Est_Bas_Cap08_Medidas_Tendencia_Central

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8
Medidas de Posição:
Medidas de Tendência Central
Medidas de uma distribuição (em função de suas tendências caracterís-
ticas) :
• medidas de posição;
• medidas de variabilidade ou dispersão;
• medidas de assimetria;
• medidas de curtose.
Das medidas de uma distribuição, fazemos um estudo inicial sobre as medi-
das de tendência central, também chamadas de promédios.
Medidas de posição de tendência central: {média aritmética
( êdi ) modaou prome 10S mediana
Medidas de tendência central: esta denominação ocorre porque os da-
dos observados tendem a agrupar-se em torno dos valores centrais da distribui-
ção. Outros promédios menos utilizados são a média geométrica, média harmônica,
média quadrática, média cúbica, e biquadrática.
104 ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CURSO DE TURISMO
8.1 MÉDIAARITMÉTICA(X)
Para o cálculo da média aritmética (X), devemos levar em conta o agrupa-
mento ou não dos dados.
• dados não agrupados;
• dados agrupados (sem intervalo de classe e com intervalo de classe).
Notação de média aritmética: X (lê-se: "X traço" ou "Xbarra").
8.1.1 Média aritmética de dados não agrupados: média
aritmética simples
Em turismo, utilizamos a média aritmética de dados não agrupados quando
os valores que compõem a série estatística tendem a ser homogêneos, isso signifi-
ca que não existem valores muito grandes ou muito pequenos na série.
A média de dados não agrupados é realizada por meio da média aritmética
simples.
Média aritmética simples (X): é calculada por meio da divisão entre a
soma dos valores pelo número total de valores.
nLXi
X-- i=1---
n
EXEMPLO 8.1
Suponha que os lucros de uma agência de viagem durante o primeiro semes-
tre do ano tenham sido de acordo com a Tabela 8.1. Determine o valor da média
aritmética dos lucros nesse período.
Tabela 8.1 Lucros de uma agência de viagens durante o primeiro semestre.
Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho
R$ 14.900,00 R$ 15.500,00 R$ 13.400,00 R$ 13.100,00 R$ 14.200,00 R$ 15.300,00
A média dos lucros no semestre é:
MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 105
x = 14.900,00+15.500,00 +13.400,00 +13.100,00 +14.200,00 +15.300,00
6
X = R$ 14.400,00
o valor resultante do cálculo da média aritmética não precisa, necessaria-
mente, pertencer à série. Observe que R$ 14.400,00 não pertence ao grupo de va-
lores que constituem a série.
Interpretação do valor médio: considerando o lucro total obtido no semes-
tre, o valor médio corresponde ao lucro total dividido em seis partes iguais, ou
seja, é como se o lucro fosse constante ao longo dos meses que constituem o se-
mestre.
Desvio em relação à média (di): o desvio em relação à média é a dife-
rença entre um valor da série e o valor médio. O desvio mede o afastamento do
valor da série em relação ao valor médio.
d· =X-XI I
No exemplo 8.1, o valor médio éX = R$ 14.400,00, e o cálculo do desvio de
cada valor em relação ao valor médio é:
di = x, -14.400,00
d1 = 14.900,00 -14.400,00 = 500,00
d2 = 15.500,00 -14.400,00 = 1.100,00
d3 = 13.400,00 - 14.400,00 = -1.000,00
d4 = 13.100,00 -14.400,00 = -1.300,00
ds = 14.200,00 - 14.400,00 = -200,00
d6 = 15.300,00 - 14.400,00 = 900,00
No exemplo 8.1, ao organizar os valores em ordem decrescente, obtemos:
15.500,00 15.300,00 14.900,00 14.400,00 14.200,00 13.400,00 13.100,00
Propriedade do desvio em relação à média: a soma de todos os des-
vios em relação ao valor médio é igual a ZERO.
No exemplo 8.1, o desvio em relação à média é:
106 ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CURSO DE TURISMO
6L di = (500,00) + (1.100,00) + (900,00) + (-1.000,00) + (-1.300,00) + (-200,00) = O
i=!
EXERCíCIOS
1. Durante uma semana, o número de visitantes diários numa exposição de ar-
tes foi de 126, 103, 108, 142, 107, 114 e 126. Calcule a média aritmética e os
desvios em relação à média.
2. O número de passageiros diários de uma empresa aérea, durante um período
de 10 dias, foi de 450,389,428,425,396,439,404,442,399,461. Calcule a
média aritmética e os desvios em relação à média.
8.1.2 Média aritmética de dados agrupados sem
intervalos de classe: média aritmética ponderada
Média aritmética ponderada: a média aritmética para dados agrupa-
dos processa-se por meio do cálculo da média aritmética ponderada. É uma média
aritmética em que cada valor se encontra ponderado. Nesse caso a ponderação é
caracterizada pelo número de repetições de cada valor, ou mais especificamente,
pela freqüência. A média ponderada é obtida pelo quociente entre a somatória
dos produtos de cada variável pelo respectivo peso (freqüência) e a somatória dos
pesos (somatória das freqüências).
EXEMPLO 8.2
Numa pesquisa realizada por uma empresa de turismo, foram entrevistadas
120 famílias que expressaram sua opinião em relação ao número de quartos que
devem existir nos chalés:
MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 107
Tabela 8.2 Número de quartos dos chalés (escolha de 120 jamilias).
1
2
3
4
27
44
33
16
Nº de quartos Freqüência
A média ponderada:
X =lx27+2x44+3x33+4x16 =278 =23 ~ x= 2,3 quartos
27 +44 +33 +16 120'
x = 2,3 quartos significa que a média ponderada corresponde a 2,3 quartos.
Como deve ser interpretado esse resultado?
É lógico que não pode ser construído um chalé com dois quartos mais 1/3 de
quarto. Nessa situação considera-se a aproximação do resultado 2,3 para 2,0
(dois). A interpretação do resultado é que a preferência das famílias tende para
chalés com dois dormitórios.
EXERCíCIO
3. Considere as seguintes tabelas e calcule para cada uma a média aritmética
ponderada.
a)
Tabela 8.3 Distribuição de freqüência.
x, Freqüência f;Xi
O 6 O
1 12 12
2 9 18
3 15 45
4 13 52
5 8 40
6 5 30
n = L f; = 68 L f;Xj= 197
108 ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CURSO DE TURISMO
b)
Tabela 8.4 Distribuição de freqüência.
x, Freqüência f;Xi
2 8
4 9
6 11
8 14
10 9
12 12
14 7
n=I.f;= I. f; X, =
8.1.3 Média aritmética de dados agrupados com
intervalos de classe: média aritmética ponderada
Quando as séries envolvem dados agrupados em intervalos fechados no ex-
tremo superior e inferior, é conveniente aplicar a média aritmética. Caso a série
seja aberta nos extremos, é mais conveniente o cálculo por meio da mediana,
como veremos adiante.
Obs.: para efeito de cálculo da média aritmética de dados agrupados, conven-
cionamos que todos os valores pertencentes a um intervalo de classe coin-
cidem com seu ponto médio.
Feita a consideração anterior, recaímos num cálculo análogo ao anterior (da
média aritmética de dados agrupados sem intervalo), cujo cálculo da média cor-
responde à média aritmética ponderada.
Amédia aritmética de dados agrupados com intervalo de classe é obtida pela
somatória do produto do ponto médio de cada intervalo de classe pelo respectivo
peso dividida pela somatória dos pesos.
MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 109
sendo:
Xi = ponto médio do intervalo de classe
h = freqüência da classe
EXEMPLO 8.3
Num acampamento infantil, foram obtidas as seguintes estaturas:
Tabela 8.5 Distribuição de estaturas de um acampamento infantil.
; Estaturas (em) Freqüência
1 120 f- 128 6
2 128 f- 136 12
3 136 f- 144 16
4 144 f- 152 13
5 152 f- 160 7
n = L f; = 54
Para facilitar o cálculo da média aritmética de dados agrupados com interva-
lo de classe, reescrevemos a Tabela 8.5 e incluímos uma coluna para o ponto mé-
dio de cada intervalo de classe (xD, e outra coluna para o produto entre o ponto
médio do intervalo de classe e a freqüência (Xi . h) :
Tabela 8.6 Distribuição de estaturas de um acampamento infantil.
; Estaturas f; Ponto médio Xi· f;(em) (X)
1 120 f- 129 6 124,5 747,0
2 129 f- 138 12 133,5 1.602,0
3 138 f- 147 16 142,5 2.280,0
4 147 f- 156 13 151,5 1.969,5
5 156 f- 165 7 160,5 1.123,5
n = L f; = 54 L Xi· f; = 7.722,0
Cálculo da média:
- "LX .1,. 7 722 -X = __ 1_1 =_. - =143 em -----+ X = 143 em
"L fi 54
110 ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CURSO DE TURISMO
EXERCÍCIO
4. Considere as tabelas a seguir e, em cada uma delas, preencha as colunas em
branco e posteriormente calcule a média aritmética ponderada.
a)
Tabela 8.7 Distribuiçãode freqüência.
i Peso (kg) Xi f; Xi" f;
1 44 r- 50 3
2 50 r- 56 7
3 56 r- 62 10
4 62 r- 68 12
5 68 r- 74 15
6 74 r- 80 13
7 80 r- 86 8
8 86 r- 92 2
n=Lf;= LXi" f; =
b)
Tabela 8.8 Distribuição de freqüência.
i Classe xi f; Xi" f;
1 40 r- 58 4
2 58 r- 76 7
3 76 r- 94 11
4 94 r- 112 13
5 112 r- 130 15
6 130 r- 148 14
7 148 r- 166 9
8 166 r- 184 2
n=Lf;~ LXi" f; =
MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 111
8.1.4 Cálculo da média aritmética pelo processo breve
Esse processo deve ser usado quando as distribuições apresentam a mesma
amplitude (amplitude constante), para todos os intervalos de classe.
Caso seja urna distribuição sem intervalos de classe, esse processo pode ser
utilizado, desde que se faça h = 1.
a cálculo da média aritmética pelo processo breve envolve urna mudança de
variável de x paray, sendo:
x -xoY, = I h
Xi = é o ponto médio do intervalo de classe
h = é a amplitude do intervalo de classe
Xo = é urna constante arbitrária, em geral se escolhe o ponto médio da
classe de maior freqüência.
X - (LyJJ·h= Xo +-~'-'--t.],
ExEMPLO 8.4
Para exemplificar o cálculo da média aritmética pelo processo breve, será le-
vado em conta a Tabela 8.5 e será incluída urna coluna para o ponto médio de
cada intervalo de classe (Xi)'
Tabela 8.9 Distribuição de estaturas de um acampamento infantil.
i Estaturas (em) f; Xi
1 120 f- 129 6 124,5
2 129 f- 138 12 133,5
3 138 f- 147 16 142,5
4 147 f- 156 13 151,5
5 156 f- 165 7 160,5
L= 54
Determinação de xo: é o valor de Xi que corresponde ao maior número de re-
petições (maior freqüência).
112 ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CURSO DE TURISMO
Xa = 142,5
Amplitude do intervalo de classe: h = 9
Determinação do Yi: Yl = 124,5 -142,5 = -18 =-2
9 9
Y2 = 133,5 -142,5 = -9 =-1
9 9
Y3 = 142,5 -142,5 = Q =0
9 9
Y4 = 151,5 -142,5 = 2. =1
9 9
Ys = 160,5 -142,5 = 18 = 2
9 9
Tabela 8.10 Distribuição de estaturas de um acampamento infantil.
i Estaturas f; Xi ri Xi o f;(em)
1 120 f- 129 6 124,5 -2 -12
2 129 f- 138 12 133,5 -1 -12
3 138 f- 147 16 142,5 O O
4 147 f- 156 13 151,5 1 13
5 156 o f- 165 7 160,5 2 14
Xo = 142,5 L = 54 L=3
Da tabela acima, observamos os valores:
Xa = 142,5 h=9
Substituímos esses valores na fórmula para o cálculo do valor médio pelo
processo breve e obtemos:
x = x + CLyJJoh =1425 + 3x9 =1425 +0 5 =143 0=143
a L fi ' 54 " ,
o valor médio obtido pelo processo breve é 143 em.
MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 113
EXERCíCIO
5. Considere as Tabelas 8.11 e 8.12 e, em cada uma delas, preencha as colu-
nas em branco e posteriormente calcule a média aritmética pelo processo
breve.
a)
Tabela 8.11 Distribuição de freqüência.
; Classes f; Xi ri Xi' f;
1 135 f- 145 8
2 145 f- 155 13
3 155 f- 165 31
4 165 f- 175 24
5 175 f-185 17
6 185 f- 195 7
- 2:= 2:=Xo =
b)
Tabela 8.12 Distribuição de freqüência.
; Classes f; Xi ri Xi' f;
1 491 f- 499 5
2 499 f- 507 11
3 507 f- 515 19
4 515 f- 523 22
5 523 f- 531 12
- 2:= 2:=Xo =
8.2 MODA (Mo)
Moda: é o valor que ocorre com maior freqüência nos dados obtidos numa
coleta (esse valor é denominado ''valor modal").
114 ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CURSO DE TURISMO
8.2.1 Cálculo da moda para dados não agrupados
Numa série estatística em que os dados não são agrupados, o valor modal
corresponde ao valor com o maior número de repetições.
Séries modais (ou unimodais): são séries onde ocorre um único valor
modal.
Exemplo de série unimodal. Considere a série de dados a seguir:
3,4,4,5,6, ~8,9,9,9, 1~ 11, 12, 13
o valor com maior número de repetições é Mo = 9, nove é o valor modal
Séries amodais: são séries onde não existe moda, ou seja, são séries em
que não ocorre maior número de repetições para nenhum de seus valores.
Exemplo de série amodal.
20,30,40,50,60,70,80,90
É série amodal, pois não há repetição de nenhum dos valores.
Séries com mais de um valor modal (séries multimodais): são sé-
ries em que ocorre mais do que um valor com maior número de repetições.
Exemplo de série multimodal, suponha os valores da série de dados abaixo:
2,4,6,8,8, 8, 10, 12, 12, 12, 14, 16, 18,20
Observamos dois valores com grande número de repetições; isso caracteriza
que se trata de uma série bimodal. Os valores da moda são:
Mal = 8 e Mo2 = 12 (bimodal)
8.2.2 Cálculo da moda para dados agrupados sem
intervalos de classe
Após o agrupamento dos valores, fica fácil a determinação do valor modal,
pois esse corresponde ao valor de maior freqüência.
EXEMPLO 8.5
Observe os valores da Tabela 8.13 e calcule a moda:
MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 115
Tabela 8.13 Distribuição de freqüência.
X Freqüência
25 5
30 35
35 12
40 29
45 18
o valor modal é o 30, pois esse valor caracteriza o maior número de repeti-
ções (j = 35).
EXEMPLO 8.6
Calcule a moda da distribuição da Tabela 8.14.
Tabela 8.14 Distribuição de freqüência.
X Freqüência
25 2
30 2
35 2
40 2
45 2
Essa série é amodal (não apresenta moda).
EXEMPLO 8.7
Suponha a série da Tabela 8.15 e calcule a moda:
Tabela 8.15 Distribuição de freqüência.
X Freqüência
25 3
30 8
35 6
40 8
45 5
116 ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CURSO DE TURISMO
Essa série é bimodal (apresenta duas modas): 30 e 40.
8.2.3 Cálculo da moda para dados agrupados com
intervalos de classe
Após o agrupamento da série em classes, a classe modal corresponde à classe
que apresenta a maior freqüência.
O cálculo do valor modal é feito por meio da fórmula de Czuber:
sendo:
lM = limite inferior da classe modal
o
dI = diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência (sim-
ples) da classe anterior à classe modal
d2 = diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência (sim-
ples) da classe posterior à classe modal
hM = amplitude da classe modalo
onde:
fM = freqüência da classe modal
o
fCMo- 1) = freqüência da classe anterior à classe modal
fCMo+l) = freqüência da classe posterior à classe modal
EXEMPLO 8.8
Para exemplificar o cálculo da moda para dados agrupados com intervalos
de classe, foram considerados os valores da Tabela 8.5.
MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 117
Tabela 8.5 Distribuição de estaturas de um acampamento infantil.
i Estaturas Freqüência(em)
1 120 f- 128 6
2 128 f- 136 12
3 136 f- 144 16
4 144 f- 152 13
5 152 f- 160 7
n = L ~= 54
A classe modal corresponde à classe que apresenta a maior freqüência, no
exemplo o maior valor de freqüência é 16, e essa freqüência corresponde à tercei-
ra classe.
A classe modal é a terceira classe.
fM = 16 (freqüência da classe modal)
o
fCMo- 1) = 12 (freqüência da classe anterior à classe modal)
fCMo+ 1) = 13 (freqüência da classe posterior à classe modal)
d, = fMo - fCMo- 1) = 16 -12 = 4 (diferença entre a classe moda! e a freqüên-
cia da classe anterior à classe modal)
dI = f Mo - fCMo+ 1) = 16 -13 = 3 (diferença entre a classe moda! e a freqüên-
cia da classe posterior à classe modal)
lM = 136 (limite inferior da classe modal)
o
hM = 8 (amplitude da classe modal)o
Mo=lM +[ dI j.hM =136+(_4 ).8=136+(4).8=
o dI + d2 o 4 +3 7
136 +0,571· 8 +136 + 4,57 = 140,57
Mo = 140,57 em
Moda bruta: é o valor do ponto médio da classe modal. No exemplo
apresentado, os extremos da classe modal são 136 e 144, o ponto médio é
136 +144 ,---- =140 em, portanto a moda bruta e 140 cm.
2
Utilização da moda:
• para medidas rápidas e aproximadas de posição;
118 ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CURSO DE TURISMO
• para medidas de posição que caracterizam a distribuição (ou seja, a me-
dida de posição é o valor mais típico da distribuição).
8.2.4 Representação gráfica da moda
..
••.. x
Curva amodal
f
f
M.
Curva bimodal
Curva modal
f
Curva trimodal
Figura 8.1 Representação gráfica da moda.
EXERCíCIOS
6. Calcule o valor da moda das séries a seguir:
a) 23,25,25,27,29,29,31,33,33,33,35,37.
b) 19,24,26,29,29,29,33,38,38,39,39,39,41,45,49.
c) 45,49,54,56,60,64,67,72.
7. Calcule o valor da moda nas distribuições de freqüência das seguintes ta-
belas:
MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 119
a)
Tabela 8.16 Distribuição de freqüência.X Freqüência
120 15
130 32
140 22
150 39
160 26
b)
Tabela 8.17 Distribuição de freqüência.
X Freqüência
37 8
40 12
43 9
46 12
49 5
51 7
c)
Tabela 8.18 Distribuição de freqüência.
x
3
6
2
2
Freqüência
121-16
16 I- 20
20 I- 24
24 I- 28
120 ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CURSO DE TURISMO
d)
Tabela 8.19 Distribuição de freqüência.
x
5
7
8
6
6
Freqüência
100 f- 110
110 f- 120
120 f- 130
130 f- 140
140 f- 150
8.3 MEDIANA(Md)
A mediana é uma medida de posição, é uma separatriz, pois divide o conjun-
to em duas partes iguais, com o mesmo número de elementos.
O valor da mediana encontra-se no centro da série estatística organizada, de
tal forma que o número de elementos situados antes desse valor (mediana) é igual
ao número de elementos que se encontram após esse mesmo valor (mediana).
A mediana é conveniente para séries estatísticas onde existem valores extre-
mos, em que valores grandes e pequenos coexistem dentro da mesma série, ou
ainda, nos casos em que a série seja aberta nos extremos. Para esses casos a me-
diana caracteriza o promédio mais confiável. Em turismo, é comum trabalhar-se
com esse tipo de série, principalmente no estudo do gasto turístico.
EXEMPLO 8.9
Considere um conjunto de valores de uma série estatística, organizados se-
gundo um critério de grandeza.
2,3,4,6,8,9,11,12,13,15,17.
O valor da mediana divide a série em dois conjuntos com a mesma quanti-
dade de elem.rntos:
2, 3, 4, 6, 8, [2J, 11, 12, 13, 15, 17
••
Md = 9 (existem cinco elementos antes e cinco
elementos depois da mediana)
MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 121
8.3.1 Cálculo da mediana para dados não agrupados
Para uma série com número ímpar de termos: a mediana corres-
ponde ao valor central, esse valor apresenta o mesmo número de termos localiza-
dos a sua esquerda e a sua direita.
Exemplo: 1,2,3,4,8,10,11,12,13,15,16,18,20
Para uma série com número par de termos: não há termo central
único, e sim dois termos centrais. Convencionamos que a mediana seja a média
aritmética entre os dois termos centrais; nesse caso, a mediana é um valor que
não pertence à série e está localizada entre os dois termos centrais.
Exemplo: 1,2,3,4,6, 7,9, 11, 12, 13, 15, 16 Md = média aritmética entre
7e9
7+9Md =--=8
2
De forma simplificada: devemos calcular a mediana de uma série de n ter-
mos levando em conta o fato de n ser par ou ímpar.
) , di d d n +1a para n unpar, a me iana sera o termo e or em:--
2
b) para n par, a mediana será a média aritmética entre os termos de or-
dem: (~)e (~+1)
8.3.2 Cálculo da mediana para dados agrupados sem
intervalos de classe
Para o cálculo da mediana de dados agrupados sem intervalos de classe, de-
vemos obter em primeiro lugar a localização da mediana na série (por meio do
termo de ordem).
A mediana corresponde ao termo da ordem calculada pela expressão L/;.
n
Uma vez localizada a posição da mediana, devemos verificar o valor numéri-
co da variável correspondente a essa posição.
122 ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CURSO DE TURISMO
EXEMPLO 8.10
o cálculo da mediana para dados agrupados sem intervalos de classe está
exemplificado no exemplo 8.2, acrescentando-se à Tabela 8.2 uma coluna que
contém os valores da freqüência acumulada.
Tabela 8.20 Número de quartos dos chalés (escolha de 120 familias),
1
2
3
4
27
44
33
16
27
71
104
120
Nº de quartos Freqüência (f) Freqüência acumulada (F)
Localização da mediana (termo da ordem à qual a mediana corresponde):
1: fi 120 60 ( d ' . da sé . )- = - = correspon e ao sexageslmo termo a sene2 2
Ao observarmos a coluna de freqüência acumulada, o sexagésimo termo en-
contra-se na segunda classe. A segunda classe contém os termos após a vigésima
sétima ordem (27.a) até a septuagésima primeira ordem (71ª). O termo da sexagé-
sima (60.a)ordem encontra-se nesse intervalo.
Verificamos que essa ordem corresponde ao valor da variável dois quartos, e
pode-se afirmar que a mediana dessa série é dois quartos.
Md = 2 quartos.
Obs.: caso aconteça de 1: fi coincidir com uma freqüência acumulada, a suges-
2
tão é que se faça o cálculo da mediana por meio da média aritmética entre
o valor da variável correspondente à freqüência acumulada e o valor da va-
riável correspondente a uma ordem acima.
Md = (XJ+(Xi +1) = Xi +Xi +1
2 2
Suponha que no exemplo 8.10 fossem permutados os valores das freqüên-
cias da segunda e da terceira classe (veja Tabela 8.21).
MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 123
Tabela 8.21 Número de quartos dos chalés (escolha de 120 [amilias).
1
2
3
4
27
33
44
16
27
60
104
120
NQ de quartos Freqüência (f) Freqüência acumulada (Fi)
L 1· - d d' r. fi 120 60 ( d ' ..oca lzaçao a me lana: - = -- = correspon e ao sexageslmo termo
2 2
da série).
O sexagésimo termo da série corresponde à freqüência acumulada da segun-
da classe. O valor da variável da segunda classe é dois, o valor da variável uma or-
dem acima é três.
Cálculo da mediana: Md = 2 +3 = 2,5
2
Observamos que o valor da mediana pode ou não coincidir com o valor da série.
O que se pode concluir sobre o resultado Md = 2,5?
Concluímos que a mediana dividiu a série, em que opinaram 120 famílias,
em duas partes iguais. A primeira parte significa que 60 famílias opinaram que os
chalés devem ter menos de 2,5 quartos (menos que 2,5 quartos significa 2 ou 1), a
segunda parte indica que 60 famílias preferem mais de 2,5 quartos (mais que 2,5
quartos significa 3 ou 4).
8.3.3 Cálculo da mediana para dados agrupados com
intervalos de classe
A mediana corresponde ao termo que divide a série em duas partes iguais.
Determinamos primeiro a classe que contém o valor mediano, a identificação é
feita por meio do termo da ordem calculada pela expressão r. fi . Esse termo está
ti
localizado numa classe que recebe o nome de classe mediana.
Localizada a classe mediana, ainda resta verificar qual o ponto, dentro do in-
tervalo dessa classe, que corresponde à mediana. Isso pode ser resolvido por in-
terpolação.
Cálculo do valor da mediana pertencente ao intervalo da classe mediana:
124 ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CURSO DE TURISMO
Sendo:
IMd = limite inferior da classe mediana
Fant = freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana
hMd = amplitude do intervalo de classe mediana
fMd = freqüência (simples) da classe mediana
EXEMPLO 8.11
Será retomada a Tabela 8.5 para que se calcule a mediana para dados agru-
pados com intervalos de classe, e será acrescentada uma coluna com os valores da
freqüência acumulada.
Tabela 8.22 Distribuição de estaturas de um acampamento infantil.
i Estaturas Freqüência (f;) Freqüência(em) acumulada (fi)
1 120 r- 128 6 6
2 128 r- 136 12 18
3 136 r- 144 16 34
4 144 r- 152 13 47
5 152 r- 160 7 54
L= 54
Obtenção da classe mediana: L fi = 54 = 27
2 2
A mediana corresponde ao vigésimo sétimo termo.
Observando a coluna de freqüência acumulada, verificamos que o vigésimo
sétimo termo pertence à terceira classe. A freqüência acumulada da terceira clas-
se abrange do 19º ao 34º termo.
A classe mediana é a terceira classe.
Após a determinação da classe mediana, ainda resta verificar qual o valor
numérico da mediana.
MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 125
IMd = 136 (limite inferior da classe mediana)
Fane = 18 (freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana)
fMd = 16 (freqüência da classe mediana)
hMd = 8 (amplitude do intervalo de classe mediana)
[
r. fi -F ] [54 -18]_ 2 ant _ 2 _
Md-1M + ·hM -136+ ·8-
d f d 16
Md
136 +[271~18]-8 =136 +[:6]-8
Md = 136 + 0,5625 .8 = 136 + 4,5 = 140,5
Md = 140,5 em
O valor da mediana de 140,5em (que é uma separatriz) significaque metade das
criançastem altura inferior a 140,5em e a outra metade tem altura superior a esse valor.
EXERCíCIOS
8. Dadas as séries, calcule para cada uma delas o valor da mediana.
a) 11,15,16,18,22,23,26,28,13,33,37.
b) 19,24,26,29,29,29,33,38,38,39,39,39,41,45,49.
c) 23,25,25,27,29,29,31,33,33,33,35,37.
d) 45, 49, 54,56,60,64,67, 72.
e) 17,22,26,28,31,37,40,46,52,58,63,64,72.
f) 28,36,41,49, 54, 65, 72,88.9. Complete a tabela e calcule a mediana para os dados agrupados sem interva-
los de classe.
a)
Tabela 8.23 Distribuição de freqüência.
; X Freqüência (f) Fi
1 120 15
2 130 32
3 140 22
4 150 39
5 160 26
126 ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CURSO DE TURISMO
b)
Tabela 8.24 Distribuição de freqüência.
i X f; Fi
1 37 8
2 40 12
3 43 9
4 46 12
5 49 5
6 51 7
10. Complete a tabela e calcule a mediana para os dados agrupados com interva-
los de classe.
a)
Tabela 8.25 Distribuição de freqüência.
i X f; Fi
12f-16 3
16 f- 20 6
20 f- 24 2
24 f- 28 2
b)
Tabela 8.26 Distribuição de freqüência.
i X f; Fi
1 100 f- 110 5
2 110 f- 120 7
3 120 f- 130 8
4 130 f- 140 6
5 140 f- 150 6
11. Calcule a mediana, a média aritmética e a moda para os dados agrupados
com intervalos de classe.
MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 127
a)
Tabela 8.27 Distribuição do peso de um grupo de turistas.
; Peso (kg) Xi f; Xi' f; fi
1 42 f--- 50 1
2 50 f--- 58 7
3 58 f--- 66 10
4 66 f--- 74 12
5 74 f--- 82 15
6 82 f--- 90 13
7 90 f--- 98 8
8 98 f--- 106 2
n='L.f;= 'L. Xi' f; =
b)
Tabela 8.28 Distribuição da idade dos passageiros do vôo de um avião.
; Idade Xi f; Xi' f; fi
1 of--- 6 3 5
2 6 f--- 12 9 8
3 12 f--- 18 15 10
4 18 f--- 24 21 14
5 24 f--- 30 27 18
6 30 f--- 36 33 21
7 36 f--- 42 39 20
8 42 f--- 48 45 15
9 48 f--- 54 51 7
10 54 f--- 60 57 6
n='L.f;= 'L. Xi' f; =
128 ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CURSO DE TURISMO
c)
Tabela 8.29 Distribuição dos salários dos funcionários de uma empresa de turismo.
i Salários xi f; Xi' f; Fi(em reais)
1 500 f- 600 3
2 600 f-- 700 5
3 700 f- 800 8 i,
4 800 f- 900 11 '\
5 900 f-- 1.000 15
6 1.000 f- 1.1 00 10
7 1.100 f-- 1.200 6
8 1.200 f- 1.300 3
n='Lf;= 'L Xi' f;=
RESPOSTAS DO CAPÍTULO 8
1. 118; +8; -15; -10; +24; -11; - 4; +8.
2. 423,3; +26,7; +34,3; +4,7; + 1,7; -27,3; 15,7; -19,3; + 18,7; -24,3; +37,7.
3. a)
x, Freqüência {;Xi
O 6 O
1 12 12
2 9 18
3 15 45
4 13 52
5 8 40
6 5 30
n = 'L f; = 68 'L f; Xi = 197
MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 129
b)
x, Freqüência (;Xi
2 8 16
4 9 36
6 11 66
8 14 112
10 9 90
12 12 144
14 7 98
n= L f;= 70 L f; xi= 562
4. a)
i Peso (kg) xi f; Xi· f;
1 44 f--- 50 47 3 141
2 50 f--- 56 53 7 371
3 56 f--- 62 59 10 590
4 62 f--- 68 65 12 780
5 68 f--- 74 71 15 1.065
6 74 f--- 80 77 13 1.001
7 80 f--- 86 83 8 664
8 86 f--- 92 89 2 178
n = L f; = 70 L Xi· f; = 4.790
X ='LXJi =6843 kg
'L fi '
130 ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CURSO DE TURISMO
b)
i Classes xi f; Xi . f;
1 40 ~ 58 49 4 196
2 58 ~ 76 67 7 469
3 76 ~ 94 85 11 935
4 94 ~ 112 103 13 1.339
5 112 ~ 130 121 15 1.815
6 130 ~ 148 139 14 1.946
7 148 ~ 166 157 9 1.413
8 166 ~ 184 175 2 350
n = L f; = 75 L Xi • f; = 8.463
S. a)
i Classes f; xi ri ri . f;
1 135 ~ 145 8 140 -2 -16
2 145 ~ 155 13 150 -1 -13
3 155 ~ 165 31 160 o o
4 165 ~ 175 24 170 + 1 + 24
5 175 ~ 185 17 180 +2 + 34
6 185 ~ 195 7 190 +3 + 21
xa = 160 L= 100 L= 50
b)
i Classes f; Xi ri ri . f;
1 491 ~ 499 5 495 -3 -15
2 499 ~ 507 11 503 -2 - 22
3 507 1---* 515 19 511 -1 -19
4 515 ~ 523 22 519 o o
5 523 ~ 531 12 527 + 1 +12
xa = 519 L= 69 L=
MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 131
x=x +(r.yJJ.h =519+ -44x8 =519-510=5139
o r. fi 69 ' ,
6. a) 33 (série unimodal); b) 29 e 39 (série bimodal); c) série amodal,
7. a) 150; b) 40 e 46; c) 18,86; d) 125,33.
8. a) 23; b) 38; c) 30; d) 58; e) 40; O 51,S.
9. a)
; X Freqüência (f) Freqüênciaacumulada (F)
1 120 15 15
2 130 32 47
3 140 22 69
4 150 39 108
5 160 26 134
Md = 140.
b)
; X f; Fi
1 37 8 8
2 40 12 20
3 43 9 29
4 46 12 41
5 49 5 46
6 51 7 53
Md = 43.
10. a)
; x f; Fi
1 12 I- 16 3 3
2 16 I- 20 6 9
3 20 I- 24 2 11
4 24 I- 28 2 13
Md = 18,33.
132 ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CURSO DE TURISMO
b)
i X f; Fi
1 100 ~ 110 5 5
2 110 ~ 120 7 12
3 120 ~ 130 8 20
4 130 ~ 140 6 26
5 140 ~ 150 6 32
Md = 125.
11. a)
i Peso (kg) Xi f; Xi· f; Fi
1 42 ~ 50 46 1 46 1
2 50 ~ 58 54 7 378 8
3 58 ~ 66 62 10 620 18
4 66 ~ 74 70 12 840 30
5 74 ~ 82 78 15 1.170 45
6 82 ~ 90 86 13 1.118 58
7 90 ~ 98 94 8 752 66
8 98 ~ 106 92 2 184 62
n = L f;= 68 L Xi· f; = 5.108
x = 75,12 kg; Mo = 78,8 kg; Md = 74,53 kg.
b)
i Idade Xi f; Xi . f; Fi
1 O~ 6 3 5 15 5
2 6 ~ 12 9 8 72 13
3 12 ~ 18 15 10 150 23
4 18 ~ 24 21 14 294 37
5 24 ~ 30 27 18 486 55
6 30 ~ 36 33 21 693 76
7 36 ~ 42 39 20 780 96
8 42 ~ 48 45 15 675 111
9 49 ~ 54 51 7 357 118
10 54 ~ 60 57 6 342 124
n = L f; = 124 L Xi . f; = 3.864
MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 133
x = 31,16; Mo = 34,5; Md = 32.
c)
i Salários xi f; Xi . f; fi(em reais)
1 500 f- 600 550 3 1.650 3
2 600 f- 700 650 5 3.250 8
3 700 f- 800 750 8 6.000 16
4 800 f- 900 850 11 9.350 27
5 900 f- 1.000 950 15 14.250 42
6 1.000 f- 1.100 1.050 10 10.500 52
7 1.100 f- 1.200 1.150 6 6.900 58
8 1.200 f- 1.300 1.250 3 3.750 61
n=1:f;=61 1: Xi . f; = 55.650
x = 912,30; Mo = 944,44; Md = 923,33.