Matemática Financeira Apostila

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Prof. PEDRO NORBERTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
PARA OS CURSOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
(DE ACORDO COM A NOVA GRADE) 
 
 
Administração 
FACAPE 
http://www.facape.br/contabeis/
PEDRO NORBERTO 
 
 
 
 
 
ÍNDICE 
 
 
PORCENTAGEM ........................................................... ....................................01 
CÁLCULO COM INFLAÇÃO ......................................... ....................................02 
TAXA DE INFLAÇÃO, TAXA REAL E TAXA APARENTE ................................02 
EXERCÍCIOS .................................................................. ....................................03 
 
 
JUROS SIMPLES ........................................................... ....................................08 
TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES ............ ....................................08 
CÁLCULO DE JUROS SIMPLES .................................. ....................................08 
EXERCÍCIOS .................................................................. ....................................11 
 
 
JUROS COMPOSTOS ................................................... ....................................14 
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA .............................. ....................................16 
TAXAS EQUIVALENTES ............................................... ....................................16 
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO .......................... ....................................18 
EXERCÍCIOS .................................................................. ....................................19 
 
 
AMORTIZAÇÃO ............................................................ ....................................22 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE) ...........................22 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) .... ....................................25 
EM RESUMO .................................................................. ....................................27 
EXERCÍCIOS .................................................................. ....................................28 
 
FLUXO DE CAIXA ........................................................ ....................................32 
VALOR PRESENTE LÍQUIDO ....................................... ....................................33 
TAXA INTERNA DE RETORNO ................................... ....................................34 
FLUXOS DE CAIXA EQUIVALENTES .......................... ....................................34 
EXERCÍCIOS .................................................................. ....................................35 
 
ATIVIDADES EM EXCEL ............................................... ....................................39 
 
 
EXERCÍCIOS DIVERSOS .............................................. ....................................44 
 
 
TABELAS FINANCEIRAS ............................................. ....................................52 
 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS .................................. ....................................54 
 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 1 
PORCENTAGEM 
 
Porcentagem é a razão entre uma quantidade qualquer e 100. O símbolo % (por cento) indica a taxa percentual. 
%;5=
100
5
 %13=
100
13
 
 
Observamos que a taxa pode ser escrita de forma percentual, indicada com o símbolo %, que é a referência para 100, 
ou, de forma unitária, quando dividimos por 100 sendo a referência para um. 
 
3% (forma percentual) = 0,03 (forma unitária); 15% (forma percentual) = 0,15 (forma unitária). 
 
Da nossa prática diária sabemos operar com porcentagem calculando a todo o momento o valor de um produto quando 
sofre um aumento ou diminuição percentual no seu preço. 
 
Por exemplo: Para um produto que custa R$ 80,00 e sofre um aumento de 20%. Na prática, pegamos uma calculadora 
e multiplicamos R$ 80 por 1,2 obtendo R$ 96,00. 
Se multiplicarmos R$ 80 por 0,2 obteremos o valor correspondente a 20% de R$ 80, ou seja, R$ 16,00, que somado a 
R$ 80,00 nos dá R$ 96,00. 
 
Por que 1,2? 100% é a taxa correspondente ao valor inicial do produto, ou seja, R$ 80. Pretende-se calcular seu valor 
acrescido de 20%, então: 100% + 20% = 120% = 1,2 
 
Da mesma forma, se no lugar de acréscimo fosse desconto de 20%, faríamos 100% - 20% = 80 % = 0,8. 
Calculando o valor do produto com desconto de 20%, temos: R$ 80 x 0,8 = R$ 64,00. 
 
Podemos realizar cálculos percentuais com uma regra de três simples e direta: 
 
100 % valor correspondente a 100% 
outro % valor correspondente a outro % 
 
No exemplo dos R$ 80,00 acrescidos de 20%, temos a regra de três: 
 100% R$ 80 
 20% x Resolvendo temos x = R$ 16  R$ 80 + R$ 16 = R$ 96 
ou 
 100% R$ 80 
 120% x Resolvendo temos x = R$ 96 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: 
1) Calculando 15% do preço de um produto, encontramos R$ 45,00. Qual o preço desse produto? 
Resolução: 
Colocando os dados na regra de três: 
 100% x 
 15% 45  x = R$ 300,00 
 
2) Uma mercadoria custava R$ 200,00 e após um desconto passou a custar R$ 176,00. De quantos por cento foi o 
desconto? 
Resolução: 
Valor do desconto : R$ 200 - R$ 176 = R$ 24 
Colocando os dados na regra de três: 
 100% 200 
 x 24  x = 12% 
 
São bastante comuns nos concursos, questões semelhantes a esse último caso. Dados os valores inicial e final da 
mercadoria, pergunta-se qual o percentual de aumento ou de desconto. Como nosso tempo é muito curto, vamos 
sempre procurar abreviar a resolução das questões. 
 
Vejamos os exemplos: 
1) Custo inicial do produto: R$ 120,00 
Custo final do produto: R$ 150,00 
Qual o percentual do acréscimo? Basta dividir o VALOR FINAL pelo VALOR INICIAL e subtrair 1. 
150  120 = 1,25 - 1 = 0,25 = 25% 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 2 
2) Custo inicial do produto: R$ 230,00 
Custo final do produto: R$ 202,40 
Qual o percentual do desconto? Basta dividir o VALOR FINAL pelo VALOR INICIAL e subtrair 1. 
202,4  230 = 0,88 - 1 = - 0,12 ou seja, 12% de desconto. 
 
 
CÁLCULO COM INFLAÇÃO 
 
Para verificarmos a inflação acumulada ao longo de um período, aplicamos sobre um valor 100, sucessivamente, as taxas 
de inflação a considerar. Subtraindo o valor inicial 100 do valor final obtido, teremos a inflação acumulada no período. 
 
Exemplo: Consideremos que as taxas de inflação de três meses consecutivos foram 2%, 3% e 4%. Qual a inflação do 
trimestre? 
Resolução: 
100  1,02 = 102  1,03 = 105,6  1,04 = 109,26 - 100 = 9,26% 
 
 
TAXA DE INFLAÇÃO, TAXA REAL E TAXA APARENTE 
 
Passamos a considerar três tipos de taxas: a taxa oferecida pelo mercado financeiro, que remunera as aplicações, a qual 
chamaremos de taxa aparente; a taxa de inflação que corrige monetariamente os preços de produtos e serviços; e a 
taxa real, que representa o efetivo ganho do aplicador extraídas as corrosões inflacionárias. 
 
Seja uma aplicação financeira que remunera seus aplicadores à taxa de 8% ao mês. Se no mesmo mês for verificada 
uma inflação de 5%, então não é correto considerar um ganho real de 8% nessa aplicação mas apenas, um ganho 
aparente, já que, todos os preços foram reajustados em 5%. Nessa situação, podemos calcular o efetivo rendimento, 
relacionando as taxas real (iR), de inflação (iI) e aparente (iA), da seguinte forma: 
 
(1 + iR)(1 + iI) = 1 + iA 
 
Com os dados da situação anterior, temos: 
iR = ? 
iI = 5% 
iA = 8% 
(1 + iR)(1 + 0,05) = 1 +0,08 (1 + iR)(1,05) = 1,08  
1 + iR = 
1 08
1 05
,
,
  1 + iR = 1,0286  
iR = 1,0286 - 1 = 0,0286 = 2,86% 
 
Portanto, o ganho real do aplicador foi de 2,86%. 
 
Cuidado! 
Não fazer nessa situação a diferença 8% - 5% = 3%, que não reflete a taxa real. Esta será portanto, menor que 
aquela diferença. 
 
EXEMPLO RESOLVIDO: 
 
1) Um aplicador obteve o ganho real em uma aplicação financeira igual a 3,6%. Qual a inflaçãodo período, sabendo 
que naquela ocasião, foi oferecida a taxa de aplicação de 7,5%? 
Resolução: 
iR = 3,6% 
iI = ? 
iA = 7,5% 
(1 + 0,036 )(1 + iI) = 1 +0,075  (1,036) (1 + iI) = 1,075  
1 + iI = 
1 075
1 036
,
,
 iI = 1,038 - 1  
iI = 3,8% 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 3 
EXERCÍCIOS 
01. Complete os dados da tabela abaixo: 
VALOR PRINCIPAL PERCENTUAL DO AUMENTO DO DESCONTO DO 
EM R$ PRINCIPAL PERCENTUAL PERCENTUAL 
 R$ 100,00 10,00% = R$ 10,00 R$ 110,00 R$ 90,00 
 R$ 500,00 5,00% = 
 R$ 800,00 4,00% = 
 R$ 850,00 3,50% = 
 R$ 1.200,00 8,50% = 
 R$ 700,00 12,00% = 
 R$ 1.800,00 2,45% = 
 R$ 1.550,00 12,51% = 
 R$ 2.500,00 8,25% = 
 R$ 1.300,00 6,50% = 
 
02. Complete os dados da tabela abaixo: 
VALOR PRINCIPAL PERCENTUAL 
EM R$ DO PRINCIPAL 
 R$ 100,00 10,00% = R$ 10,00 
 R$ 4,00% = R$ 8,00 
 R$ 5,00% = R$ 20,00 
 R$ 6,00% = R$ 36,00 
 R$ 4,50% = R$ 22,50 
 R$ 8,00% = R$ 80,00 
 R$ 1.200,00 = R$ 36,00 
 R$ 800,00 = R$ 64,00 
 R$ 2.100,00 = R$ 131,25 
 R$ 350,00 = R$ 24,50 
 R$ 850,00 = R$ 89,25 
 R$ 400,00 = R$ 8,00 
 
03. Complete os dados da tabela abaixo: 
TAXA 
APARENTE 
TAXA DE 
INFLAÇÃO 
TAXA 
REAL 
10,00% 4,00% 5,77% 
4,00% 2,00% 
7,00% 3,00% 
9,00% 4,00% 
12,00% 5,00% 
15,00% 3,50% 
 3,00% 1,45% 
 2,50% 2,50% 
 2,00% 3,45% 
 1,45% 4,00% 
8,00% 4,50% 
9,00% 3,50% 
7,50% 2,45% 
10,00% 4,50% 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 4 
04. Um equipamento pode ser adquirido por R$ 500,00. Na compra à vista, e concedido um desconto de 5%. O preço 
à vista é: 
 
05. Uma mercadoria custava R$ 600,00 e após um aumento passou a custar R$ 702,00. De quantos por cento foi o 
aumento? 
 
06. O preço de um bem passou de R$ 13.000,00 para R$ 18.200,00. Qual foi o percentual de aumento? 
 
07. Uma mercadoria custava R$ 500,00 e após um desconto passou a custar R$ 385,00. De quantos por cento foi o 
desconto? 
 
08. Ao pagar uma conta no valor de R$ 3.500,00, tive que pagar R$ 700,00 de multa. De quantos por cento foi a 
multa? 
 
09. 15% do preço de um objeto é R$ 2.100,00. Qual é o preço desse objeto? 
 
10. Um vendedor é contratado na condição de ganhar 4% sobre a venda de cada mês. Quanto receberá num mês em 
que vendeu R$ 25.000,00? 
 
11. Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinado dia, compareceram às 
aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulas nesse dia? Qual a porcentagem que 
compareceu às aulas nesse dia? 
 
12. O preço de venda de um equipamento, com lucro de 10%, é R$ 275,00. Qual o preço de aquisição do 
equipamento? 
a) R$ 247,50 b) R$ 250,00 c) R$ 200,00 d) R$ 274,50 e) R$ 210,00 
 
13. (ESAF) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00 com um lucro de 10%; em seguida, foi revendido por R$ 
20.700,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de 
a) 38% b) 40% c) 28% d) 51,8% e) 25,45 % 
 
14. (CESPE/UnB) O cotidiano dos brasileiros é permeado de índices, reajustes, diferentes taxas de juros, tabelas etc. 
A todo momento, vêem-se resultados de pesquisas eleitorais, taxas de reajustes de preços de produtos, de mensalidade 
escolares e de rendimento de aplicações financeiras, sendo todas essas informações dadas em forma de porcentagens. 
Em relação a percentuais, assinale a opção incorreta. 
a) Calcular 25% de certa quantia é equivalente a encontrar a quarta parte dessa quantia. 
b) Dois reajustes consecutivos de 10% correspondem a um reajuste final de 21%. 
c) Dois descontos consecutivos de 10% correspondem a um desconto final de 19%. 
d) Se um salário recebe um reajuste de 200%, então esse salário dobra de valor. 
e) Um desconto de 10% e, em seguida, um aumento de 20% correspondem a um aumento de 8%. 
 
15. Três acréscimos sucessivos de 8%, 12% e 15%, correspondem a um acréscimo final de : 
a) 35% b) 37,5% c) 39,1% d) 40% e) 69% 
 
16. Três descontos sucessivos de 10%, 8% e 9%, correspondem a um desconto final de: 
a) 24,65% b) 75,35% c) 27% d) 29,49% e) 9% 
 
17. Uma fábrica, que tem preços tabelados para suas mercadorias, remarcou com 30% de abatimento as unidades que 
apresentavam defeitos de fabricação. As pessoas que comprassem dez ou mais unidades teriam ainda 20% de 
abatimento sobre o preço remarcado. Uma pessoa comprou 12 dessas unidades. Pergunta-se: 
a) Qual a taxa de desconto que lhe foi feita? 
b) Quanto pagou, se o total sem desconto era de R$ 1.852,00 
 
18. Uma indústria resolve diminuir sua produção mensal, de 50.000 unidades, em 5%. Um mês depois, resolve 
diminuir novamente sua produção em mais 7%. Qual a produção atual dessa indústria? 
 
19. As ações de certa empresa subiram 20% ao mês durante dois meses consecutivos e baixaram 20% ao mês em cada 
um dos dois meses seguintes. Com relação à variação sofrida por essas ações durante esses quatro meses, qual a 
situação do preço final dessas ações comparado com o preço inicial? 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 
20. Sabendo que determinada aplicação financeira pagou em um mês 8% de juros aos seus aplicadores e que neste 
mesmo mês a inflação foi de 3%, qual a taxa real de juros dessa aplicação? 
 
21. (CESPE/UnB) O valor de um aluguel era de R$ 400,00 no dia 1º de julho de 1999 e foi reajustado para R$ 410,00 
no dia 1º de agosto de 1999. Considerando que a inflação registrada no mês de julho foi de 1%, é correto afirmar que a 
taxa real de juros utilizada no reajuste do valor desse aluguel foi 
a) inferior a 1,5% b) igual a 1,5% c) superior a 1,5% e inferior a 2,0% 
d) igual a 2,0% e) superior a 2,0% 
 
22. Um cliente de um banco depositou R$ 500,00 em determinada aplicação e ao término de um mês de aplicação 
resgatou R$ 560,00. Sabendo-se que nesse mesmo mês, foi registrada uma inflação de 5%, pode-se afirmar que o 
ganho real desse investidor foi aproximadamente: 
a) 5,6% b) 6,6% c) 7,0% d) 6,0% e) 5,5% 
 
23. Para saldar uma operação de empréstimo, cujo valor recebido foi de R$ 10.000,00, pagou-se R$ 15.000,00. Sabe-
se que a operação durou um ano. Sabe-se ainda que a inflação do primeiro semestre desse ano foi de 10% ao semestre e 
que a inflação do segundo semestre do mesmo ano foi de 20% ao semestre. Qual a taxa anual real de juros? 
a) 20,00% b) 18,00% c) 13,64% d) 48,00% e) 15,38% 
 
24. Um carro cujo custo é de R$ 7.000,00, desvaloriza-se 20% a cada ano. Após dois anos o proprietário decide 
trocá-lo por um carro novo, do mesmo modelo. O preço desse carro novo é 30% maior em relação ao valor praticado 
dois anos antes. Na troca do carro velho pelo carro novo, qual a quantia que deverá ser desembolsada pelo 
proprietário? 
 
 
25. 
IPCA e INPC têm nova fórmula 
 A partir de agosto deste ano, a apuração do Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) e do Índice 
Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) tem novas estrutura e ponderação. Com base na Pesquisa de Orçamento 
Familiar (POF) de 1996, a equipe do departamento de índices do IBGE repassou os hábitos de consumo e estabeleceu 
nova relação entre a quantidade, o preço e a participação de cada um dos produtos que compõem a lista de itens 
pesquisados no orçamento das famílias brasileiras. 
Veja, nos gráficos abaixo, a evolução e participação percentual de cada item na apuração do IPCA. 
 
 
Jornal do Brasil, 11/8/99 (com adaptações) 
 
Com base nas informações acima, julgue os itens que se seguem como verdadeiros ou falsos, relativos ao cálculo do 
IPCA.I. A partir de agosto, o item “Saúde e cuidados pessoais” passou a ter maior participação do que tinha até julho de 
1999. 
II. A partir de agosto, o item “Vestuário” passou a ter menos da metade da participação que tinha até julho de 1999. 
III. Até julho, a participação atribuída ao conjunto dos itens “Transporte”, “Alimentação e bebidas”, “Comunicação” e 
“Educação” era maior que a participação atribuída a esse mesmo conjunto a partir de agosto de 1999. 
IV. A partir de agosto, a participação do item “Comunicação” aumentou mais de 90% com relação à que tinha até julho 
de 1999. 
 
 
 
 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 6 
26. (ENADE 2004) Os países em desenvolvimento fazem grandes esforços para promover a inclusão digital, ou seja, o 
acesso, por parte de seus cidadãos, às tecnologias da era da informação. Um dos indicadores empregados é o número de 
hosts, ou seja, número de computadores que estão conectados à Internet. A tabela e o gráfico abaixo mostram a 
evolução do número de hosts nos três países que lideram o setor na América Latina. 
 
Número de hosts 
 2000 2001 2002 2003 2004 
Brasil 446444 876596 1644575 2237527 3163349 
México 404873 559165 918288 1107795 1333406 
Argentina 142470 270275 465359 495920 742358 
Fonte: Internet Systems Consortium, 2004 
 
 
Fonte: Internet Systems Consortium, 2004 
Dos três países, os que apresentaram, respectivamente, o maior e o menor crescimento percentual no número de hosts 
no período 2000-2004 foram: 
a) Brasil e México b) Brasil e Argentina c) Argentina e México 
d) Argentina e Brasil e) México e Argentina 
 
27. (ENADE 2007) Os países em desenvolvimento fazem grandes esforços para promover a inclusão digital, ou seja, o 
acesso, por parte de seus cidadãos, às tecnologias da era da informação. Um dos indicadores empregados é o número de 
hosts, isto é, o número de computadores que estão conectados à Internet. A tabela e o gráfico abaixo mostram a 
evolução do número de hosts nos três países que lideram o setor na América do Sul. 
 
 2003 2004 2005 2006 2007 
Brasil 2.237.527 3.163.349 3.934.577 5.094.730 7.422.440 
Argentina 495.920 742.358 1.050.639 1.464.719 1.837.050 
Colômbia 55.626 115.158 324.889 440.585 721.114 
 
Fonte: IBGE (Network Wizards, 2007) 
Dos três países, os que apresentaram, respectivamente, o maior e o menor crescimento percentual no número de hosts, 
no período 2003/2007, foram 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 7 
a) Brasil e Colômbia b) Brasil e Argentina c) Argentina e Brasil 
d) Colômbia e Brasil e) Colômbia e Argentina 
 
28. (CESGRANRIO) 20% da população de certo estado residem na capital. Se a população da capital aumentar de 
5% e a população do estado aumentar de 20%, qual passará a ser o valor da porcentagem dos habitantes desse estado 
que residem na capital? 
a) 5% b) 12,5% c) 15% d) 17,5% e) 19% 
 
29. (CESPE/UnB) Uma escola oferece as seguintes opções para o pagamento da taxa de matrícula, quando efetuada no 
dia 5 de dezembro: 
I. desconto de 10% para pagamento à vista; 
II. pagamento em duas vezes, sendo 50% no ato de renovação da matrícula e 50% um mês após, isto é, no dia 5 
de janeiro. 
Um pai de um aluno não quer ter lucro nem prejuízo, optando por qualquer uma das duas modalidades de pagamento, 
no ato da renovação de matrícula. Para tanto, se optar por II, deve investir a diferença entre os valores que seriam 
pagos em 5 de dezembro, nas modalidades I e II, em uma aplicação financeira com uma taxa mensal de rendimento de: 
a) 5% b) 10% c) 20% d) 25% e) 30% 
 
30. (CESPE/UnB) Paulo quer comprar um refrigerador e tem as seguintes alternativas: 
I. à vista, por R$ 900,00; 
II. em duas prestações mensais e iguais a R$ 500,00, vencendo a primeira o ato da compra; 
III. em três prestações mensais e iguais a R$ 350,00, vencendo a primeira no ato da compra. 
Supondo que ele possa aplicar o dinheiro a uma taxa de 4% ao mês, assinale a opção que indica as formas de 
pagamento, em ordem crescente de vantagem para Paulo: 
a) I – II – III b) II – I – III c) III – I – II d) III – II – I e) II – III - I 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 8 
JUROS SIMPLES 
 
Juros, pagamento que se dá pelo uso do capital. 
 
A dedução dos juros pode ser feita sob o regime de capitalização simples ou composta. 
 
Capitalização simples é aquela que a base de cálculo é sempre o capital inicial. 
 
Os juros no regime de capitalização simples, são diretamente proporcionais ao tempo de utilização do capital. Seu 
cálculo é linear. 
 
Exemplo: Um capital, remunerado a juros simples de 10% ao mês, contará, em três meses, com 30% de juros. Observe 
que 10% ao mês é proporcional a 30% ao trimestre. 
 
 
TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES 
 
Duas ou mais taxas são proporcionais quando existe uma relação diretamente proporcional dos seus valores com o 
período de tempo sugerido. 
 
Duas ou mais taxas de valores diferentes são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo 
período de tempo, produzem o mesmo rendimento. 
 
Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. 
 
Exemplos: 
Uma taxa de 36% ao ano é proporcional ou equivalente à taxa mensal de: 36%  12 = 3% ao mês. 
A taxa de 2% ao dia é proporcional ou equivalente à taxa mensal de 2%  30 = 60% ao mês. 
 
 
CÁLCULO DE JUROS SIMPLES 
 
O cálculo de juros no regime de capitalização simples se dá de forma semelhante ao de porcentagem sendo a taxa 
cobrada proporcional ao tempo considerado. 
 
O cálculo dos juros simples ao longo do tempo, pode ser feito adotando-se a convenção dos juros simples comerciais 
(ordinários). 
 
Nos juros simples comerciais, consideram-se todos os meses com 30 dias e o ano com 360 dias. 
 
Lembre! Na contagem dos dias de aplicação entre duas datas especificadas, conta-se o número de dias de cada mês 
conforme o calendário. 
 
Temos a regra de três, na qual i é a taxa de juros, t é o tempo de aplicação, C é o capital aplicado e j representa os juros. 
 
100 % C 
i  t % j 
Disto decorre que: 
100
tiC
j
××
= 
 
Nos casos anteriores, para o produto “i  t”, i e t são tomados na mesma unidade de tempo. Se as unidades forem 
diferentes, podemos torná-las iguais utilizando as taxas proporcionais ou equivalentes, para ajustar suas unidades às do 
período de tempo. Por exemplo: 
 
Para uma taxa ao ano com tempo de aplicação em meses, podemos dividir a taxa por 12 utilizando a equivalente 
mensal. 
12
i
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 9 
Passamos a ter: 
10012
tiC
j
×
××
=  
1200
tiC
j
××
= 
 
Para uma taxa ao ano com tempo de aplicação em dias, podemos dividir a taxa por 360 utilizando a equivalente diária. 
360
i
 
Passamos a ter: 
100360
tiC
j
×
××
=  
36000
tiC
j
××
= 
 
 
Chama-se MONTANTE, a soma do capital com os respectivos juros. Então: 
 
 
 
Disto decorre que: 
100
)ti100(C
M
×+×
= 
 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: 
 
1) Calcular os juros simples produzidos pelo capital de R$ 200,00 em 3 meses, à taxa de 5% ao mês. 
Resolução: 
C = R$ 200 
t = 3 meses 
i = 5% a. m. 
j = ? 
O total de juros produzidos, em termos percentuais, será igual a 5%  3 = 15% (nos três meses). Na regra de três: 
100% R$ 200 
 15% j  j = 30 
Portanto, R$ 30,00 de juros. 
 
2) Consideremos que um capital de R$ 500,00 fique depositado durante 25 dias em uma aplicação que paga 1,1% ao 
dia. Qual o valor dos juros simples? 
Resolução: 
C = R$ 500 
t = 25 dias 
i = 1,1% ao dia 
j = ? 
O total de juros produzidos, em termos percentuais, será igual a 1,1%  25 = 27,5%. Na regra de três: 
 100% R$ 500 
 27,5% j  j = 137,50 Portanto, R$ 137,50 de juros. 
 
 
3) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 600,00 empregado à taxa simples de 12%, no fim de 240 dias. 
Resolução: 
j = ? 
C = R$ 600 
t = 240 dias = 8 meses 
i = 12% a. a. (a taxaé anual) = 1% a. m. 
 
O total de juros produzidos, em termos percentuais, será igual a 8  1% = 8%. 
 
Na regra de três: 
 
 100% R$ 600 
 8% j  j = R$ 48,00 Portanto, R$ 48,00 de juros 
 
100 % C 
(100 + i  t) % M 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 10 
 
4) Encontre o capital que, colocado a 30% a.a., durante 4 meses, produz juros simples de R$ 42,00. 
Resolução: 
C = ? 
i = 30% a.a. 
t = 4 meses 
j = R$ 42 
A taxa proporcional ou equivalente mensal será 30%  12 = 2,5% a. m. 
O total de juros produzidos, em termos percentuais, será 2,5%  4 = 10% 
 100% C 
 10% R$ 42  C = R$ 420,00 
 
5) Em quanto resulta o montante atingido pelo capital R$ 150,00 após 18 dias à taxa simples de 6% ao mês? 
Resolução: 
A taxa proporcional ou equivalente diária será 6 ÷ 30 = 0,2% ao dia. 
 
O total de juros produzidos, em termos percentuais, será 0,2% × 18 = 3,6%. O montante será 103,6% do capital. 
 100% R$ 150 
 103,6% M  M = R$ 155,40 
 
6) Durante quantos dias permaneceu aplicado o capital de R$ 200,00, para se elevar a R$ 239,00, sendo a taxa simples 
comercial igual a 1,5% ao dia? 
Resolução: 
C = R$ 200 
j = R$ 39 
i = 1,5% a. d. 
t = ? 
 100% R$ 200 
 1,5t R$ 39  300t = 3900  t = 13 dias 
 
7) Qual a taxa simples de aplicação, capaz de produzir em 4 meses, R$ 12,00 de juros, sobre o capital R$ 150,00? 
Resolução: 
C = R$ 150 j = R$ 12 t = 4 meses i = ? 
 100% R$ 150 
 4i R$ 12  600i = 1200  i = 2% a. m. 
 
 
8) Uma dívida que tinha como data de vencimento o dia 25 de junho, somente foi paga no dia 18 de novembro do 
mesmo ano. Quantos dias de atraso houve no pagamento dessa dívida? 
 
Resolução: 
 
Contagem do número de dias: Consideram-se os meses com o número de dias que forem o caso de acordo com o 
calendário. Na contagem, a partir de 25 de junho, somamos os 5 dias que faltam transcorrer do mês de junho, com o 
número de dias do meses de JULHO, AGOSTO, SETEMBRO e OUTUBRO, mais os18 dias do mês de NOVEMBRO. 
 
5 (JUNHO) + 31 (JULHO) + 31 (AGOSTO) + 30 (SETEMBRO) + 31 (OUTUBRO) + 18 (NOVEMBRO) = 146 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 11 
EXERCÍCIOS 
 
01. Considerando a capitalização simples, preencha a tabela abaixo com as respectivas taxas proporcionais ou 
equivalentes: 
TAXA TAXA TAXA 
ANUAL SEMESTRAL MENSAL 
12,00% 6,00% 1,00% 
15,00% 
8,00% 
24,00% 
25,00% 
 3,00% 
 4,00% 
 1,50% 
 2,50% 
 7,50% 
 72,00% 
 51,00% 
 56,70% 
 63,00% 
 120,00% 
 
02. Considerando a capitalização simples, preencha a tabela abaixo com o valor em R$ dos juros e dos respectivos 
montantes: 
 
CAPITAL TAXA TEMPO JUROS MONTANTE 
 R$ 100,00 1,00% ao mês 2 meses R$ 2,00 R$ 102,00 
 R$ 500,00 3,00% ao mês 4 meses R$ R$ 
 R$ 720,00 2,50% ao mês 5 meses R$ R$ 
 R$ 400,00 12,00% ao ano 3 meses R$ R$ 
 R$ 820,00 15,00% ao ano 7 meses R$ R$ 
 R$ 355,40 4,00% ao mês 8 meses R$ R$ 
 R$ 1.200,00 3,25% ao mês 2 meses R$ R$ 
 R$ 1.325,00 54,00% ao ano 5 meses R$ R$ 
 R$ 200,00 5,00% ao ano 2 anos R$ R$ 
 R$ 700,00 6,00% ao ano 3 anos R$ R$ 
 
03. Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 600,00 empregado à taxa simples de 12%, no fim de 240 dias. 
 
04. Encontre o capital que, colocado a 30% a.a., durante 4 meses, produz juros simples de R$ 42,00. 
 
05. Durante quantos dias permaneceu aplicado o capital de R$ 200,00, para se elevar a R$ 239,00, sendo a taxa 
simples comercial igual a 1,5% ao dia? 
 
06. Calcule quantos dias houve de atraso no pagamento das seguintes notas promissórias: 
 
DATA DO VENCIMENTO DATA DO PAGAMENTO DIAS DE ATRASO 
03/01/2006 21/01/2006 
04/05/2006 29/05/2006 
05/03/2006 05/04/2006 
08/07/2006 15/08/2006 
10/11/2006 15/01/2007 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 12 
07. Complete a planilha abaixo calculando o número de dias de atraso e o valor dos juros simples e do montante, 
quando do pagamento com atraso das seguintes promissórias, sabendo que a taxa de juros adotada pela loja é de 21% 
ao mês: 
 
VALOR DA DATA DO DATA DO Nº DIAS DE JUROS MONTANTE 
PROMISSÓRIA VENCIMENTO PAGAMENTO ATRASO R$ R$ 
 R$ 500,00 20/jan 30/jan 
 R$ 650,00 5/jan 21/jan 
 R$ 400,00 25/mar 4/abr 
 R$ 825,50 15/mar 10/abr 
 R$ 640,10 6/jun 15/jul 
 R$ 1.200,00 20/out 11/nov 
 
08. A planilha abaixo apresenta alguns valores de notas promissórias e as respectivas datas de vencimento. Sabendo 
que nos pagamentos com atraso serão cobrados juros simples 21% ao mês, e no caso de pagamento adiantado será 
oferecido desconto de 18% ao mês, complete os dados da planilha: 
 
VALOR DA DATA DO DATA DO Nº DE DIAS DE VALOR DOS VALOR FINAL 
PROMISSÓRIA VENCIMENTO PAGAMENTO ATRASO OU JUROS OU DO A SER 
R$ ANTECIPAÇÃO DESCONTO - R$ PAGO - R$ 
 R$ 550,00 01/04/2006 15/04/2006 
 R$ 785,50 01/04/2006 01/04/2006 
 R$ 820,00 10/04/2006 01/04/2006 
 R$ 7.102,00 20/02/2006 20/03/2006 
 R$ 1.500,00 01/03/2006 14/02/2006 
 R$ 481,50 15/05/2006 25/04/2006 
 R$ 1.500,00 10/04/2006 25/05/2006 
 R$ 2.180,00 10/03/2006 01/05/2006 
 TOTAL 
 
09. Qual o montante alcançado por R$ 500,00, a 10% ao mês de juros simples, ao fim de 3 meses? 
a) R$ 600,00 b) R$ 650,00 c) R$ 700,00 d) R$ 750,00 e) R$ 800,00 
 
10. (ESAF) O capital que, investido hoje a juros simples de 12 % a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8 meses, é de 
a) R$ 1.100,00 b) R$ 1.000,00 c) R$ 1.292,00 d) R$ 1.200,00 e) R$ 1.399,00 
 
11. (ESAF) Qual é o capital que diminuído dos seus juros simples de 18 meses, à taxa de 6 % a.a., reduz-se a R$ 
8.736,00? 
a) R$ 9.800,00 b) R$ 9.706,66 c) R$ 9.600,00 d) R$ 10.308,48 e) R$ 9.522,24 
 
12. Uma pessoa tomou emprestada a quantia de R$ 50.000,00, comprometendo-se a pagar, em 1 mês e 20 dias além da 
quantia emprestada, R$ 12.500,00 de juros. A que taxa diária de juros simples deu-se esse empréstimo? 
 
13. O que é mais vantajoso: aplicar um capital a 32% a. a. ou aplicar 
4
1
 desse capital a 28% ao ano e o restante a 35% 
ao ano, considerando todas as aplicações com o mesmo prazo e capitalização simples de juros. 
 
14. Considerando os juros simples comerciais, julgue os itens a seguir: 
1. A taxa que faz um capital dobrar de valor em 8 meses é 12,5% ao mês; 
2. É indiferente aplicar um capital a 3,5% a. m. durante 4 meses e meio ou a 63% a. a. durante 3 meses. 
3. O capital C1 é o dobro do capital C2. Para o mesmo tempo de aplicação, os juros serão iguais se a taxa de C1 for o 
dobro da taxa de C2; 
4. O capital C1 é o dobro do capital C2. Para a mesma taxa, os juros serão iguais se o tempo de aplicação de C1 for o 
dobro do tempo de aplicação de C2; 
5. Se a taxa for igual a 10% ao mês, então o percentual do montante, após 4 meses, será 40% do capital inicial. 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 13 
 15. Considerando as informações do boleto bancário a seguir e que o seu pagamento se deu no dia 13/02/2014, calcule 
qual o valor total cobrado pela fatura. 
 
 
237-2 
23793.16009 93691.481603 06077.220004 1 43120000091715 
LOCAL DE PAGAMENTO 
PAGÁVEL PREF. AGENCIA CAIXA ATE O VENCIMENTO, APÓS SOMENTE NAS AGENCIAS CAIXA 
VENCIMENTO 
29/01/2014 
CEDENTE 
BANCO FINASA BMC S/A 
AGENCIA CEDENTE 
4153-5 081201-4 
DATA DO DOCUMENTO 
29/01/14 
Nº DOCUMENTO 
0001 38.7.258181-4 
ESPÉCIE DOC. 
CONTR. 
ACEITE 
S 
DATA PROCESSAMENTO 
29/01/14 
NOSSO NÚMERO 
08/3296/4815006-P 
USO DO BANCO 
CJP 364 
CARTEIRA 
008 
ESPÉCIE 
R$ 
QUANTIDADE VALOR (=) VALOR DO DOCUMENTO800,00 
INSTRUÇÕES: (Todas as informações deste boleto são exclusiva responsabilidade do cedente) 
 
APÓS O VCTO. COBRAR MULTA + IMP. P/ DIA DE ATRASO 
MULTA ................................................... 2% DO VALOR DO DOCUMENTO 
MORA-IMP. P/ DIA DE ATRASO ........... 0,4% DO VALOR DO DOCUMENTO 
 
------------------------ 
PAGÁVEL EM QUALQUER AGÊNCIA BANCÁRIA ATÉ A DATA DO VENCIMENTO 
APÓS ESTA DATA, PAGÁVEL APENAS NAS AGÊNCIAS DA CAIXA 
NÃO RECEBER APÓS 28/02/2014 
(-) DESCONTO/ABATIMENTO 
 
(-) OUTRAS DEDUÇÕES 
 
(+) MORA/MULTA 
 
(+) OUTROS ACRÉSCIMOS 
 
(=) VALOR COBRADO 
 
SACADO: 
JOÃO JOSÉ DA SILVA FILHO 
RUA XXXX XXXXXXXXX, Nº XXX 
CEP XXXXX-XXX XXXXXXXXXXX-XX 
 
Autenticação Mecânica – Ficha de compensação 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 14 
JUROS COMPOSTOS 
 
Da capitalização simples, sabemos que o rendimento se dá de forma linear ou proporcional. A base de cálculo é sempre 
o capital inicial. No regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma exponencial. Os 
juros do período, são calculados com base num capital, formando um montante, que será a nova base de cálculo para o 
período seguinte. 
 
Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende juros. 
 
Sendo o tempo de aplicação igual a 2 anos, por exemplo, e os juros capitalizados mensalmente, teremos 24 períodos de 
capitalização; para uma capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a capitalização for 
semestral, será 4 , e assim sucessivamente. 
 
EXEMPLO: 
Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos 
de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes. 
 
Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos: 
1º período: 
 
100% R$ 1.000 
102% M  M = R$ 1.020,00 (esta é a nova base de cálculo para o período seguinte) 
 
 CAPITAL MONTANTE 
2º período: R$ 1.020,00  1,02 = R$ 1.040,40 
3º período: R$ 1.040,40  1,02 = R$ 1.061,21 
4º período: R$ 1.061,21  1,02 = R$ 1.082,43 
5º período: R$ 1.082,43  1,02 = R$ 1.104,08 
 
Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08. 
 
No cálculo, tivemos 
R$ 1.000  1,02  1,02  1,02  1,02  1,02 
= R$ 1.000  (1,02)
5
 
= R$ 1.000  1,10408 
= R$ 1.104,08 
 
Observamos o fator (1,02)
5
. Essa potência pode ser calculada com calculadoras científicas ou com auxílio das tabelas 
financeiras. 
 
Generalizando, o cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na qual M é o montante, C 
o capital, i é a taxa de juros e n é a quantidade de capitalizações. 
 
M = C  (1 + i)n 
 
Comparando o cálculo composto (exponencial) com o cálculo simples (linear), vemos no cálculo simples: 
 
CAPITAL JUROS MONTANTE 
R$ 1.000,00  0,02 = R$ 20,00  M = R$ 1.020,00 
R$ 1.000,00  0,02 = R$ 20,00  M = R$ 1.040,00 
R$ 1.000,00  0,02 = R$ 20,00  M = R$ 1.060,00 
R$ 1.000,00  0,02 = R$ 20,00  M = R$ 1.080,00 
R$ 1.000,00  0,02 = R$ 20,00  M = R$ 1.100,00 
 
Portanto, o montante simples, ao final dos 5 meses será R$ 1.100,00. 
 
Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os juros simples, apresentam 
valores iguais. A partir daí, o rendimento composto passa a superar o simples. 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 15 
 
O Montante composto pode ser calculado com uso de calculara financeira e 
planilha eletrônica 
 
Com a calculadora HP-12C para a resolução do problema anterior, pode ser usada a seguinte sequência de teclas: 
 
1000 CHS PV 
2 i 
5 n 
FV 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
1) Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês. 
Resolução: 
A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações. 
C = R$ 600 
i = 4% = 0,04 
n = 12 
M = C  (1 + i)
n
  M = 600  (1 + 0,04)
12
  M = 600  (1,04)
12
 
 M = 600  1,60103 
M = R$ 960,62 
 
O fator (1,04)
12
 pode ser calculado com auxílio das tabelas financeiras, para n = 12 e i = 4%. 
 
 
(1 + i)n 
n i 
 
 
2% 
 
3% 
 
4% 
 
5% 
9 1,19509 1,30477 1,42331 1,55133 
10 1,21899 1,34392 1,48024 1,62889 
11 1,24337 1,38423 1,53945 1,71034 
12 1,26824 1,42576 1,60103 1,79586 
13 1,29361 1,46853 1,66507 1,88565 
 
Com a calculadora HP-12C, pode ser usada a seguinte sequência de teclas: 
 
600 CHS PV 
4 i 
12 n 
FV 
 
2) O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos 
produzidos? 
 
Resolução: 
C = R$ 500 
i = 5% = 0,05 
n = 8 (as capitalizações são mensais) 
M = C  (1 + i)
n
  M = 500  (1,05)
8
  M = R$ 738,73 
 
O valor dos juros será: 
J = 738,73 – 500 
J = R$ 238,73 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 16 
3) Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se 
torna igual a R$ 477,62? 
 
 
Resolução: 
M = R$ 477,62 
i = 3% = 0,03 
n = 6 (as capitalizações são trimestrais) 
M = C  (1 + i)
n
 
477,62 = C  (1,03)
6
 
C = 
19405,1
62,477
 
C = R$ 400,00 
 
 
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
É comum em algumas situações, a apresentação da taxa em uma unidade de tempo diferente da unidade do período de 
capitalização. Por exemplo, uma taxa anual sendo a capitalização dos juros feita mensalmente. Essa taxa anual e 
chamada nominal. 
 
TAXA NOMINAL: quando sua unidade de tempo difere da unidade do período de capitalização. 
 
TAXA EFETIVA: quando sua unidade de tempo coincide com a unidade do período de capitalização. 
 
A TAXA NOMINAL não é utilizada nos cálculos e sim a TAXA EFETIVA. Por convenção, a passagem da TAXA 
NOMINAL para TAXA EFETIVA será feita de forma proporcional. 
 
EXEMPLOS: 
Dada uma taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal. Temos que 36% a.a. é a taxa nominal; a taxa efetiva é 
portanto, 36%  12 = 3% ao mês. 
 
Para a taxa de 15% ao semestre, com capitalização mensal, temos que 15% ao semestre é a taxa nominal; a taxa efetiva 
será 15%  6 = 2,5% ao mês. 
 
TAXAS EQUIVALENTES 
Já sabemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, 
produzem o mesmo rendimento. 
 
Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Na capitalização composta, não. 
 
No regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. representa o rendimento, em um trimestre, de: 
 
Atribuindo um capital R$ 100, temos: 
M = 100(1,1)
3
  M = 10  1,331  M = R$ 133,10. 
 
Portanto o rendimento no trimestre foi de 33,1%. 
 
Logo, 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas; são efetivas. 
 
Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim: 
Equivalência entre ANO e MÊS: 1 + ia = (1 + im)
12
 
Equivalência entre ANO e TRIMESTRE: 1 + ia = (1 + it)
4
 
Equivalência entre SEMESTRE e MÊS: (1 + im)
6
 = 1 + is 
 
Observamos que o lado da igualdade que contém a menor das unidades de tempo envolvidas, fica elevado ao expoente 
igual a quantas vezes a menor unidade “cabe” na maior. 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 17 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS 
1) Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de 60% ao ano com capitalização 
mensal, durante 1 ano. 
 
Resolução: 
 
Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é mensal. 
 
A taxa efetiva é, portanto, 60%  12 = 5% ao mês. 
C = R$ 1.500 
i = 5% = 0,05 
n = 12 
M = C  (1 + i)
n
 
M = 1.500  (1,05)
12
 
M = 1.500  1,79586 
M = R$ 2.693,78 
 
2) Aplicando R$ 800,00 à taxa de juros de 12% ao ano, com capitalização bimestral, durante um ano e meio, qual o 
valor do montante? 
Resolução: 
Observamos que12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral. 
A taxa efetiva é, portanto, 12%  6 = 2% ao bimestre. 
C = R$ 800 
i = 2% = 0,02 
n = 9 
M = C  (1 + i)
n
 
M = 800  (1,02)
9
 
M = 800  1,19509 M = R$ 956,07 
 
3) Um capital, após 5 anos de investimento, à taxa de 12% ao ano, capitalizada semestralmente, eleva-se a R$ 1.969,93. 
Qual o valor desse capital? 
Observamos que 12% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é semestral. 
A taxa efetiva é, portanto, 12%  2 = 6% ao semestre. 
M = R$ 1.969,93 
i = 6% = 0,06 
n = 10 
C = M  (1 + i)
-n
 
C = 1.969,93  (1,06)
-10
 
C = 1.969,93  0,55839 
C = R$ 1.100,00 
 
4) Qual a taxa anual equivalente a: 
a) 3% ao mês; 
b) 30% ao semestre com capitalização bimestral 
 
Resolução: 
a) ia = ?; im = 3% 
Para a equivalência entre ANO e MÊS, temos: 
1 + ia = (1 + im)
12
 
1 + ia = (1,03)
12
 
1 + ia = 1,42576 
ia = 1,42576 - 1 
ia = 0,42576 = 42,57% 
 
b) 30% ao semestre é uma taxa nominal; a capitalização é bimestral. 
A taxa efetiva é, portanto, 30%  3 = 10% ao bimestre. 
Para a equivalência entre ANO e BIMESTRE, temos: 
1 + ia = (1 + ib)
6
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 18 
1 + ia = (1,1)
6
 
1 + ia = 1,77156  ia = 1,77156 - 1  ia = 0,77156 = 77,15% 
 
5) A taxa efetiva semestral de 97,38% é equivalente a que taxa mensal? 
Resolução: 
Para a equivalência entre MÊS e SEMESTRE, temos: 
(1 + im)
6
 = 1 + is 
(1 + im)
6
 = 1,9738 
im = 12% 
 
 
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO 
Calcular o desconto racional composto sobre um valor nominal N, obtendo o respectivo valor atual A, é o mesmo que 
obter o capital C, de um montante M, a juros compostos. Então, por analogia 
 
CAPITAL  VALOR ATUAL 
MONTANTE  VALOR NOMINAL 
 
Se para o cálculo do montante composto dizemos que M = C  (1 + i)n , então, para o cálculo do valor atual racional 
compostos, vamos dizer que: 
N = A  (1 + i)
n
  A = 
ni1
N
)( 
 A = 
n)i1(
1
N
+
ou ainda A = N  (1 + i)-n 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
1) Um título de R$ 1.000,00 é descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa racional composta de 10% ao mês. Qual 
o valor atual? 
Resolução: 
N = R$ 1.000 
n = 3 
i = 10% = 0,1 
Substituindo os dados do problema em A = 
n)i1(
N

 ou A = N  (1 + i)
-n
 , temos: 
A = N  (1 + i)
-n
 
A = N  (1,1)
-3
 
A = 1.000  0,75131 
A = R$ 751,31 
Com a calculadora HP-12C, pode ser usada a seguinte sequência de teclas: 
 
1000 CHS FV 
10 i 
3 n 
PV 
 
2) Resgata-se um título por R$ 1.645,41, com 4 meses de antecedência. Qual o valor nominal do título, sendo a taxa de 
60% ao ano com capitalização mensal, e o critério do desconto racional composto? 
Resolução: 
A = R$ 1.645,41 
n = 4 
i = 5% = 0,05 
Substituindo os dados em A = 
n)i1(
N

, temos: 
A = 
n)i1(
N

  1.645,41 = 
4)05,1(
N
  1.645,41 = 
21551,1
N
  N = R$ 2.000,00 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 19 
EXERCÍCIOS 
01. Considerando a capitalização composta, preencha a tabela abaixo com os valores da quantidade de períodos de 
capitalização e o valor em R$ do montante: 
 
CAPITAL 
 
 TAXA TEMPO PERÍODOS DE MONTANTE 
R$ CAPITALIZAÇÃO - n R$ 
 R$ 1.000,00 10,00% ao mês 3 meses 
 R$ 5.000,00 2,00% ao mês 1 ano 
 R$ 4.500,00 3,00% ao mês 1 ano e meio 
 R$ 3.250,00 4,00% ao mês 2 anos 
 R$ 4.000,00 5,00% ao mês 1 ano e 3 meses 
 R$ 2.000,00 4,50% ao mês 9 meses 
 R$ 3.000,00 2,00% ao bim 1 ano 
 R$ 2.000,00 5,00% ao trim 1 ano e meio 
 R$ 4.000,00 2,00% ao bim 2 anos 
 R$ 5.500,00 1,25% ao mês 1 ano 
 
02. Considerando a capitalização composta, complete os dados da tabela abaixo: 
CAPITAL TAXA n MONTANTE 
R$ i R$ 
 R$ 1.000,00 1,25% R$ 1.064,08 
 R$ 1.500,00 2,00% R$ 1.623,65 
 R$ 1.600,00 1,00% R$ 1.732,57 
 R$ 1.900,00 7 R$ 2.417,33 
 R$ 2.000,00 10 R$ 2.560,17 
 R$ 5.000,00 9 R$ 6.523,87 
 
03. Qual o valor dos juros compostos obtidos, em 8 meses, à taxa de 10% ao mês, de forma que o montante seja R$ 
1.071,80? 
 
04. Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante 12 meses, à taxa de 4% ao mês, atinge o 
montante de R$ 1.000,00. 
 
05. Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante 1 ano e 4 meses, à taxa de 4,5% ao mês, atinge o 
montante de R$ 1.617,90. 
 
06. Sabe-se que há 9 meses uma pessoa investiu determinada quantia em uma aplicação que remunera seus aplicadores 
à taxa de juros compostos de 2% ao mês e que atualmente a saldo dessa pessoa é de R$ 1.792,64. Assim sendo, qual a 
quantia inicialmente aplicada? 
 
07. Considerando o regime de capitalização composta, indique na tabela abaixo as respectivas taxas efetivas, dadas as 
taxas nominais: 
 TAXA NOMINAL TAXA EFETIVA (ao mês; ao bimestre; ...) 
12,00% ao ano capitalizada mensalmente 
24,00% ao ano capitalizada mensalmente 
36,00% ao ano capitalizada mensalmente 
30,00% ao ano capitalizada mensalmente 
18,00% ao ano capitalizada bimestralmente 
24,00% ao ano capitalizada bimestralmente 
21,00% ao ano capitalizada bimestralmente 
18,00% ao ano capitalizada trimestralmente 
48,00% ao ano capitalizada trimestralmente 
60,00% ao ano capitalizada semestralmente 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 20 
08. Qual o montante composto, a partir de R$ 500,00, em 8 meses, à taxa de 36% ao ano capitalizada mensalmente? 
 
09. Qual o montante composto, a partir de R$ 500,00, em 2 anos, à taxa de 60% ao ano capitalizada mensalmente? 
 
10. Qual o montante composto, a partir de R$ 500,00, em 2 anos e meio, à taxa de 48% ao ano capitalizada 
trimestralmente? 
 
11. Um capital aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal, atingiu um 
montante de R$ 10.900,00, ao fim de um trimestre. O capital aplicado foi de 
 
12. Complete a tabela abaixo com as respectivas taxas equivalentes, sob o regime de capitalização composta: 
TAXA MENSAL TAXA SEMESTRAL TAXA ANUAL 
2,00% 
3,00% 
3,50% 
 60,10% 
 79,58% 
 58,68% 
 50,07% 
10,00% 
 435,02% 
5,00% 
 15,97% 
 69,59% 
 249,85% 
 
13. Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. 
 
14. Qual a taxa efetiva anual, em porcentagem e aproximada em uma casa decimal, de um financiamento à taxa nominal 
de 36% ao ano com capitalização mensal? 
 
15. (ESAF) Qual a taxa efetiva anual, em porcentagem e aproximada em uma casa decimal, de um financiamento à taxa 
nominal de 36% ao ano com capitalização mensal? 
a) 36,0% b) 39,2% c) 41,2% d) 41,9% e) 42,6% 
 
16. 
A figura ao lado é parte de um 
extrato de conta corrente da Caixa 
Econômica Federal, com alguns 
dados hipotéticos. A taxa mensal do 
cheque especial é a indicada na 
figura. Como base nos dados 
apresentados no extrato, indique qual 
a taxa anual equivalente de juros 
compostos adotada pelo banco no 
cheque especial. 
 
--------------------------------------------------------------------
- 
SALA 24 HORAS – PETROLINA 
DATA: 02/02/2014 HORA: 12:05:45 
TERMINAL: 08120001 
--------------------------------------------------------------------
- 
AGÊNCIA: 0812 – PETROLINA 
CONTA: 12345-6 
CLIENTE: JOÃO DA SILVA 
 
 
EXTRATO PARA SIMPLES CONFERÊNCIA 
 
 
VENCIMENTO DO CONTRATO DE CRÉDITO 
ROTATIVO/CH ESPECIAL CAIXA 31/12/2018 
 
TAXA DE JUROS VIGENTE NO MÊS:0005,5% 
TAXA DE JUROS ANUAL: 
17. Sabendo que a taxa semestral de juros compostos adotada em determinada operação financeira é igual a 41,85%, 
indique qual a sua taxa de juros mensal equivalente. 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 21 
18. Sabendo que a taxa anual de juros compostos adotada em determinada operação financeira é igual a 125,22%, 
indique qual a sua taxa de juros mensal equivalente. 
 
19. O capital R$ 1.000,00foi aplicado durante 1 ano à taxa de 24% ao ano, com capitalização mensal. Com base nos 
dados apresentados anteriormente, responda: 
1. Qual a taxa nominal? 
2. Qual a taxa efetiva mensal? 
3. Qual o montante da aplicação? 
4. Qual o valor dos juros compostos produzidos? 
 
20. O capital R$ 1.000,00 foi aplicado durante 1 ano e meio à taxa de 36% ao ano, com capitalização mensal. Julgue 
os itens a seguir: 
1. A taxa efetiva mensal é igual a 3%; 
2. Calcula-se o montante multiplicando-se o capital por (1,36)1,5; 
3. O número de capitalizações é igual a 18; 
4. O montante pode ser obtido pela expressão 1.000  (1,36)18; 
5. Obteve-se mais de R$ 540,00 de juros. 
 
21. Fabiano tomou um empréstimo de R$ 300,00 a juros compostos mensais de 5%. Entretanto, dois meses após, 
Fabiano pagou R$ 150,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. O valor desse último pagamento foi: 
a) R$ 189,00 b) R$ 195,00 c) R$ 195,78 d) R$ 189,78 e) R$ 199,98 
 
22. Um banco oferece duas opções de juros para os clientes que adquirirem empréstimo pessoal. Na opção A, o banco 
cobra a taxa nominal juros compostos de 48% ao ano com capitalização mensal; na opção B, o banco cobra a taxa 
nominal juros compostos de 48% ao ano com capitalização trimestral. Com base nos dados apresentados anteriormente, 
responda qual a opção mais vantajosa para o cliente durante um ano de aplicação e justifique sua resposta. 
 
23. Considere o capital de R$ 5.000,00 e realize as seguintes operações financeiras: aplique esse valor durante 5 meses 
à taxa nominal de juros compostos de 72% ao ano capitalizada mensalmente; depois reaplique o montante obtido por 
mais 4 meses, à taxa efetiva mensal de juros compostos igual a 3%. Suponha que no momento de fazer o resgate 
definitivo do seu capital, você tenha que pagar 1,5% do valor do montante total, a título de despesas diversas. Após ser 
feito o resgate definitivo de seu capital, considere que você ainda tem que utilizar 20% para efetuar diversos outros 
pagamentos. Assim, descreva as aplicações que você realizou e indique o líquido resgatado ao final das operações. 
 
24. Julgue os itens abaixo. 
1. Se o preço de um bem elevar-se de R$ 200,00 para R$ 1.000,00, então a taxa de reajuste durante este período terá 
sido de 500%. 
2. No mesmo período em que os salários tiveram um reajuste de 9%, registrou-se uma inflação de 4%. Então, a taxa 
real de reajuste salarial foi de exatamente 5%. 
3. Se as taxas mensais de inflação de 3 meses consecutivos forem, respectivamente, 10%, 9% e 8%, então a inflação do 
trimestre considerado será de 27%. 
4. Uma taxa de 60% ao ano com capitalização semestral corresponde a uma taxa efetiva anual de 69%. 
5. Uma taxa efetiva anual de 96% equivale a uma taxa efetiva semestral de 40%. 
 
25. Crie o valor de um capital inicial em R$ igual ao número de sua matrícula e realize as seguintes operações 
financeiras: aplique esse valor durante 5 meses à taxa nominal de juros compostos de 60% ao ano capitalizada 
mensalmente; depois reaplique o montante verificado por mais 4 meses, à taxa efetiva mensal de juros compostos igual a 
4%. Suponha que no momento de fazer o resgate definitivo do seu capital, você tenha que pagar 1% do valor do 
montante total, a título de despesas diversas. Assim, descreva as aplicações que você realizou e indique o líquido 
resgatado ao final das operações. 
 
 
 
 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 22 
AMORTIZAÇÃO 
 
Amortizar significa pagar em parcelas. 
 
Como o pagamento do saldo devedor principal é feito de forma parcelada durante um prazo estabelecido, cada parcela, 
chamada PRESTAÇÃO, será formada por duas partes: uma é o valor dos JUROS incidentes sobre o saldo devedor; 
outra é o valor da AMORTIZAÇÃO do principal da dívida. Esta garantirá que o saldo devedor, após o pagamento de 
cada prestação, seja sempre menor, até a sua extinção. 
 
PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO 
 
São diversos os sistemas de amortização, podendo ir desde métodos padronizados, com uso constante no mercado, até 
métodos concebidos pelas partes, quando da formação da dívida. Nos limitaremos ao estudo de dois deles, o 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (SAF – tabela PRICE) e o SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO 
CONSTANTE (SAC). 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE) 
 
O sistema de amortização francês é caracterizado por apresentar prestações periódicas e de mesmo valor. 
 
O cálculo do valor fixo das prestações, com pagamento sem entrada, ou seja, sendo a primeira prestação paga ao final 
do período ao qual foi contratado o empréstimo (pagamentos postecipados), pode ser realizado multiplicando-se o 
valor do saldo devedor principal pelo fator localizado na tabela PRICE, verificado para a taxa i de juros e a quantidade 
n de prestações. 
 
Este fator pode ser calculado pela expressão 
1n)i1(
in)i1(


. 
 
Desta forma, representando o valor das prestações por R e o principal da dívida por P, temos: 
 
1n)i1(
in)i1(
PR


 
 
Esta relação pode ser resumida fazendo-se 
i|na
1
1n)i1(
in)i1(



, sendo a notação 
i|na
1
 suficiente para indicar a tabela 
Price. Passamos a ter: 
 
i|na
1
PR ×= 
Obs.: Podemos usar PV (valor presente) para representar o valor principal da dívida, em substituição a P, e PMT 
para representar o valor das prestações, em substituição a R. Estas são as teclas da calculadora HP-12C que serão 
utilizadas. 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS: 
 
1) Um empréstimo de R$ 1.000,00 será pago pelo Sistema de Amortização Francês em 4 prestações mensais, sem 
entrada. Se a taxa de juros for de 10% ao mês, calcular o valor das prestações e construir a planilha de amortização. 
Resolução: 
P = PV= R$ 1.000 
i = 10% a. m. 
n = 4 
R = PMT = ? 
Cálculo do valor das prestações: 
i|na
1
PR  
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 23 
 
%10|4a
1
000.1R  Consultando a tabela Price para n = 4 e i = 10%, encontramos: 
i|na
1
 
n i  
 
8% 9% 10% 11% 
2 0,56077 0,56847 0,57619 0,58393 
3 0,38803 0,39505 0,40211 0,40921 
4 0,30192 0,30867 0,31547 0,32233 
5 0,25046 0,25709 0,26380 0,27057 
6 0,21632 0,22292 0,22961 0,23638 
 
R = 1.000  0,31547 
R = PMT = R$ 315,47 
 
Para a construção da planilha de amortização, vamos separar do valor de cada prestação, qual a parcela referente aos 
juros e à cota de amortização, cobrados em cada instante. 
 
Os juros pagos na primeira prestação incidem sobre o saldo devedor inicial R$ 1.000. Logo: 
J1 = 1000  0,1 = R$ 100 
 
O valor amortizado na primeira prestação é, portanto, a diferença: 
R$ 315,47 – R$ 100 = R$ 215,47 
 
O saldo devedor após o pagamento da primeira prestação é, portanto, a diferença: 
R$ 1.000 – R$ 215,47 = R$ 784,53 
 
Adotando procedimento análogo nas demais prestações, temos a planilha 
N SALDO 
DEVEDOR 
AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
0 R$ 1.000,00 
1 R$ 784,53 R$ 215,47 R$ 100,00 R$ 315,47 
2 R$ 547,51 R$ 237,02 R$ 78,45 R$ 315,47 
3 R$ 286,79 R$ 260,72 R$ 54,75 R$ 315,47 
4 R$ 0,00 R$ 286,79 R$ 28,68 R$ 315,47 
 
Observamos que a cada prestação paga, o valor dos juros decresce enquanto a cota de amortização aumenta. 
 
O Problema pode ser resolvido com uso de calculara financeira e planilha 
eletrônica 
 
Com a calculadora HP-12C para a resolução do problema anterior, pode ser usada a seguinte sequência de teclas: 
 
Para calcular o valor da Prestação (sem entrada, a calculadora não pode apresentar o modo BEGIN no visor): 
 
1000 CHS PV 
10 i 
4 n 
PMT 
 
Para o cálculo do valor dos juros devidos na primeira prestação (e nas demais): 
1 f N 
 
Para o cálculo do valor amortizado na primeira prestação (e nas demais): 
 
 
Para o cálculo do Saldo Devedor restante: 
RCL PV 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 24 
2) Considerando os dados do problema anterior e que o financiamentoseja feito em 1 + 3 iguais (entrada + 3 
prestações, todas iguais). Qual será o valor da entrada e consequentemente, de cada prestação? 
Resolução: 
 
Com a calculadora HP-12C, deve-se acionar a função BEGIN, teclando: 
g BEG 
A indicação BEGIN aparecerá no visor 
 
Para calcular o valor da entrada e de cada prestação: 
 
1000 CHS PV 
10 i 
4 n 
PMT R$ 286,79 
 
3) Um eletrodoméstico que custa R$ 800,00 está sendo vendido em 5 prestações mensais, iguais e sem entrada. À taxa 
de juros de 4% ao mês, calcular o valor das prestações e construir a planilha de amortização. 
Resolução: 
P = PV = R$ 800 
i = 4% a. m. 
n = 5 
R = PMT = ? 
Cálculo do valor das prestações: 
i|na
1
PR   
%4|5a
1
800R  
Consultando a tabela Price para n = 5 e i = 4%, encontramos: 
 
i|na
1
 
 
 
 R = PMT = 800  0,22463 
 R = PMT = R$ 179,70 
 
n i  
 
3% 4% 5% 6% 
3 0,35353 0,36035 0,36721 0,37411 
4 0,26903 0,27549 0,28201 0,28859 
5 0,21835 0,22463 0,23097 0,23740 
6 0,18460 0,19076 0,19702 0,20336 
7 0,16051 0,16661 0,17282 0,17914 
 
 
Temos a planilha: 
 
n SALDO 
DEVEDOR 
AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
0 R$ 800,00 
1 R$ 652,30 R$ 147,70 R$ 32,00 R$ 179,70 
2 R$ 498,69 R$ 153,61 R$ 26,09 R$ 179,70 
3 R$ 338,93 R$ 159,75 R$ 19,95 R$ 179,70 
4 R$ 172,79 R$ 166,14 R$ 13,56 R$ 179,70 
5 R$ 0,00 R$ 172,79 R$ 6,91 R$ 179,70 
 
4) Se uma dívida está sendo amortizada pelo sistema Price em 6 prestações de R$ 78,81, à taxa de 5% ao mês, qual o 
seu valor inicial? 
Resolução: 
R = R$ 78,81 
n = 6 
i = 5% a. m. 
P = ? 
Vamos substituir os dados em 
i|na
1
PR  
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 25 
%5|6a
1
P81,78  
Consultando a tabela Price para n = 6 e i = 5%, encontramos: 
 
i|na
1
 
n i  
 
3% 4% 5% 6% 
3 0,35353 0,36035 0,36721 0,37411 
4 0,26903 0,27549 0,28201 0,28859 
5 0,21835 0,22463 0,23097 0,23740 
6 0,18460 0,19076 0,19700 0,20336 
7 0,16051 0,16661 0,17282 0,17914 
 
78,81 = P  0,197 
 
197,0
81,78
P  
P = R$ 400,00 
 
 
Nota: Sistema de Amortização Francês e Sistema Price, significam o mesmo método de amortização. Denomina-se 
sistema Price, no entanto, quando a taxa de juros fornecida é a nominal, ou seja, com unidade de tempo diferente da 
unidade do período de pagamento das prestações. 
Ex.: taxa de juros de 24% ao ano com prestações pagas mensalmente. Neste caso, a taxa efetiva cobrada é igual a 2% 
ao mês. 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
 
O Sistema de Amortização Constante é caracterizado por apresentar, como o próprio nome já diz, valor constante da 
cota de amortização. 
 
A cota constante de amortização A, pode ser calculada dividindo-se o saldo devedor principal P, pelo número n de 
prestações. 
n
P
A  
 
Os juros pagos a cada prestação são calculados sobre o saldo devedor da ocasião. 
 
Assim, na primeira prestação, a taxa i de juros incide sobre o saldo devedor total P; na segunda, sobre o saldo (P – A); 
na terceira, sobre (P – 2A), e assim por diante. 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
1) Um empréstimo de R$ 1.000,00 será pago em 4 prestações mensais pelo sistema de amortização constante, sendo a 
primeira delas paga 1 mês após a sua aquisição. À taxa de 10% ao mês, construir a planilha de amortização. 
Resolução: 
Para a construção da planilha, primeiramente calculamos o valor da cota de amortização: 
 
4
1000
A   A = R$ 250,00 
 
A partir disto, podemos obter o saldo devedor após cada amortização, os juros e o valor de cada uma das prestações. 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 26 
n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR 
0 R$ 1.000,00 
1 R$ 750,00 R$ 250,00 R$ 100,00 R$ 350,00 
2 R$ 500,00 R$ 250,00 R$ 75,00 R$ 325,00 
3 R$ 250,00 R$ 250,00 R$ 50,00 R$ 300,00 
4 R$ - R$ 250,00 R$ 25,00 R$ 275,00 
 
 
Observamos que o valor dos juros (ou das prestações) decrescem em progressão aritmética. 
 
 
2) Uma dívida de R$ 500,00, amortizada pelo SAC, em 10 vezes sem entrada, à taxa de 2% ao mês, produz que valor 
como quarta prestação? Qual o saldo devedor após o pagamento da sexta prestação? 
Resolução: 
Inicialmente vamos calcular o valor da cota constante de amortização: 
 
10
500
A   A = R$ 50,00 
 
O valor da quarta prestação será igual à cota R$ 50,00 mais os juros naquele momento. 
R4 = A + J4 
 
Os juros pagos na quarta prestação serão calculados sobre: 
R$ 500 – 3 R$ 50 = R$ 350,00 
J4 = 350  0,02 = R$ 7,00 
 
R4 = 50 + 7  R4 = R$ 57,00 
O saldo devedor após o pagamento da sexta prestação é: 
R$ 500 – 6 R$ 50 = R$ 200,00 
 
 
3) Na amortização pelo SAC, de R$ 2.000,00 em 10 vezes, à taxa de 8% ao mês, qual o total de juros pagos durante o 
financiamento? 
Resolução: 
Para calcularmos o total de juros pagos num financiamento pelo SAC, aplicamos a fórmula: 
2
n)nJ1J(
TJ

 
JT refere-se ao total de juros, J1 aos juros da primeira prestação, Jn, juros na última prestação e n é a quantidade de 
prestações. Temos: 
J1 = 2.000  0,08 = R$ 160,00 
J10 = 200  0,08 = R$ 16,00 
2
10)16160(
TJ

  JT = R$ 880,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 27 
 
EM RESUMO 
 
 
AMORTIZAÇÃO 
 
Pagar em parcelas 
 
PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO 
 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE) 
 
Prestações periódicas e de mesmo valor. 
i|na
1
PR ×= 
 
 
Cálculo do valor das prestações sem entrada com HP-12C: 1000 CHS PV / 10 i / 4 n / PMT 
Cálculo do valor dos juros devidos na primeira prestação (e nas demais): 1 f n 
Cálculo do valor amortizado na primeira prestação (e nas demais): 
Cálculo do Saldo Devedor restante: RCL PV 
 
Para o cálculo do valor das prestações com entrada e as demais parcelas todas iguais (1 + 3): Deve-se acionar a função 
BEGIN, teclando g BEG / A indicação BEGIN aparecerá no visor. 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
 
 
Valor constante da cota de amortização “A”. 
 
n
P
A = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 28 
EXERCÍCIOS 
01. Considerando as tabelas no final da apostila, preencha a planilha abaixo com os fatores que calculam os valores 
das prestações iguais de um financiamento com pagamentos sem entrada, de acordo com a taxa de juros e o número de 
parcelas. 
 i = Taxa do Financiamento 
 2,00% 2,50% 5,00% 7,00% 8,00% 10,00% 
n
 =
 N
ú
m
e
ro
 d
e
 P
re
s
ta
ç
õ
e
s
 
3 
4 
5 
10 
12 
15 
20 
24 
30 
36 
 
02. Um empréstimo de R$ 1.000,00 será pago pelo Sistema de Amortização Francês em 4 prestações mensais, sem 
entrada. Se a taxa de juros for de 10% ao mês, calcular o valor das prestações e construir a planilha de amortização. 
n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR - PV PMT 
0 
1 
2 
3 
4 
 
03. Um eletrodoméstico que custa R$ 800,00 está sendo vendido em 5 prestações mensais, iguais e sem entrada. À 
taxa de juros de 4% ao mês, calcular o valor das prestações e construir a planilha de amortização. 
n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR - PV PMT 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
04. Considere um empréstimo igual R$ 500,00. Sabendo que esse empréstimo será pago em 4 prestações mensais e 
iguais sem entrada e que a taxa de juros do financiamento será de 24% ao ano, complete a planilha de amortização a 
seguir e responda: 
n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR - PV PMT 
0 
1 
2 
3 
4 
 
a) Qual o valor em reais do saldo devedor imediatamente após o pagamento da2ª prestação? 
b) Qual o valor em reais da cota de amortização embutido no valor da 4ª prestação? 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 29 
05. Complete os dados da planilha abaixo considerando o plano de pagamento em 1 + n prestações iguais, ou seja, 
entrada igual às demais prestações: 
 
 
PREÇO À FORMA DE TAXA VLR DA ENTRADA E 
VISTA PAGAMENTO DAS PRESTAÇÕES 
R$ 1.000,00 1 + 3 10,00% R$ 286,79 
R$ 1.500,00 1 + 5 2,00% 
R$ 3.000,00 1 + 4 1,50% 
R$ 800,00 1 + 7 3,50% 
R$ 1.200,00 1 + 11 3,00% 
R$ 4.000,00 1 + 9 1,00% 
R$ 2.400,00 1 + 7 2,50% 
 
 
06. Um empréstimo de R$ 1.000,00 será pago pelo Sistema de Amortização Constante em 4 prestações mensais, sem 
entrada. Se a taxa de juros for de 10% ao mês, calcular os valores das prestações e construir a planilha de amortização. 
 
n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR - PV PMT 
0 
1 
2 
3 
4 
 
07. Um empréstimo de R$ 900,00 será pago pelo Sistema de Amortização Constante em 5 prestações mensais, sem 
entrada. Se a taxa de juros for de 10% ao mês, calcular os valores das prestações e construir a planilha de amortização. 
 
n SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR - PV PMT 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
08. A planilha de amortização a seguir está preenchida parcialmente. 
 
N SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR 
0 R$ 1.000,00 
1 R$ 232,01 R$ 282,01 
2 X R$ 282,01 
3 Y R$ 282,01 
4 Z R$ 282,01 
Com base nesses dados, responda: 
 
1. Qual o sistema de amortização adotado e por que; 
2. Qual a taxa de juros adotada no financiamento; 
3. Quais os valores de X, Y e Z, respectivamente. 
 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 30 
09. A planilha a seguir está preenchida parcialmente. 
 
N SALDO AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO 
 DEVEDOR 
0 R$ 800,00 
1 R$ 600,00 R$ 240,00 
2 X R$ 200,00 
3 R$ 200,00 Y 
4 R$ 200,00 Z 
 
Com base nesses dados, responda: 
1. Qual o sistema de amortização adotado e por que; 
2. Qual a taxa de juros do financiamento;. 
3. Quais os valores de X, Y e Z, respectivamente. 
 
10. Uma pessoa financia uma compra no valor de R$ 560,00, pelo sistema de amortização constante, em 8 prestações 
mensais sem entrada, à taxa de 10% ao mês. Desejando quitar sua dívida antecipadamente, pergunta-se: qual o valor 
de quitação do débito após haver efetuado o pagamento da quinta prestação? 
 
11. Uma pessoa financia uma compra no valor de R$ 560,00, pelo sistema price de amortização, em 8 prestações 
mensais sem entrada, à taxa de 10% ao mês. Desejando quitar sua dívida antecipadamente, pergunta-se: qual o valor 
de quitação do débito após haver efetuado o pagamento da quarta prestação? 
 
12. Uma pessoa financia uma compra no valor de R$ 2.000,00, pelo sistema price de amortização, em 24 prestações 
mensais sem entrada, à taxa de 2% ao mês. Desejando quitar sua dívida antecipadamente, pergunta-se: qual o valor de 
quitação do débito após haver efetuado o pagamento da décima prestação? 
 
13. Uma pessoa financia uma compra no valor de R$ 10.000,00, pelo sistema price de amortização, em 30 prestações 
mensais sem entrada, à taxa de 3% ao mês. Desejando quitar sua dívida antecipadamente, pergunta-se: qual o valor de 
quitação do débito após haver efetuado o pagamento da décima prestação? 
 
14. Uma compra no valor de R$ 500,00 deve ser paga com uma entrada à vista de 20% e o saldo devedor restante em 
5 prestações mensais iguais, a uma taxa de 5% ao mês, vencendo a primeira prestação em 30 dias. Embutida nesta 
primeira prestação mensal, existe uma amortização do saldo devedor, de quantos reais? 
 
15. Amortizando-se R$ 1.500,00 pelo sistema de amortização constante, em 10 prestações sem entrada, com taxa de 
2% ao mês, qual o valor da segunda prestação? 
 
16. No pagamento de um empréstimo no valor de R$ 5.000,00 em 10 prestações mensais sem entrada, à taxa de 10% 
ao mês, pelo SAC, qual o valor da sexta prestação? 
 
17. Na tabela abaixo, que apresenta algumas células sem valores numéricos, os dados referem-se a um empréstimo 
bancário de R$ 10.000,00, entregues no ato e sem prazo de carência, à taxa de juros de 12% ao ano, para pagamento 
em 6 meses pela tabela Price. Com relação a essa situação, complete os dados da planilha. 
 
Meses Saldo devedor Amortização Juros Prestação 
0 10.000,00 0 0 0 
1 8.374,52 
2 83,75 
3 5.074,64 1.658,15 67,33 
4 3.399,91 1.674,73 50,75 
5 
6 0 
 
18. Qual o valor à vista, de um automóvel vendido com uma entrada de R$ 2.000,00 e o restante financiado em 12 
prestações mensais e iguais a R$ 852,42 à taxa de 4% ao mês? 
a) R$ 8.000,00 b) R$ 10.229,01 c) R$ 10.000,00 
d) R$ 12.000,00 e) R$ 8.229,01 
 
19. Qual o valor à vista, de um automóvel vendido com uma entrada de R$ 4.000,00 e o restante financiado em 24 
prestações mensais e iguais a R$ 528,71 à taxa de 2% ao mês? 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 31 
 
20. Qual o valor à vista, de um equipamento financiado em 36 prestações mensais e iguais a R$ 588,49 à taxa de 2% 
ao mês? 
 
21. Uma pessoa deseja fazer um empréstimo de R$ 2.500,00 mas só dispõe de R$ 240,86 para pagar mensalmente. 
Sendo a taxa nominal de juros igual a 60% ao ano, qual a quantidade de prestações que viabiliza o pagamento do 
empréstimo? 
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 
 
22. Deseja-se saber qual foi a taxa de juros adotada no financiamento de um eletrodoméstico no valor de R$ 400,00, 
financiado em 10 prestações mensais e iguais a R$ 54,35. 
a) 7% b) 6% c) 5% d) 4% e) 3% 
 
23. Deseja-se saber qual foi a taxa de juros adotada no financiamento de um eletrodoméstico no valor de R$ 500,00, 
financiado em 5 prestações mensais e iguais a R$ 112,31. 
a) 7% b) 6% c) 5% d) 4% e) 3% 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 32 
FLUXO DE CAIXA 
 
O estudo da matemática financeira é desenvolvido, basicamente, através do seguinte raciocínio: ao 
longo do tempo existem entradas de dinheiro (receitas) e saídas de dinheiro (desembolsos) nos 
caixas das empresas e nas finanças das pessoas. Essa circulação de valores é denominada, em seu 
conjunto, fluxo de caixa. 
 
 Podemos representar em fluxo de caixa através do seguinte diagrama: 
 
 
(+) (+) (+) (+) 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 ................ n tempo 
 
 
 
 (-) (-) 
 
 
 As receitas são sempre indicadas com setas voltadas para cima, seguidas do sinal positivo 
(+) e os desembolsos são sempre indicados com setas voltadas para baixo seguidas do sinal 
negativo (-). O eixo horizontal representa a linha do tempo iniciada a partir de uma data inicial 
(data zero); a unidade de tempo pode ser expressa em qualquer período (ano, mês, dia, etc). 
 
Se imaginarmos uma situação em que inicialmente foi feito um investimento R$ 10.000,00 para a 
compra de equipamentos para a empresa, e nos instantes 1, 2 e 3 houve receita de R$ 1.000,00, R$ 
1.500,00 e R$ 2.000,00 respectivamente. Posteriormente houve outro investimento de R$ 2.000,00 
no instante 4 com nova receita de R$ 3.000,00 no instante 5. Poderemos representar esse fluxo nas 
tabelas abaixo ou pelo seguinte diagrama: 
 
Instantes Entradas Saídas 
0 R$ 10.000,00 
1 R$ 1.000,00 
2 R$ 1.500,00 
3 R$ 2.000,00 
4 R$ 2.000,00 
5 R$ 3.000,00 
 
Instantes Ocorrências 
0 – R$ 10.000,00 
1 +R$ 1.000,00 
2 +R$ 1.500,00 
3 +R$ 2.000,00 
4 – R$ 2.000,00 
5 +R$ 3.000,00 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 33 
VALOR PRESENTE LÍQUIDO VPL - (NPV – Net Present Value) 
 
O cálculo do Valor Presente Líquido – VPL/NPV - consiste em fazer o transporte de todas as 
ocorrências no fluxo de caixa para a data focal zero à taxa de juros considerada, verificando-se,nesta data, a diferença entre os valores positivos e negativos listados no fluxo. 
 
EXEMPLO RESOLVIDO 
 
Considere o fluxo de caixa que possui um investimento inicial no valor de R$ 1.200,00 
proporcionando uma receita de R$ 400,00 no fim do primeiro período; R$ 450,00 no fim o segundo 
período e R$ 500,00 no fim do terceiro período. Calcule o Valor Presente Líquido do fluxo de 
caixa considerando uma taxa de 4% ao período. 
 
Resolução: 
 
Para a situação descrita anteriormente, temos o seguinte diagrama de fluxo de caixa: 
 
 
 
 
 
Transportando todas as ocorrências positivas para a data focal zero, temos: 
 
i) 
1)04,1(
400
= R$ 384,62 
ii) 
2)04,1(
450
= R$ 416,05 
iii) 
3)04,1(
500
= R$ 444,50 
Valor total das entradas no caixa na data focal zero: R$ 384,62 + R$ 416,05 + R$ 444,50 = R$ 
1.245,16 
 
Assim sendo, na data focal zero, temos o seguinte Valor Presente Líquido: 
R$ 1.245,16 – R$ 1.200,00 = R$ 45,16 
 
 
O VPL pode ser calculado com uso de calculara financeira e planilha eletrônica 
 
Com a calculadora HP-12C, pode ser usada a seguinte sequência de teclas: 
 
1200 CHS g CFo 
400 g CFj 
450 g CFj 
500 g CFj 
4 i 
f NPV 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 34 
TAXA INTERNA DE RETORNO (IRR – INTERNAL RATE RETURN) 
 
A Taxa Interna de Retorno de um fluxo de caixa pode ser entendida como sendo a taxa de desconto 
que faz com que as Receitas Futuras descontadas a esta taxa se IGUALEM ao Investimento 
Inicial. Em outras palavras, é a taxa que proporciona o VPL/NPV de um investimento igual a zero. 
 
A TIR será obtida com auxílio de calculara financeira e planilha eletrônica. 
 
Considerando os dados da questão anterior, podemos calcular a TIR com auxílio da calculadora HP-
12C, pode ser usada a seguinte sequência de teclas: 
 
1200 CHS g CFo 
400 g CFj 
450 g CFj 
500 g CFj 
f IRR 
 
 
EXEMPLO RESOLVIDO 
 
Considerando os dados da questão anterior e sabendo que a Taxa Interna de Retorno do fluxo de 
caixa é igual a 5,9%, podemos calcular o seu Valor Presente Líquido que será igual a 0. 
 
Transportando todas as ocorrências positivas para a data focal zero, temos: 
i) 
1)059,1(
400
= R$ 377,72 
ii) 
2)059,1(
450
= R$ 401,26 
iii) 
3)059,1(
500
= R$ 421,02 
 
Valor total das entradas no caixa na data focal zero: R$ 377,72 + R$ 401,26 + R$ 421,02 = R$ 
1.200,00 
 
Assim sendo, na data focal zero, temos o seguinte Valor Presente Líquido: 
R$ 1.200,00 – R$ 1.200,00 = R$ 0,00 
 
 
 
FLUXOS DE CAIXA EQUIVALENTES 
 
 Dois Fluxos de caixa são ditos equivalentes quando, ao transportarmos para uma mesma 
data e à mesma taxa de juros as entradas e saídas de cada um deles, as somas dos valores presentes 
encontrados for a mesma nos dois fluxos. 
 
 
Exemplo: 
Uma dívida deve ser resgatada em 4 meses por R$ 2.431,02. Entretanto, o 
devedor sugere a quitação da mesma em dois pagamentos, sendo o 
primeiro deles, daqui a três meses, de R$ 1.157,63 e o segundo, três meses 
depois, de R$ 1.340,10. 
Mostrar que o plano de pagamento proposto pelo devedor é equivalente ao 
original se considerarmos uma taxa de juros compostos de 5% a.m. 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 35 
Solução: 
Vamos transportar para a data focal zero cada um dos valores a serem pagos: 
1º fluxo (do plano original) 
 
 
 
M = C(1+i)
n
  2431,02 = C (1+0,05)
4
  C = R$ 2.000,00 
 
2º fluxo (do plano sugerido pelo devedor) 
 
 
 
M3 = C3 (1+i)
n
  1157,63 = C3 (1+0,05)
3
  C3 = R$ 1.000,00 
M6 = C6 (1+i)
n
  1340,10 = C6 (1+0,05)
6
  C6 = R$ 1.000,00 
 
Valor Presente Líquido Total: R$ 2000,00 
 
Como a soma dos capitais do segundo fluxo na da focal zero é igual ao capital do primeiro, na 
mesma data, podemos dizer que os dois fluxos são equivalentes. 
 
 
ATENÇÃO: No regime de juros compostos a escolha da data focal não altera a equivalência. 
Podemos, assim, optar pela data mais conveniente para os cálculos de cada problema. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Trace o diagrama de fluxo de caixa com as seguintes ocorrências: 
 Uma saída de R$ 1.000,00 no início do 1º período; 
 Uma entrada de R$ 800,00 no fim do 1º período; 
 Uma saída de R$ 600,00 no fim do 2º período; 
 Uma entrada de R$ 2.000,00 e uma saída de R$ 500,00 no fim do 3º período; 
 Uma entrada de R$ 500,00 no fim do 5º período 
 
02. Considere o seguinte fluxo de caixa de um determinado projeto financeiro: 
 Investimento inicial: R$ 1.000.000,00 
 Receita no final do 1º ano: R$ 300.000,00 
 Receita no final do 2º ano: R$ 450.000,00 
 Receita no final do 3º ano: R$ 620.000,00 
 Receita no final do 4º ano: R$ 740.000,00 
Pede-se: 
a) O diagrama de fluxo de caixa 
b) O Valor Presente Líquido, considerando uma taxa igual a 20% ao ano. 
c) A Taxa Interna de Retorno; 
 
 
 
 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 36 
03. Considere o seguinte fluxo de caixa de um determinado projeto financeiro: 
 Investimento inicial: R$ 80.000,00 
 Receita no valor de R$ 30.000,00, porém, com despesas operacionais de R$ 10.000,00 no final do 1º ano; 
 Receita de no valor de R$ 25.000,00 no final do 2º ano; 
 Novo investimento no valor de R$ 10.000,00 no final do 3º ano, sem recuperação de receita; 
 Duas receitas de R$ 30.000,00 ao final dos dois anos seguintes, respectivamente. 
Pede-se: 
a) O diagrama de fluxo de caixa 
b) O Valor Presente Líquido, considerando uma taxa igual a 5,5% ao ano; 
c) A Taxa Interna de Retorno. 
 
04. Considere o seguinte projeto de investimento com as respectivas previsões de receitas: 
O investimento inicial implica nas seguintes despesas: 
 Aquisição e reforma de ponto comercial: R$ 120.000,00; 
 Compra de móveis e utensílios e equipamentos de informática: R$ 100.000,00; 
 Aquisição de cinco veículos ao custo unitário de R$ 25.000,00; 
 Despesas com treinamento de pessoal: R$ 55.000,00 
As projeções de faturamento líquido pretendido são: 
 Receita no final do 1º ano: R$ 50.000,00 
 Receita no final do 2º ano: R$ 60.000,00 
 Receita no final do 3º ano: R$ 70.000,00 
 Receita no final do 4º ano: R$ 80.000,00 
 Receita no final do 5º ano: R$ 90.000,00 
 Receita no final do 6º ano: R$ 100.000,00 
Pede-se: 
a) O diagrama de fluxo de caixa 
b) O Valor Presente Líquido, considerando uma taxa igual a 12% ao ano; 
c) A Taxa Interna de Retorno. 
 
05. Uma empresa estuda a possibilidade de abrir uma filial. Para isto está analisando as seguintes projeções: 
O investimento inicial implica nas seguintes despesas: 
 Aquisição e reforma de ponto comercial: R$ 90.000,00; 
 Compra de móveis e utensílios e equipamentos de informática: R$ 50.000,00; 
 Diversas outras despesas iniciais: R$ 40.000,00; 
Projeções de faturamento: 
 Receita no final do 1º ano: R$ 55.000,00 
 Receita no final do 2º ano: R$ 55.000,00 
 Receita no final do 3º ano: R$ 60.000,00 
 Receita no final do 4º ano: R$ 65.000,00 
 Receita no final do 5º ano: R$ 70.000,00 
 Receita no final do 6º ano: R$ 75.000,00 
A partir do 1º ao 6º ano, irá pagar encargos no valor de R$ 15.000,00 ao ano. 
Assim sendo, pede-se: 
a) O diagrama de fluxo de caixa 
b) O Valor Presente Líquido, considerando uma taxa igual a 12% ao ano; 
c) A Taxa Interna de Retorno. 
 
06. O gráfico abaixo representa o fluxo de caixa de certo projeto: 
 
 
 
 
 
 
A Taxa Interna de Retorno é igual a: 
A) 5% B) 8% C) 10% D) 12% E) 20% 
 
 
 
 
 
 
0 1 2 
R$ 400,00 
R$ 220,00 
R$ 242,00 
PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 37 
07. Considere as afirmações abaixo: 
I - Se a taxa interna de retorno de um fluxo de caixa é menor que a taxa mínima de atratividade, pode-se concluir que o 
projeto de investimento nele representado é inviável para a empresa que o adotar. 
II – Se o valor presente líquido de um fluxo de caixa é positivo, pode-se concluir que o projeto de investimento nele 
representado não tem viabilidade econômica. 
III – A taxa interna de retorno de um fluxo de caixa