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Professor: ANDRÉ ARRUDA 
Aula 05 
Data: 19/04/2020 (09h30-12h) MATEMÁTICA BÁSICA 
 
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NOÇÕES BÁSICAS DE 
GEOMETRIA PLANA 
POLÍGONO 
Na geometria, um polígono é uma figura plana 
limitada por uma linha poligonal fechada: por exemplo, 
o triângulo é um polígono de três lados. 
 
► Nomenclatura dos principais polígonos 
Dependendo do número de lados (ou de vértices, 
ou de ângulos) os polígonos recebem um nome especial. 
Abaixo, os principais nomes de polígonos: 
 
3 lados triângulo 
4 lados quadrilátero 
5 lados pentágono 
6 lados hexágono 
7 lados heptágono 
8 lados octógono 
9 lados eneágono 
10 lados decágono 
11 lados undecágono 
12 lados dodecágono 
20 lados icoságono 
TRIÂNGULOS 
 Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos 
classificar os triângulos de duas maneiras: quanto aos 
lados e quanto aos ângulos. 
►Quanto aos lados: 
Equilátero Isósceles Escaleno 
todos os lados 
iguais 
dois lados 
iguais 
todos os lados 
diferentes 
 
 
 
►Quanto aos ângulos: 
Acutângulo Obtusângulo Retângulo 
Um ângulo 
agudo 
Um ângulo 
obtuso 
Um ângulo 
reto 
 
 
CÁLCULO DA ÁREA E PERÍMETRO DAS PRINCIPAIS 
FIGURAS PLANAS 
A = Área 
P = Perímetro 
p = semiperímetro 
 
►Área de um triângulo: 
 
 
 
 
 
 
 
►Área de um quadrado: 
 
 
 
 
 
 
 
►Área de um retângulo: 
 
 
 
 
 
 
 
►Área de um losango: 
 
 
 
 
 
 
 
►Área de um trapézio: 
 
 
 
 
 
 
 
►Área de um círculo: 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1) Sabendo que a hipotenusa do triângulo abaixo mede 40cm, 
calcule a área do círculo abaixo (considere pi = 3,14): 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine a área do retângulo nos casos a seguir, sendo a 
unidade das medidas o metro. 
 
 
3) A figura abaixo mostra uma circunferência de raio 6cm 
inscrita em um trapézio retângulo. Calcule a área desse 
trapézio. 
 
 
4) O perímetro de um triângulo eqüilátero é 18cm. Calcule a 
área desse triângulo. 
 
 
 
5) O comprimento de uma circunferência é 30pi cm. Qual é a 
área do quadrado inscrito nessa circunferência? 
 
 
6) Qual é a área de um triângulo retângulo cuja hipotenusa 
mede 13cm e um dos catetos mede 5cm? 
 
 
 
 
 
7) Um retângulo tem 24 cm2 de área e 20 cm de perímetro. 
Determine suas dimensões. 
 
 
 
8) Determine a área de um triângulo isósceles de perímetro 
36m se a altura relativa à base mede 12m. 
 
 
 
9) Calcule a área do círculo circunscrito a um quadrado de lado 
6cm 
 
 
 
 
__________________________________________________ 
Gabarito: 
1) 1256cm2 2) a) 120m2 b) 48√3 m2 3) 150 cm2 
4) 9√3cm2 5) 450cm2 6) 30cm2 7) 4cm, 6cm 
8) 60 m2 9) 18pi cm2 ------------------ 
 
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NOÇÕES BÁSICAS DE 
TRIGONOMETRIA 
 
 
a: hipotenusa 
b e c: catetos 
 
 Teorema de Pitágoras: 
 
a2 = b2 + c2 
 
Ex: 
 
 
 
 
 
 
 
a2 = b2 + c2 
 
x2 = 32 + 42 
 
x2 = 9 + 16 
 
x2 = 25 
 
x = 5 
 
 
 
 
 
 Funções Trigonométricas 
 
 
 
 
Ainda: tg α = sen α 
 cos α 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1) Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo 
retângulo a seguir: 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
2) Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja 
hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60º. 
 
 
 
3) Quando o ângulo de elevação do sol é de 60º, a sombra de 
uma árvore mede 15m. Calcule a altura da árvore, 
considerando √3 = 1,7. 
 
 
4) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de 
percorrer 8 km, o avião se encontra a uma altura de: 
 
a) 2 km 
b) 3 km 
c) 4km 
d) 5 km 
e) 6km 
 
 
5) Um foguete é lançado sob um ângulo de 30 º. A que altura 
se encontra depois de percorrer 12 km em linha reta? 
 
 
 
 
7) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 
4m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60º. Qual é 
o comprimento da escada em metros? 
 
8) Uma escada medindo 4m tem umas de suas extremidades 
apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4 
m da base do muro. A altura desse muro é: 
 
a) 2,3 m 
b) 3,0 
c) 3,2 m 
d) 3,4m 
e) 3,8m 
 
 
 
 
 
9) Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com 
a reta AC um ângulo de 30º. Sabe-se que o móvel caminha com 
uma velocidade constante de 50Km/h. Determine a que 
distância o móvel se encontra da reta AC após 3 horas de 
percurso. 
 
 
 
 
 
10) A figura representa o esquema de um observador instalado 
no ponto P de uma praça, em Maringá, que avista um balão 
meteorológico no ponto N situado no topo de um edifício, sob 
um ângulo α. Considerando-se a distância do observador ao 
edifício igual a 36m e sen α = 4/5, pode-se afirmar que a altura 
desse edifício mede, em metros: 
 
 
 
a) 27 
b) 36 
c) 48 
d) 54 
e) 72 
 
 
 
 
 
_______________________________________________ 
Gabarito: 
1) a = 15; b= 6cm; c = 13cm 2) 3√3 e 3 
3) 25,5 m 4) letra C 5) 6 km 6) 8 m 
7) letra C 8) 75 Km 9) letra C --------------- 
 
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QUESTÕES DE CONCURSO 
[Questão 1] – (ATRFB / ESAF–2012) – Uma esfera foi liberada no 
ponto A de uma rampa. Sabendo-se que o ponto A está a 2 metros 
do solo e que o caminho percorrido pela esfera é exatamente a 
hipotenusa do triângulo retângulo da figura abaixo, determinar a 
distância que a esfera percorreu até atingir o solo no ponto B. 
 
(A) 5 metros. 
(B) 3 metros. 
(C) 4 metros. 
(D) 6 metros. 
(E) 7 metros. 
 
 
 
 
 
 
 
[Questão 2] – (ESAF) – Duas estradas retas se cruzam formando 
um ângulo de 90 graus uma com a outra. Qual é o valor mais 
próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra 
na primeira estrada, a 3 km do cruzamento e outro que se 
encontra na outra estrada a 4 km do mesmo cruzamento? 
 
(A) 5 km. 
(B) 4 km. 
(C) 4√2 km. 
(D) 3 km. 
(E) 5√2 km. 
 
 
 
[Questão 3] – (CESPE) – Em uma circunferência com raio de 5 
cm, são marcados n pontos, igualmente espaçados. A respeito 
dessa situação, julgue os próximos dois itens. 
 
 
Item 1 – Se n = 4, então a área do polígono convexo que tem 
vértices nesses pontos é igual a 60 cm2. 
 
[ ] Certo [ ] Errado 
 
 
 
 
 
 
Item 2 – Se n = 6, então o polígono convexo que tem vértices 
nesses pontos tem perímetro inferior a 32 cm. 
 
[ ] Certo [ ] Errado 
 
 
[Questão 4] – (CESPE) - Julgue o item subsequente, relacionado 
a problemas aritméticos, geométricos e matriciais. 
 
Item 1 – Se A, B e C são, em centímetros, as medidas dos lados 
de um triângulo e se A ≥ 10 e B ≤ 5, então, necessariamente, C≤ 
25. 
 
[ ] Certo [ ] Errado 
 
 
 
 
 
[Questão 5] – (COPS UEL) – Uma torre de observação é construída 
em uma região plana. Um bombeiro precisa determinar a altura h 
da torre. Ele observa a torre sob um ângulo de 60°, a partir de um 
ponto P, situado a d metros desta. Partindo de P, ao se afastar da 
torre por mais 10 metros, passa a vê-la sob um ângulo de 45°. Qual 
a altura da torre, em metros? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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[Questão 6] – (UFPR) – Qual é a área do trapézio isósceles 
desenhado abaixo? 
 
 
 
 
(A) 20 cm2 
(B) 24 cm2 
(C) 28 cm2 
(D) 30 cm2 
(E) 36 cm2 
 
 
 
 
[Questão 7] – (FCC) - Em um terreno plano, uma formiga 
encontra-se,inicialmente, no centro de um quadrado cujos 
lados medem 2 metros. Ela caminha, em linha reta, até um dos 
vértices (cantos) do quadrado. Em seguida, a formiga gira 90 
graus e recomeça a caminhar, também em linha reta, até 
percorrer o dobro da distância que havia percorrido no 
primeiro movimento, parando no ponto P. Se V é o vértice do 
quadrado que se encontra mais próximo do ponto P, então a 
distância, em metros, entre os pontos P e V é 
 
(A) igual a 1. 
(B) um número entre 1 e 2. 
(C) igual a 2. 
(D) um número entre 2 e 4. 
(E) igual a 4. 
 
 
 
 
 
 
[Questão 8] – (FCC) - O raio de uma roda de trem mede, 
aproximadamente, 0,4 m. Sabendo que o comprimento de uma 
circunferência é dado pela fórmula 
C = 2 . π . R (C: comprimento; considere π igual a 3,1 nessa 
questão; R: raio da roda). O número mínimo de voltas 
completas (desconsidere qualquer arrasto ou patinar da roda) 
para que uma dessas rodas percorra 1 km, é 
 
(A) 248. 
(B) 620. 
(C) 800. 
(D) 404. 
(E) 992. 
 
 
 
 
 
 
[Questão 9] – (FCC) - Uma empresa de arquitetura, ao elaborar 
um projeto para um salão de festas, desenhou um piso no 
formato da figura abaixo. A parte sombreada da figura 
representa o local onde o piso será coberto por mármore. 
Foram tomadas as medidas da base e da altura dos triângulos 
nela representados, para calcular a quantidade necessária de 
mármore a ser colocada. 
 
 
 
Considerando que os triângulos sombreados são congruentes e 
que a base de cada triângulo mede 2,4 m e a altura 1,6 m, a 
área total a ser coberta pelo mármore é 
 
 
(A) 10,56 m2. 
(B) 11,52 m2. 
(C) 18,78 m2. 
(D) 23,04 m2. 
 
 
 
[Questão 10] – (VUNESP) - De um cartão quadrado ABCD, de 
área igual a 144 cm2 , foram recortadas as regiões triangulares 
congruentes, que aparecem sombreadas na figura. 
 
 
Após os recortes, o perímetro da região remanescente desse 
cartão passou a ser igual, em centímetros, a 
 
(A) 40. 
(B) 38. 
(C) 36. 
(D) 34. 
(E) 30. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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[Questão 11] – (CESPE) – 
 
 
O esquema acima ilustra um radar rodoviário, posicionado no 
ponto O, a 4 m de distância de uma das bordas de uma rodovia 
de três faixas retilíneas e paralelas, de 4 m de largura cada. 
Nesse esquema, a região triangular de vértices O, P1 e P2 é a 
área de cobertura do radar. O radar detecta o instante em que 
o automóvel entra na área de cobertura, em um dos pontos A1, 
B1 ou C1, e o instante em que ele deixa essa área, em um dos 
pontos A2, B2 ou C2, e registra o tempo gasto em cada um 
desses percursos. Como as distâncias d1, d2 e d3 são 
preestabelecidas, o radar calcula a velocidade média 
desenvolvida pelo veículo nesse percurso, dividindo a distância 
percorrida pelo tempo gasto para percorrê-la, dependendo da 
faixa em que o veículo se encontra. Os pontos A1, B1 e C1 
distam 2 m das bordas de cada uma das faixas A, B e C, 
respectivamente, e os segmentos de reta A1A2, B1B2 e C1C2 
são paralelos às bordas da rodovia. 
 
Com base no esquema apresentado e nas condições 
estabelecidas, julgue os itens a seguir. 
 
Item 1 - O triângulo OP1P2 é equilátero. 
 
[ ] Certo [ ] Errado 
 
 
 
 
Item 2 - A distância d1 é inferior a 20 m. 
 
[ ] Certo [ ] Errado 
 
 
 
 
Item 3 - A distância do ponto B2 ao ponto O é igual a 20 m. 
 
[ ] Certo [ ] Errado 
 
 
 
 
Item 4 - Os valores d1 e d3 satisfazem à equação 7d1 – 3d3 = 0 
 
[ ] Certo [ ] Errado 
 
 
 
[Questão 12] – (CESPE) – 
 
 
A figura acima representa a área de um escritório. As duas salas 
quadradas e o corredor retangular têm, juntos, 70 m2 de área. 
Cada sala tem x metros de lado e o corredor tem 2 m de largura. 
Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 
 
Item 1 - x é menor que 7 m. 
 
[ ] Certo [ ] Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Item 2 - O perímetro do escritório representado na figura é 
igual a 34 m. 
 
[ ] Certo [ ] Errado 
 
 
 
 
 
 
[Questão 13] – (CESPE) - A área de um retângulo é 23 m2 e a soma 
das medidas de seus 4 lados é 20 m. Com relação a esse 
retângulo, julgue os itens seguintes. 
 
Item 1 - As diagonais do retângulo em apreço são medidas, em 
metros, por números não fracionários. 
 
[ ] Certo [ ] Errado 
 
 
 
 
Item 2 - As medidas dos lados desse retângulo, em metros, são 
números fracionários. 
 
[ ] Certo [ ] Errado 
 
 
 
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[Questão 14] – (CESPE) – 
 
 
Um guarda portuário vigia 3 armazéns, representados pelos 
blocos I, II e III na figura acima. O bloco I é um quadrado cujo 
lado mede 5 unidades de comprimento (uc). O bloco II é um 
retângulo de lados medindo 5 uc e 4 uc. O bloco III é um 
triângulo retângulo, em que os catetos medem 3 uc e 4 uc. 
Considere que 1 uc = 100 m e que o guarda circula apenas pelas 
ruas entre os blocos. Desconsiderando a largura dessas ruas, 
pode-se supor que C = F, D = E = I e J = H. No que se refere a 
essa descrição, julgue os itens subseqüentes. 
 
 
Item 1 - Se o guarda der 5 voltas em torno do bloco I e 5 voltas 
em torno do bloco II, então ele terá percorrido menos de 
18.000 m. 
 
[ ] Certo [ ] Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Item 2 - A soma das áreas ocupadas pelos armazéns é superior 
a 500.000 m². 
 
[ ] Certo [ ] Errado 
 
 
 
 
Item 3 – Suponha que o guarda esteja no ponto B e tenha que 
atender a uma ocorrência no ponto K. Nessa situação, fazendo 
o menor percurso para chegar ao local da ocorrência, ele 
percorrerá 1.500 m. 
 
[ ] Certo [ ] Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
__________________________________________________ 
Gabarito: 
1 - C 2 - A 3 – E/C 4 - E 5 - A 
6 - B 7 - C 8 - D 9 - B 10 - A 
11 – E/E/C/C 12 - C/C 13 -C/C 14 – E/C/C 
 
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