aula 8 especificas uerj com soluções

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Binomio de newton e probabilidade
1) UNIRIO - Um grupo de 8 rapazes, dentre os quais 2 eram irmãos, decidiu acampar e levou duas barracas diferentes: uma com capacidade máxima de 3 pessoas e a outra de 5 pessoas. Pergunta-se: 3. Qual é a probabilidade dos dois irmãos dormirem numa mesma barraca?
SOLUÇÃO
Sem restrições C8,3 = 56 
Os irmãos na barraca pequena : C6,1 = 6 
Os irmãos na barraca grande : C6,3 = 20 
P = (6+20)/56 = 26/56 = 13/28
13/28 
2) UNESP - Um estudo de grupos sangüíneos humanos realizado com 1000 pessoas (sendo 600 homens e 400 mulheres) constatou que 470 pessoas tinham o antígeno A, 230 pessoas tinham o antígeno B e 450 pessoas não tinham nenhum dos dois. Determine: 
a) o número de pessoas que têm os antígenos A e B simultaneamente; 
b) supondo independência entre sexo e grupo sangüíneo, a probabilidade de que uma pessoa do grupo, escolhida ao acaso, seja homem e tenha os antígenos A e B simultaneamente.
SOLUÇÃO
a) 470 - x + x + 270 - x + 450 = 1000
- x = 1000 - 1150
x = 150
b) P = (600/1000).(150/1000) = 9/100 = 9%
a) 150
b) 9% 
3) UNESP - Numa cidade com 30 000 domicílios, 10 000 domicílios recebem regularmente o jornal da loja de eletrodomésticos X, 8 000 recebem regularmente o jornal do supermercado Y e metade do número de domicílios não recebe nenhum dos dois jornais. Determine: 
a) o número de domicílios que recebem os dois jornais, 
b) a probabilidade de um domicílio da cidade, escolhido ao acaso, receber o jornal da loja de eletrodomésticos X e não receber o jornal do supermercado Y.
SOLUÇÃO
a) Seja n o número de pessoas que recebem os dois jornais:
Teremos: 10000 - n + n + 8000 - n + 15000= 30000
Logo, 33000 - n = 30000  n = 3000.
Portanto, 3000 domicílios recebem os dois jornais.
b)nas condições do enunciado, existem 10000 - n = 10000 - 3000 = 7000
Como o conjunto universo possui 30000 domicílios, a probabilidade solicitada será igual a 
p = 7000 / 30000 = 7/30
a) 3 000
b) 7/30 
4) FUVEST - Num torneio de tenis, no qual todas as partidas são eliminatórias, estão inscritos 8 jogadores. Para definir a primeira rodada do torneio realiza-se um sorteio casual que divide os 8 jogadores em 4 grupos de 2 jogadores cada um. 
a) De quantas maneiras diferentes pode ser constituída a tabela de jogos da primeira rodada? 
b) No torneio estão inscritos quatro amigos A, B, C e D. Nenhum deles gostaria de enfrentar um dos outros logo na primeira rodada do torneio. Qual é a probabilidade de que esse desejo seja satisfeito? 
c) Sabendo que pelo menos um dos jogos da primeira rodada envolve 2 dos 4 amigos, qual é a probabilidade condicional de que A e B se enfrentem na primeira rodada?
SOLUÇÃO
a) C8,2 x C6,2 x C4,2 x C2,2 
28 x 15 x 6 x 1 = 2520 
detalhe 
por exemplo 
ab, cd, ef, gh = ab, gh. cd, ef 
repete algumas informações então pra evitar que eles permutam entre si ou seja P4 = 4! basta dividir... 
2520/4! = 2520/24 = 105
b) Ax4xBx3xCx2xDx1 
4x3x2x1 = 24 
então probabilidade é 
24/105 = 8/35
c) basta subtrair 24 (combinações que não sejam entre amigos) já achada na B de 105 (todas) = 81 (combinações com amigos) 
e as combinações de AxB (observar que AB tem 4 posições) 
4x AxB C6,2 x C4,2 x C2,2 /4! = 15 
15/81 =5/27
a) 105
b) 8/35
c) 5/27 
5) FUVEST - Numa urna há: 
- uma bola numerada com o número 1; 
- duas bolas com o número 2;
- três bolas com o número 3, e assim por diante, até n bolas com o número n. 
Uma bola é retirada ao acaso desta urna. Admitindo-se que todas as bolas têm a mesma probabilidade de serem escolhidas, qual é, em função de n, a probabilidade de que o número da bola retirada seja par? SOLUÇÃO
O número de bolas na urna é 
i) Supondo par, isto é, temos que o total de bolas com números pares é dado por
ii) Supondo ímpar, isto é, temos que o total de bolas com números pares é dado por
Portanto,
se for par, a probabilidade pedida é 
se for ímpar, a probabilidade pedida é 
n é par P =
n é ímpar P = 
6) UNESP - Tem-se um lote de 6 peças defeituosas. Quer-se acrescentar a esse lote, b peças perfeitas de modo que, retirando, ao acaso e sem reposição, duas peças do novo lote, a probabilidade de serem ambas defeituosas seja menor que 10%. Calcule o menor valor possível de b.
SOLUÇÃO
P(D D) = 6/(6+b) x 5/(5+b) 
queremos que P(D D) seja menor que 0.1, então: 
6/(6+b) x 5/(5+b) <0.1 
30 < 0.1 x (30 + 6b + 5b + b²) 
b² + 11b - 270 > 0 
resolvendo a inequação e sabendo que b >0 temos que: 
b > 11.8 
ou seja, o menor valor possível para b é 12.
b = 12 
7) UNESP - O corpo de enfermeiros plantonistas de uma clínica compõe-se de 6 homens e 4 mulheres. Isso posto, calcule: 
a) quantas equipes de 6 plantonistas é possível formar com os 10 enfermeiros, levando em conta que em nenhuma delas deve haver mais homens que mulheres; 
b) a probabilidade de que, escolhendo-se aleatoriamente uma dessas equipes, ela tenha número igual de homens e de mulheres
SOLUÇÃO
Homens = 6 (H) 
Mulheres = 4 (M) 
A) Como não podemos ter mais homens que mulheres, teremos: 
0H6M; 1H5M; 2H4M; 3H3M; ( Essas são as possibilidades!!) 
Como não existem nem 6 nem 5 mulheres, sobram apenas as possibilidades: 2H4M e 3H3M. 
Agora temos que calcular de quantas formas podemos escolher, por exemplo, 2 homem dentre 6; 3 mulheres dentre 4; etc. e fazer isso em todos os casos acima. Assim: 
Vale lembrar que Cn,p = n!/p!(n - p)!. 
1º Caso: 2H4M 
C6,2.C4,4 = (6!/2!4!).(4!4!0!) = 15.1 = 15 possibilidades; (Temos C6,2. Isso indica que queremos saber de quantas maneiras podemos escolher 2 dentre 6 homens; C4,4. Como escolher 4 mulheres entre 4 mulheres;) 
2º Caso: 3H3M 
C6,3.C4,3 = (6!/3!3!).(4!3!1!) = 20.4 = 80 possibilidades!! 
O número de equipes total é dado pela soma das possibilidades dos dois casos. Assim: 80 + 15 = 95 equipes distitas nas condições estabelecidas!!!!!!!!!! 
B) Na probabilidade temos casos possíveis e casos favoráveis. O valor obtido é dado pela regra: 
P(A) = Casos Favoráveis (CF)/Casos Possíveis (CP) 
P(A) = CF/CP 
CP = 95 casos (equipes) 
CF = 80 casos (equipes que possuem números iguais de homens e mulheres); 
P(A) = 80/95 
P(A) = 16/19
a) 95 equipes
b) 16/19 
8) FGV - Em uma eleição para a prefeitura de uma cidade, 30% dos eleitores são favoráveis a um certo candidato A. Se uma pesquisa eleitoral for feita sorteando-se 10 pessoas (sorteio com reposição) entre os eleitores, qual a probabilidade de que, nessa amostra: 
a) todos sejam favoráveis ao candidato A; 
b) haja exatamente 3 eleitores favoráveis ao candidato A.
SOLUÇÃO
9) PUCRIO - No jogo denominado "zerinho-ou-um", cada uma de três pessoas indica ao mesmo tempo com a mão uma escolha de 0 (mão fechada) ou 1 (o indicador apontando), e ganha a pessoa que escolher a opção que diverge da maioria. Se as três pessoas escolheram a mesma opção, faz-se, então, uma nova tentativa. Qual a probabilidade de não haver um ganhador definido depois de três rodadas?
SOLUÇÃO
Faz-se uma nova tentativa se o resultado for 000 ou 111. 
A probabilidade disto acontecer é 2/8. 
.
10) UFF - No jogo "Bola Maluca", um jogador recebe seis bolas que são lançadas sucessivamente sobre um grande tabuleiro inclinado com canaletas numeradas de 1 a 6, conforme a figura a seguir.
A cada lançamento, o jogador recebe a pontuação referente ao número da canaleta em que a bola parar. Ao final de todos os lançamentos os pontos recebidos são somados, representando a pontuação total do jogador.
a) Após lançar quatro bolas, um jogador obteve um subtotal de 15 pontos. Determine a probabilidade de, com as duas jogadas restantes, esse jogador totalizar 19 pontos. 
b) A probabilidade de se totalizar n pontos após o lançamento das seis bolas é indicada por P(n). Determine, entre P(36) e P(20), qual é o maior valor. Justifique sua resposta.
SOLUÇÃO
11) UEMA - Seja o desenvolvimento do Teorema Binomial
onde e e os coeficientes binomiais determinados por com e e 
Considerando as condições acima em relação ao Teorema Binomial, 
a) desenvolva 
b) para determinar um termo específico do binômio de Newton, é utilizado o termo geral Determineo 8º termo do binômio 
 SOLUÇÃO
a) Temos
b) O oitavo termo do binômio é
 
12) 
UFPE - Encontre o inteiro positivo n para o qual o quinto termo da expansão binomial de seja independente de na expansão em potências decrescentes de 
 SOLUÇÃO
O termo geral do binômio é dado por
 
Sabendo que o quinto termo é independente de temos que e, portanto,
 
13) 
UFPE - No desenvolvimento binomial de quantas parcelas são números inteiros? 
SOLUÇÃO
O termo geral do binômio é dado por 
Como segue que a maior potência de que divide é Assim, Desses valores, os únicos que produzem parcelas inteiras são e Portanto, duas parcelas do binômio dado são números inteiros. 
14) 
Ufc - Poupêncio investiu numa aplicação bancária que rendeu juros compostos de ao mês, por cem meses seguidos. Decorrido esse prazo, ele resgatou integralmente a aplicação. O montante resgatado é suficiente para que Poupêncio compre um computador de à vista? Explique sua resposta. 
SOLUÇÃO
15) Uerj - Em uma barraca de frutas, as laranjas são arrumadas em camadas retangulares, obedecendo à seguinte disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada de seis; essa camada de seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilustração abaixo.
Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do triângulo de Pascal pode ser calculada pela fórmula qual n e p são números naturais, correspondem ao número de combinações simples de n elementos tomados p a q.
Com base nessas instruções, calcule:
a) a soma.
b) o número total de laranjas que compõem quinze camadas. 
 SOLUÇÃO
	A)
	
	B)
	
 
	
	
 S = 1.360 laranjas
16) UFES - Uma agência bancária cadastra as contas de seus clientes usando um número N de quatro algarismos, seguido de um dígito de controle, o qual é definido como o resto da divisão de N11 por 7. Por exemplo, na conta 2001-6, o algarismo de controle 6 é o resto da divisão de (2001)11 por 7; isso pode ser comprovado escrevendo-se
		2001 = 7 x 286 - 1
e, a seguir, utilizando o binômio de Newton para desenvolver a potência (7x286-1)11.
Por esse raciocínio, ou equivalente, calcule o algarismo de controle da conta número 2000. 
SOLUÇÃO
17) Uerj - 
Na potência acima, n é um número natural menor do que 100.
Determine o maior valor de n, de modo que o desenvolvimento dessa potência tenha um termo independente de x. 
 SOLUÇÃO
18) UNIRIO - Calcule o valor da expressão a seguir
, onde n é ímpar, justificando a sua resposta. 
SOLUÇÃO
Zero, pois os termos binomiais equidistantes dos extremos são complementares e, portanto, iguais, e possuem sinais contrários, anulando-se dois a dois. 
 
19) UNICAMP - Considere o enunciado a seguir:
 
 SOLUÇÃO
a) Observe a demonstração adiante:
b) n 
20) 
Espcex - O termo independente de no desenvolvimento de é igual a 
a) 110. 
b) 210. 
c) 310. 
d) 410. 
e) 510. 
SOLUÇÃO
ppppp1
pn
p1p2n1
CCC...CC,
+
+++
++++=
p
n
np e C
³
2222
23418
CCC...C
++++
3
19
2
18
2
4
2
3
2
2
C
C
...
C
C
C
=
+
+
+
+
969
=
´
´
´
=
2
3
17
18
19
16
15
...
4
3
3
2
2
1
S
´
+
+
´
+
´
+
´
=
2
16
15
...
2
4
3
2
3
2
2
2
1
2
S
´
+
+
´
+
´
+
´
=
3
17
2
16
2
3
2
2
C
C
...
C
C
2
S
=
+
+
+
=
680
2
3
15
16
17
=
´
´
´
=
x
10
3
2
1
x
x
æö
-
ç÷
èø
®
n2
2(n1)
+
+
n1
2n
-
n
nnkknn1n22n
k0
nnnnn
(ab)abaababb
k012n
---
=
æöæöæöæöæö
+==++++
ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèøèø
å
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¥
a
b
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012n
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n
n!
p
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æö
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¥
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³
5
2
11
;
x
x
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+
ç÷
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nkk
k1
n
Tab.
k
-
+
æö
=
ç÷
èø
12
2
11
.
x
x
æö
+
ç÷
èø
5
5432
2222
2345
22
1087542
555
1111111
012
xxx
xxxx
555
11111
345
xxx
xx
15101051
.
xxxxxxxxx
æöæöæö
æö
æöæöæöæö
+=+++
ç÷ç÷ç÷
ç÷
ç÷ç÷ç÷ç÷
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+++
ç÷ç÷ç÷
ç÷ç÷ç÷ç÷
èø
èøèøèø
èøèøèø
=+++++
12
2
11
x
x
æö
+
ç÷
èø
57
8
2
103
13
12
11
T
7
x
x
12!11
7!5!
xxx
792
.
xx
æö
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ç÷
ç÷ç÷
èø
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èø
=××
×
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3
1
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x.
n
3
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k
3nk
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3
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n4k
3
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x
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x
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x.
k
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-
-
æö
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ç÷
ç÷
èø
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=××
ç÷
èø
æö
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ç÷
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x,
k4
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n44
0n16.
3
-×
=Û=
10
1
1,
3
æö
+
ç÷
èø
p
10p
p1
p
10
110!1
T1.
p
3p!(10p)!
3
-
+
æö
æö
=××=×
ç÷
ç÷
-
èø
èø
4
10!1098765432310872542,
=××××××××=×××××××
3
10!
4
3.
Î
p{0,1,2,3,4}.
0
2.
R$1.000,00
1%
R$2.490,00