Lista 3

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Blumenau – Departamento de Matemática
Licenciatura em Matemática
Disciplina: BLU4502 – Álgebra Linear II
Professor: Luiz Rafael dos Santos (l.r.santos@ufsc.br)
Lista de Exercícios 3
Projeção ortogonal e Complemento Ortogonal
1. Mostre que a matriz P abaixo é uma projeção. Ela é projeção ortogonal? Descreva o núcleo e a
imagem de P .
P =

1 0 a b
0 1 c d
0 0 0 0
0 0 0 0

2. Dê a matriz P do operador linear T : R2 −→ R2 dado por T (x, y) = (−2x − 4y, 32x + 3y) na
base canônica. Mostre que P é uma projeção. Determine o núcleo e a imagem de P . Descreva
geometricamente a imagem de P .
3. O Teorema Fundamental da Álgebra é, às vezes, descrito como alternativa de Fredholm: para
qualquer A e b, um, e somente um, dos seguintes sistemas tem uma solução:
(i) Ax = b; (ii) ATy = 0, com bTy 6= 0.
Demonstre alternativa de Fredholm, isto é, prove que (i) e (ii) não podem ser satisfeitos ao
mesmo tempo.
4. No plano R2, considere as retas L1 e L2, definidas por y = ax e y = bx, com a 6= b.
a) Exprima um vetor v = [v1, v2]T como soma de um vetor em L1 e um vetor de L2;
b) Obtenha a matriz de projeção Q que tem como núcleo L1 e imagem L2;
c) Dada uma projeção P qualquer, uma reflexão é o operador S tal que para todo v, tem-se
v + Sv = 2Pv.
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mailto:l.r.santos@ufsc.br
i. Dê uma fórmula para S usando o projetor P .
ii. Encontre a matriz S que faz a reflexão em torno da reta L2.
5. Dois planos em R3 não podem ser ortogonais: basta pensar no piso e na parede de um quarto
para ver que eles compartilham toda uma reta. Encontre um vetor que pertença às imagens de
A e B, em que
A =
1 21 3
1 2
 B =
5 46 3
5 1

6. O subespaço deR3 gerado pelos vetores u1 =
[
4
5 , 0,−
3
5
]T
e u2 = [0, 1, 0]T é um plano π passando
pela origem. Expresse w = [1, 2, 3]T na forma w = w1+w2, em que w1 ∈ π e w2 é perpendicular
a π.
7. Seja π o plano em R4 que satisfaz x1 + x2 + x3 + x4 = 0. Escreva uma base para π. Crie uma
matriz que tenha π⊥ como seu espaço nulo.
8. Encontre a matriz de projeção na reta gerada por a nos dois itens abaixo. Faça também a
projeção do vetor b sobre a reta que passa por a. Certifique-se de que o erro e = b − proja(b)
seja perpendicular à a:
a) b = [1, 2, 2]T e a = [1, 1, 1]T ;
b) b = [1, 3, 1]T e a = [−1,−3,−1]T ;
c) b = [1, 1]T e a = [1,−1].
9. O traço de uma matriz A ∈ Rm×n, denotado por tr(A) é a soma dos elementos da diagonal de
A, isto é, tr(A) = a11 + a22 + · · ·+ ann. Prove para uma matriz de projeção de posto 1, dada por
P = uu
T
uTu
, tem-se tr(P ) = 1.
10. Calcule as matrizes de projeção P1, P2 sobre os vetores a1 = [−1, 2, 2]T e a2 = [2, 2, 1]T respecti-
vamente. Multiplique as matrizes de projeção e explique porque P1P2 é o que é.
11. Projete b = [1, 0, 0] sobre as retas que passam por a1 e a2 do exercício anterior. Projete-o também
sobre a3 = [2,−1, 2], determinando a matriz de projeção P3. Some o três vetores que são as
projeções p1,p2,p3. Comprove que P1 + P2 + P3 = I. A base B = {a1,a2,a3} é ortogonal?
12. Projete b = [1, 1] sobre as retas que passam por a1 = [1, 0]T e a2 = [1, 2]T . Desenhe as projeções
p1,p2 e calcule p1 + p2, também desenhando-a. A soma das projeções não é igual à b pois os
vetores a1,a2 não são ortogonais.
13. Mostre que se ATA = AAT então‖Ax‖ =
∥∥∥ATx∥∥∥.
14. Qual múltiplo de a = [1, 1, 1]T está mais próximo de b = [2, 4, 4]T ?
15. Resolva Ax = b aproximadamente, usando quadrados mínimos, e depois encontre p = Ax̂.
Certifique-se que o vetor erro e = b − p é perpendicular às colunas de A. Isso é o mesmo que
projetar b no espaço-coluna de A.
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a) A =
1 00 1
1 1
 e b =
11
0
 .
b) A =
1 10 1
1 0
 e b =
23
4
 .
c) A =
1 10 1
1 1
 e b =
44
6
 .
16. Calcule as matrizes P1, P2 e P3 de projeção sobre os espaços-coluna do exercício anterior.
17. Suponha que A seja a matriz identidade 4 por 4 com a última coluna removida. A ∈ R4×3.
Projete b = [1, 2, 3, 4]T no espaço-coluna de A. Qual a forma da matriz de projeção P e quem é
P?
18. Seja u um vetor unitário, demonstre que Q = I − 2uuT é uma matriz ortogonal e simétrica (essa
matriz é chamada transformação de Householder). Calcule Q, se u =
[
1
2
1
2 −
1
2 −
1
2
]T
.
19. Faça os exercícios 1, 4, 5, 8, 14, 15, 17, 18, 21, 22, 27, 30 do capítulo 11 do livro de Elon Lages
Lima. Álgebra Linear. 9ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2016.
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