Exercicios CET061 Reta e Plano Profa Romelia 2018 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA - UFRB
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - CETEC
GCET061 - GEOMETRIA ANALÍTICA T04/T06 - 2018.1
PROF.a Msc. ROMELIA SANTOS DE ARAÚJO SILVA
SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS - Estudo da Reta e do Plano e Distâncias
Atualizada em 26/08/2018 - Baseada no Livro de Vetores e Geometria Analı́tica - Paulo Winterle
(1) Dado o ponto A(2, 3,−4) e o vetor −→v = (1,−2, 3)
(a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de −→v .
(b) Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente.
(c) Determinar o ponto r cuja abscissa é 4.
(d) Verificar se os pontos D(4,−1, 2) e E(5,−4, 3) pertencem a r.
(e) Determinar para que valores de m e n o ponto F(m, 5, n) pertence a r.
(f) Escrever equações paramétricas da reta s que passa po G(5, 2,−4) e é paralela a r.
(g) Escrever equações paramétricas da reta t que passa por A e é paralela ao eixo dos y.
(2) Seja o triângulo de vértices A(−1, 4,−2), B(3,−3, 6) e C(2,−1, 4). Escrever equações paramétricas
da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice C.
(3) Os pontos médios M1(2,−1, 3), M2(1,−3, 0) e M3(2, 1,−5) são pontos médios dos lados de um
triângulo ABC. Obter as equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é
M1.
(4) Obter a equação reduzida na variável x, da reta que passa por A(1,−2, 3) e B(3,−1,−1).
(5) Na reta r :
{
y = 2x + 3
z = x− 1
determinar o ponto de ordenada igual ao triplo da cota.
(6) Calcular o ângulo entre as retas
r1 :

x = 3 + t
y = t
z = −1− 2t
e r2 :
x + 2
−2 =
y− 3
1
=
z
1
(7) Calcular o valor de n para que seja de 30o o ângulo entre as retas
r :
x− 2
4
=
y + 4
5
=
z
3
e s :
{
y = nx + 5
z = 2x− 2
(8) Determinar o valor de m para que as retas sejam coplanares:
r1 :
{
y = mx + 2
z = 3x− 1
e r2 :

x = t
y = 1 + 2t
z = −2t
1
2
(9) Sabendo que
r1 : x− 2 =
y + 1
2
=
z
3
, r2 :
{
x = 1− y
z = 2 + 2y
e A é interseção de r1 e r2
encontre as equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às
retas r1 e r2.
(10) Dadas as retas
r1 :
x
1
=
y + 3
2
=
z− 5
−1 e r2 :
{
y = −3x + 7
z = x + 1
Verifique se as retas r1 e r2 são concorrentes e, em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção
I(x, y, z).
(11) Estude a posição relativa das retas [Coplaneres (concorrentes, paralelas, coincidentes) e Reversas
] e se possı́vel determine o ponto de interseção I(x, y, z) das retas:
(a) r1 :
{
y = 2x− 3
z = −x
e r2 :

x = 1− 3t
y = 4− 6t
z = 3t
(b) r1 :
x
2
=
y− 1
−1 = z e r2 :

x = 2− 4t
y = 2t
z = −2t + 1
(c) r1 :
x− 2
2
=
y
3
=
y
3
=
z− 5
4
e r2 :

x = 5 + t
y = 2− t
z = 7− 2t
(d) r1 :
{
y = 3
z = 2x
e r2 : x = y = z
(e) r :
{
y = −3x + 2
z = 3x− 1
e r2 :

x = −t
y = 1 + 2t
z = −2t
(12) Seja o plano π : 3x + y− z− 4 = 0. Calcular:
(a) O ponto de π que tem abscissa 1 e ordenada 3;
(b) O ponto de π que tem abscissa 0 e cota 2;
(c) O valor de k para que o ponto P(k, 2, k− 1) pertença a π;
(d) O ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota;
(e) O valor de k para que o plano π1 : kx− 4y + 4z− 7 = 0 seja paralelo a π.
(13) Determinar uma equação geral do plano paralelo ao plano π : 2x− 3y− z+ 5 = 0 e que contenha
o ponto A(4,−2, 1).
(14) Determinar uma equação geral do plano perpendicular à reta r :

x = 2 + 2t
y = 1− 3t
z = 4t
e que contenha
o ponto A(−1, 2, 3).
(15) Dada a equação geral do plano π : 3x − 2y − z − 6 = 0, determinar um sistema de equações
paramétricas de π.
3
(16) Sendo π :

x = 1 + h− 2t
y = 1− t
z = 4 + 2h− 2t
as equações paramétricas de um plano π, obter uma equação
geral.
(17) Determinar uma equação geral do plano que passa por A(2, 0,−2) e é paralelo aos vetores −→u =
−→
i −−→j +
−→
k e −→v = 2−→i + 3−→j .
(18) Determinar uma equação geral do plano que passa pelos pontos A(−3, 1,−2) e B(−1, 2, 1) e é
paralelo à reta r :
x
2
=
z
−3 , y = 4.
(19) Determinar uma equação geral do plano que contém os pontos A(1,−2, 2) e B(−3, 1,−2) e é
perpendicular ao plano π : 2x + y− z + 8 = 0.
(20) Determinar uma equação geral do plano que contém a reta π :

x = 2 + t
y = 1− t
z = 3 + 2t
e é perpendicular
ao plano π : 2x + 2y− 3z = 0.
(21) Escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos
pontos A(1, 0, 2), B(−1, 2,−1) e C(1, 1,−1).
(22) Calcular m de modo que a reta determinada por A(1,−1, 0) e B(m, 1, 2) seja paralela ao plano
π : x = 1 + 3h, y = 1 + 2h + t, z = 3 + 3t.
(23) Determinar o valor de m para que seja de 30o o ângulo entre os planos π1 : x + my + 2z− 7 =
0 e π2 : 4x + 5y + 3z + 2 = 0.
(24) Dados as reta r : (x, y, z) = (1, 2, 0) + t(2, m,−1) e π : 3x + 2y + mz = 0, determinar o valor de m
para que se tenha: (I) r//π e (II) r ⊥ π.
(25) Verificar se a reta r :
{
y = 4x + 1
z = 2x− 1
está contida no plano π : 2x + y− 3z− 4 = 0.
(26) Estabelecer as equações reduzidas na variável x da reta interseção dos planos π1 : 3x− y + 2z−
1 = 0 e π2 : x + 2y− 3z− 4 = 0.
(27) Determinar o ponto de interseção da reta r : x = 3t, y = 1− 2t, z = −t e com o plano π :
2x + 3y− 2z− 7 = 0.
(28) Dados os planos
π1 : x− y + z + 1 = 0, π2 : x + y− z = 0 e π3; x + y + 2z− 2 = 0,
ache uma equação do plano que contém π1 ∩ π2 e é perpendicular a π3.
(29) Prove que o lugar geométrico dos pontos de R3 que são equidistante de A(1,−1, 2) e B(4, 2, 1) é
um plano. Mostre em seguida que esse plano passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular
ao segmento AB.
(30) Mostre que o lugar geométrico dos pontos de R3 que equidistam dos pontos A(2, 1, 1), B(−1, 0, 1)
e C(0, 2, 1) é uma reta, perpendicular ao plano que passa por A, B e C. Dê as equações pa-
ramétricas dessa reta.
4
(31) Calcular a distância do ponto P(1, 2, 3) à reta r :

x = 1− 2t
y = 2t
z = 2− t
(32) Calcular a distância do ponto P(1, 2, 3) a cada um dos eixos coordenados.
(33) Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:
(a) r :
{
x = 0
y = z
e s :
{
y = 3
z = 2x
(b) r passa pelos pontos A(1, 0, 1) e B(−1,−1, 0) e s pelos pontos C(0, 1,−2) e D(1, 1, 1).
(c) r : x = y = z− 2 e s :
{
y = x + 1
z = x− 3
(34) Achar a distância do ponto P(2,−3, 5) ao plano π : 3x + 2y + 6z− 2 = 0.
(35) Calcular a distância entre os planos paralelos π1 : x− 2z + 1 = 0 e π2 : 3x− 6z− 8 = 0.
(36) Determinar a distância da reta r :
{
x = 3
y = 4
(a) ao plano xy;
(b) ao plano yz;
(c) ao eixo dos z;
(d) ao plano π : x + y− 12 = 0.
(37) Calcular a distância do ponto A(1, 2, 0) à reta r = π1 ∩ π2 :
{
x + y + z− 2 = 0
x + 3y− z− 2 = 0
(38) Achar o ponto do eixo das cotas equidistantes do ponto A(1,−2, 0) e do plano α : 2x + 3y + 6z−
9 = 0.