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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Mecânica
DEM-1003
MECÂNICA DOS SÓLIDOS I
Lista de Exercícios Propostos
Prof. Carlos Eduardo de Souza
15 de agosto de 2018
Santa Maria, RS, BRASIL
DEM-1003- Mecânica dos Sólidos I 2o Semestre de 2018
Lista de Exercícios Propostos 15 de agosto de 2018
Sumário
Capa 1
1 Carga axial e tensão normal 3
2 Deformações e tensões térmicas 7
3 Torção 11
4 Vigas 15
5 Flexão oblíqua e cargas fora do centro em vigas 18
6 Estado de tensões e combinação de carregamentos 21
7 Vigas curvas 28
8 Cilindros de paredes finas 34
9 Deflexão de vigas 38
10 Flambagem 42
11 Referências 45
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Lista de Exercícios Propostos 15 de agosto de 2018
1 Carga axial e tensão normal
Ex. 1.1. Adaptado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Determine a variação de comprimento da barra de aço da figura sob ação das cargas indicadas (E=200 GPa).
Ex. 1.2. Pág. 83 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD. A barra
AB é de alumínio (E = 70 GPa) e tem uma seção transversal com
área de 500 mm2; a barra CD é de aço (E = 200 GPa) e tem uma
seção transversal com área de 600 mm2. Para a força de 30 kN
mostrada na figura, determine os deslocamentos dos pontos (a) B,
(b) D.
Ex. 1.3. Pág. 83 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
As peças fundidas rígidas A e B estão conectadas por
dois parafusos de aço CD e GH de 19 mm de diâmetro
e estão em contato com as extremidades de uma barra
de alumínio EF com diâmetro de 38 mm. Cada parafuso
tem rosca simples com um passo de 2,5 mm e, depois
de serem ajustadas, as porcas em D e H são apertadas
em 1/4 de volta cada uma. Sabendo que E é 200 GPa
para o aço e 70 GPa para o alumínio, determine a tensão
normal na barra.
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Lista de Exercícios Propostos 15 de agosto de 2018
Ex. 1.4. Adaptado de. Timoshenko e J. E. Gere, 1994.
Calcule a força em cada barra da figura ao lado. Ex-
pressar a força em função das variáveis apresentadas na
figura, e considerando que as barras têm a mesma seção
transversal.
Ex. 1.5. Adaptado de. Timoshenko e J. E. Gere, 1994.
Um cilindro de aço e um tubo de cobre (marcados S e
C na Figura ao lado) são comprimidos entre os cabeço-
tes de uma máquina de ensaio. Calcular as tensões no
aço e no cobre e a deformação específica de compressão
(encurtamento relativo) provocados pela força P.
Ex. 1.6.
Encontrar as forças reativas exter-
nas e as forças internas atuantes
nas conexões dos componentes da
empilhadeira abaix, sabendo que
o peso a ser levantado é de W = 5
kN.
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Ex. 1.7.
Quando a retroescavadeira mostrada ao lado
está removendo terra, a força exercida na
borda de corte da pá é de 15 kN, horizon-
tal. Para a posição indicada, calcular as for-
ças exercidas pelos três pistões hidráulicos A,
B e C, considerando que os componentes do
braço são rotulados em D, E, F, G, H , I e J. O
peso dos componentes deve ser desprezado.
Ex. 1.8.
Um peso W é preso por um cabo a uma viga BE em
E, conforme mostrado na figura ao lado. A viga é
suportada por um pino fixo e sem fricção em B e
por um cabo inclinado a partir de A até D.
(a) Determine a tensão no cabo AD.
(b) Determine os esforços internos na seção trans-
versal em C.
Ex. 1.9.
(a) Determine a variação total de comprimento da barra da figura sob ação
das cargas indicadas (trecho AB=alumínio, trecho BC = aço).
(b) Buscando diminuir a massa da estrutura, deve-se diminuir a área o tre-
cho AB. Estime o lado da seção transversal para que a segurança segundo
Von Mises seja igual a 2.
As barras tem seção transversal quadrada com lados indicados na figura.
Considere: P1 = 220 kN, P2 = 150 kN, Ealum = 70 GPa, Eaço = 200 GPa,
Escoamento: σalum = 200 MPa, σaço = 400 MPa,
L1 = 600 mm, L2 = 1000 mm, a1 = 60 mm, a2 = 50 mm.
Ex. 1.10. Adaptado do exercício da Pág. 82 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
(a) Para a barra de aço ao lado, determine a expres- são para tensão normal em função do diâmetro de cada
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barra. (b) Se considerarmos que a barra ABC pode
ser vazada, qual deve ser o diâmetro interno para que
a tensão se mantenha igual em módulo ao trecho CD?
(E=200 GPa).
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2 Deformações e tensões térmicas
Ex. 2.1. Copiado de Masuero e Creus, 1997.
O sólido abaixo está confinado entre dois suportes in-
deslocáveis. Após a sua montagem nos suportes sofre
uma variação de temperatura de +50o C.
Calcular as deformações totais nas direções y e z e a
tensão na direção x.
Ex. 2.2. Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Determine os valores da tensão nas partes AC e CB da barra
de aço mostrada quando a temperatura da barra for de -45oC,
sabendo que ambos os apoios rígidos estão ajustados quando
a temperatura estiver a +20oC. Use os valores E = 200GPa e
α = 12e − 6oC−1 para o aço.
Ex. 2.3. Exercício 4.74 de Hibbeler, 2004.
Três barras feitas de materiais diferentes estão acopladas e colocadas entre duas paredes sob uma temperatura
T1 = 12oC. Determinar a força exercida sobre os apoios (rígidos) quando a temperatura muda para T2 = 18oC.
As propriedades dos materiais e a área das seções transversais são dadas na figura.
Solução: F = 4, 20kN.
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Ex. 2.4. Exercício 2.47 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
O tubo de alumínio é completamente unido ao núcleo de latão
e a montagem tem as tensões térmicas aliviadas a uma tempe-
ratura de 15oC. Considerando apenas deformações axiais, de-
termina a tensão no alumínio quando a temperatura alcançar
os 195oC.
Ex. 2.5. Exercício 2.50 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Um tubo de latão (αlatao = 20, 9× 10−6/oC) é totalmente preso
ao núcleo de aço (αaco = 11, 7 × 10−6/oC). Determine o maior
aumento permitido na temperatura considerando que a tensão
no núcleo de aço não deve exceder 55 MPa.
Ex. 2.6. Exercício 2.51 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Uma barra formada por duas partes cilíndricas AB e BC está
impedida de se deslocar em ambas as extremidades. A parte
AB é feita de aço (Eaco = 200GPa, αaco = 11, 7 × 10−6/oC)
e a parte BC é feita de latão (Elatao = 105GPa,αlatao =
20, 9 × 10−6/oC). Sabendo que a barra está inicialmente livre
de tensões, determine a força compressiva em ABC quando há
um aumento de temperatura de 50oC.
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Ex. 2.7. Exercício 2.52 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Uma barra formada por duas partes cilíndricas AB e BC está
impedida de se deslocar em ambas as extremidades. A parte
AB é feita de latão (Elatao = 105GPa,αlatao = 20, 9 × 10−6/oC)
e parte BC é feita de aço (Eaco = 200GPa, αaco = 11, 7 ×
10−6/oC). Sabendo que a barra está inicialmente livre de ten-
sões, determine (a) as tensões normais nas partes AB e BC
provocadas por um aumento de 32,3oC na temperatura e (b) o
deslocamento correspondente no ponto B.
Ex. 2.8. Exercício 2.54 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Um trilho de aço foi instalado à temperatura de -1,1oC. Determine a tensão normal no trilho quando a temperatura
alcança os 51,67oC, considerando que os trilhos são (a) soldados a fim de assegurar continuidade e (b) tem 11,89
m de comprimento com uma folga entre trilhos igual a 6,35mm.
Ex. 2.9. Exercício 2.57 de Beer, JonhstonJr., DeWolf e Mazurek, 2010
O anel de latão () e a barra de aço tem as dimensões mostradas
à temperatura de 20o C. A barra de aço é resfriada até que
se encaixe com folga no anel. A temperatura de montagem
é então aumentada em 45o C. Determine (a) a tensão final na
barra de aço e (b) o comprimento final da barra de aço.
Ex. 2.10. Exercício 2.58 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Sabendo que existe um espaçamento de 0,508 mm quando a
temperatura é de 23,9oC, determine (a) a temperatura na qual
a tensão normal na barra de alumínio será igual a -75,8MPa e
(b) o comprimento exato correspondente da barra de alumínio.
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Ex. 2.11. Exercício 2.59 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Determine (a) a força de compressão nas barras
mostradas depois que a temperatura atingiu 82oC e
(b) a variação correspondente no comprimento da
barra de bronze.
Ex. 2.12.
O sólido de dimensões Lx × Ly × Lz ao lado está confinado
entre dois suportes indeslocáveis. Após a sua montagem
entre os suportes sofre uma variação de temperatura ∆T .
(a) Calcular a variação de comprimento nas 3 direções.
(b) Calcular a tensão nas 3 direções.
Considere: Lx = 200 mm, Ly = 200 mm, Lz = 100 mm.
Propriedades do material:E = 200 GPa, ν = 0, 2.
Coeficiente de dilatação α = 5 × 10−6 oC−1.
Variação de temperatura: ∆T = +50oC.
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3 Torção
Ex. 3.1. Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5m de
comprimento e diâmetros interno e externo iguais a 40 e
60 mm.
(a) Qual é o maior torque eu pode ser aplicado à barra
circular se a tensão de cisalhamento não deve exceder
120 MPa?
(b) Qual é o valor mínimo correspondente da tensão de
cisalhamento na barra circular?
Ex. 3.2. Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
O eixo de seção circular BC é vazado com diametros interno e externo de 90 mm e 120 mm, respectivamente. Os
eixos de secao circular AB e CD são cheios e tem diâmetro d. Para o carregamento mostrado na figura, determine
(a) as tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC, (b) o diâmetro d necessário para os eixos AB e CD,
se a tensão de cisalhamento admissível nesses eixos for de 65 MPa.
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Ex. 3.3. Copiado de Masuero e Creus, 1997
O tubo indicado na figura abaixo tem um diâmetro interno de
80 mm e um diâmetro externo de 100mm. Seu extremo é atar-
rachado no suporte A empregando a chave em B. Determinar
a tensão de corte gerada no material nas paredes interna e ex-
terna do tubo, quando forças de 80 N são aplicadas na chave.
Ex. 3.4. Copiado de Masuero e Creus, 1997
Um eixo transmite 150 kW a 300 rpm e, em deter-
minado ponto, apresenta uma união de topo através
de flanges aparafusados. Considerando o atrito en-
tre os flanges desprexível, calcular o diâmetro dos
parafusos para que os mesmos apresentem um coe-
ficiente de segurança por Guest igual a 2. O aço dos
parafusos apresenta tensão normal de escoamento
de 400 MPa.
Ex. 3.5. Copiado de Masuero e Creus, 1997
Determinar a tensão máxima no eixo indicado na figura
abaixo. A transição tem um raio r = 6mm.
Dica: considerar um fator de concentração de tensões.
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Ex. 3.6. Copiado de Masuero e Creus, 1997
O tubo abaixo tem a seção transversal indicada na figura. Calcular a tensão média nos pontos A e B para os
momentos indicados e o ângulo total de torção entre as seções C e E. O material do tubo tem G = 80 GPa.
Dica: considerar um fator de concentração de tensões.
Ex. 3.7. Copiado de Hibbeler, 2010
O eixo mostrado na Fig. está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão de cisalhamento
desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a-a do eixo.
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Ex. 3.8.
A barra de alumínio engastada, de comprimento L, diâmetro d, está sujeita a
uma combinação de carregamentos de tração e momento torsor, como visto na
figura ao lado.
(a) Apresente a expressão para as máximas tensões principais que ocorrem
nesse eixo.
(a) O projetista deseja especificar o menor diâmetro do eixo que atenda a uma
fator de segurança S considerando o critério de falha por cisalhamento máximo.
Determine a equação que ele deverá utilizar para encontrar esse diâmetro mí-
nimo.
Ex. 3.9.
Um eixo transmite uma potência P a uma velocidade angular ω (rad/s) e,
em determinado ponto, apresenta uma união de topo através de flanges
aparafusados, com n parafusos.
(a) Determine a equação para determinar o diâmetro dos parafusos, con-
siderando tensão de cisalhamento médio na seção transversal do parafuso
e critério de falha utilizando Von Mises, com segurança igual a 1.
(b) Determine o diâmetro do eixo considerando o modelo de Tresca para
um fator de segurança S .
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4 Vigas
Ex. 4.1.
Trace os diagramas de força cortante e momento fletor
para uma viga AB simplesmente apoiada de vão L, sub-
metida a uma única força concentrada P em seu ponto
médio C.
Ex. 4.2. Trace os diagramas de força cortante e mo-
mento fletor para a viga em balanço AB de vão L su-
portando uma força w uniformemente distribuída, con-
forme figura ao lado.
Adaptado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Ex. 4.3. No exercício anterior, considerando que a viga é feita em aço AISI 1020, determine a tensão máxima
provocada pelo momento fletor e a segurança em relação ao escoamento.
Adaptado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Ex. 4.4. Para a viga de madeira e o carregamento mostrado
na figura, trace os diagramas de força cortante e momento fle-
tor, e determine a tensão máxima provocada pelo momento
fletor e pelo cisalhamento.
Ex. 4.5. Copiado de Masuero e Creus, 1997
A viga da figura tem seção em forma de U. Determina a máxima tensão de flexão que atua na seção a-a.
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Ex. 4.6. Calcular a distribuição das tensões tangenciais em
uma peça fletida de seção retangular.
Copiado de Masuero e Creus, 1997
Solução:
Obter a distribuição das tensões é o mesmo que determinar uma expressão para a tensão em função das coordenadas da
seção transversal.
Pela figura, as coordenadas são x e y.
- em relação a z: sabe-se que para um esforço cortante em y, a distribuição em z é constante.
- em relação a y: a tensão é dada por
τ =
VQ(y)
bIz
Aqui, o momento estático depende da coordenada y, é dado pelo produto da área de uma região vezes a distância do centro
da área ao eixo de interesse, e pode ser escrito como:
Q(y) = A(y) · d(y)
Q(y) = b ·
(
h
2
− y
)
·
[
y +
1
2
(
h
2
− y
)]
Q(y) = b ·
(
h
2
− y
)
· y +
b
2
(
h
2
− y
)2
Q(y) =
bhy
2
− by2 +
b
2
(
h2
4
− hy + y2
)
Q(y) =
bhy
2
− by2 +
bh2
8
−
bhy
2
+
by2
2
=
bh2
8
−
by2
2
=
b
2
(
h2
4
− y2
)
Assim, a expressão para a tensão passa a ser:
τ =
12V
b
2
(
h2
4
− y2
)
b2h3
=
6V
bh3
(
h2
4
− y2
)
Ou seja, é uma função quadrática de y.
Distribuição:
- nas extremidades, quando y = h ou y = −h, τ = 0
- na linha média, quando y = 0, então τ =
3V
2bh
= τ =
3
2
τ.
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Ex. 4.7. Copiado de hibeller_2010
A alavanca de controle é usada em um cortador de grama de
empurrar. Determine a tensão de flexão máxima na seção a−a
da alavanca seuma força de 100 N for aplicada ao cabo. A
alavanca é suportada por um pino em A e um cabo em B. A
seção a − a é quadrada, 6 mm por 6mm.
Ex. 4.8. Copiado de hibeller_2010
A travessa ou longarina de suporte principal da carroceria do caminhão está sujeita à carga distribuída uniforme.
Determine a tensão de flexão nos pontos A e B.
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5 Flexão oblíqua e cargas fora do centro em vigas
Ex. 5.1. Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Um momento de 180 N m é aplicado a uma viga de madeira, de
seção transversal retangular de 38 x 90 mm em um plano formando
um ângulo de 30o com a vertical. Determine (a) a tensão máxima
na viga e (b) o ângulo que a superfície neutra forma com o plano
horizontal.
Ex. 5.2. Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Uma força vertical de 4,8 kN é aplicada em um poste de madeira de
seção transversal retangular de 80x120mm, conforme mostra a Fig.
4.71. (a) determine as tensões nos pontos A, B, C e D. (b) localize a
linha neutra da seção transversal
Ex. 5.3. Copiado de Hibbeler, 2010
A seção transversal retangular mostrada na figura está sujeita
a um momento fletor M=12 kN.m. Determine a tensão normal
desenvolvida em cada canto da seção e especifique a orienta-
ção do eixo neutro.
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Ex. 5.4. Copiado de Hibbeler, 2010
Uma viga em T está sujeita a um momento
fletor de 15 kN.m, como mostra a figura. De-
termine a tensão normal máxima na viga e a
orientação do eixo neutro.
NOTA: este é um exemplo de aplicação de cargas fora do eixo.
Ex. 5.5. J. M. Gere, 2004
NOTA: este é um exemplo de aplicação de cargas fora do eixo.
A wood beam AB of rectangular cross section serving as a roof purlin (Figs. 6-16a and b) is simply supported by
the top chords of two adjacent roof trusses. The beam supports the weight of the roof sheathing and the roofing
material, plus its own weight and any additional loads that affect the roof (such as wind, snow, and earthquake
loads). In this example, we will consider only the effects of a uniformly distributed load of intensity q = 3.0 kN/m
acting in the vertical direction through the centroids of the cross sections. The load acts along the entire length of
the beam and includes the weight of the beam. The top chords of the trusses have a slope of 1 on 2 (α = 26.57o ),
and the beam has width b = 100 mm, height h = 150 mm, and span L = 1.6 m. Determine the maximum tensile
and compressive stresses in the beam and locate the neutral axis.
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Ex. 5.6. Hibbeler, 2014
A rectangular block has a negligible weight and is subjected to a vertical
force P, Fig. 8–8a. (a) Determine the range of values for the eccentricity
ey of the load along the y axis so that it does not cause any tensile stress
in the block. (b) Specify the region on the cross section where P may be
applied without causing a tensile stress in the block.
Ex. 5.7. Hibbeler, 2014
Determine the state of stress at point A on the cross sec-
tion of the post at section a–a. Indicate the results on a
differential element at the point.
Determine the state of stress at point B on the cross sec-
tion of the post at section a–a. Indicate the results on a
differential element at the point.
Ex. 5.8.
(a) Se a carga P for igual a 60 kN, determine a maior
tensão normal encontrada na seção transversal da co-
luna.
(b) Determine a maior carga que pode ser utilizada se
o material for aço ASTM A36.
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6 Estado de tensões e combinação de carregamentos
Ex. 6.1. Para os estados de tensão mostrados nas figuras, determine as tensões normal e de cisalhamento que
atuam na face oblíqua do elemento triangular sombreado na figura. Use um método de análise com base no
equlíbrio daquele elemento, como foi feito nas deduções da seção 7.2.
Pág. 453, Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Ex. 6.2. Para o estado de tensões dado, determine (a) os planos principais e (b) as tensões principais.
Ex. 6.3. Pág. 451 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Para o estado plano de tensão mostrado na Fig. abaixo, determine (a) os
planos principais, (b) as tensões principais e (c) a tensão de cisalhamento
máxima e a tensão normal correspondente.
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Ex. 6.4.
Para o estado plano de tensão mostrado na Fig. abaixo, verifique a segu-
rança segundo o critério de Tresca e de Von Mises, considerando o Alumí-
nio 1100-O:
Ex. 6.5.
O estado plano de tensão mostrado na figura ocorre em um
ponto crítico de um componente de máquina feito de aço.
Após vários ensaios de tração, conclui-se que a tensão de
escoamento em tração é de σE = 250 MPa para o tipo de
aço utilizado. Determine o coeficiente de segurança em re-
lação ao escoamento usando (a) o critério da tensão de ci-
salhamento máxima e (b) o critério da energia de distorção
máxima.
Pag. 476 Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
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Ex. 6.6. Pág. 450, Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Uma única força horizontal P de intensidade 670 N é aplicada
à extremidade D da alavanca ABD. Sabendo que a parte AB
da alavanca tem um diâmetro de 30mm, determine (a) as ten-
sões normal e de cisalhamento em um elemento localizado no
ponto H e que possui lados paralelos aos eixo x e y e (b) os
planos e tensões principais no ponto H.
Ex. 6.7. Pag. 479 Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
O eixo AB de 44,45 mm de diâmetro é feito de uma classe de aço para o qual
a tensão de escoamento é σE=248,2 MPa. Usando o critério da tensão de cisa-
lhamento máxima, determine a intensidade da força P para a qual o escoamento
ocorre quando T=1694,7 kN kN mm.
Ex. 6.8. Hibbeler, 2010
Uma liga de alumínio 6061-T6 deve ser usada para fabricar um eixo de acionamento que transmita 40kN a 1800 rev/min.
Usando um fator de segurança S = 2 para escoamento, determine o menor diâmetro que pode ser selecionado com base na
teoria da energia de distorção máxima.
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Ex. 6.9. J. M. Gere, 2004
A sign of dimensions 2.0 m x 1.2 m is supported by a hollow circular pole
having outer diameter 200m and inner diameter 180 mm. The sign offset
0.5 m from the centerline of the pole and its lowe edge is 6.0 m above
the ground. Determine the principal stress and maximum shear stresses at
points A and B at the base of the pole due to a wind pressure of 2.0 kPa
against the sine.
Ex. 6.10. J. M. Gere, 2004
A sign is supported by a pipe having outer diameter 100 mm and
inner diameter 80 mm. The dimensions of the sign are 2.0 m x 0.75
m, and its lower edge is 3.0 m above the base. Note that the center
of gravity of the sign is 1.05 from the axis of the pipe. The wind
pressure against the sign is 1.5 kPa. Determine the maximum in-
plane shear stresses due to the wing pressure on the sign at points A,
B and C, located on the outer surface at the base of the pipe.
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Ex. 6.11. J. M. Gere, 2004
A horizontal bracket ABC (see figure on the next page) consists of
two perpendicular arms AB and BC, the latter having a length of 0.4
m. Arm AB has a solid circular cross section with diameter equal to
60 mm. At point C a load P1 = 2.02kN acts vertically and a load
P2 = 3.07kN acts horizontallyand parallel to arm AB. Considering
only the forces P1 and P2, calculate the maximum tensile stress σt,
the maximum compressive stress σC , and the maximum in-plane
shear stress τmax at point p, which is located at support A on the side
of the bracket at midheight.
Ex. 6.12. J. M. Gere, 2004
For purposes of analysis, a segment of the crank-shaft in a vehicle is
represented as shown in the figure. The load P equals 1.0 kN, and
the dimensions are b1 = 80mm, b2 = 120mm, and b3 = 40mm.
The diameter of the upper shaft is d = 20mm. (a) Determine the
maximum tensile, compressive, and shear stresses at point A, which
is located on the surface of the upper shaft at the z0 axis. (b) Deter-
mine the maximum tensile, compressive, and shear stresses at point
B, which is located on the surface of the shaft at the y0 axis.
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Ex. 6.13.
A placa na figura ao lado está sujeita a um carregamento
aerodinâmico. Deseja-se avaliar a possibilidade de uso de
alumínio 1100 ou aço SAE 1020 para a fabricação do poste,
utilizando uma barra com 100 mm de diâmetro.
(a) Determine as componentes de tensão nos pontos A, B,
C e D, levando em consideração o peso próprio do poste
para cada um os dois materiais e que a placa é fabricada em
alumínio 1100 e tem espessura de 5 mm.
e
(b) Calcule os coeficientes de segurança em todos os pontos
segundo Von Mises para os dois materiais considerados.
Ex. 6.14.
A barra ao lado tem diâmetro de 40 mm. Ela está sujeita
a uma carga de 800 N, conforme mostrado. (a) Calcule as
componentes de tensão nos pontos A e B conforme mos-
trado.
(b) Se o fator de segurança mínimo considerando tanto
Tresca como Von Mises deve ser de 5,0, especifique o ma-
terial mais adequado para a fabricação, de modo que a barra
tenha a menor massa possível.
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Ex. 6.15.
As barras ao lado são fabricadas em aço inoxidável 304.
(a) Apresente as tensões no ponto A da seção a-a para o
diâmetro indicado.
(b) Indique qual deve ser o menor valor do diâmetro para
que o fator de segurança segundo Tresca seja maior que
5,00.
Ex. 6.16.
O motor de 500 kg é suspenso na viga (fabricada
em aço SAE 1020) da figura na posição mostrada.
(a) Determine as tensões nos pontos A e B da se-
ção a-a.
(b) Qual deve ser a altura da seção transversal da
viga se o menor fator de segurança desejado for
igual a 3, considerando apenas a máxima tensão
principal.
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7 Vigas curvas
Ex. 7.1. Pág. 83 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Uma barra retangular curva tem um raio médio r = 150 mm
e uma seção transversal de largura b = 65 mm e altura h = 40
mm (Fig. 4.80). a) Determine a distância e entre o centroide
e a linha neutra da seção transversal. b) Determine os maio-
res tensões de tração e compressão sabendo que o momento
fletor na barra é de 900 N.m.
Ex. 7.2. Problema resolvido 4.11 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Um componente de máquina tem uma seção transversal em
forma de T e está submetida a um carregamento conforme
mostra a figura. Sabendo que a tensão de compressão admis-
sível é de 50 MPa, determine a maior força Pque pode ser
aplicada ao componente.
Ex. 7.3. Exercício 4.160 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
A parte curva da barra mostrada na figura tem um raio interno de 20mm. Sabendo
que a tensão admissível na barra é de 150 MPa, determine a maior distância a
possível da linha de ação da força de 3kN até o plano vertical contendo o centro
de curvatura da barra.
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Ex. 7.4. Exercício 4.161 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
A parte curva da barra mostrada na figura do exercício anterior tem um raio interno de 20mm. Sabendo que a linha de
ação da força de 3kN está localizada a uma distância a = 60mm do plano vertical contendo o centro de curvatura da barra,
determine a maior tensão de compressão na barra.
Ex. 7.5. Exercício 4.163 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
As chapas de ligação de aço com a seção transversal mostrada
na figura estão disponíveis com diferentes ângulos centrais β.
Sabendo que a tensão admissível é de 82,7 MPa, determine a
maior força P que pode ser aplicada a uma chapa de ligação
para a qual β = 90o.
Ex. 7.6. Exemplo 6.25 de Hibbeler, 2004.
A barra curva tem a área da seção transversal mostrada na Figura. Se estiver submetida a momentos fletores de 4 kN.m, qual
será a tensão normal máxima nela desenvolvida?
Solução: σA = 129MPa.
Ex. 7.7. Exercício copiado de Hibbeler, 2010.
Determine o maior valor das forças aplicadas P se a ten-
são de flexão admissível for σadmc = 50 MPa sob com-
pressão e σadmt = 120 MPa sob tração.
Se P = 6 kN, determine as tensões de tração e compres-
são máximas na viga.
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Ex. 7.8. Exercício copiado de Hibbeler, 2010.
Uma barra curva é usada em uma máquina e tem seção transversal retangular. Se a barra estiver sujeita a um
conjugado, como mostra a figura, determine as tensões de tração e compressão máximas que agem na seção a−a.
Trace um rascunho tridimensional da distribuição de tensão na seção.
Ex. 7.9. Exercício copiado de hibeller_2010
A haste de aço tem seção transversal circular. Se cada
uma de suas extremidades for segurada e um conjugado
M = 1, 4N · m for desenvolvido nesses locais, determine
a tensão que age nos pontos A e B e no centróide C.
Solução: σA = 1, 3594 MPa, σB = −0, 9947 MPa , σC =
−0, 0531 MPa.
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Ex. 7.10. Exercício copiado de hibeller_2010
O elemento tem seção transversal elíptica. Se for submetido a um
momento M = 50 N·m, determine a tensão nos pontos A e B. A ten-
são no ponto A’, que está localizado no elemento próximo à parede
é igual à tensão no ponto A? Explique sua resposta.
Se a tensão de flexão admissível for σadm = 125 MPa, determine o
momento máximo M que pode ser aplicado ao elemento.
Solução: σA = 446kPa, σB = 224kPa.
M = 14, 0 kN·m.
Ex. 7.11. Exercício copiado de Hibbeler, 2014.
(a) The curved member is subjected to the internal mo-
ment of M = 50 kN. Determine the percentage error in-
troduced in the computation of maximum bending stress
using the flexure formula for straight members.
(b) The curved member is made from material having an
allowable bending stress of σallow = 100 MPa. Deter-
mine the maximum allowable internal moment M that
can be applied to the member.
Solução: % error = 22,3 %, M = 103 kN·m
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Ex. 7.12. Exercício copiado de Hibbeler, 2014.
(a) If P = 3 kN, determine the bending stress developed
at points A, B and C of the cross section at section a −
a. Using these results, sketch the stress distribution on
section a − a.
(b) If the maximum bending stress at section a − a is
not allowed to exceed σallow = 150 MPa, determine the
maximum allowable force P that can be applied to the
end E.
Solução:
σA = 43, 7 MPa, σB = 7, 77 MPa, σC = 65, 1 MPa,
P = 6, 91 kN
Ex. 7.13. Exercício copiado de Hibbeler, 2014.
The curved bar used on a machine has a rectangular cross
section. If the bar is subjected to a couple as shown,
determine the maximum tensile and compressive stress
acting at section a − a. Sketch the stress distribution on
the section in three dimensions.
Solução: σA = 792 kPa e σB = 1, 02 MPa.
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Ex. 7.14. Exercício copiado de Hibbeler, 2014.
A 100-mm diameter circular rod is bent to S shape. If
it is subjected to applied moments M = 125 N·m at its
ends, determine the maximum tensile and compressive
stress developed in the rod.
Solução: σmax = ±1, 39 MPa
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8 Cilindros de paredes finas
Ex. 8.1.
Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Determine a tensão normal em uma bola de basquete de 300 mm de diâmetro externo e espessura de parede de
3,0 mm que é inflada a uma pressão manométrica de 120 kPa.
Ex. 8.2.
Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Um vaso de pressão esférico, com diâmetro externo de 1,2 m, deve ser fabricado com um um aço que tem
um limite de tensão σL =450 MPa. Sabendo que se deseja um coeficiente de segurança de 4 e que a pressão
manométrica pode alcançar 3 MPa, determine a menor espessura de parede que deve ser usada.
Ex. 8.3.
Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Um tanque de ar comprimido está apoiado em dois berços como mostra a figura; um dos berços foi projetado
de modo que não exerça nenhuma força longitudinal no tanque. O corpo cilíndrivo do tanque tem um diâmetro
externo de 762 mm e é fabricado a partir de uma placa de aço de 9.5mm de espessura por soldagem de topo
ao longo de uma hélice que forma um ângulo de 25o com o plano transversal. As tampas das extremidades são
esféricas e têm uma espessura de parede uniforme de 8,0 mm.
Para uma pressão manométrica interna de 1,2 MPa, determine
(a) a tensão normal e a tensão de cisalhamento máxima nas tampas esféricas e
(b) as tensões em direções perpendiculares e paralelas à soldagem helicoidal.
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Ex. 8.4.
Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
O tanque de armazenagem cilíndrico não pressurizado indi-
cado na figura tem uma parede com espessura de 4,76 mm e
é feito de aço com um limite de resistência de 413,7 MPa na
tração. Determine a altura máxima h com que ele pode ser
preenchido com água quando se deseja um coeficiente de se-
gurança de 4,0. (Peso específico da água é 9,8 kN/m3.)
Ex. 8.5.
Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Para o tanque do problema acima, determine a tensão normal máxima e a tensão de cisalhamento máxima na
parede cilíndrica quando o tanque estiver totalmente cheio (h=14630 mm).
Ex. 8.6. Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Um tanque de ar comprimido AB tem um diâmetro externo de 250
mm e espessura de parede de 8mm. Ele é equipado com um anel
no qual é aplicada uma força P de 40 kN horizontal em B. Sabendo
que a pressão manométrica no tanque é 5MPa, determine a tensão
normal máxima e a tensão de cisalhamento máxima no ponto K.
Ex. 8.7.
Copiado de Hibbeler, 2010
Um vaso de pressão cilíndrico tem um diâmetro interno de 1,2 m e espessura de 12 mm. Determine a pressão
iterna máxima que ele pode suportar de modo que nem a componente de tensão circunferencial nem a de tensão
longitudinal ultrapasse 140 MPa. Sob as mesmas condições, qual é a pressão interna máxima que um vaso esférico
de tamanho semelhante pode sustentar?
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Ex. 8.8.
Copiado de J. M. Gere, 2004
A cylindrical pressure vessel is constructed from a long, narrow steel plate by wrapping the plate around a mandrel
and then welding along the edges of the plate to make a helical joint. The helical weld makes and angle α = 55o
with the longitudinal axis. The vessel is steel with modulus E = 200GPa and Poisson’s ratio ν = 0, 30. The
vessel has inner radius r = 1.8 m and wall thickness t = 20 mm. The material is steel with modulus E = 200 GPa
and Poisson’s ratio ν = 0.30. The internal pressure p is 800 kPa.
Calculate the following quantities for the cylindrical part of the vessel: (a) the circumferential and longitudinal
stresses σ1 and σ2, respectively; (b) the maximum in-plane and out-of-plane shear stresses; (c) the circumfe-
rential and longitudinal strains �1 and �2, respectively; and (d) the normal stress σw and shear stress τw acting
perpendicular and parallel, respectively, to the welded seam.
Ex. 8.9.
Copiado/adaptado de Craig Jr., 2014
Um tanque de propano para churrasqueira, de aço, tem um diâmetro interno de 300
mm e uma espessura de parede de 4 mm. O tanque é pressurizado a 1,5 MPa. (a)
Determine a tensão axial σa e a tensão circunferencial σh no corpo cilíndrico do
tanque. (b) Determine a força de tração por comprimento de solda entre as partes
inferior e superior do tanque. (c) Determine a tensão cisalhante absoluta na parte
cilíndrica do tanque.
Solução: σa = 28, 1 MPa, σh = 56, 2 MPa,
f = 112, kN/m MPa, τmax,abs = 28, 1 MPa.
Ex. 8.10.
Copiado/adaptado de Craig Jr., 2014
A parte cilíndrica de um tanque de ar comprimido é fabricada de uma placa de aço que é soldada ao longo de
um traçado helicoidal que faz um ângulo de α = 65o em relação ao eixo longitudinal do tanque. O diâmetro
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interno do cilindro vale 1000 mm, a espessura da parede é de 20 mm e a pressão interna vale 2 MPa. Determine
os sequintes valores para a parte cilíndrica do tanque: (a) a tensão axial σa e a tensão circunferencial σh, (b) a
tensão normal e a tensão cisalhante nos planos paralelo e perpendicular à solda e (c) a máxima tensão cisalhante
que atua no plano da chapa.
Solução: (a) σa = 25, 0 MPa, σh = 50, 0 MPa,
(b) σn = 29, 5 MPa, σt = 45, 5, 0 MPa, τnt = −9, 58 MPa.
(c) τmax,plano = 12,5 MPa.
Ex. 8.11.
Copiado/adaptado de Craig Jr., 2014
Uma pressão hidráulica p atua em um pistão em A, que por sua
vez, exerce uma força P sobre o objeto em B. A tensão de tração
admissível na parede do cilindro hidráulico é de 100 MPa. Se o
diâmetro interno do cilindro vale di = 125 mm, a espessura de pa-
rede do cilindro vale t = 6mm e o diâmetro do pistão é de dp = 20
mm, determine a força máxima p que pode ser exercida pelo pistão.
(considere a tensão na parede do cilindro é o único fator que limita
o valor de p).
Solução: Pmax = 117, 8 kN
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9 Deflexão de vigas
Ex. 9.1. Exemplo 9.1 de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
A viga em balanço AB tem seção transversal uniforme e suporta
uma força P na sua extremidade livre A. Determine a equação da
linha elástica, a deflexão e a inclinação em A.
Ex. 9.2. Exemplo 9.3 Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010
Para a viga prismática e o carregamento mostrados determine a in-
clinação e a deflexão no ponto D.
Ex. 9.3. Problema resolvido 9.1 Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
A viga de aço biapoiada com balanço ABC suporta uma força
concentrada P na extremidade C. Para a parte AB da viga,
(a) determine a equação da linha elástica e (b) determine a
deflexão máxima e (c) avalie ymax para os seguintes dados:
I = 302 × 106mm4 E = 200GPa
P = 220kN L = 4, 5m a = 1, 2m
Ex. 9.4. Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Para a viga e o carregamento mostrados, determine (a) a equa-
ção da linha elástica e (b) a inclinação na extremidade A, (c) a
deflexão máxima.
Ex. 9.5.
Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a
inclinação e a deflexão ponto B.
Ex. 9.6.
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Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Para a viga uniforme e o carregamento mostrados na figura,determine (a) a reação em cada apoio e (b) a inclinação na
extremidade A.
Ex. 9.7.
Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Para a viga uniforme e o carregamento mostrados na figura, as
reações no engastamento fixo C.
Ex. 9.8.
Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
A viga BD está apoiada sobre a viga em balanço AE, como
mostra a figura. Sabendo que é utilizada uma barra quadrada
com 19,05 mm de lado para cada viga, determine para o car-
regamento mostrado (a) a deflexão no ponto C e (b) a deflexão
no ponto E. Use E = 200 GPa.
Ex. 9.9.
Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Antes de ser aplicada a força uniformemente distribuída w,
existe uma folga δ0=1,2 mm entre as extremidades das vigas
em balanço AB e CD. Sabendo que E105GPa e w = 30kN/m,
determine (a) a reação em A e (b) a reação em D.
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Ex. 9.10.
Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
A viga em balanço BC está presa ao cabo de aço AB, con-
forme mostra a figura. Sabendo que o cabo está inicialmente
esticado, determine a força de tração no cabo provocada pela
força mostrada distribuída na figura. Use E = 200GPa.
Ex. 9.11.
Copiado de Hibbeler, 2010.
Determine a deflexão e inclinação da extremidade A da viga
em balanço. Considere E = 200GPa e I = 65 × 106mm4.
Ex. 9.12. Copiado de Hibbeler, 2010.
Determine as equações da linha elástica para a viga utilizando
x1 e x2 como coordenadas. Especifique a máxima deflexão.
Considere EI constante.
Ex. 9.13. Copiado de Hibbeler, 2010.
A viga é feita de duas hastes e está sujeita à carga concentrada
P. Determine a deflexão máxima da viga, se os momentos de
inércia das hastes forem IAB e IBC e o módulo de elasticidade
for E.
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Ex. 9.14. Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek,
2010.
Para a viga uniforme mostrada, determine (a) a reação em A e
(b) as reações em B.
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10 Flambagem
Ex. 10.1. -10p11Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
(a) Sabendo que a mola de torção em B tem uma constante K e que a barra AB é rígida, determine a força crítica
Pcr.
(b) Sabendo que a mola em A tem uma constante k e que a barra AB é rígida determine aforça crítica Pcr.
(c) Duas barras rígidas AC e BC são conectadas, conforme mostra a figura, a uma mola de constante K. Sabendo
que a mola pode atuar tanto em tração como em compressão, determine a força crítica Pcr para o sistema.
Ex. 10.2.
Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
(a) Determine a dimensão d para a qual as escoras de alumínio e
de aço terão o mesmo peso e calcule para ambas o valor da carga
crítica.
(b) Determine a carga crítica para a escora de aço e a dimensão d
para a qual ambas escoras tem a mesma carga crítica e expresse em
termos de porcentagem o peso da escora de alumínio em relação à
escora de aço.
Ex. 10.3. Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Determine a carga crítica para um régua de madeira cuja seção transversal retangular tem 7 x 24 mm.
Use E = 12 GPa.
Ex. 10.4.
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Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Determine a carga crítica para um tarugo de madeira redondo de 0,9 m de comprimento e diâmetro de (a) 10mm
e (b) 15 mm.
Use E = 12 GPa.
Ex. 10.5.
Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Uma coluna de alumínio de comprimento L e seção transversal re-
tangular tem uma extremidade engastada B e suporta uma força cen-
trada em A. Duas placas lisas e de lados arredondados impedem a
extremidade A de se mover em um dos planos verticais de simetria
da coluna, mas permitem o movimento no outro plano. (a) Deter-
mine a relação a/b dos dois lados da seção transversal correspon-
dendo ao projeto mais eficiente contra a flambagem . (b) Determine
a seção transversal mais eficiente para a coluna sabendo que - L =
500 mm,
- E = 70 Gpa,
- P = 22kN, e que o coeficiente de segurança adotado é 2,5.
Ex. 10.6.
Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Uma elemento comprimido com comprimento de flambagem de
1,5m consiste em uma barra de seção cheia, de latão, com 30 mm
de diâmetro. Para reduzir o peso do elemento em 25%, a barra de
seção cheia é substituída por uma barra de seção vazada como a se-
ção transversal mostrada. Determine (a) a porcentagem de redução
na força crítica e (b) o valor da força crítica para a barra de seção
vazada.
Use E = 105 Gpa.
Ex. 10.7.
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Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Sabendo que é adotado um coeficiente de segurança de 2,6, deter-
mine a maior força P que pode ser aplicada à estrutura mostrada.
Use E = 200GPa e considere a flambagem somente no plano da
estrutura.
Ex. 10.8.
Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
A coluna AB suporta uma força centrada P de intensidade de 66
kN. Os cabos BC e BD estão esticados e impedem o movimento do
ponto B no plano xz. Usando a fórmula de Euler e um coeficiente
de segurança de 2,2, e desprezando a tração nos cabos, determine o
comprimento L máximo admissível. Use E = 200GPa.
Ex. 10.9.
Copiado de Beer, Jonhston Jr., DeWolf e Mazurek, 2010.
Usando a liga de alumínio 2014-T6, determine a barra de menor
diâmetro que pode ser usada para suportar a força centrada P =
60kN se (a) L = 750mm e (b) L = 300mm.
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DEM-1003- Mecânica dos Sólidos I 2o Semestre de 2018
Lista de Exercícios Propostos 15 de agosto de 2018
11 Referências
[1] F. P. Beer, E. R. Jonhston Jr., J. T. DeWolf e D. F. Mazurek. Mecânica dos Materiais. 5a. ArtMed, 2010.
[2] R. R. Craig Jr. Mecânica dos Materiai. LTC, 2014.
[3] J. M. Gere. Mechanics of Materials. Thomson Learning, 2004.
[4] R. C. Hibbeler. Mechanics of Materials. 9th. Prentice Hall, 2014.
[5] R. C. Hibbeler. Resistência dos Materiais. São Paulo: Prentice Hall, 2004.
[6] R. C. Hibbeler. Resistência dos Materiais. 7a. São Paulo: Prentice Hall, 2010.
[7] J. Masuero e G. J. Creus. Introdução à Mecânica Estrutural. 1a. Porto Alegre: Editora da Universidade,
1997, p. 304.
[8] S. P. Timoshenko e J. E. Gere. Mecânica dos Sólidos. LTC Livros Técnicos e Científicos, 1994. ISBN: 85-
216-0247-2.
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	Capa 
	1 Carga axial e tensão normal
	2 Deformações e tensões térmicas
	3 Torção
	4 Vigas
	5 Flexão oblíqua e cargas fora do centro em vigas
	6 Estado de tensões e combinação de carregamentos
	7 Vigas curvas
	8 Cilindros de paredes finas
	9 Deflexão de vigas
	10 Flambagem
	11 Referências