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LICENCIATURA EM FÍSICA
Disciplina: Cálculo de Várias Variáveis Professor: Luciano Cipriano da Silva
Aluno(a): Matŕıcula:
Exerćıcios para a primeira nota da etapa 1
NOTA: / 5,0
IMPORTANTE: A data para entrega deste exerćıcio será definida quando as aulas reiniciarem.
1. /1,0 Determine se as integrais impróprias são convergentes ou divergentes. Calcule o
valor das integrais impróprias convergentes.
a.
∫ +∞
1
dx
x1,001
b.
∫ 1
0
dx
x0,999
c.
∫ +∞
0
2 e−x sen(x) dx
d.
∫ +∞
−1
dx
x2 + 5x+ 6
dx
2. /0,5 Use integração, o Teorema da comparação ou o Teorema de comparação no limite
para determinar se a seguinte integral imprópria converge ou diverge:∫ +∞
1
cos2(x)
1 + x2
dx.
3. /0,5 A velocidade média das moléculas em um gás ideal é
v̄ :=
4√
π
(
M
2RT
)3/2 ∫ +∞
0
v3 e−Mv
2/(2RT ) dv,
onde M é o peso molecular do gás, R é a constante do gás, T é a temperatura do gás e v é
a velocidade molecular. Mostre que
v̄ =
√
8RT
πM
.
2
4. /0,5 Os astrônomos usam uma técnica chamada estereografia estelar para determinar
a densidade das estrelas em um aglomerado estelar a partir da densidade (bidimensional)
observada, que pode ser analisada a partir de uma fotografia. Suponha que em um aglomer-
ado esférico de raio R a densidade das estrelas dependa somente da distância r do centro do
aglomerado. Se a densidade estelar aparente for dada por y(s), onde s é a distância planar
observada do centro do aglomerado e x(r) é a densidade real, pode ser mostrado que
y(s) =
∫ R
s
2r√
r2 − s2
x(r) dr
Se a densidade real das estrelas em um aglomerado for x(r) =
1
2
(R− r)2, encontre a
densidade aparente y(s).
5. /0,5 Calcule os seguintes limites das sequências.
a. lim
n→∞
(√
n2 + 1− 1
)
b. lim
n→∞
√
4n2 − 1√
3n
6. /0,5 Em cada item, calcule a soma da série.
a.
∞∑
n=0
3n + 2n
6n
b.
∞∑
n=2
2
n2 − 1
.
7. /0,5 Verifique se a série converge ou diverge. Justifique sua resposta.
a.
∞∑
n=1
1
n4
b.
∞∑
n=1
n2 − 1
3n4 + 1
c.
∞∑
n=1
(−1)n+1
4n2 + 1
8. /1,0 Verifique se as séries são absolutamente convergentes, condicionalmente conver-
gentes ou divergentes.
a.
∞∑
n=1
n2
2n
b.
∞∑
n=0
(−10)n
n!
c.
∞∑
n=1
(−1)n−1 2
n
n4
d.
∞∑
n=1
(−1)n+1
4
√
n
f.
∞∑
n=1
(−1)n n
5 + n
g.
∞∑
n=1
(−1)n−1 n
n2 + 1
h.
∞∑
n=1
1
(2n)!
i.
∞∑
n=1
(−1)n sen(4n)
4n