabilidade da variável aleatória X assumir um valor 
menor ou igual a x dado que a variável aleatória Y assume um determinado valor yJ. Então: 
 x 
FX/Y(x/yJ) = P[X x/Y=yJ]  FX/Y(x/yJ) =  pX/Y (xi/yJ) 
 xi= - 
Ex. 2.9.2.1 – Para o exemplo anterior, determine: 
a) FX/Y(4/3); b) FX/Y(5/1) 
 
2.9.3 - Função Densidade de Probabilidade Condicional para uma Variável Aleatória 
Contínua. 
 
 É a função representada por fX/Y(x/y) e por analogia com a função densidade de 
probabilidade para uma variável aleatória discreta tem-se que: 
fX/Y(x/y) = f (x,y) / fY(y) 
Ex 2.9.3.1- Se a função densidade de probabilidade conjunta das Variáveis aleatórias é dada 
por: 
 
f(x,y) = { (x + y) / 3 0 x 1 ; 0 y 2 
 { 0 para outros intervalos de x e y 
determine a função densidade de probabilidade condicional fX/Y(x/y); 
 
 
 
 
2.9.4 - Função Distribuição de Probabilidade Condicional para uma Variável Aleatória 
Contínua. 
 
 Esta função é representada por FX/Y(x /y) e pode ser interpretada de duas formas, 
tendo os seguintes significados: 
 
a) FX/Y(x /y) = P[X x / Y=y] , ou seja, a probabilidade da variável aleatória X assumir um 
valor menor ou igual a x dado que a variável aleatória Y assume um valor igual a y. por 
analogia com a função distribuição de probabilidade para uma variável aleatória discreta tem-
se que: 
 x 
FX/Y(x /y) =  f(x,y) dx / fY(y) 
 -  
 
b) FX/Y(x /y) = P[X x / Y y] , ou seja, a probabilidade da variável aleatória X assumir um 
valor menor ou igual a x dado que a variável aleatória Y assume um valor menor ou igual a y. 
FX/Y(x /y) = P[X x, Y y] / P[Y y] 
 
FX/Y(x /y) = F(x,y) / FY(y) 
 
 x y y 
FX/Y(x /y) =   f(x,y) dy dx /  fY(y) dy 
 -  -  -  
 
Ex 2.9.4.1- Para o exemplo anterior determine FX/Y(x/y) = P[X x/ Y=y] 
 
2.10 - Variáveis Aleatórias Independentes 
 Do primeiro capítulo sabe-se que P[A.B]=P[A] P[B] para que os eventos A e B sejam 
independentes. 
 
2.10.1 - Independência de Variáveis Aleatórias Discretas 
 
a) Em relação a Função Densidade de Probabilidade. 
p(xi, yJ) = P[X=xi, Y=yJ]  p(xi, yJ) = P[X=xi] P[ Y=yJ] 
p(xi, yJ) = pX(xi) pY(yJ) 
 
b) Em Relação a Função distribuição de probabilidade 
P[Xx ,Yy]= P[X x] P[Y y] 
F(x,y) = FX(x) FY(y) 
 
Ex. 2.10.1.1- Em uma empresa que produz calças jeans, há duas costureiras. Suponha que a 
produção, a cada uma hora, de ambas seja de 3 calças no máximo. Admita que o número de 
calças realmente produzidas pelas costureiras seja uma variável aleatória e que (X,Y) 
represente a variável aleatória bidimensional que fornece o número de calças produzidas por 
cada costureira. A tabela abaixo fornece a função densidade de probabilidade conjunta. 
Verifique se as variáveis aleatórias são independentes.xi 
yj 
1 2 3 
1 0,02 0,03 0,05 
2 0,06 0,09 0.15 
3 0,12 0,18 0,30 
 
 
2.10.2- Independência de Variáveis Aleatórias contínuas 
a) Em relação a Função Densidade de Probabilidade. 
Por analogia com o caso discreto tem-se que: 
f(x,y) = fX(x) fY(y) 
 
b) Em relação a Função Distribuição de Probabilidade. 
por analogia com o caso discreto tem-se que: 
P[Xx ,Yy]= P[X x] P[Y y] 
F(x,y) = FX(x) FY(y) 
 
Ex 2.10.2.1- Verifique se as variáveis aleatórias X e Y são independentes , sabendo-se que a 
função densidade de probabilidade conjunta é dada por: 
 - y 
f(x,y) = { (1/2) e 0 x 2 , y 0 
 { 0 para outros intervalos