Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em 
alvenaria estrutural 
 
 
 
 
 
 
Luiz Guilherme Manes de Oliveira 
Rodrigo Alves de Brito Reis 
Vítor Silva Coelho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GOIÂNIA 
2010
Luiz Guilherme Manes de Oliveira 
Rodrigo Alves de Brito Reis 
Vítor Silva Coelho 
 
 
 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em 
alvenaria estrutural 
 
 
 
 
 
Monografia apresentada ao Curso de Engenharia Civil da 
Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de 
Engenheiro Civil. 
Orientador: Prof. Dr. Gilson Natal Guimarães 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GOIÂNIA 
2010
 
Luiz Guilherme Manes de Oliveira 
Rodrigo Alves de Brito Reis 
Vítor Silva Coelho 
 
 
 
 
 
 
PROJETO DE UM EDIFÍCIO DE NOVE PAVIMENTOS EM ALVENARIA ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
Monografia apresentada ao Curso de Engenharia Civil da 
Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de 
Engenheiro Civil. 
 
 
 
 
APROVADA EM _____ / _____ / _____. 
 
 
 
_______________________________________________________ 
Carlos Eduardo Rocha de Assis (Examinador) 
 
 
 
_______________________________________________________ 
Robson Lopes Pereira (Examinador) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Visto do Orientador: ______________________________________ 
 
Em: _____ / _____ / _____ 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
AGRADECIMENTOS 
 
Agradecemos aos familiares e amigos que nos apoiaram ao longo dos anos 
dedicados ao curso de Engenharia Civil. 
Ao Prof. Dr. Gilson Natal Guimarães que pacientemente nos auxiliou com seus 
conhecimentos e materiais de estudo, possibilitando a realização deste trabalho. 
À Gyncasa Engenharia pelo fornecimento dos projetos arquitetônicos. 
Aos nossos colegas de curso, verdadeiros companheiros tanto nos momentos de 
estudo quanto nos de diversão. 
Agradecemos à Deus pela vida e saúde. 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
RESUMO 
Este trabalho apresenta o cálculo e projeto de um edifício de nove pavimentos 
em alvenaria estrutural de blocos vazados de concreto, considerando também as ações 
horizontais de vento e desaprumo. Foram utilizadas lajes maciças e reservatório de concreto 
armado moldado in loco. O trabalho apresenta uma revisão bibliográfica baseada em 
normas brasileiras e, quando necessário, recomendações de normas estrangeiras. Além 
disso, é apresentado um memorial de cálculo, baseado na teoria exposta, que abrange 
critérios adotados no projeto, procedimentos e cálculos utilizados na concepção do mesmo. 
O dimensionamento do edifício foi realizado aplicando-se métodos convencionais de cálculo. 
Optou-se pela não utilização dos poderosos softwares de cálculo existentes no mercado 
atualmente, pois sabe-se que este tipo de programa nem sempre está ao alcance de 
qualquer aluno ou profissional, devido ao seu alto custo. Não pretendeu-se discorrer sobre 
os aspectos construtivos, limitando-se apenas aos cálculos e confecção das pranchas 
necessárias ao projeto estrutural. 
 
Palavras-chave: Alvenaria estrutural. Blocos de concreto. Estrutura. Projeto estrutural de 
edifícios. 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 2.1 – Espalhamento do carregamento em paredes planas e em “L” ............................. 19 
Figura 2.2 – Interação de paredes em um canto ....................................................................... 19 
Figura 2.3 – Interação de paredes em região de janela ............................................................. 20 
Figura 2.4 – Ação horizontal equivalente para a consideração do desaprumo......................... 23 
Figura 3.1 – Carga distribuída dentro do triângulo de carga .................................................... 30 
Figura 3.2 – Carga concentrada fora do triângulo de carga...................................................... 31 
Figura 3.3 – Flexão simples em seção retangular (armadura simples) ..................................... 32 
Figura 3.4 – Flexão simples em seção retangular (armadura dupla) ........................................ 34 
Figura 3.5 – Flexão composta (Estádio II) ............................................................................... 38 
Figura 3.6 – Tensões e posição da linha neutra ........................................................................ 40 
Figura 3.7 – Parâmetros para cálculo da espessura efetiva de paredes .................................... 42 
Figura 4.1 – Comprimentos das barras inferiores .................................................................... 52 
Figura 4.2 – Comprimentos e disposição das barras superiores ............................................... 53 
Figura 4.3 – Cargas para funcionamento como placas ............................................................. 54 
Figura 4.4 – Área efetiva da seção de concreto ........................................................................ 59 
Figura 4.5 – Modelo biela-tirante para a viga-parede biapoiada .............................................. 61 
Figura 5.1 – Vinculação das lajes e vãos de cálculo (em metros) ............................................ 64 
Figura 5.2 – Vinculação da laje L9 da cobertura e seus vãos de cálculo (metros) ................... 64 
Figura 5.3 – Um metro quadrado de alvenaria (tijolos 11,5x19x19cm)................................... 66 
Figura 5.4 – Planta e corte do reservatório ............................................................................... 80 
Figura 5.5 – Detalhe da abertura do reservatório ..................................................................... 80 
Figura 5.6 – Vãos de cálculo, cargas e condições de contorno ................................................ 81 
Figura 5.7 – Momentos fletores e reações de apoio (tampa) .................................................... 84 
Figura 5.8 – Momentos fletores e reações de apoio (fundo) .................................................... 84 
Figura 5.9 – Momentos fletores e reações de apoio (Paredes 1, 2 e 3) .................................... 84 
Figura 5.10 – Momentos fletores e reações de apoio (Paredes 4, 5, 6 e 7) .............................. 85 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
Figura 5.11 – Esforços finais na tampa e no fundo .................................................................. 87 
Figura 5.12 – Esforços finais nas paredes 1,2 e 3..................................................................... 87 
Figura 5.13 – Esforços finais nas paredes 4, 5, 6 e 7................................................................ 87 
Figura 5.14 – Carregamento parcial na parede P2.................................................................... 90 
Figura 6.1 – Localizações dos parafusos da escada.................................................................. 94 
Figura 6.2 – Grupos de paredes estruturais .............................................................................. 97 
Figura 6.3 – Planta do Edifício ............................................................................................... 103 
Figura 6.4 – Vista A ............................................................................................................... 103 
Figura 6.5 – Vista B ................................................................................................................ 104 
Figura 6.6 – Dimensões do edifício em planta para obtenção do coeficiente de arrasto........ 105 
Figura 6.7 - Definição dos painéis de contraventamento na direção X .................................. 109 
Figura 6.8 - Definição dos painéis de contraventamento na direção Y .................................. 109 
Figura 7.1 – Composição de tensões normais na base de uma parede genérica..................... 118 
Figura7.2 – Composição de tensões normais na base da parede PY8 (térreo) ...................... 118 
Figura 7.3 – Composição de tensões normais na base da parede PY11 (1° pav.) .................. 119 
Figura 7.4 – Composição de tensões normais na base da parede PY11 (térreo) .................... 120 
Figura 7.5 – Composição de tensões normais na base da parede PY12 (térreo) .................... 120 
Figura 7.6 – Composição de tensões normais na base da parede PY14 (1° pav.) .................. 121 
Figura 7.7 – Composição de tensões normais na base da parede PY14 (térreo) .................... 122 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 3.1 – Tensões admissíveis para alvenaria não armada ................................................. 28 
Tabela 3.2 – Tensões admissíveis para alvenaria armada ........................................................ 29 
Tabela 3.3 – Tensões admissíveis no aço ................................................................................. 29 
Tabela 3.4 – Tensões de cisalhamento admissíveis em parafusos e ancoragens ...................... 30 
Tabela 3.5 – Flexão de seções subarmadas .............................................................................. 34 
Tabela 3.6 – Índices máximos de esbeltez da NBR-10837 (1989) .......................................... 41 
Tabela 3.7 – Coeficiente  ...................................................................................................... 41 
Tabela 4.1 – Coeficientes para o cálculo da flecha .................................................................. 50 
Tabela 4.2 – Valores de  em função do tempo – NBR-6118 (2003) ..................................... 51 
Tabela 4.3 – Placa retangular com momento senoidal em uma das bordas (ν=0,2)................. 56 
Tabela 4.4 – Aberturas limites das fissuras (wlim) .................................................................. 56 
Tabela 4.5 – Valores de  e bm

 ............................................................................................. 58 
Tabela 5.1 – Pré-dimensionamento das lajes do edifício ......................................................... 65 
Tabela 5.2 – Momentos fletores de serviço das lajes do pavimento tipo ................................. 72 
Tabela 5.3 – Momentos fletores de serviço das lajes da cobertura .......................................... 72 
Tabela 5.4 – Compatibilização dos momentos negativos (pavimento tipo) ............................. 72 
Tabela 5.5 – Compatibilização dos momentos negativos (cobertura) ...................................... 73 
Tabela 5.6 – Momentos fletores positivos finais da laje L1 (pavimento tipo) ......................... 74 
Tabela 5.7 – Momentos fletores positivos finais da laje L1 (cobertura) .................................. 74 
Tabela 5.8 – Momentos fletores positivos nas lajes (pavimento tipo) ..................................... 74 
Tabela 5.9 – Momentos fletores positivos nas lajes (cobertura) .............................................. 74 
Tabela 5.10 – Momentos fletores negativos nas lajes (pavimento tipo) .................................. 74 
Tabela 5.11 – Momentos fletores negativos nas lajes (cobertura) ........................................... 75 
Tabela 5.12 – Armaduras positivas calculadas das lajes .......................................................... 75 
Tabela 5.13 – Armaduras negativas calculadas das lajes ......................................................... 76 
Tabela 5.14 – Armaduras positivas adotadas nas lajes ............................................................. 77 
Tabela 5.15 – Armaduras negativas adotadas nas lajes ............................................................ 77 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
Tabela 5.16 – Verificação das flechas das lajes do pavimento tipo ......................................... 79 
Tabela 5.17 – Armaduras do reservatório ................................................................................ 88 
Tabela 5.18 – Verificação de abertura de fissuras no reservatório ........................................... 89 
Tabela 6.1 – Volume das peças da escada ................................................................................ 94 
Tabela 6.2 – Definição dos grupos de paredes ......................................................................... 97 
Tabela 6.3 – Carga das lajes nas paredes PX ........................................................................... 98 
Tabela 6.4 – Carga das lajes nas paredes PY ........................................................................... 99 
Tabela 6.5 – Cargas verticais nas aberturas ............................................................................ 100 
Tabela 6.6 – Cargas verticais dos grupos no pavimento tipo ................................................. 101 
Tabela 6.7 – Cargas verticais dos grupos na cobertura .......................................................... 101 
Tabela 6.8 – Cargas verticais acumuladas em cada grupo. .................................................... 102 
Tabela 6.9 – Forças horizontais devidas ao vento .................................................................. 106 
Tabela 6.10 – Esforços solicitantes globais ............................................................................ 107 
Tabela 6.11 – Rigidezes das Paredes PX ................................................................................ 110 
Tabela 6.12 – Rigidezes das Paredes PY ................................................................................ 110 
Tabela 7.1 – Resistência de bloco (MPa) necessária por parede para cada pavimento .......... 113 
Tabela 7.2 – Grauteamento necessário ................................................................................... 116 
Tabela 7.3 – Vergas do edifício .............................................................................................. 123 
Tabela 7.4 – Cálculo das armaduras de flexão das vergas ..................................................... 124 
Tabela 7.5 – Comprimento de ancoragem nas vergas ............................................................ 125 
Tabela 8.1 – Módulo de elasticidade longitudinal para blocos com eficiência 0,6 ................ 127 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
LISTA DE SÍMBOLOS 
sA : área de armadura 
sA' : área de armadura de compressão 
b : largura da seção 
d : altura útil da seção 
'd : distância da fibra (superior ou inferior) ao centro de gravidade da armadura 
D : rigidez à flexão da placa 
alvE : módulo de elasticidade da alvenaria. 
csE : deformação longitudinal secante do concreto 
calvf , : tensão normal de compressão axial atuante 
calv
f
, : tensão normal de compressão axial admissível 
falvf , : tensão normal de compressão atuante, devida à flexão 
falv
f
, : tensão normal de compressão admissível, devida à flexão 
talv
f
, : tensão normal de tração admissível na alvenaria não-armada 
bf : resistência do bloco 
cdf : resistência de cálculo do concreto 
ctf : resistência à tração do concreto 
ckf : resistência característica do concreto 
pf : resistência do prisma 
ydf : tensão de escoamento de cálculo do aço 
ykf : tensão de escoamento característica do aço 
dF : força horizontal equivalente ao desaprumo 
totF : ação total em um determinado pavimento 
g : carregamento permanente 
h : altura da seção 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
H : altura da edificação 
cI : momento de inércia da seção bruta de concreto 
2I : momento de inércia da seção fissurada (estádio II). 
xl : menor vão da laje 
yl : maior vão da laje 
M : momento fletor característico 
dM : momento fletor de cálculo 
sM : momento equivalente na flexo-tração 
N : esforço normal característico 
dN : esforço normal de cálculo 
p : carregamento total 
q : carregamento acidental 
R : fator de redução da resistência associado à esbeltezdR : valor de cálculo da reação de apoio 
t : espessura da parede 
V : esforço cortante característico 
dV : esforço cortante de cálculo 
kw : abertura de fissura 
W : módulo de resistência à flexão ( máxyIW  ) 
fW : flecha diferida 
oW : flecha inicial 
W : flecha total 
x : posição da linha neutra 
máxy : distância entre a linha neutra e a fibra mais tracionada 
Z : braço de alavanca 
 : parâmetro de instabilidade 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
z : coeficiente de majoração dos esforços globais finais de 1ª ordem para obtenção dos 
finais de 2ª ordem 
P : peso total do pavimento considerado 
 : eficiência prisma/bloco 
 : índice de esbeltez 
 : momento fletor reduzido 
 : coeficiente de Poisson 
 : razão entre a posição da linha neutra, x , e a altura útil, d , ou seja, dx . 
 : taxa geométrica da armadura de tração 
' : taxa geométrica da armadura de compressão 
se : taxa efetiva da armadura de tração 
 : tensão normal 
d : tensão no apoio 
d2 : tensão na biela inclinada 
s : tensão na armadura 
so : tensão limite na armadura 
wd : tensão de esforço cortante atuante 
 : ângulo do desaprumo 
 : diâmetro da barra 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
SUMÁRIO 
1 - INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 15 
1.1 – OBJETIVO DO TRABALHO......................................................................................... 15 
1.2 – METODOLOGIA ............................................................................................................ 15 
1.3 – ESTRUTURA DO TRABALHO .................................................................................... 16 
1.4 – CARACTERÍSTICAS DO PROJETO EM ESTUDO .................................................... 16 
2 - ANÁLISE ESTRUTURAL PARA AÇÕES VERTICAIS E HORIZONTAIS ........... 18 
2.1 – CARREGAMENTO VERTICAL ................................................................................... 18 
2.1.1 – Procedimentos de distribuição de cargas ...................................................................... 20 
2.2 – CARREGAMENTO HORIZONTAL ............................................................................. 22 
2.2.1 – Consideração de abas em painéis de contraventamento ............................................... 23 
2.2.2 – Distribuição de ações para contraventamentos simétricos ........................................... 24 
2.2.3 – Distribuição de ações para contraventamentos assimétricos ........................................ 26 
3 - DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS DE ALVENARIA ESTRUTURAL ...... 27 
3.1 – DIMENSIONAMENTO DE VERGAS E VIGAS .......................................................... 30 
3.2 – DIMENSIONAMENTO DE PILARES E PAREDES .................................................... 36 
3.3 – EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM ............................................................................... 40 
3.4 – CINTAS ........................................................................................................................... 42 
3.5 – DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS ................................................................................ 43 
3.6 - ADERÊNCIA E ANCORAGEM..................................................................................... 44 
4 - CONCRETO ARMADO .................................................................................................. 46 
4.1 – LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ........................................................... 46 
4.1.1 – Esforços ........................................................................................................................ 46 
4.1.2 – Determinação das armaduras longitudinais .................................................................. 48 
4.1.3 – Verificação de flechas .................................................................................................. 49 
4.1.4 – Verificação do cisalhamento ........................................................................................ 51 
4.1.5 – Comprimento das barras ............................................................................................... 52 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
4.2 - RESERVATÓRIO DE CONCRETO ARMADO ............................................................ 53 
4.2.1 – Cargas nos reservatórios ............................................................................................... 54 
4.2.2 – Considerações para o cálculo como placas .................................................................. 55 
4.2.3 – Verificação da abertura das fissuras ............................................................................. 56 
4.2.4 – Vigas-parede ................................................................................................................. 59 
4.3 – ESTABILIDADE GLOBAL DA ESTRUTURA DE CONTRAVENTAMENTO ........ 62 
5 - CÁLCULO E DETALHAMENTO DAS LAJES e DO reservatório do EDIFÍCIO .. 63 
5.1 – CÁLCULO DAS LAJES DO EDIFÍCIO ........................................................................ 63 
5.1.1 – Pré-dimensionamento ................................................................................................... 65 
5.1.2 – Considerações para o cálculo do carregamento nas lajes ............................................. 65 
5.1.3 – Cálculo dos esforços como lajes isoladas ..................................................................... 68 
5.1.4 – Cálculo dos momentos fletores .................................................................................... 71 
5.1.5 – Definição das armaduras .............................................................................................. 75 
5.1.6 – Reações de apoio das lajes ........................................................................................... 78 
5.1.7– Verificação ao cisalhamento nas lajes ........................................................................... 78 
5.1.8 – Verificação das flechas nas lajes .................................................................................. 78 
5.2 – CÁLCULO DO RESERVATÓRIO DO EDIFÍCIO ....................................................... 79 
5.2.1 – Carregamento para o cálculo como placas ................................................................... 80 
5.2.2 – Esforços nas lajes isoladas ............................................................................................ 82 
5.2.3 – Cálculo dos momentos fletores e reações de apoio ...................................................... 83 
5.2.4 – Compensação dos momentos fletores........................................................................... 85 
5.2.5 – Dimensionamento das armaduras ................................................................................. 86 
5.2.6 – Abertura de fissuras ...................................................................................................... 88 
5.2.7 – Dimensionamento da parede P2 como viga ................................................................. 89 
5.2.8 – Considerações sobre o detalhamento da armadura ....................................................... 92 
6 - CÁLCULO DAS AÇÕES VERTICAIS e horizontais NO EDIFÍCIO ........................ 93 
6.1 - AÇÕES VERTICAIS ....................................................................................................... 93 
6.1.1 – Carregamento da escada ............................................................................................... 93 
6.1.2 – Distribuição das cargas verticais .................................................................................. 96 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
6.2 - AÇÕES HORIZONTAIS ............................................................................................... 102 
6.2.1 – Ações devidas ao vento ..............................................................................................102 
6.2.2 – Ações correspondentes ao desaprumo ........................................................................ 107 
6.2.3 – Ações horizontais globais ........................................................................................... 107 
6.2.4 – Distribuição das ações horizontais ............................................................................. 107 
7 - DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS DE ALVENARIA ESTRUTURAL .. 111 
7.1 – DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES .................................................................... 111 
7.1.1 – Determinação da quantidade de furos grauteados ...................................................... 114 
7.1.2 – Cálculo das armaduras de tração ................................................................................ 117 
7.2 - DIMENSIONAMENTO DAS VERGAS DO EDIFÍCIO ............................................. 122 
8 - ESTABILIDADE GLOBAL DA ESTRUTURA DE CONTRAVENTAMENTO .... 126 
9 - CONCLUSÕES ............................................................................................................... 128 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
15 
1 - INTRODUÇÃO 
A alvenaria estrutural é caracterizada como um sistema construtivo em que as 
paredes constituem-se ao mesmo tempo nos subsistemas estrutura e vedação. Este fato 
traz inúmeras vantagens, incluindo a racionalização do processo construtivo, economia e 
simplificação no cálculo do dimensionamento dos elementos. Lembrando sempre que para a 
viabilidade deste sistema construtivo é necessário que o projeto de arquitetura seja 
concebido para alvenaria estrutural. 
Segundo ACCETTI (1998), é crescente o interesse de projetistas, construtores e 
proprietários neste sistema construtivo. Mesmo sem o domínio da tecnologia necessária, as 
iniciativas privada e estatal vêm, ao longo dos anos, descobrindo na alvenaria estrutural 
uma alternativa muito competitiva para a construção. 
De acordo com RAMALHO & RAZENTE (2008), por muitos anos a alvenaria 
estrutural foi pouco utilizada devido a muitos fatores, tais como: preconceito, maior domínio 
da tecnologia do concreto armado por parte de construtores e projetistas e pouca divulgação 
do assunto nas universidades durante o processo de formação do profissional. Muitos 
projetistas são leigos no que se diz respeito a este sistema construtivo e acabam, assim, 
optando pelo concreto armado. Isto é também influenciado pelo reduzido número de 
publicações sobre o assunto em português, pois a maior parte da bibliografia é estrangeira e 
voltada para as peculiaridades de cada país. 
1.1 – OBJETIVO DO TRABALHO 
O objetivo do presente trabalho é apresentar o processo de cálculo completo e o 
projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural de blocos vazados de 
concreto. 
1.2 – METODOLOGIA 
Para alcançar o objetivo proposto por este trabalho teórico, procurou-se cumprir 
as etapas presentes na confecção de um projeto estrutural utilizando-se as recomendações 
encontradas em bibliografias sobre o assunto. 
Para o cálculo dos elementos estruturais, não foram utilizados grandes recursos 
computacionais, utilizando apenas os softwares AutoCAD, Ftool e Microsoft Office Excel. 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
16 
Dessa forma, procurou-se mostrar que, desde que realizado com cuidado, o 
cálculo de um edifício em alvenaria estrutural pode ser realizado com segurança mesmo 
sem a utilização dos softwares de cálculo estrutural encontrados no mercado. 
Neste trabalho não foi discorrido sobre os aspectos construtivos do sistema 
construtivo em alvenaria estrutural, mas sim os procedimentos de cálculo de uma edificação. 
1.3 – ESTRUTURA DO TRABALHO 
O presente trabalho foi organizado em nove capítulos, sendo o primeiro a 
introdução e apresentação do trabalho. 
Pode-se dividir o trabalho em duas partes, o cálculo do edifício em estudo e o 
embasamento teórico com que este cálculo foi realizado. 
Do segundo ao quarto capítulo encontra-se a revisão bibliográfica utilizada para 
o cálculo do edifício. O segundo capítulo trata sobre a análise das ações verticais e 
horizontais em edifícios de alvenaria estrutural. O terceiro capítulo traz os aspectos mais 
importantes para o dimensionamento dos elementos de alvenaria estrutural. Um resumo 
sobre o dimensionamento de lajes e reservatório de concreto armado moldado in loco é 
encontrado no quarto capítulo. 
Do quinto ao oitavo capítulo encontra-se o memorial de cálculo do edifício em 
estudo. No quinto capítulo é apresentado o dimensionamento das lajes e do reservatório do 
edifício. O capítulo seis apresenta a análise das ações verticais e horizontais. O capítulo 
sete apresenta o dimensionamento das paredes e das vergas. A verificação da estabilidade 
global da estrutura de contraventamento é realizada no capítulo oito. 
Por fim, no nono capítulo são apresentadas as conclusões a respeito do 
trabalho. 
1.4 – CARACTERÍSTICAS DO PROJETO EM ESTUDO 
O edifício analisado neste trabalho é composto pelo térreo (tipo) mais oito 
pavimentos tipo e cobertura. No topo do edifício encontra-se todo o ático da edificação. 
O edifício estará situado na cidade de Goiânia. 
No Anexo A encontrado no final deste trabalho encontra-se a planta baixa da 
arquitetura do edifício. 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
17 
Optou-se por projetar o reservatório e as lajes em concreto armado moldado in 
loco. 
O tipo de bloco escolhido para a alvenaria estrutural foi o vazado de concreto de 
modulação igual a 15cm. 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
18 
2 - ANÁLISE ESTRUTURAL PARA AÇÕES VERTICAIS E 
HORIZONTAIS 
Este capítulo apresentará a metodologia de determinação e distribuição das 
ações verticais e horizontais em edifícios de alvenaria estrutural. 
2.1 – CARREGAMENTO VERTICAL 
As principais ações verticais atuantes nas paredes estruturais são o seu peso 
próprio e as reações das lajes. 
De acordo com ACCETTI (1998), nos edifícios em alvenaria estrutural, 
normalmente, as paredes são solicitadas de maneira bastante diferenciada umas das 
outras. Isto levaria a diversas especificações de resistências de blocos para um mesmo 
pavimento, o que não é recomendável, já que podem ocorrer trocas entre blocos de 
diferentes resistências. Assim sendo, a parede mais carregada tenderia a definir a 
resistência dos blocos a serem utilizados para todas as paredes do pavimento, o que 
oneraria o custo da obra. 
Dessa forma, a uniformização das cargas ao longo da altura da edificação 
acarreta em benefícios econômicos com a utilização de blocos menos resistentes. Para que 
de fato exista esta uniformização, deve-se tomar algumas medidas no processo construtivo. 
Quando se coloca um carregamento localizado sobre apenas uma parte do 
comprimento de uma parede de alvenaria, tende a haver um espalhamento dessa carga ao 
longo de sua altura. A NBR-10837 (1989) prescreve que esse espalhamento deve-se dar 
segundo um ângulo de 45 graus. 
Segundo CORRÊA & RAMALHO (2003), as providências construtivas que mais 
contribuem para a existência de forças de interação elevadas e, portanto, uma maior 
uniformização das cargas, em caso de cantos e bordas são: 
a) amarração das paredes em cantos e bordas sem juntas a prumo; 
b) existência de cintas sob a laje do pavimento e à meia altura; 
c) pavimento em laje maciça, o que não inviabiliza a utilização de outros tipos de lajes. 
Ainda de acordo com CORRÊA & RAMALHO, quanto às aberturas, os detalhes 
construtivos que mais colaboram para o aumento das forças de interação são:
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
19 
a) existência de vergas; 
b) existência de contra-vergas. 
Sendo que essas vergas econtra-vergas devem ser previstas com uma 
penetração apropriada nas paredes a que se ligam. Quanto maiores essas penetrações, 
melhores condições de desenvolvimento de forças de interação serão criadas. 
Tomando-se as medidas construtivas citadas anteriormente, esse espalhamento 
ocorrerá também em cantos, bordas e aberturas. As Figuras 2.1, 2.2 e 2.3 indicam estas 
interações. 
 
Figura 2.1 – Espalhamento do carregamento em paredes planas e em “L” 
 
Figura 2.2 – Interação de paredes em um canto 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
20 
 
Figura 2.3 – Interação de paredes em região de janela 
2.1.1 – Procedimentos de distribuição de cargas 
Neste ítem serão apresentados alguns dos procedimentos utilizados para se 
fazer a distribuição das ações verticais. 
a) Paredes isoladas 
Neste procedimento considera-se cada parede como um elemento 
independente, não interagindo com os demais elementos da estrutura. É um procedimento 
simples, porém anti-econômico, pois resulta em especificação de blocos com maiores 
resistências, ou seja, mais caros. 
b) Grupos isolados de paredes 
Neste procedimento admite-se que as cargas são totalmente uniformizadas em 
cada grupo de paredes considerado, mas que não se interagem uns com os outros. 
A definição dos grupos fica a cargo do projetista, não havendo regras bem 
definidas que possam orientar esta escolha. Usualmente as aberturas são consideradas 
como o limite entre os grupos, o que é um procedimento seguro. 
É um procedimento simples, já que basta que todas as cargas a serem aplicadas 
em qualquer parede de um determinado grupo sejam somadas e posteriormente distribuídas 
pela área total do grupo correspondente. 
A utilização de grupos isolados de paredes leva a uma redução bastante 
significativa das resistências dos blocos em relação ao procedimento das paredes isoladas. 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
21 
c) Grupos de paredes com interação 
A diferença entre este procedimento e o anterior é que os grupos de paredes 
definidos interagem entre si segundo uma taxa pré-definida, formando macrogupos. Ou seja, 
considera-se a existência de forças de interação também sobre as aberturas. 
A taxa de interação representa a parcela da diferença de cargas que deve ser 
uniformizada em cada nível entre os grupos que interagem. Segundo ACCETTI (1998), na 
falta de modelos teóricos ou de algum procedimento experimental, pode-se adotar para a 
uniformização das cargas verticais entre os grupos, o modelo da NBR-10837 (1989), que é o 
espalhamento a 45 graus. 
É um procedimento mais trabalhoso que os dois anteriormente mencionados. 
CORRÊA & RAMALHO sugerem a automatização através de computadores, para que se 
reduza a possibilidade da ocorrência de erros. Resumidamente, trata-se de fazer a 
distribuição através das seguintes equações: 
   tqqd mii  1 (2.1) 
 imi dqq  (2.2) 
Onde: 
iq : carga do grupo i; 
mq : carga média dos grupos que estão interagindo, calculada pela carga total 
dividida pelo comprimento total; 
id : diferença de carga do grupo em relação à média; 
t : taxa de interação. 
De acordo com ACCETTI (1998), é essencial a experiência do projetista, tanto 
na escolha dos macrogrupos como na determinação da taxa de interação, pois são fatores 
que levam a diferenças apreciáveis nas cargas das paredes, podendo afetar de maneira 
significativa a segurança e a economia. 
A economia é sem dúvida o maior atrativo deste procedimento. As 
especificações de resistências de blocos resultantes da aplicação dos conceitos de grupos 
de paredes com interação tendem a ser as menores entre os procedimentos discutidos até 
aqui, ou seja, paredes isoladas, grupos isolados de paredes e grupos de paredes com 
interação. 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
22 
2.2 – CARREGAMENTO HORIZONTAL 
Segundo ACCETTI (1998), as principais ações horizontais que devem ser 
consideradas no Brasil são a ação do vento e o desaprumo. No caso de áreas sujeitas a 
abalos sísmicos, a sua consideração é indispensável no cálculo do edifício. 
O vento atua sobre as paredes dispostas na direção perpendicular à sua, as 
quais passam a ação às lajes dos pavimentos. Sendo as lajes diafragmas rígidos no seu 
plano, distribuem parcelas da ação do vento aos painéis de contraventamento, 
proporcionalmente à rigidez de cada um. 
Para a consideração do vento, deve-se utilizar a NBR-6123 (1989). Dessa forma, 
obtêm-se forças, ao nível de cada pavimento, que posteriormente serão distribuídas pelos 
painéis de contraventamento. 
CORRÊA & RAMALHO (2003) sugerem que o desaprumo seja considerado 
tomando por base a norma alemã DIN 1053. Sendo o ângulo para o desaprumo do eixo da 
estrutura tomado em função da altura da edificação, conforme o que se apresenta na 
seguinte equação: 
H

100
1
 (2.3) 
Onde: 
 : ângulo em radianos do desaprumo; 
H : altura da edificação em metros. 
Ainda de acordo com CORRÊA & RAMALHO (2003), este procedimento é 
racional, pois o ângulo de desaprumo decresce em relação à altura da edificação. Isso é o 
que se espera no caso de edificações, pois a probabilidade de erros de prumo dos 
pavimentos sempre para o mesmo lado é relativamente pequena. 
Através do ângulo  , pode-se determinar uma ação horizontal equivalente a ser 
aplicada ao nível de cada pavimento, através da seguinte expressão: 
 PFd (2.4) 
Onde: 
dF : força horizontal equivalente ao desaprumo; 
P : peso total do pavimento considerado. 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
23 
Segundo CORRÊA & RAMALHO, essas forças, que aparecem esquematizadas 
na Figura 2.4, podem ser simplesmente somadas à ação dos ventos, permitindo que a 
consideração desse efeito seja feita de forma simples e segura. 
 
Figura 2.4 – Ação horizontal equivalente para a consideração do desaprumo 
2.2.1 – Consideração de abas em painéis de contraventamento 
Segundo CORRÊA & RAMALHO (2003), para a correta consideração da rigidez 
dos painéis de contraventamento é recomendável que se leve em conta a contribuição das 
abas ou flanges, que são trechos de paredes transversais ligados ao painel. Esses trechos 
podem ser considerados como solidários aos painéis, alterando de forma significativa a sua 
rigidez, especialmente o momento de inércia relativo à flexão. 
As recomendações da NBR-10837 (1989) e do ACI-530 para consideração do 
comprimento efetivo das abas são muito semelhantes, sendo que a norma brasileira é um 
pouco mais complexa neste ponto. 
CORRÊA & RAMALHO (2003) recomendam a utilização da prescrição 
encontrada no ACI-530, pois, segundo os mesmos autores, as recomendações da NBR-
10837 tornam a consideração mais complexa, sem acrescentar qualquer beneficio. 
O ACI-530 especifica que o comprimento efetivo das abas deve ser de seis 
vezes a espessura da parede para cada lado onde houver aba a ser considerada. 
É extremamente recomendada a consideração de abas em painéis de 
contraventamento. Apesar de um pouco mais trabalhosa, essa consideração é bastante 
interessante. Segundo CORRÊA & RAMALHO (2003), duas vantagens podem ser 
destacadas. A primeira diz respeito a uma maior acuidade na determinação da rigidez de 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
24 
cada painel que participa da estrutura de contraventamento. Como quinhões de carga são 
distribuídos em função dessas rigidezes, a ausência das abas pode influir negativamente na 
distribuiçãodas ações, fazendo com que alguns painéis tenham sua rigidez subestimada ou 
superestimada, causando uma distribuição incorreta dessas ações. Além disso, as abas em 
geral dobram as inércias dos painéis e, portanto, praticamente dividem por dois as tensões a 
serem obtidas da análise. 
2.2.2 – Distribuição de ações para contraventamentos simétricos 
No caso de contraventamentos simétricos em relação à direção em que atua o 
vento que se deseja analisar, haverá apenas translação dos pavimentos. Nesse caso todas 
as paredes, em um determinado nível, apresentarão deslocamentos iguais. Isso facilita 
significativamente a distribuição das ações pelos painéis de contraventamento. 
A seguir, serão apresentados dois procedimentos para a distribuição das ações 
horizontais. 
a) Paredes isoladas 
Neste procedimento, considera-se que a existência de uma abertura separe as 
paredes adjacentes a essa abertura, transformando-as em elementos isolados, verdadeiras 
vigas engastadas na extremidade inferior e livres na outra. 
Este é um procedimento de distribuição que pode ser muito simples e eficiente. 
A aplicação do processo consiste em se determinar a rigidez relativa de cada painel e, a 
partir daí, distribuir as ações horizontais proporcionalmente a essa rigidez relativa. 
Pode-se definir a soma de todas as inércias da seguinte forma: 
nIIIII  ...321 (2.5) 
A rigidez relativa de cada painel será: 
I
I
R ii

 
(2.6) 
A ação em cada painel pode ser obtida simplesmente multiplicando-se a ação 
total em um determinado pavimento, totF , pelo valor iR , ou seja: 
itoti RFF  
(2.7) 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
25 
Encontradas as ações ao nível de cada pavimento, determina-se os diagramas 
de esforços solicitantes. As tensões normais devidas à ação do momento fletor podem ser 
encontradas utilizando-se a expressão tradicional da resistência dos materiais: 
W
M
 (2.8) 
Onde: 
M : momento fletor atuante na parede; 
W : módulo de resistência à flexão ( máxyIW  ). 
b) Paredes com aberturas 
Este procedimento consiste em considerar as alvenarias com aberturas como 
pórticos, com pilares e vigas. Os pilares são os trechos verticais de parede e as vigas são os 
lintéis (trechos entre as aberturas). Os painéis assim definidos absorverão esforços também 
proporcionais às suas rigidezes, de forma semelhante ao que foi descrito anteriormente para 
o procedimento com paredes isoladas. 
É um procedimento que, evidentemente, envolve a utilização de recursos 
computacionais. Para o caso de ação segundo um eixo de simetria da estrutura de 
contraventamento, poderá ser utilizado um simples programa para pórticos planos. Basta 
que metade dos diversos painéis da estrutura, pórticos ou paredes isoladas, sejam 
modelados em um esquema chamado de associação plana de painéis. 
De acordo com CORRÊA & RAMALHO, dois detalhes são importantes para esse 
caso de associação. O primeiro diz respeito à barra que realiza a ligação entre os painéis ao 
nível de cada pavimento, simulando a laje de concreto. Evidentemente, essa barra deve ser 
suficientemente rígida para que os deslocamentos de todos os nós de um mesmo nível 
sejam iguais. O segundo ponto a ser destacado é a aplicação do carregamento, 
normalmente metade da ação total do pavimento, apenas no primeiro painel modelado. A 
distribuição dessa ação se fará automaticamente pela compatibilidade dos deslocamentos, 
garantindo esforços coerentes em cada elemento da estrutura. 
As tensões encontradas com este procedimento são significativamente menores 
que as paredes consideradas isoladamente. Entretanto, segundo CORRÊA & RAMALHO, 
deve-se tomar as devidas precauções para que todos os esforços advindos da análise 
sejam corretamente considerados. Em especial, deve-se verificar a flexão e o cisalhamento 
dos lintéis, garantindo o funcionamento da estrutura segundo o modelo idealizado. 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
26 
Observando-se que no caso das paredes com aberturas, os “pilares” estão submetidos à 
flexão composta com força normal. 
2.2.3 – Distribuição de ações para contraventamentos assimétricos 
Caso o eixo segundo o qual atua a ação horizontal não seja de simetria, o 
pavimento não apenas translada, mas também apresenta uma rotação. Assim sendo, os 
deslocamentos dos painéis, para um mesmo pavimento, não serão iguais. 
Os procedimentos de distribuição basicamente continuam os mesmos, porém 
existe a necessidade de maiores recursos computacionais para a obtenção de resultados 
consistentes com o fenômeno. 
CORRÊA & RAMALHO (2003) sugerem, para estes casos, a utilização de um 
programa que possua elementos de barra tridimensionais e um recurso conhecido como nó 
mestre. O nó mestre é um recurso computacional através do qual as translações no plano 
do pavimento dos nós a ele ligados são transferidas em conjunto com a rotação normal a 
esse plano, como se existisse um segmento totalmente rígido entre o nó considerado e o nó 
mestre. Todos os nós do pavimento perdem os referidos graus de liberdade de translação, e 
também a rotação em torno do eixo normal ao plano, ficando as rigidezes concentradas no 
nó eleito como mestre do pavimento. Sendo que, para o caso de paredes com aberturas, a 
única diferença é de que existirão barras horizontais para simular os lintéis. 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
27 
3 - DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS DE ALVENARIA 
ESTRUTURAL 
A NBR-10837 (1989) adota o Método das Tensões Admissíveis para o 
dimensionamento dos elementos de alvenaria estrutural. De acordo com esta norma, as 
tensões admissíveis para a alvenaria não armada devem ser baseadas na resistência dos 
prismas, pf , aos 28 dias ou na idade na qual a estrutura estará submetida ao carregamento 
total. 
As tensões admissíveis de compressão axial na alvenaria podem ser 
determinadas por meio de ensaios de prismas (dois blocos de concreto unidos por junta de 
argamassa) regulamentados pela NBR-8215 (1983), ou por meio de ensaios de paredes 
regulamentados pela NBR-8949 (1985). 
Normalmente, opta-se pelo ensaio de prismas, por ser mais econômico e mais 
fácil de ser executado do que o ensaio de paredes. 
Existe um conceito muito importante quando se trata da influência da resistência 
dos blocos na resistência à compressão das paredes. É a “eficiência”,  , ou seja, a relação 
entre a resistência do prisma, pf , e a resistência do bloco, bf , que o compõe. A relação a 
seguir exprime matematicamente este conceito: 
b
p
f
f
 (3.1) 
Segundo ACCETTI (1998), no Brasil, a prática costuma indicar valores que 
variam de 0,5 a 0,9 para a eficiência no caso de blocos de concreto. 
A Tabela 3.1 faz um resumo das prescrições da NBR-10837 (1989) para as 
tensões admissíveis da alvenaria não-armada. De forma semelhante, a Tabela 3.2 
apresenta prescrições para a alvenaria armada. A Tabela 3.3 apresenta os valores de 
tensões admissíveis para as armaduras. 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
28 
Tabela 3.1 – Tensões admissíveis para alvenaria não armada 
Tipo de solicitação 
Tensão admissível (MPa) 
0,170,12  af 
0,120,5  af 
T
e
n
s
õ
e
s
 N
o
rm
a
is
 
Compressão 
simples 
Parede 
Rf p 20,0 ou 
Rf par 286,0 
Rf p 20,0 ou 
 
Rf par 286,0 
Pilar Rf p 18,0 
Rf p 18,0 
Compressão na flexão p
f30,0
 p
f30,0
 
Tração na 
flexão 
Normal à 
fiada 
15,0 (bloco vazado) 10,0 (bloco vazado) 
 25,0 (bloco maciço) 15,0 (bloco maciço) 
Paralela à 
fiada 
 30,0 (bloco vazado) 20,0 (bloco vazado) 
 55,0 (bloco maciço) 40,0 (bloco maciço) 
Cisalhamento 25,0 15,0 
 
Onde: 
af , pf e parf : resistênciasda argamassa, prisma e parede, respectivamente; 
3
40
1 







t
h
R : fator de redução da resistência associado à esbeltez (altura da 
parede, h, sobre espessura da parede, t). 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
29 
Tabela 3.2 – Tensões admissíveis para alvenaria armada 
Tipo de solicitação Tensão admissível (MPa) Valor máximo (MPa) 
T
e
n
s
õ
e
s
 
N
o
rm
a
is
 Compressão 
simples 
Parede Rf p 225,0 2,633,0  pf 
Pilar   Rff csp  ,30,020,0  
Compressão na flexão p
f33,0
 
2,6 
Tração na flexão - - 
C
is
a
lh
a
m
e
n
to
 
Peças fletidas 
sem armadura 
Vigas 
 p
f09,0
 
35,0 
P
ila
re
s
 p
a
re
d
e
 
1
 dV
M
 
 p
f07,0
 
25,0 
1
 dV
M
 
 p
f17,0
 
35,0 
Peças fletidas 
com armadura 
para todas as 
tensões de 
cisalhamento 
Vigas 
 p
f25,0
 
1 
P
ila
re
s
 p
a
re
d
e
 
1
 dV
M
 
 p
f12,0
 
5,0 
1
 dV
M
 
 p
f17,0
 
8,0 
T
e
n
s
õ
e
s
 d
e
 
c
o
n
ta
to
 Em toda espessura da parede pf250,0 
Em 1/3 da espessura (mínimo) pf375,0 
Entre os limites acima Interpolar os valores anteriores 
Módulo de deformação pf400 8000 
Módulo de deformação transversal pf200 
3000 
Aderência 0,1 
Onde: 
M e V : momento fletor e força cortante em paredes de contraventamento, 
respectivamente; 
d : distância entre a face comprimida e a armadura (altura útil da seção). 
Tabela 3.3 – Tensões admissíveis no aço 
Solicitação Armadura Tensão admissível (MPa) 
Tração 
Barras com mossas, 
412ydf MPa e 32 mm 165 
Barras colocadas na argamassa de assentamento 20650,0  ydf 
Outras armaduras 137 
Compressão 
Armaduras de pilares 16540,0  ydf 
Armaduras em paredes 62 
Para complementar, segundo a NBR-10837 (1989), o graute deve ter sua 
resistência característica maior ou igual a duas vezes a resistência característica do bloco. 
Segundo a NBR-10837 (1989), a tensão de cisalhamento admissível em 
parafusos de aço e ancoragens não deve exceder os valores indicados na Tabela 3.4. 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
30 
Tabela 3.4 – Tensões de cisalhamento admissíveis em parafusos e ancoragens 
Diâmetro do parafuso ou 
ancoragem (mm) 
Embutimento 
(mm) 
(Mpa) 
6,3 100 1,8 
9,5 100 2,8 
12,7 100 3,8 
15,9 100 5,1 
19 130 7,5 
22,2 150 10,3 
25,4 180 12,7 
28,4 200 15,4 
Os parafusos ou ancoragens devem estar solidamente envolvidos pela 
argamassa de assentamento ou pelo graute. 
3.1 – DIMENSIONAMENTO DE VERGAS E VIGAS 
Vergas e vigas são elementos estruturais lineares destinados a suportar e 
transmitir ações verticais mediante um comportamento predominante de flexão. 
De acordo com a NBR-10837 (1989), para o cálculo das vergas, só é necessário 
tomar como carregamento as ações atuantes no triângulo isósceles definido sobre a mesma 
(Figura 3.1). 
a
L
45° 45°
g
 
Figura 3.1 – Carga distribuída dentro do triângulo de carga 
Para cargas concentradas sobre vergas de portas ou janelas, que se apliquem 
no interior ou na proximidade do triângulo de carga, é adotada uma distribuição a 60 graus 
(Figura 3.2). 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
31 
L
45°
g
60°
P
 
Figura 3.2 – Carga concentrada fora do triângulo de carga 
O item 5.2.2 da NBR-10837 (ABNT, 1989) fixa as hipóteses de cálculo dos 
elementos fletidos. Para maior clareza, apresentam-se as suas prescrições, que são as 
seguintes: 
[...] Os componentes fletidos são calculados no Estádio II. Nestes cálculos, as 
hipóteses básicas são as seguintes: 
a seção que é plana antes de fletir permanece plana após a flexão; 
o módulo de deformação da alvenaria e da armadura permanece constante; 
as armaduras são completamente envolvidas pelo graute e pelos elementos 
constituintes da alvenaria, de modo que ambos trabalhem como material 
homogêneo dentro dos limites das tensões admissíveis. 
É importante ressaltar que no Estádio II supõe-se que a alvenaria não suporte 
tensões de tração. Além disso, o comportamento dos materiais é admitido como sendo 
linear. 
A seguir será apresentado um resumo das principais fórmulas utilizadas no 
dimensionamento à flexão simples. A Figura 3.3, retirada de ACCETTI (1998), auxilia na 
definição dos parâmetros. 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
32 
 
Figura 3.3 – Flexão simples em seção retangular (armadura simples) 
Inicialmente, definem-se duas grandezas adimensionais auxiliares, a razão de 
tensões, m , e a razão modular, n . 
alv
s
f
f
m  
(3.2) 
alv
s
E
E
n  
(3.3)
Onde: 
sf : tensão de tração nas armaduras ( tsf , ); 
alvf : máxima tensão de compressão na alvenaria ( falvf , ); 
sE : módulo de elasticidade do aço; 
alvE : módulo de elasticidade da alvenaria. 
Define-se a posição da linha neutra: 
  nnnkx   2
2
 
(3.4) 
Onde: 
db
As

 
A armadura pode ser calculada pela seguinte expressão: 
d
M
kA ss  
(3.5) 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
33 
Onde: 
zs
s
kf
k


1
 
A máxima tensão na alvenaria é dada por: 
2
2
db
M
kk
f
zx
alv



 
(3.6) 
O melhor aproveitamento, dimensionamento balanceado, é conseguido quando 
a armadura e a alvenaria atingem simultaneamente as suas tensões admissíveis, ou seja: 
falvalv ff , e tss ff , 
Nesse caso, a posição da linha neutra e a taxa de armadura podem ser 
facilmente obtidas com as seguintes relações: 
b
xb
mn
n
k

 
(3.7) 
 nmm
n
bb
b


2
 
(3.8) 
A altura útil correspondente a este dimensionamento é obtida através da 
seguinte expressão: 
falvzbxb
b
fb
M
kk
d
,
2



 
(3.9) 
Em que: 
3
1 xbzb
k
k  
a) Dimensionamento subarmado 
O dimensionamento subarmado ocorre quando a altura útil disponível é maior ou 
igual à necessária ao dimensionamento balanceado. 
Para este tipo de dimensionamento deve ser utilizado um processo iterativo para 
a determinação da posição da linha neutra e da área de aço necessária ao elemento. Esse 
procedimento pode ser realizado com o auxílio da planilha de cálculo, retirada de CORRÊA 
& RAMALHO (2003), apresentada na Tabela 3.5. 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
34 
Tabela 3.5 – Flexão de seções subarmadas 
 i zk 
 zts
s
kf
k


,
1
 
d
M
kA ss 
 db
A
nn s

 
 
  nnnk x   2
2
 3
1 xz
k
k 
 
 1 bz
k
      
 2       
..
. 
       
O primeiro valor de zk a ser utilizado é o do dimensionamento balanceado. O 
cálculo termina quando o valor de zk obtido da última coluna não diferir significativamente 
do valor da primeira coluna. Em geral, o processo iterativo é rápido e necessita de no 
máximo três iterações. 
No final do processo deve-se chegar a: 
falv
zx
alv f
db
M
kk
f
,2
2




 
(3.10) 
b) Dimensionamento com armadura dupla 
O roteiro de cálculo descrito a seguir pode ser melhor compreendido com o 
auxílio da Figura 3.4, retirada de ACCETTI (1998). 
 
Figura 3.4 – Flexão simples em seção retangular (armadura dupla) 
Determina-se, inicialmente, a parcela do momento fletor que é absorvida com 
armaduras simples e dimensionamento balanceado: 
2
2
,
db
kkfM zbbfalvo

 
(3.11) 
A seção de armadura tracionada correspondente ao momento oM é calculada 
por: 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
35 
dkf
M
A
zbts
o
s


,
1 
(3.12) 
Determina-se a parcela complementar do momento ( oMMM ), que deve 
ser absorvida apenas pelo binário de forças correspondentes às armaduras adicionais 2sA 
(na região tracionada) e 
'
sA (na região comprimida). 
As seções de armadura adicionais são calculadas pelas seguintes expressões: 
 
 
 
ts
s
fdx
xd
dd
M
A
,
' 1
''






 
(3.13) 
c) Dimensionamento ao cisalhamento 
A tensão convencional de cisalhamento atuante nas vergas e vigas de alvenaria 
deve ser calculada, segundo a NBR-10837 (1989), com a seguinte expressão: 
db
V
alv

 
(3.14) 
Onde: 
V : esforço cortante; 
b : largura da seção; 
d : altura útil, ou seja, distância da face comprimida ao centróide das armaduras 
tracionadas. 
No caso da tensão atuante de cisalhamento superar o limite de tensão 
admissível correspondente a peças fletidas sem armadura de cisalhamento, é necessário 
calcular esta armadura. 
De acordo com a NBR-10837 (1989), a área das barras que funcionem como 
estribos pode ser calculada pela fórmula: 
df
sV
A
ts
sw



,
90, 
(3.15) 
Onde: 
V : esforço cortante atuante; 
s : espaçamento dos estribos; 
ts
f
, : tensão admissível do aço dos estribos 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
36 
d : altura útil da verga ou viga 
3.2 – DIMENSIONAMENTO DE PILARES E PAREDES 
De acordo com a NBR-10837 (1989), paredes são elementos laminares verticais, 
apoiados de modo contínuo em toda a sua base, com comprimento maior que cinco vezes a 
espessura, enquanto que pilares são elementos estruturais em que a seção transversal 
utilizada no cálculo dos esforços resistentes possui relação de lados inferior a cinco. 
Paredes e pilares são elementos verticais preponderantemente comprimidos. 
a) Dimensionamento à compressão axial 
A tensão normal de compressão axial atuante em uma parede ou pilar é dada 
por: 
ef
calv
A
P
f , 
(3.16) 
Onde: 
calvf , : tensão de compressão axial atuante; 
P : carga vertical de compressão atuante; 
efA : área efetiva da parede ou pilar. 
O cálculo da área pode ser feito tanto em relação à seção líquida como em 
relação à seção bruta, basta que a resistência do prisma seja dada em função da mesma 
área. Segundo a NBR-8215 (1983), os resultados devem ser relatados como a tensão obtida 
da divisão da carga de ruptura pela área líquida do bloco, no caso dos prismas ocos, ou pela 
área bruta, no caso dos prismas cheios. Se, com a finalidade de aumentar a capacidade 
resistente da parede, alguns furos dos blocos forem grauteados, basta computar o aumento 
de área correspondente. 
b) Dimensionamento à flexão composta 
A flexão composta, em que ocorre interação entre carregamento axial e 
momentos fletores, é muito comum em elementos de alvenaria estrutural, particularmente 
quando se analisam estruturas portantes de edifícios. Neste caso, além de suportar as 
cargas gravitacionais, as paredes que fazem parte do sistema de contraventamento lateral 
resistem às ações horizontais provenientes do vento e do desaprumo. 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
37 
A primeira verificação a ser feita quando se analisa uma seção submetida à 
flexão composta é a respeito de eventuais tensões de tração que possam ocorrer: 
talvcalvfalv
fff
,,,
75,0  (3.17) 
Onde: 
falvf , : tensão de compressão atuante, devido à flexão; 
calvf , : tensão de compressão axial atuante; 
talv
f
, ; tensão de tração admissível na alvenaria não armada. 
Se esta relação for atendida, significa que a seção transversal estará submetida 
a tensões menores que aquelas que podem ser resistidas pela alvenaria não-armada, não 
sendo necessária a utilização de armaduras para resistir aos esforços de tração 
Em caso contrário, deve-se providenciar armaduras para absorver aos esforços 
de tração. 
Quando para o cálculo das tensões atuantes estiverem sendo consideradas 
apenas as cargas permanentes e ações variáveis, a verificação será feita através da 
relação: 
00,1
,
,
,
,

falv
falv
calv
calv
f
f
f
f
 
(3.18) 
Onde: 
calvf , : tensão de compressão atuante; 
calvf , : tensão admissível à compressão; 
falvf , : tensão de flexão atuante; 
falvf , : tensão admissível de flexão. 
Caso a ação dos ventos também seja considerada na combinação, a NBR-
10837 prescreve que o limite das tensões pode ser acrescido 33%. Isso significa verificar a 
combinação através da relação: 
33,1
,
,
,
,

falv
falv
calv
calv
f
f
f
f
 
(3.19) 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
38 
Quando as tensões de tração ultrapassam o valor admissível, a NBR-10837 
(1989) prescreve que se deve prever a utilização de armaduras para resistir a essas 
tensões. 
A Figura 3.5, retirada de ACCETTI (1998), auxilia na definição dos parâmetros 
principais utilizados para o dimensionamento à flexão composta. 
 
Figura 3.5 – Flexão composta (Estádio II) 
Inicialmente, deve-se calcular a máxima tensão de compressão devida à flexão 
que se pode ter: 
falv
calv
calv
fmáxalv f
f
f
f ,
,
,
, 







  
(3.20) 
Sendo que  pode ser igual a 1,33 ou 1,00, dependendo da combinação incluir 
ou não a ação do vento, respectivamente. 
Como primeira tentativa, pode-se admitir que a máxima tensão de compressão é 
a que corresponde a 100% de fmáxalvf , , o que leva a uma tensão de compressão total de: 
fmáxalvcalvc fff ,,  (3.21) 
A posição da linha neutra pode ser definida por: 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
39 
0'
22
1
6
1 2 

















 d
h
NMxdtfxtf cc 
(3.22)
Com o valor de “x” determina-se a tensão de tração no aço: 
cs f
x
xd
nf 

 
(3.23) 
Se o valor de sf for superior ao tsf , , deve-se buscar uma nova solução, que 
corresponde a uma nova tensão de compressão e a uma nova posição da linha neutra. A 
solução econômica é aquela em que sf se aproxima de tsf , . Nestas condições, determina-
se a resultante de compressão na alvenaria: 
txfC c 
2
1
 
(3.24) 
A resultante de tração na armadura é: 
0 NCT (3.25) 
Determina-se, então, a área de armadura de tração: 
s
s
f
T
A



 
(3.26) 
Sendo que  assume os mesmos valores citados anteriormente. 
Além deste procedimento, CORRÊA & RAMALHO (2003) recomendam a 
utilização de um processo simplificado sugerido por AMRHEIN (1998). O processo assume 
que a seção é homogênea, mas que a tração é suportada pelas armaduras. Sua utilização é 
bastante simples, mas implica considerar que o aço estará submetido a deformações que 
produzam uma tensão igual à admissível. Este procedimento pode ser organizado nos 
seguintes passos: 
Determinação das tensões atuantes de tração, tf , e compressão, alvf , bem 
como a posição da linha neutra, Figura 3.6, através das expressões clássicas da resistência 
dos materiais. 
W
M
A
N
falv  
(3.27) 
W
M
A
N
f t  
(3.28) 
Onde A é a área da seção transversal e W é o módulo de resistência à flexão. 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
40 
Verificação da tensão de compressão na alvenaria, alvf . 
Determinação da força total de tração por integração das tensões de tração, que 
na seção retangular se escreve: 
 xhbfT t 
2
1
 
(3.29) 
Determinação da área de aço: 
ts
s
f
T
A
,


 
(3.30) 
x
h
ft
falv
N
M
T
 
Figura 3.6 – Tensões e posição da linha neutra 
c) Dimensionamento ao cisalhamento 
A verificação ao cisalhamento e o dimensionamento da armadura para resistir a 
este tipo de esforço em paredes e pilares ocorre da mesma forma que em vigas e vergas. 
3.3 – EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM 
A NBR-10837 (1989)permite que os efeitos locais de segunda ordem nas 
estruturas de alvenaria estrutural sejam estimados em função da esbeltez ( ) dos 
elementos, definida pela razão altura efetiva ( efh ) sobre espessura efetiva ( eft ), ou seja, 
efef th . Segundo a norma, os limites máximos para a esbeltez dos elementos constam 
da Tabela 3.6. 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
41 
Tabela 3.6 – Índices máximos de esbeltez da NBR-10837 (1989) 
Tipo de Alvenaria Elemento Esbeltez 
Não-armada 
Paredes 20 
Pilares 20 
Pilares isolados 15 
Armada Paredes e pilares 30 
Não-estrutural Paredes 36 
 
Normalmente, a espessura efetiva de uma parede de alvenaria é sua espessura 
real. Entretanto, a NBR-10837 (1989) permite que se considere uma espessura efetiva 
equivalente quando se tem a presença de enrijecedores. 
A Tabela 3.7 e a Figura 3.7 servem como auxílio para a determinação da 
espessura efetiva de paredes e pilares. A espessura efetiva é determinada pela seguinte 
equação: 
paef tt   (3.31) 
Onde: 
eft : espessura efetiva; 
 : coeficiente de multiplicação apresentado pela Tabela 3.6; 
pat : espessura real da parede. 
Tabela 3.7 – Coeficiente  
ee tL 
1pae tt 
2pae tt 
3pae tt 
6 1,0 1,4 2,0 
8 1,0 1,3 1,7 
10 1,0 1,2 1,4 
15 1,0 1,1 1,2 
 20 1,0 1,0 1,0 
 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
42 
Le
te
tpa
 
Figura 3.7 – Parâmetros para cálculo da espessura efetiva de paredes 
Para a determinação do coeficiente  utilizando a Tabela 3.7, é aconselhável a 
interpolação de valores. 
Em todo caso, a NBR-10837 (1989) menciona 14cm como valor absoluto mínimo 
para a largura efetiva de paredes portantes e pilares armados, subentendendo-se que esse 
limite valha também para as alvenarias não armadas. 
A altura efetiva de paredes e pilares de alvenaria, aqui denominada de efh , é um 
dos parâmetros importantes para o cálculo da esbeltez de um elemento. A NBR-10837 
(1989) apresenta prescrições muito simples que podem ser resumidas nos itens seguintes: 
a) quando existe travamento na base e no topo, a altura efetiva deve ser a própria 
altura real da parede ( hhef  ); 
b) quando a extremidade superior estiver livre, a altura efetiva será duas vezes a altura 
real do elemento ( hhef  2 ). 
3.4 – CINTAS 
Segundo ACCETI (1998), as cintas são fiadas compostas por blocos canaleta 
preenchidos com graute e armadura e possuem como função dar travamento ao prédio 
como um todo, transmitir a reação da laje à alvenaria e combater efeitos provocados por 
variações volumétricas. Deste modo são indicadas abaixo da laje em todas as paredes e a 
meia altura, em especial nas paredes externas, por estarem expostas às intempéries. 
Ainda de acordo com ACCETI (1998), as cintas em geral não são calculadas, 
admitindo-as de altura igual a um bloco canaleta e armadura construtiva, que pode ser, por 
exemplo, 1 10,00mm corrido ou 2 8,00mm corridos. 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
43 
ACCETTI (1998) recomenda a utilização de uma cinta dupla abaixo de lajes de 
cobertura para dar maior travamento horizontal às paredes, evitando-se problemas de 
fissuração. 
3.5 – DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 
Este ítem é um resumo das disposições construtivas determinadas pela NBR-
10837 (1989) e foi completamente extraído de ACCETTI (1998). 
a) Paredes 
De acordo com o item 5.4.3.1.1 da ABNT (NBR-10837), as paredes resistentes 
devem ser armadas vertical e horizontalmente. A taxa de armadura mínima total deve ser 
0,2% vezes a área bruta da parede. A taxa de armadura mínima em cada direção deve ser 
de 0,07% da área da seção transversal bruta tomada perpendicular à armadura 
considerada. 
De acordo com o item 5.2.3.1.3 da mesma norma, as paredes resistentes devem 
ser armadas com uma taxa de armadura não inferior a 0,2% vezes a área bruta da parede, e 
não mais do que 2/3 devem estar em uma direção e 1/3 na outra. 
As armaduras com barras de diâmetro máximo 6,3 mm podem ser colocadas na 
argamassa e consideradas como parte da armadura necessária. A ABNT (NBR-10837) é 
bastante confusa nas suas especificações. De acordo com o item 5.4.3.1.3, o diâmetro da 
armadura horizontal na argamassa de assentamento não deve exceder a metade da 
espessura da camada de argamassa na qual a barra está colocada (em geral 1cm). Ainda 
de acordo com este item, as armaduras longitudinais situadas na argamassa de 
assentamento devem ter diâmetro mínimo de 3,8mm, mas não maior que a metade da 
espessura especificada da argamassa de assentamento. Se a armadura longitudinal for 
constituída de malhas ou barras com fios treliçados, os fios cruzados devem ter, no máximo, 
5mm de diâmetro. 
O espaçamento máximo das armaduras verticais deve ser o necessário para 
acomodar adequadamente o número de barras correspondentes à taxa de armadura 
mínima. O espaçamento mínimo das barras não deve ser inferior a 2cm. 
De acordo com o item 5.4.3.1.4 da ABNT (NBR-10837), a armadura na 
argamassa de assentamento deve ser contínua; existindo necessidade de emenda de 
justaposição, o trecho da emenda deve ter: 
a) 15cm - quando se usam fios com mossas ou saliências 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
44 
b) 30cm - quando se usam fios lisos 
De acordo com o item 5.4.3.1.5 da mesma norma, na alvenaria parcialmente 
armada só é disposta armadura para resistir a esforços de flexão, porventura existentes, e 
ao longo dos lados das aberturas. O máximo espaçamento das armaduras verticais em 
paredes exteriores parcialmente armadas deve ser de 240cm. 
De acordo com o item 5.4.1 da ABNT (NBR-10837), a espessura mínima de uma 
parede de alvenaria não-armada deve ser 1/20 da sua altura efetiva e não inferior a 14,0cm, 
e a espessura mínima de uma parede resistente de alvenaria armada deve ser 14,0cm. 
b) Pilares 
De acordo com o item 5.4.3.2 da ABNT (NBR-10837), a taxa de armadura (  ) 
das barras verticais deve estar entre 0,30% e 1%, inclusive os valores extremos. A 
armadura deve consistir, no mínimo, em quatro barras de 12,5mm de diâmetro, dispondo 
pelo menos uma em cada furo. O diâmetro das barras de armadura horizontal não deve ser 
inferior a 5mm. 
As armaduras transversais são constituídas de estribos de diâmetros de 4mm a 
6,3mm, espaçados a cada 20 cm. 
O espaçamento mínimo das barras em um pilar ou enrijecedor deve ser o maior 
valor entre 2,5 ou 4cm, medido de centro a centro das barras, inclusive no caso de 
emendas. 
O comprimento de emendas por justaposição não deve ser inferior a 40 . 
O cobrimento das armaduras dos pilares ou enrijecedores deve ser de 4cm. 
De acordo com o item 5.4.1 da ABNT (NBR-10837), a espessura mínima de um 
pilar de alvenaria não-armada deve ser 1/15 da sua altura efetiva e não inferior a 19,0 cm, e 
a espessura mínima de um pilar de alvenaria armada deve ser 19,0 cm. 
3.6 - ADERÊNCIA E ANCORAGEM 
A NBR-10837 (1989) determina que nos elementos fletidos, nos quais as 
armaduras tracionadas são paralelas à face comprimida, a tensão de aderência, b , deve 
ser calculada pela seguinte expressão: 
d
V
o
b



 
(3.32) 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
45 
Onde: 
V : esforço cortante 
o : soma dos perímetros das barras tracionadas 
d : altura útil 
Dessa forma, pode-se determinar o valor do comprimento de ancoragem bol . 
b
y
bo
f
l



4
 
(3.33) 
Onde: 
 : diâmetro da barra 
yf : tensão admissível do aço 
O comprimento de ancoragem pode ser reduzido para um valor de ancoragem 
bl , dado por: 
efs
cals
bob
A
A
ll
,
,
 
(3.34) 
Onde: 
calsA , : armaduracalculada 
efsA , : armadura efetiva 
O valor do comprimento de ancoragem bl deve ser sempre maior do que um dos 
valores: 
cm
l
l
bo
b
10
10
3
 
 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
46 
4 - CONCRETO ARMADO 
Este capítulo apresenta um resumo sobre lajes maciças e reservatório de 
concreto armado moldado in loco. Por ser um assunto amplo e bastante comentado durante 
o curso de engenharia civil, resolveu-se expor apenas um resumo dos procedimentos 
empregados no cálculo das lajes do edifício objeto deste trabalho. 
4.1 – LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO 
O primeiro passo para o cálculo das lajes maciças é a determinação da altura 
utilizada (pré-dimensionamento). Conforme critério proposto por PINHEIRO (2003), para 
lajes maciças com bordas apoiadas ou engastadas, a altura útil pode ser estimada por meio 
da seguinte expressão (dimensões em centímetros): 
100
)1,05,2( *ln
dest

 
 
(4.1) 
Onde: 
estd : altura útil estimada da laje 
n : número de bordas engastadas 
*l : menor valor entre xl (menor vão) e 70% de yl (maior vão) 
A altura total da laje pode ser obtida com a seguinte equação: 
)( lestest cdh  (4.2)
Onde: 
c : cobrimento nominal 
l : diâmetro da barra da armadura longitudinal 
4.1.1 – ESFORÇOS 
a) Ações 
As ações devem estar de acordo com as normas NBR-6120 (1980) e NBR-6118 
(2003).
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
47 
Nas lajes geralmente atuam, além do seu peso próprio, pesos dos revestimentos 
de piso e de forro, peso das paredes divisórias e cargas de uso. 
As cargas das paredes apoiadas diretamente na laje podem, em geral, ser 
admitidas uniformemente distribuídas na laje. 
Os valores das cargas devido ao uso estão especificados na NBR-6120 (1980) e 
dependem da utilização do ambiente arquitetônico que ocupa a região da laje em estudo. 
b) Reações de apoio 
Embora a transferência das ações das lajes para seus apoios aconteça em 
comportamento elástico, o procedimento de cálculo proposto pela NBR-6118 (2003) baseia-
se no comportamento em regime plástico através da utilização da teoria das charneiras 
plásticas, de acordo com o item 14.7.6.1 da NBR-6118 (2003). 
c) Momentos fletores 
As lajes estão sujeitas a momentos fletores e forças cortantes. Há basicamente 
dois métodos de cálculo para as lajes maciças: o elástico e o de ruptura. 
O método elástico, ou teoria das placas delgadas, baseia-se nas equações de 
equilíbrio de um elemento infinitesimal de placa e nas relações de compatibilidade das 
deformações do mesmo. 
A partir das equações de equilíbrio, das leis constitutivas do material (Lei de 
Hooke) e das relações entre deslocamentos e deformações, fazendo-se as operações 
matemáticas necessárias, obtém-se a equação fundamental que rege o problema de placas. 
Em geral, recorre-se a processos numéricos para a resolução dessa equação. 
Esses processos numéricos também podem ser utilizados na confecção de tabelas úteis 
para o cálculo dos esforços nas lajes. 
As tabelas utilizadas neste trabalho são baseadas nas de KALMAKOK (1961) e 
são encontradas em ARAÚJO (2003). 
Uma vez que as lajes são calculadas isoladamente, resultam dois valores 
distintos para os momentos negativos em uma aresta engastada. Daí a necessidade de 
promover a compatibilização desses momentos. 
Na compatibilização dos momentos negativos, o critério usual consiste em 
adotar o maior valor entre a média dos dois momentos e 80% do maior. 
Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos, os momentos 
positivos na mesma direção devem ser analisados. Se essa correção tende a diminuir o 
valor do momento positivo, pode-se ignorar a redução a favor da segurança. 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
48 
Se houver acréscimo no valor do momento positivo, a correção deverá ser feita, 
somando-se ao valor deste momento fletor a média das variações ocorridas nos momentos 
fletores negativos sobre os respectivos apoios, conforme recomendação de PINHEIRO 
(2003). 
4.1.2 – Determinação das armaduras longitudinais 
O cálculo da armadura das lajes se faz como no caso de vigas, observando-se 
que para a largura da seção é tomada uma faixa unitária e, portanto, a armadura encontrada 
deve ser distribuída ao longo dessa largura. Como a armadura é disposta em malha, a altura 
útil varia conforme a direção considerada. Simplificadamente, pode-se adotar a mesma 
altura útil para as duas direções, utilizando o valor médio entre as duas alturas úteis. 
Segue abaixo o equacionamento utilizado para o dimensionamento para 
armadura simples. 
cd
d
db
M




2
 
(4.3) 
(4.4) 
 
(4.5) 
 
Onde: 
 : momento fletor reduzido 
dM : momento fletor de cálculo 
b : largura da seção 
d : altura útil 
cd : tensão de cálculo do concreto ( cckf 85,0 ) 
 : razão entre a posição da linha neutra, x , e a altura útil, d ou seja, dx . 
sA : área de armadura 
ydf : tensão de escoamento de cálculo do aço 
ckf : resistência característica à compressão do concreto 
   21125,1
yd
cd
s
f
dbA

  8,0
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
49 
c : coeficiente de ponderação da resistência do concreto 
4.1.3 – Verificação de flechas 
As flechas devem ser calculadas para combinação quase permanente do 
carregamento. No caso dos edifícios residenciais, essa combinação é dada por: 
qgp  3,0 
Onde se subentende que a carga permanente, g, e a carga acidental, q, são 
tomadas com seus valores característicos. 
A flecha inicial, oW , em lajes armadas em duas direções, pode ser obtida com o 
emprego de tabelas encontradas em ARAÚJO (2003). Para isso, basta utilizar os 
coeficientes cw , encontrados nestas tabelas, na seguinte expressão: 
D
lp
wW xc
4
0 001,0

 
(4.6) 
Segundo recomendações encontradas em MACGREGOR (1988), para o cálculo 
da rigidez à flexão da laje, D, utiliza-se 30% da inércia da seção bruta, cI . Dessa forma, a 
rigidez à flexão da laje pode ser determinada por: 
 
 21
3,0



b
IE
D ccs 
(4.7) 
Onde: 
D : Rigidez à flexão da laje 
csE : Módulo de deformação longitudinal secante do concreto 
cI : Inércia da seção bruta 
b : Largura unitária 
 : Coeficiente de Poisson 
Para o coeficiente de Poisson do concreto,  , adotou-se o valor 0,0, 
considerando a fissuração do concreto. O módulo de deformação longitudinal secante, csE , 
pode ser obtido através da seguinte expressão: 
ckcs fE  560085,0 
(4.8) 
Projeto de um edifício de nove pavimentos em alvenaria estrutural 
V. S. Coelho, L. G. M. Oliveira, R. A. B. Reis 
50 
Sendo que ckf é dado em MPa. 
Para lajes armadas em uma direção, a flecha 0W é dada por: 
D
lpk
W x
4
0
384

 
(4.9) 
Onde k é um coeficiente que depende das condições de apoio. Este coeficiente 
é dado na Tabela 4.1, retirada em ARAÚJO (2003). 
Tabela 4.1 – Coeficientes para o cálculo da flecha 
Caso k Local 
Biapoiada 5 Centro 
Apoiada-engastada 2 Centro 
Biengastada 1 Centro 
Balanço 48 Extremo 
Segundo a NBR-6118 (2003), a flecha adicional diferida, decorrente das cargas 
de longa duração, em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela 
multiplicação da flecha imediata pelo fator f dado por: 
'501 




f 
(4.10) 
db
A s


'
' 
(4.11) 
sA' é a armadura de compressão, no caso de armadura dupla; 
   ott   (4.12) 
 é um coeficiente em função do tempo, calculado pela expressão seguinte ou 
obtido diretamente na Tabela 4.2. 
    32,0996,068,0 tt t  para 70t meses 
  2t para 70t meses 
t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; 
ot é a idade, em meses, relativa à aplicação da carga de longa duração. 
Portanto,