Ex_Raízes_de_Funções

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Engenharia Elétrica 
 
 
Métodos Numéricos e Programação 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 
Raízes de Equações 
1. Separar as raízes das equações abaixo: 
a. 01223 =−−+ xxx 
b. 123 −+ xx 
c. 102414 24 −+− xxx 
d. 0266 2345 =+++−− xxxxx 
2. Calcular a raiz real compreendida entre 0 e 1 de 0144 =+− xx , com 5 dígitos 
significativos exatos ou até 10 iterações, para cada iteração calcular o DIGSE. 
a. Utilizando o método da bissecção. 
b. Utilizando o método da falsa posição. 
 
3. Comprovar que a equação 013 =−− xx possui uma única raiz no intervalo [1,2]. 
Quantas iterações do método da bissecção devem ser realizadas para aproximar esta raiz 
com um erro menor do que 10-4 ? 
 
4. Determinar uma aproximação, com duas casas decimais significativas, da raiz da 
equação 0123 =−+ xx pertencente ao intervalo [0.1, 0.5], utilizando o método da Falsa 
Posição. 
 
5. Determinar uma aproximação, com duas casas decimais significativas, da raiz da 
equação 0123 =−+ xx pertencente ao intervalo [0.1, 0.5], utilizando o método da Falsa 
Posição. 
6. O polinômio xxxxp
21
5
9
10
)( 35 +−= tem seus cinco zeros reais, todos no intervalo (-
1,1). 
a. Verifique que )75.0,1(1 −−∈x , )25.0,75.0(2 −−∈x , )8.0,3.0(4 ∈x e 
)1,8.0(5 ∈x . 
b. Encontre, pelo respectivo método, usando ε = 10-5 
x1: Newton (x0 = - 0.8) 
x2 : bissecção ( [a,b] = [-0.75, -0.25]) 
x3 : falsa posição ([a,b] = [-0.25, 0.25]) 
 
7. Utilizando o método de Newton-Raphson determine a raiz da equação 
05)5()( =−−= xexxf no intervalo [4,5] com 2 casas decimais. Utilize o critério de 
Fourier para de terminar o valor inicial: 
• Se f(a).f ´´ (a) > 0 ⇒ x0 = a (x0 é o xn inicial) 
• Se f(b).f ´´ (b) > 0 ⇒ x0 = b 
 
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8. Um cabo telefônico suspenso entre dois postes tem um peso de α quilogramas-força por 
metro linear. A tensão no meio do cabo é obtida pela resolução da seguinte equação: 
 
S
T
LT
=





⋅
⋅
⋅
⋅
2
senh
2 α
α 
onde, 
S é o comprimento do cabo; 
L é a distância entre os postes. 
 
 Utiliza o método da bisseção para achar a tensão T a partir das seguintes condições: 
S = 32 m 
L = 30 m 
α = 0.10 Kgf 
Tolerância = 1.E-2 
Intervalo inicial [2;3]. 
 
9. Encontre uma raiz da função: 25)( 4 +−= xxxf próxima a 5.10 =x e outra 
próxima a 5.00 =x utilizando o Método de Newton-Raphson. Adote uma tolerância 
de ε = 0.001 e um número máximo de iterações Nmax = 15. Utilize, pelo menos, 4 
dígitos significativos nas operações em ponto flutuante. 
 
10. A corrente elétrica em um circuito varia o tempo conforme a seguinte expressão: 
( )5.02cos9 1 +⋅⋅⋅⋅= − teI π , ângulo em radiano 
Deseja-se determinar o tempo no qual a corrente se iguala à metade do seu valor inicial 
(Quando t = 0). 
Efetue três iterações com o método de Newton-Raphson e adote como estimativa 
inicial t0=0.2s. Determine o erro relativo a cada iteração. 
 
11. Uma das equações de estado mais utilizadas na termodinâmica é a equação cúbica de 
“Van-Der-Walls” que relaciona o volume, pressão e temperatura de um certo gás de 
forma da seguinte forma: 
( ) TRbv
v
a
p ⋅=−⋅





+
2
 
Onde p é a pressão, T é a temperatura e v é o volume molar (1/mol). 
Considerando-se o gás carbônico (CO2), determine o seu volume molar para as 
condições de pressão igual a 10 atm e temperatura igual a 300 K. Utilize o método de 
Newton-Raphson com uma estimativa inicial igual a 5 1/mol. 
Dados: 
R = 0.082054 
a = 3.592 
b = 0.04267 
 
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12. Encontrar o ponto de mínimo da função ( ) ( )1)ln(
2
2
−⋅+= xx
x
xf Utilizando o método 
da BISSEÇÃO. Partir do intervalo inicial [0.4;0.6], adotar como critério de parada uma 
diferença entre aproximações consecutivas menor que 1x10-2. 
 
 
 
13. A velocidade de ascensão de um foguete é determinada pela seguinte expressão: 
tg
tqm
m
uv ⋅+





⋅−
⋅=
0
0ln
 
Determine o tempo no qual v=100 m/s. São dadas as seguintes informações: 
u = 200 m/s 
m0 = 1600 Kg 
g = 9.8 m/s2 
q = 27 Kg/s 
Efetue quatro iterações com o método da Bisseção. Adote como intervalo inicial [6;8]. 
Determine o erro relativo a cada iteração 
 
14. A concentração de bactérias em um lago é dada pela seguinte expressão: 
tt eec ⋅−⋅− ⋅+⋅= 075.05.1 2570 
 
onde: c0 é a concentração no instante inicial (t=0). Determine o tempo no qual a 
concentração c é igual a 07.0 c⋅ . 
Efetue três iterações com o método de Newton-Raphson e adote chute inicial t0=0.2s. 
Determine o erro relativo a cada iteração. 
 
15. No estudo de crescimento populacional, considera-se que a população de uma cidade 
decresce de acordo com o seguinte modelo: 
( ) max05.0max ctcc PePtP +⋅= ⋅− 
Por outro lado, a população da periferia (subúrbio) cresce de acordo com o seguinte 
modelo: 
( ) t
ss
ePtP ⋅⋅= 075.0min 
Tem-se que: 
75000max =cP 
100000min =cP 
5000min =sP 
Deseja-se determinar o tempo no qual a população da cidade (Pc) será superior em 20% 
em relação à população do subúrbio (Ps). Efetue as três primeiras iterações utilizando o 
método de Newton-Raphson, e calcule o erro relativo em cada uma. Adote 500 =t . 
 
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16. No escoamento de um fluido em um tubo, a fricção é quantificada através de um fator 
adimensional f. O fator f, por sua vez, depende do número de Reynolds (Re) que 
caracteriza o tipo de escoamento. A seguinte equação é valida: 
( ) 4.0.Relog41 −⋅= f
f 
Deseja-se determinar o fator de ficção f para Re = 2000. Efetue quatro iterações 
utilizando o método da Bisseção. Adote como o intervalo inicial [0.01;0.02]. Determine 
o erro relativo a cada iteração. 
 
17. O deslocamento de uma estrutura é dado pela seguinte equação que caracteriza uma 
oscilação amortecida. 
( )twey tK ⋅⋅⋅= ⋅− cos10 , ângulo em radianos 
onde: 2=w e 5.0=K 
 
Deseja-se obter o tempo no qual o deslocamento é igual a 4. Utilizando o método de 
Newton-Raphson, efetue apenas as duas primeiras iterações para a resolução deste 
problema. Determine o erro relativo em cada iteração. 
Adotar t0=0.3 
 
18. É dado o seguinte procedimento iterativo: 
kkk
xx
a
x ⋅+⋅=+ 4
3
4
2
1 (A) 
Mostre a equação que descreve o procedimento iterativo gerado quando se utiliza o método 
de Newton-Raphson para solucionar o problema. 
 
 
19. Mostre que a equação que descreve o procedimento iterativo gerado quando se utiliza o 
método de Newton para se encontrar a inversa da raiz cúbica de um número Q é dada 
por: 
 
Q
x
Qx
x
k
k
k ⋅






+⋅⋅
=+ 3
1
2
3
1