EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS exercícios 6 ao 10

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS
6a aula
	 
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determine a solução do problema de valor inicial y ' = 5 t2 - t2 y  com y(0) = 0
		
	 
	A solução é dada por 
	
	A solução é dada por  y =  5 et
	
	A solução é dada por  y = e (t / 3)
	
	A solução  é dada por  y = (- t3 / 3)
	
	A solução é dada por  y = e (- t / 3)
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Encontrando a solução do problema de valor inicial
y´+2y=te−2ty´+2y=te-2t
y(1)=0y(1)=0
 obtemos:
		
	
	y=(t2−1)e2ty=(t2-1)e2t
	 
	y=(t2−1)e−2t2y=(t2-1)e-2t2
	
	y=(t2−1)ety=(t2-1)et
	 
	y=(t2−1)e−2ty=(t2-1)e-2t
	
	y=(t−1)e−2t2y=(t-1)e-2t2
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considere o problema de valor inicial y' - y = 2t e 2t  com y(0) = 1. Encontre a solução do problema de valor inicial.
		
	
	A solução do problema será y =  2 e2t + 3 et
	
	A solução do problema será y = - 3 et
	
	A solução do problema será y = 2 t e2t + 2t
	
	A solução do problema será y = 2 t e2t - 3 et
	 
	A solução do problema será y = 2 t e2t - 2 e2t + 3 et
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considere o problema de valor inicial (dy/dt) + (2/t) y = t  com y(2) = 3. Encontre a solução do problema de valor inicial.
		
	
	A solução é dada por y(t) = t2  + (3/t2)
	
	A solução é dada por y(t) = (8/t2)
	 
	A solução é dada por y(t) = (t2 /4) + (8/t2)
	
	A solução é dada por y(t) = (t2 /4)
	
	A solução é dada por y(t) = t
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Considere o problema de contorno y '' - y = 0 ; y(0) = 2 e y '(0) = -1. Encontre a solução geral e a solução particular para este problema.
		
	 
	Solução geral: y ' ( x ) = A ex - B e - x
Solução particular: y(x) = (1/2) ex + (3/2) e- x
	
	Solução geral: y ' ( x ) = A ex + B e 3x
Solução particular: y(x) =  (3/2) e- x
	
	Solução geral: y ' ( x ) = A ex + B e -5 x
Solução particular: y(x) = (1/2) ex
	
	Solução geral: y ' ( x ) = A ex + B e 2x
Solução particular: y(x) = - ex  +  e- x
	
	Solução geral: y ' ( x ) = A ex - B e - x Cx
Solução particular: y(x) = (1/2) ex + (3/2) e- x + x
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere o problema de valor inicial y'+ (1+ 2x) y = x e - x  com y(0) = 2. Encontre a solução do problema de valor inicial.
		
	 
	A solução é dada por 
	
	A solução é dada por y(x) = (-1/2) e  x + (x 2 - x )
	
	A solução é dada por y(x) = e - x 
	
	A solução é dada por y(x) = (-1/2) e - x + x 2  
	
	A solução é dada por y(x) = (-1/2) e - x +(5/2)  ex
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Encontrando a solução do problema de valor inicial
y´−2y=e2ty´-2y=e2t
y(0)=2y(0)=2
 obtemos:
		
	
	y=e2ty=e2t
	
	y=(t+2)e−2ty=(t+2)e-2t
	
	y=(t+4)e4ty=(t+4)e4t
	 
	y=(t+2)e2ty=(t+2)e2t
	
	y=(t−2)e−2ty=(t-2)e-2t
	 8a Questão
	
	
	
	
	Seja a equação diferencial ordinária y" - y = 0 com condições iniciais y(0) =1 e y´(0) = 2. Determine a solução para o problema de valor inicial.
		
	
	 y(x) = (3232) + (1212) e-x
	
	y(x) = 3ex  + 5e-x
	 
	y(x) = (3232) ex  - (1212) e-x
	
	y(x) = ex - 2 e-x
	
	y(x) = (3232) ex 
		EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS
7a aula
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Problemas de variação de temperatura : A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente, dT/dt = k( T- Tm) Supondo que um objeto à temperatura inicial de 500F é colocado ao ar livre , onde a temperatura ambiente é de 100 0 F . Se após 5 minutos a temperatura do objeto é de 60 oF , determinar a temperatura do corpo após 20 min.
		
	
	0 graus F
	
	-5 graus F
	
	49,5 graus F
	
	20 graus F
	 
	79,5 graus F
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Numa empresa, a relação entre lucro líquido L(x) e as despesas de propaganda x é tal que a taxa de aumento do lucro líquido. á medida que as despesas de propaganda aumentam, é proporcional a uma constante menos o lucro líquido (  dL/dx = K ( A - L ) ). Determinar a relação entre lucro líquido e despesas de propaganda, se L(0)=100, L(30) = 150 e A=300 (mil unidades monetárias)
		
	 
	L(x) = 300 - 200 e - 0.009589 x
	
	L(x) = x -  200 e - 2x
	
	L(x) = e - x
	
	L(x) =  200 ex
	
	L(x) = 200 e  0.009589 x
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	As Linhas de Força e as linhas Equipotenciais interceptam-se ortogonalmente. Determinar as linhas de força do campo elétrico gerado por dois fios paralelos de material condutor, carregados com cargas opostas de mesma intensidade, encontrando as trajetórias ortogonais da família x2 + y2 + 1 = 2 Cx. Sugestão: Usar o fator integrante u(y) = y - 2
		
	
	Será :x2 - 1 = Ky
	
	Será : y2 - 1 = Ky
	
		Será :x2+  1 = Ky
	
	Será :x2+ y2 = Ky
	 
	Será :x2+ y2 - 1 = Ky
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 6 anos, quando ela triplicará? Sugestão: dN/dt = kN
		
	 
	10 anos
	
	1 anos
	
	2 anos
	
	20 anos
	
	5 anos
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dinâmica populacional - Sabendo que o modelo de crescimento populacional supõe que a taxa de crescimento de uma população dy/dt é proporcional a população presente naquele instante y(t), portanto podemos descreve-lo como um problema de Valor Inicial dy/dt = k y onde y(0) = y0. Com base nessa informação, encontre a solução do problema de crescimento populacional (problema de valor inicial) sabendo que  y0 = 3 e que em 10 dias havia 240 indivíduos.
		
	
	O problema terá a solução y (t) = 7ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 56t/10
	
	O problema terá a solução y (t) =  ekt + t. Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 3.80
	
	O problema terá a solução y (t) = 3 e4t . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 80 t/10
	
	O problema terá a solução y (t) = t2 ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 45t/10
	 
	O problema terá a solução y (t) = 3 ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 3.80 t/10
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	A relação entre o custo de fabricação por objeto (C) e o número de tipos
objetos fabricados (x) é tal que a taxa de aumento do custo quando o número de tipos aumenta é expressa pela equação diferencial homogênea (dC(x)/dx ) = (C(x) + x)/x. Determinar a relação entre o custo de fabricação por objeto e o número de tipos de objetos fabricados, sabendo  C(1)=1000 unidades monetárias.
		
	
	C(x) = x(ln x)
	 
	C(x) = x(1000+ln x)
	
	C(x) = 2x ln x
	
	C(x) = 5ln x + 40
	
	C(x) = ln x
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Problemas de variação de temperatura : A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente, dT/dt = -k( T- Tm) Supondo que um objeto à temperatura inicial de 50 graus F é colocado ao ar livre , onde a temperatura ambiente é de 100 graus F . Se após 5 minutos a temperatura do objeto é de 60 graus F , determinar a temperatura do corpo após 20 min.
		
	
	20 graus F
	
	50 graus
	 
	79,5 graus F
	
	60,2 graus F
	
	49,5 graus F
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Numa empresa, a relação entre lucro líquido L(x) e as despesas de propaganda x é tal que a taxa de aumento do lucro líquido. á medida que as despesas de propaganda aumentam, é proporcional a uma constante A menos o lucro líquido (  dL/dx = K ( A - L ) ). Determinar a relação entre lucro líquido e despesas de propaganda, se L(0)=100, L(30) = 150 e A=300 (mil unidades monetárias) .
		
	
	L(x) =  200 ex
	
	L(x) = x -  200 e - 2x
	
	L(x) = 200 e  0.009589 x
	
	L(x) = e - x
	 
	L(x) = 300 - 200 e - 0.009589 x
		EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS
8a aula
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Encontre o Wronskiano do par de funções  e−2te-2te te−2tte-2t
		
	 
	−e4t-e4t
	
	−e2t-e2t
	
	e4te4t
	
	e2te2t
	
	−et-et
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Seja y1 = cos x e y2 = sen x soluções  particularesda equação y '' + y = 0. Calcule o Wronskiano.
		
	
	O Wronskiano será 0.
	
	O Wronskiano será 5.
	
	O Wronskiano será 3.
	
	O Wronskiano será 13.
	 
	O Wronskiano será 1.
	 3a Questão
	
	
	
	
	Sabendo que y1 = cos x e y2 = sen x são soluções particulares da equação y '' + y = 0 utilizando o princípio de superposição podemos afirmar que:
I - y = c1 sen x + c2 cos x também é solução da equação.
II - y = c1 sen x + c2 cos x não é solução da equação.
III - y1/y2 é LI
IV - o Wronskiano nos garante que se y1 e y2 são LI, entao o W(y1,y2) é dirente de zero em cada ponto num intervalo aberto I.
		
	
	Apenas I e IV são verdadeiras.
	
	Todas as afirmações são verdadeiras,
	
	Apenas I e II são verdadeiras.
	
	Apenas IV é verdadeiras
	 
	Apenas I, III e IV são verdadeiras.
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Encontre o Wronskiano do par de funções  e2te2te e−3t2))e-3t2))
		
	
	32et232et2
	
	−32et-32et
	
	−12et2-12et2
	
	−72et-72et
	 
	−72et2-72et2
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Encontre o Wronskiano do par de funções  costcoste sentsent
		
	
	2
	
	-1
	
	0
	 
	1
	
	1/2
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Encontre o Wronskiano do par de funções  xxe xexxex
		
	
	exex
	
	x2x2
	 
	x2exx2ex
	
	x2e−xx2e-x
	
	x2e2x
		EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS
9a aula
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determine a solução geral da equação diferencial x2 (d2 y/dx2 ) + 4x (dy/dx) + 2y =  4ln (-x), x < 0.
		
	
	y = c1 e - t+ c2 e 2 t
	
	y = c1 2t - 3
	
	y = c1 e -3 t+ c2 e  t + 2t - 3
	
	y = c2 e - 2 t + 2t
	 
	y = c1 e - t+ c2 e - 2 t + 2t - 3
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine a solução geral da equação diferencial (x - 3)2 (d2 y/ dx2 ) + (x-3) ( dy/dx) = 1/(ln(x-3)) , x > 3
		
	
	y = c1 + c2 t +ln t + c3 t2
	 
	y = c1 + c2 t + t ln t
	
	y = c1 t ln t
	
	y =  c2 t + t ln t
	
	y = c1 + c2 t + 3
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Consider a equação diferencial (x + 3) y '' + (x + 2) y ' - y = 0. Encontre uma solução da equação diferencial da forma  y 1 (x) = e rx para r um número real fixo.
		
	 
	y1 (x) = e - x é uma solução da equação diferencial
	
	 y1 (x) = e x é uma solução da equação diferencial
	
	y1 (x) =  x e - x é uma solução da equação diferencial
	
	y1 (x) = e - 2x é uma solução da equação diferencial
	
	y1 (x) = e 3x é uma solução da equação diferencial
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine a solução da equação diferencial x2 y'' + xy ' + 9y = 0, x > 0
		
	
	y = c1 cos ( ln x) + c2 sen (ln x)
	
	y = c1 cos (3 ln x)
	 
	y = c1 cos (3 ln x) + c2 sen (3ln x)
	
	y =  c2 sen (3ln x)
	
	y = c1 sen ( ln x) + c2 sen (3ln x)
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine a solução geral da equação diferencial x2 (d2 y/ dx2 ) - 2 x (dy/dx) + 2y = x3 , x > 0
		
	 
	y = c1 et + c2 e2t
	
	y =  (1/2) e3t
	
	y = c1 et +  (1/2) e3t
	
	y = c1 et
	 
	y = c1 et + c2 e2t + (1/2) e3t
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Seja y '' + 5 y'+ 6 y = 0 uma equaçao diferencial de 2 ordem. Encontre a solução geral desta equação.
		
	
	A solução geral da equacao será y = c1 e+ c2 e5x+1, onde c1 e c2 são constantes,
	
	A solução geral da equacao será y = c1 ex + c2 e-4x, onde c1 e c2 são constantes,
	
	A solução geral da equacao será y = c1 ex + c2 ex, onde c1 e c2 são constantes,
	
	A solução geral da equacao será y = c1 ex+ c2 e5x, onde c1 e c2 são constantes,
	 
	A solução geral da equacao será y = c1 e-2x + c2 e-3x, onde c1 e c2 são constantes,
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine a solução geral da equação diferencial x2 y '' - 3 x y '+ 3 y = 0, x > 0
		
	 
	y = c1 x + c2 x3
	
	y = c1 x + c2 x2
	
	y = c1 x
	
	y = c1 x3
	
	y = c1 x + c2 x3cos x
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine a solução do Problema de Valor Inicial x2 y'' + 5 x y ' + 8y = 29 x3 , x > 1 , y(1) = 3 , y ' (1 ) =  -1
		
	
	y = x3 + 2 x - 2 cos x
	
	y = x2 + 2 x cos ( ln x)
	 
	y = x3 + 2 x - 2 cos (2 ln x)
	
	y = 2 x - 2 cos (2 ln x)
	
	y = x3
		EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS
10a aula
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Seja a equação diferencial [ (d2y) dividido por (dx2) ] - 3 (dy dividido por dx) + 2y = 0 , x > 0 com as condições iniciais y(0) = -1 e (dy dividido por dx) (0) = 0. Determine a equação característica associada a equação diferencial.
		
	
	m2 - m+ 3 = 0
	 
	m2 - 3m+ 2 = 0
	
	m2 - m - 2 = 0
	
	m2 - 2 = 0
	
	m2 - 2m = 0
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Encontre a solução geral da equação diferencial 2y´´ -3y´+y=0
		
	
	y=c1et2+  c_2 e^(t/3)
	 
	y=c1et2+  c_2 e^t
	
	y=c1e3t2+  c_2 e^(2t)
	
	y=c1e-t+  c_2 e^t
	
	y=c1et+  c_2 e^(3t)
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	
Determine os valores de r para os quais a equação diferencial  y´+2y=0y´+2y=0 tem uma solução da forma ertert.
		
	
	r=−1r=-1
	
	r=1r=1
	
	r=2r=2
	 
	r=−2r=-2
	
	r=−12r=-12
	
Explicação:
y ´ +2y = 0
tomando y ´ = r
Portanto r + 2 = 0 então r = - 2 
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de r para os quais a equação diferencial  y´´+y´−6y=0y´´+y´-6y=0 tem uma solução da forma ertert.
		
	
	r=2;r=−2r=2;r=-2
	
	r=−2;r=−3r=-2;r=-3
	
	r=−2;r=3r=-2;r=3
	
	r=3;r=−3r=3;r=-3
	 
	r=2;r=−3r=2;r=-3
	
Explicação:
EDO DE ORDEM 2 HOMOGÊNEAS, COM COEFICIENTES CONSTANTES
y " + y '- 6 y = 0 Escrevemos  r2 + r - 6 = 0 encontrando as raízes desta equação do segundo grau temos 2 e - 3 como  as raízes sao diferentes escrevemos no formato y = c1 er1  x  + er2  x  portanto ficamos com y = c1 e2  x  + e -3  x  onde c1 e c2 são constantes arbitárias
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Encontre a solução geral da equação diferencial y´´ +3y´+2y=0
		
	
	y=c1et+  c_2 e^(2t)
	
	y=c1et+  c_2 e^(-t)
	
	y=  c_2 e^(-2t)
	
	y=c1e−ty=c1e-t
	 
	y=c1e-t+  c_2 e^(-2t)
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Encontre a solução geral da equação diferencial 6y´´ -y´-y=0
		
	
	y=c1e-t2+  c_2 e^(t/3)
	
	y=c1et3+  c_2 e^(-t)
	
	y=c1et3+  c_2 e^(t)
	
	y=c1et+  c_2 e^(-t/3)
	 
	y=c1et2+  c_2 e^(-t/3)
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de r para os quais a equação diferencial  y′′′−3y′′+2y′=0y‴−3y″+2y′=0 tem uma solução da forma ertert.
		
	
	r=0;r=−1;r=2r=0;r=-1;r=2
	
	r=0;r=−1;r=−2r=0;r=-1;r=-2
	
	r=0;r=1;r=−2r=0;r=1;r=-2
	
	r=0;r=−1r=0;r=-1
	 
	r=0;r=1;r=2r=0;r=1;r=2
	
Explicação:
Determine os valores de r para os quais a equação diferencial  y′′′−3y′′+2y′=0y‴−3y″+2y′=0 tem uma solução da forma ertert.
Escrevemos r3 - 3 r2 + 2r = 0  podemos escrevere r( r2 - 3 r + 2) = 0 As raízes :  r = 0 , r = 1 d r = 2
Soluçao se escreve : y = c1 + c2 ex + c3 e2x
 
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de r para os quais a equação diferencial  y" - y=0 tem uma solução da forma ertert.
		
	
	r=+2;r=−2r=+2;r=-2
	
	r=+12;r=−12r=+12;r=-12
	 
	r=+1;r=−1r=+1;r=-1
	
	r=+12;r=−1r=+12;r=-1
	
	r=0r=0
	
Explicação:
y " - y = 0
tomando y " = r2
r2 - 1 = 0
r = -1 ou 1