aula 11

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Polinômios 
1) UNESP - Transforme o polinômio P(x) ≡ x5 + x2 – x – 1 em um produto de dois polinômios, sendo um deles do 3.º grau.
2) UFC -Considere a expressão x4 – x3 – 5x2 – x – 6. Pede-se: 
A) encontrar o valor numérico da expressão para x = – 2. 
B) obter todas as raízes complexas do polinômio p(x) = x4 – x3 – 5x2 – x – 6
3) UNIRIO - Determine o valor dos coeficientes reais a, b e c do polinômio P(X)=x³+ax²+bx+c, sabendo que as raízes deste polinômio estão em progressão geométrica de razão 2 e que . p(0)= -8 .
4) UNIRIO – Considere o polinômio p(x) = x4 – 2x3+18x²-32x+32. Sabendo que 4i é raiz de p(x), resolva, no conjunto C dos números complexos, a equação p(x)=0.
5) UNIRIO – Determine k de modo que a equação polinomial x³+kx²-6x-8=0 tenha as raízes em progressão geométrica.
6) UFF - Considere o polinômio p(x) = x3 - 1. 
a) Encontre, em c , todas as raízes do polinômio p(x).
b) Calcule a área do polígono cujos vértices são os pontos que representam as raízes do polinômio p(x), no plano complexo.
c) Sejam z1 e z2 as raízes complexas, não reais, do polinômio p(x). Determine o valor de (z13000 + z23000)
7) UERJ -Observe o gráfico da função polinomial de em definida por .
Determine o conjunto solução da inequação . 
8) 	UERJ -O gráfico abaixo representa a função polinomial P do 3° grau que intersecta o eixo das abscissas no ponto (-1, 0). 
Determine o resto da divisão de por .
9) UERJ -	Uma sequência de três números não nulos está em progressão harmônica se seus inversos , nessa ordem, formam uma progressão aritmética. 
As raízes da equação a seguir, de incógnita x, estão em progressão harmônica
	 Considerando o conjunto dos números complexos, apresente todas as raízes dessa equação. 
10) UERJ -
Admita a possibilidade de contar objetos de duas maneiras, uma na base e outra na base . 
Ao empregar essas duas maneiras de contar um determinado grupo de objetos, obtemos .
Calcule o valor da base e as outras raízes da equação resultante.
11) UERJ -Considere a equação a seguir, que se reduz a uma equação do terceiro grau: 
Uma de suas raízes é real e as outras duas são imaginárias.
Determine as três raízes dessa equação. 
12) UERJ -
O gráfico acima representa uma função polinomial P de variável real, que possui duas raízes inteiras e é definida por: 
Determine o valor da constante representada por m e as quatro raízes desse polinômio. 
13) UERJ -As figuras abaixo representam as formas e as dimensões, em decímetros, de duas embalagens: um cubo com aresta x e um paralelogramo retângulo com arestas x, x e 5
A diferença entre as capacidades de armazenamento dessas embalagens, em dm³, é expressa por x³ - 5x² = 36.
Considerando essa equação, 
A) Demonstre que 6 é uma de suas raízes;
B) Calcule as suas raízes complexas
14) UERJ -Para fazer uma caixa, foi utilizado um quadrado de papelão de espessura desprezível e 8 dm de lado, do qual foram recortados e retirados seis quadrados menores de lado x. Observe a ilustração.
Em seguida, o papelão foi dobrado nas linhas pontilhadas, assumindo a forma de um paralelepípedo retângulo, de altura x, como mostram os esquemas 
Quando x = 2 dm, o volume da caixa é igual a 8 dm³. Determine outro valor de x para que a caixa tenha volume igual a 8 dm³.
15) Fuvest - Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 9/5. A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é 24/5. 
Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine 
a) a progressão aritmética.
 b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.
16) Fuvest – As raízes da equação do terceiro grau 
são todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine 
a) as raízes da equação;
 b) o valor de k.
17) Fuvest - Considere o polinômio P(x) = x4+1 . 
a) Ache todas as raízes complexas de P(x). 
b) Escreva P(x) como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais.
18) Fuvest - Os coeficientes a, b e c do polinômio P(x) = x³ + ax² + bx + c são reais. Sabendo que -1 e 1+αi, com α>0, são raízes da equação P(x)=0 e que o resto da divisão de P(x) por (x-1) é 8, determine
a) o valor de α
b) o quociente de P(x) por (X+1)
19) UFSP -Seja . Elevando ambos os termos ao cubo, teremos x³ = 4 – 3x. Seja p(x) = x³ + 3x – 4. Como p(1) = 0, p(x) é divisível por x – 1 e, então, p(x) = (x – 1).q(x), onde q é um polinômio. 
a) Mostre que q(x) possui como zeros somente números complexos não reais e, portanto, que o número x = 1 é o único zero real de p(x). 
b) Mostre que é um número inteiro.
20) Unicamp – Considere o polinômio cúbico P(x) = x³ - 3x + a, onde a é um número real.
a) No caso em que p(1)=0, determine os valores de x para os quais a matriz A abaixo não é inversível.
b) Seja b um número real não nulo e i a unidade imaginária, isto é, i² = -1. Se o número complexo z = 2+bi é uma raíz de p(x), determine o valor de lZl.