Prova Calculo Numerico

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UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul
IME - Instituto de Matemática e Estatística
DMPA - Departamento de Matemática Pura e Aplicada
MAT01169-E1 - Cálculo Numérico
Prova 1 - B - Data: 05/05/2017
Nota
Nome: GABARITO Matrícula:
• Responda às questões individualmente.
• O uso do computador é exclusivo para o GNU Octave disponível no sistema operacional Ubuntu
logado na conta Prova.
• Não use rotinas prontas além das já disponíveis no GNU Octave instalado.
• Nas questões de múltipla escolha (Questões de 1 a 7), assinale com X a alternativa correta.
• Na questão discursiva (Questão 8), siga as instruções mencionadas na questão.
Questão 1 (1,0 Ponto). Assinale a alternativa
que corresponde ao número de algarismos signi-
ficativos na representação do número (32,121)4 na
base binária.
��SSa) 10
b) 11
c) 9
d) 8
e) 12
Questão 2 (1,0 Ponto). No sistema de ponto flu-
tuante de 64 bits, o registro
m52 m51 . . . m1 c0 c1 . . . c10 s
representa o número decimal
(−1)sM × 2c−1023,
onde c = (c10c9 . . . c0)2 é chamado de caracterís-
tica eM = (1,m1m2 . . .m52)2 de mantissa. Consi-
derando esta representação, assinale a alternativa
que corresponde ao registro referente ao número
decimal 6,5.
��SSa) [00 . . . 0101|100 . . . 01|0]
b) [01 . . . 0101|100 . . . 011|0]
c) [00 . . . 0101|100 . . . 01|1]
d) [01 . . . 0101|100 . . . 011|1]
e) nenhuma das demais alternativas corresponde ao
registro solicitado.
Questão 3 (1,0 Ponto). Suponha que u = 1,2.
Assinale a alternativa que corresponde ao número
de condicionamento do problema de se computar
cos(u+ 1)
1− u2 .
Observe que a resposta está arredondada para 9
dígitos significativos.
��SSa) 4,89686688
b) 4,89676678
c) 4,89676787
d) 4,89686788
e) 4,89687669
Questão 4 (1,0 Ponto). Seja dada a seguinte fun-
ção:
f(x) = cos(x− 2)2− x2 .
Considere que o método da bisseção seja usado
para aproximar um zero desta função. Assinale a
alternativa que corresponde a um intervalo inicial
apropriado.
��SSa) [−1,17, 1,14]
b) [−1,5, 1,5]
c) [−
√
2, − 1]
d) [−2, − 1]
e) [1, 3]
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Questão 5 (1,0 Ponto). Seja f(x) = sin(x3−e−x).
Sejam, também, a iteração do ponto fixo:
x(n+1) = g(x(n)), n ≥ 1,
com g(x) = x−αf(x) e x(1) ∈ [0,7, 0,8]. Uma tal
iteração de ponto fixo, quando convergente, possui
a seguinte taxa de convergência linear
|x(n+1) − x∗| < k|x(n) − x∗|, n ≤ 1,
onde |g′(x)| < k < 1 para todo x ∈ [0,7, 0,8]
e x∗ é o ponto fixo da função g(x). Quanto me-
nor o valor de k, mais rápida será a convergência
da sequência {x(n)}n para o ponto fixo x∗. Assim
sendo, assinale a alternativa que corresponde ao
valor de α que permite estimar o menor valor de
k (dentre as alternativas).
��SSa) 0,443
b) −0,442
c) −0,221
d) 0,221
e) 1,313
Questão 6 (1,0 Ponto). Seja f(x) = sin(x3−e−x).
Considere que o método de Newton seja usado
para calcular uma aproximação de um zero desta
função, empregando x(1) = −0,2. Faça, então,
quatro iterações deste método de forma a obter
x(5). Assinale a alternativa que corresponde ao
valor calculado com 9 dígitos significativos (por
arredondamento).
��SSa) 1,86037981
b) 1,86137982
c) 1,86038971
d) 1,86036982
e) 1,86036971
Questão 7 (1,0 Ponto). Seja f(x) = sin(x3−e−x).
Considere que o método das secantes seja usado
para calcular uma aproximação de um zero desta
função, empregando x(1) = −0,2 e x(2) = −0,18
como aproximações iniciais. Fazendo, então, n ite-
rações computa-se a aproximação x(n+2). Assinale
a alternativa que corresponde ao menor número
de iterações n tal que |x(n+2) − x(n+1)|/|x(n+2)| <
10−3.
��SSa) 4
b) 5
c) 3
d) 6
e) 7
Questão 8 (3,0 Pontos). Considere o problema de encontrar o ponto de interseção entre as curvas
y = cos
(
x2 − e−x
)
e y = x7. Use o método da bisseção, iteração de ponto fixo, o método de Newton
ou o método das secantes para computar uma aproximação para a solução deste problema. Compute
a aproximação com exatidão mínima de 10−8.
Atenção: A resposta desta questão deve incluir todas as instruções (inclusive scripts do GNU Octave)
para que os cálculos realizados possam ser reproduzidos. A resposta deve incluir: a) justificativa para
a escolha da aproximação inicial utilizada (ou intervalo inicial, quando for o caso); b) aproximações
calculadas na primeira e nas três últimas iterações do método escolhido. Ao final, mostre que a
aproximação computada tem a exatidão desejada.
Espaço reservado para os cálculos e resposta da questão discursiva.
O ponto de interseção entre as curva ocorre quando
cos
(
x2 − e−x
)
= x7 ⇔ cos
(
x2 − e−x
)
− x7 = 0.
Ou seja, o problema se resume a encontrar o zero da função
f(x) = cos
(
x2 − e−x
)
− x7.
Fazendo o esboço do gráfico
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>> f=@(x)cos(x.^2-exp(-x))-x.^7;
>> xx=linspace(0,1);
>> plot(xx,f(xx));grid
podemos notar que o zero de f(x) está localizado próximo de 0,9.
Agora, empregando o método de Newton, com aproximação inicial x(1) = 0,9, computamos:
>> fl=@(x)-(2*x+exp(-x))*sin(x^2-exp(-x))-7*x^6;
>> x=0.9;
>> x=x-f(x)/fl(x);printf(’%1.10e\n’,x)
9.9624745903e-01
>> x=x-f(x)/fl(x);printf(’%1.10e\n’,x)
9.7654044060e-01
>> x=x-f(x)/fl(x);printf(’%1.10e\n’,x)
9.7534088428e-01
>> x=x-f(x)/fl(x);printf(’%1.10e\n’,x)
9.7533667472e-01
>> x=x-f(x)/fl(x);printf(’%1.10e\n’,x)
9.7533667467e-01
>> x=x-f(x)/fl(x);printf(’%1.10e\n’,x)
9.7533667467e-01
Ou seja, após 6 iterações de Newton, as aproximações parecem ter convergido com pelo menos 11
dígitos significativos. Ainda, observando que
>> sign(f(x-1e-8))*sign(f(x+1e-8))
ans = -1
concluímos que x = 9,7533667467 × 10−1 corresponde (com exatidão mínima de 10−8) ao ponto de
interseção entre as curvas dadas.
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