PNCI-Aula07-1SEM2015

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UFPA

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André Sena

30/04/2020

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Cálculo I

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Cálculo I
Aula 07 - Limite - Parte III Data: 06/04/2015
Objetivos da Aula:
X Conhecer e aplicar o Teorema do Confronto;
X Calcular alguns limites trigonométricos;
X Demonstrar o Limite Trigonométrico Fundamental.
Palavras-chaves: Teorema do Confronto - Limites Trigonométricos - Limite Trigonométrico
Fundamental.
1 Teorema do Confronto
Teorema 1. Sejam f , g e h funções tais que
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
para todo x em uma vizinhança restrita de a. Se
lim
x→a
f(x) = L = lim
x→a
h(x),
então
lim
x→a
g(x) = L.
X Exerćıcios 1.
(01) Seja f uma função definida em R tal que para todo x 6= 1, temos:
−x2 + 3x ≤ f(x) ≤ x
2 − 1
x− 1
.
Calcule limx→1 f(x) e justifique.
(02) Seja f uma função definida em R. Mostre que se limx→a f(x) = L, então
limx→a |f(x)| = |L|.
(03) Sejam f e g duas funções com o mesmo domı́nio A. Sabe-se que limx→a f(x) = 0 e g(x) é
uma função limitada, isto é, existe um real M > 0, tal que |g(x)| ≤ M , para todo x. Mostre
limx→a(f(x)g(x)) = 0.
(04) Use a questão (03) para calcular limx→0[x.sen(
π
x
)].
2 Cálculo I Profa. Nazaré Bezerra
2 Limites Trigonométricos
Seja θ um número real e P o ponto no ćırculo unitário de coordenadas (cosθ, senθ).
θ
P (cosθ, senθ)
A
Se θ → 0+, então P descola-se sobre o ćırculo no sentido horário e tende para o ponto A(1, 0).
Analogamente, se θ → 0− o ponto P desliza sobre o ćırculo no sentido antihorário, mas também
tende a A. Portanto, temos que:
lim
θ→0
cosθ = 1 e lim
θ→0
senθ = 0 (1)
X Exerćıcios 2.
(01) Calcule os limites abaixo:
(a) limθ→0 cosa
(b) limθ→0 sena
(c) limx→a senx
(d) limx→a cosx
(e) limx→a tgx, a ∈ Dtg
(f) limx→1
(
sen(x−1)
x−1
)
;
(g) limx→3
(
cos(x
2−5x+6
x−2 )
)
.
3 O Limite Trigonométrico Fundamental
Nosso objetivo agora é estudar o comportamento da função:
F (θ) =
senθ
θ
para valores de θ próximos de zero, ou seja, calcular o limite:
lim
θ→0
(
senθ
θ
)
.
Na Aula 5, calculamos F (θ) para valores de θ próximos de zero e conjecturamos que
limθ→0
(
senθ
θ
)
= 1. Precisamos mostrar que esta afirmação é verdadeira.
UFPA Cálculo I 3
Como limθ→0 senθ = 0 e limθ→0 θ = 0, não podemos aplicar a regra do quociente. Inicial-
mente observe que:
F (−θ) = sen(−θ)
−θ
=
−senθ
−θ
= F (θ).
logo F é uma função par, portanto basta calcular limθ→0+ F (θ). Além disso, queremos estudar
o comportamento da função para valores positivos próximos de zero, então vamos considerar
uma vizinha à direita de θ de raio π
2
. Seja θ ∈ (0, π
2
), como na figura abaixo:
A = (1, 0)O
P
θ
R
P ′
Vamos considerar:
S1 - a área do triângulo OPA =
OA.P ′P
2
= 1.senθ
2
= senθ
2
S2 - a área do setor circular OPA =
1
2
.(OA)2.θ = θ
2
S3 - a área do triângulo ORA =
OA.AR
2
= AR
2
.
Para calcular AR observe que os triângulos OPP ′ e ORA são semelhantes, portanto seus
lados correspondentes são proporcionais, isto é,
OP ′
OA
=
PP ′
AR
Dáı, AR = PP
′.OA
OP ′
= senθ.1
cosθ
= senθ
cosθ
.
Agora para qualquer θ ∈ (0, π
2
) temos a seguinte relação entre as três áreas:
S1 < S2 < S3
⇓
senθ
2
<
θ
2
<
senθ
2cosθ
⇓
senθ < θ <
senθ
cosθ
⇓
1 <
θ
senθ
<
1
cosθ
4 Cálculo I Profa. Nazaré Bezerra
⇓
cosθ <
senθ
θ
< 1.
Como limθ→0 cosθ = 1 e limθ→0 1 = 1, pelo teorema do confronto, obtemos limθ→1
(
senθ
θ
)
= 1.
Assim, temos o limite abaixo, conhecido como limite trigonométrico fundamental, pois ele é a
base para o cálculo de muitos outros limites trigonométricos.
lim
θ→0
(
senθ
θ
)
= 1
Geometricamente isto significa que à medida que x → 0 os gráficos da função senx e da
função identidade f(x) = x tendem a aproximar-se.
X Exerćıcios 3.
(01) Calcule os limites:
(a) limx→0
(
sen6x
2x
)
(b) limx→0
(
1−cosx
x
)
(c) limx→0
(
1−cosx
x2
)
(d) limx→π
(
senx
x−π
)
E após a aula...
1- Resumo
O que afirma o Teorema do Confronto? Como ele foi usado nesta aula?
2 - Aprofundando o contéudo
Leia mais sobre o contéudo desta aula no Caṕıtulo 2 - Seção 2.3 e Caṕıtulo 3 -Seção 3.3 do
livro texto.
3. Sugestões de Exerćıcios
Resolva os exerćıcios do assunto na seção 2.3 do livro texto e a lista extra de exerćıcios sobre
limites dispońıvel em nossa sala no Moodle.
4. Desafio
Mostre que o polinômio p(x) = x3 − 4x+ 1 tem três reais ráızes distintas.
X Não esqueça de postar a sua lista resolvida até as 23h55min de quinta-feira.
	Teorema do Confronto
	Limites Trigonométricos
	 O Limite Trigonométrico Fundamental