Matemática Financeira

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UNIP – Tatuapé - Matemática Financeira - 
:. Aula 4 
 
:. Conceitos Básicos (Revisão) 
:. Juros Compostos 
 
Conceitos Básicos 
A Matemática Financeira é o estudo do dinheiro no tempo. 
Devemos entender que VALORES IGUAIS EM DATAS DIFERENTES NÃO SIGNIFICAM A MESMA 
QUANTIA do ponto de vista financeiro. 
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de 
investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos 
matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. 
Capital 
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: 
Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela 
tecla PV nas calculadoras financeiras). 
Juros 
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os 
juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. 
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital 
inicial emprestado ou aplicado. 
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no 
início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo 
de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros 
também. 
 
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas 
prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for 
capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver 
disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta 
abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade 
de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais 
conhecida como taxa de juros. 
Quando usamos juros simples e juros compostos? 
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A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: 
compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações 
financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente 
encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do 
processo de desconto simples de duplicatas. 
Taxa de juros 
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um 
determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da 
especificação do período de tempo a que se refere: 
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). 
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual 
dividida por 100, sem o símbolo %: 
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) 
A tabela abaixo mostra um exemplo das diferenças de cálculo entre os tipos de sistema, para 
um valor inicial de R$10.000,00 por um período de 6 meses, à taxa de juros de 2% ao mês. 
Final 
do mês 
Juros Simples Juros Compostos 
Capital(P) Juros Montante(M) Capital Juros Montante 
1 10.000 200 10.200 10.000 200 10.200 
2 10.000 200 10.400 10.200 204 10.404 
3 10.000 200 10.600 10.404 208,08 10.612 
4 10.000 200 10.800 10.612,08 212,24 10.824 
5 10.000 200 11.000 10.824,32 216,49 11.041 
6 10.000 200 11.200 11.040,81 220,82 11.262 
 
Podemos observar que o dinheiro cresce mais rapidamente a Juros Compostos do que ao Juros 
Simples. A Juros Compostos o dinheiro cresce EXPONENCIALMENTE em progressão geométrica ao 
longo do tempo. 
O gráfico a seguir, apresenta a comparação entre os Juros Simples e Compostos. 
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Gráfico 1 – Comparação do Juros Simples e Compostos 
 
Juros Compostos 
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil 
para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal 
para o cálculo dos juros do período seguinte. 
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após 
três meses de capitalização, temos: 
1º mês: M =C.(1 + i) 
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1 + i) 
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) 
Simplificando, obtemos a fórmula: 
M = C . (1 + i)n 
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de 
juros ao mês para n meses. 
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: 
J = M - C 
 
0 
Capital 
1.000 
Períodos 
Juros 
Simples 
1 2 3 
Juros 
Compostos 
 4 
Exemplos: 
Cálculo do Montante 
Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, 
à taxa de 3,5% ao mês. 
Resolução: 
 
 HP 12c 
C = R$6.000,00 
t = 1 ano = 12 meses 
i = 3,5 % a.m. = 0,035 
M = ? 
6000 
 - 
Usando a fórmula M=C.(1+i)n, obtemos: 
M = 6000.(1+0,035)12 
M = 6000. (1,035)12 
3.5 
 
M = 6000 . 1,5110 = 9066,41 
Portanto o montante é R$9.066,41 
 
12 
 
 
 
9.066,41 
Cálculo de Taxa de Juros 
Calcule a taxa de juros de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 
ano, tendo no final o montante de R$9.066,41. 
Resolução: 
C = R$6.000,00 
t = 1 ano = 12 meses 
M = R$9.066,41 
i = ? 
Usando a fórmula M=C.(1+i)n, obtemos: 
9066,41 = 6000.(1+i)12 
9066,41/6000 = (1 + i)12 
1,5111 = (1 + i)12 
12 5111,1 = 12 12)1( i+ 
1,0350 = 1 + i 
1,0350 – 1 = i 
0,0350 = i (*100) 
i = 3,5% a.m. 
Extração de Raiz 
1,5111 ENTER 
12 
 
0,0833 
Visor 
= 1,0350 
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Cálculo do Período 
Calcule o período de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, tendo no final o 
montante de R$9.066,41, à uma taxa de 3,5%a.m. 
Resolução: 
t = ? 
C = R$6.000,00 
M = R$9.066,41 
i = 3,5% a.m. / 100 = 0,035 
Usando a fórmula M=C.(1+i)n, obtemos: 
9066,41 = 6000.(1+0,035)n 
9066,41/6000 = (1,035)n 
1,5111 = (1,035)n 
Ln(1,5111) = n . Ln(1,035) 
0,4128 = n . 0,0344 
0,4128 / 0,0344 = n 
n = 12 meses 
 
O Cálculo do período a Juros Compostos, não é possível por meio de uma simples fórmula 
algébrica, neste caso é necessário utilizar cálculos através do Logaritmo. Para usar o Logaritmo na HP 
12c, basta apertar a tecla > (LN). 
 
Em cálculos para a obtenção de períodos, algumas vezes esses cálculos resultam em períodos 
fracionados, exemplos: 4,5 anos ou 6,30 meses. Para calcular esses valores fracionados, utilizamos 
as teclas > para separar os valores fracionados ou > para separa os 
valores inteiros. 
 
Veja o exemplo a seguir: 
 
Do resultado acima 4,5 anos, vamos separar o valor fracionado do período ano e calcular da 
seguinte forma: 
 
 6 
HP 12c 
Teclas Visor 
 4,5 
 
0,5 
12 
= 6 meses 
Período = 4 anos e 6 meses 
Quadro 1 – Períodos Fracionados de anos para meses 
 
Exercícios sobre Juros Compostos 
Resolver os exercícios a seguir. 
 
1. Uma indústria financia seu capital de giro em um banco que cobra juros compostos de 5% ao 
mês. Podemos afirmar que, para um valor atual de R$10.000,00 essa indústria pagará, em um 
prazo de seis meses, um juro de: 
Fórmulas: M=P.(1+i)n ou J=P.[(1+i)n -1] 
2. Do que restou do seu décimo terceiro salário um professor aplicou R$1.000,00 em uma 
financeira que paga juros compostos de 2% ao mês. Efetuando os cálculos, determinamos 
que o montante que esse professor receberá ao final de cinco meses será: 
Fórmula: M=P.(1+i)n 
3. Um capital qualquer aplicado a juros compostos de 5% ao mês deverá dobrar em, mais 
aproximadamente: 
Fórmula: M=P.(1+i)n 
 
4. Um capital qualquer deverá render de juros compostos 20% do seu valor em cinco meses, se 
for aplicado à taxa de: 
Fórmulas: M=P.(1+i)nou J=P.[(1+i)n -1] 
 
5. O principal que devo aplicar hoje em uma instituição que remunera as aplicações à taxa de 
juros compostos de 4% ao mês para ter R$ 5.000,00 de montante daqui a dez meses será de: 
Fórmula: M=P.(1+i)n 
 
6. Podemos afirmar que valor dos juros recebidos por um investidor que aplicou R$5.000,00 a 
juros compostos de 4% ao mês durante 11 meses foi de: 
Fórmulas: J=P.[(1+i)n -1] ou M=P.(1+i)n 
 
7. Um investidor aplicou R$40.000,00 a juros compostos, recebendo um montante de 
R$51.200,00 depois de três meses. Sabendo que nos dois primeiros meses as taxas de juros 
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da aplicação foram 5% e 6% respectivamente, podemos afirmar que a taxa referente ao 
último mês da aplicação foi: 
Fórmula: M=P.(1+i)n 
 
8. Seguindo o esquema da Tabela Price, muito comum em financiamentos, uma financeira afirma 
utilizar a taxa de juros compostos anual de 12%. Exemplifica mostrando que divide a taxa 
anual por doze chegando a uma taxa mensal de 1%. Para o cálculo do financiamento essa taxa 
mensal é capitalizada mensalmente durante doze períodos. Podemos afirmar que a taxa de 
juros compostos anual que o cliente desse financiamento está pagando efetivamente é: 
Fórmula: M=P.(1+i)n 
 
9. Um cliente deve R$1.000,00 a uma instituição financeira e declara que somente poderá pagá-
la ao final de três anos. Sabendo que a financeira concorda, mas para não perder o poder 
aquisitivo de seu ativo, propõe-lhe uma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês para corrigir 
o valor da dívida, podemos afirmar que o montante composto pago pelo cliente ao final desse 
prazo foi: 
Fórmula: M=P.(1+i)n 
 
10. O valor à vista de um veículo é R$55.000,00. Para atrair clientes o vendedor concorda em 
vendê-lo por 40% do valor à vista de entrada mais um único pagamento depois de quatro 
meses. Sabendo que a financeira dessa concessionária cobra juros compostos de 3% ao mês, 
concluímos que o valor desse pagamento será de: 
Fórmula: M=P.(1+i)n