anéis, corpos

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MA 673: Elementos de Álgebra 2º Semestre/2006 
 
Monografia: Estrutura de grupo de movimentos simétricos de um 
polígono regular de n lados. 
 
Alexandre Krip RA 995128 
 
Exemplos: Simetrias num quadrado e triângulo equilátero 
 
 Uma importante fonte de grupos são as simetrias de figuras 
geométricas. Tais grupos assim formados são chamados de grupos 
diedrais. 
Por exemplo vamos considerar um quadrado, como mostrado 
na figura abaixo. Nele foram marcados vários eixos de simetria pelas 
linhas tracejadas. 
 
 
Esse quadrado tem 8 simetrias, quatro rotações e quarto 
reflexões. Elas estão representadas a seguir, com o seu efeito sobre 
as permutações dos quatro vértices. As rotações foram realizadas no 
sentido horário. 
 
 
 Na representação acima se convencionou ρi para as rotações, µi 
para as reflexões nos eixos AC e BD e δi para as reflexões diagonais 
13 e 24 
 As oito simetrias formam um grupo. As permutações 
correspondentes formam um grupo, um subgrupo do grupo de 
simetria S4 o qual é isomorfo ao grupo de simetrias. Este grupo não é 
abeliano. Podemos verificar observando-se a tabela onde são 
representadas todas as simetrias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Um outro exemplo de grupo de simetrias, é o grupo D3 das 
simetrias em um triângulo eqüilátero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ação ds rotações ρi e das reflexões µi através das bissetrizes dos 
ângulos são mostradas a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando-se a tabela acima observamos que este grupo também 
não é abeliano. 
A classe consistindo daqueles grupos, cada um dos quais é o 
grupo das simetrias de um polígono regular de n lados, é chamada 
classe dos grupos diedrais. Mostramos este grupo de simetrias para o 
triângulo eqüilátero para o quadrado nos exemplos anteriores. 
Por conveniência consideremos o n-ágono regular como na figura 
a seguir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Destacando um vértice superior cuja posição é indicada por 1, e 
em continuação, numerando as posições dos outros vértices no 
sentido horário. 
Contemos primeiro o número de simetrias distintas do n-ágono. 
Observamos que uma simetria σ é completamente determinada: 
(1) pela posição da imagem, σ (1), do vértice em 1 sob a simetria 
(2) pela posição relativa da imagem, σ (2), do vértice em 2 em 
relação a σ (1), se está no sentido horário ou anti-horário em relação 
a σ (1). 
Há n escolhas para o vértice em 1 e, para cada escolha, há duas 
escolhas para a imagem do vértice em 2. Existem, portanto, 2n 
simetrias do n-ágono regular. 
 Denotemos por R uma rotação horária de 2π ln radianos e por A 
uma reflexão em torno do diâmetro vertical que passa pelo vértice 
em 1, como é indicado na figura acima. 
Como podemos de observar, qualquer simetria pode ser obtida 
por: 
 1. Uma rotação de 2π k/n radianos. O correspondente elemento 
do grupo é Rk onde 0≤ k < n. 
2. Uma reflexão ou não-reflexão em torno do diâmetro vertical. O 
correspondente elemento do grupo é denotado por Ae ,onde e = 1 ou 
e = O. 
 Uma situação típica é desenhada na figura a seguir onde os 
vértices foram designados por δγβα ,,, para mostrar os efeitos das 
simetrias. 
Relembrando que os números 1, 2,3, ..., n indicam as posições dos 
vértices e não os próprios vértices. Se chamarmos de id a simetria 
identidade, teremos as relações: 
 
2
AidR
n == e 1−= ARRA 
 
 
 
Para verificar a ultima relação, vamos destacar a próxima 
visualização. 
 
 
 
Segue da relação RA = AR-1 que RkA = AR-1. Isto resulta de k 
aplicações sucessivas da relação dada: 
 
11
.................
−− ==== ARRARRRARAR k 
 K k-1 
 
As permutações sobre 1, 2, ...., n que descrevem R e A em termos 
das posições assumidas são dadas por: 
 
 
Temos A(1) e A(i) = n+2-i se i≠1. 
Notemos que cada elemento do grupo tem forma RkAe onde 0≤ 
k < n e 0≤ e < 2. Há precisamente 2n elementos desta forma e todos 
distintos. 
Com efeito, se RkAe = RhAf , então teríamos Rk-hAf-e . Mas a 
implicação geométrica deste resultado é que uma rotação Rk-h, seria 
igual a uma reflexão Af-e . Isto não é possível, a menos que sejam 
ambas permutações da identidade, isto é, Rk = Rh e Ae= Af. 
A distinção entre estes elementos pode ser efetivamente 
derivada das relações dadas acima sem recorrer à geometria, e assim 
podemos obter uma caracterização abstrata e completa do grupo 
diedral. 
 
 
Bibliografia 
 
- Dean,R. A. Elementos de álgebra abstrata, Livros Técnicos e 
Científicos Editora, Rio de Janeiro, !974. 
 
-Fraleigh, J. B. A First Course in Abstract Álgebra,I Addison-Weley 
Publisinhg Company, Philippines, 1982 
 
- Notes on Algebraic Structures, Peter J. Cameron, Queen Mary, 
University of London