CALCULO II - ESTACIO - AULA 3 DIFERENCIAÇÃO PARCIAL E REGRA DA CADEIA

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia II
Aula 03: Diferenciação Parcial e Regra da Cadeia
Apresentação
Nesta aula, deixaremos um pouco de lado as funções vetoriais e daremos início ao estudo das derivadas e integrais em
funções de várias variáveis.
Para isso, antes de abordamos o assunto de derivadas parciais, faremos uma introdução ao conceito de funções de várias
variáveis.
Ao se fazer o estudo das funções de várias variáveis você verá que seus conceitos acabam por ser tornar repetitivos, quando
comparados às funções de uma variável que estamos acostumados a estudar.
Objetivos
De�nir os conceitos de funções e de derivada em funções de várias variáveis;
Aplicar os conceitos de derivadas de ordem superior;
Empregar a regra da cadeia em funções de várias variáveis.
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Funções de Várias Variáveis
Para entendermos esse conceito, começaremos a de�ni-lo a partir dos seguintes enunciados:
Enunciado 1
Calcule o volume de um cilindro, cujo raio
mede 4cm e sua altura 6cm, sabendo que
seu volume é dado por V = π r2.
Enunciado 2
A equação do estado ideal de um gás é
dada pela fórmula PV = nRT, onde p =
pressão, v = volume, n = constante molar do
gás e T = temperatura.
Repare que em ambos os casos mais de uma variável foi utilizada, portanto, podemos dizer que nas duas situações descritas
acima foram usadas uma função de várias variáveis, podendo o enunciado 1 ser escrito da seguinte maneira: 𝑉 = 𝑉(ℎ, 𝑟) o que
representaria 𝑉 ℎ, 𝑟 = 𝜋𝑟2 e nos daria uma função de duas variáveis.
Já o enunciado 2 �caria da seguinte forma: 𝑃(𝑉, 𝑡, 𝑛) = 𝑛𝑅𝑇 /𝑉, cuja função seria de três variáveis.
( )
O n nessa função é conhecido como constante molar do gás, logo, ele não é
contabilizado como uma variável.
A de�nição de uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de número reais (x, y) de um conjunto
D único valor real, denotado por f(x,y).
O conjunto D é o domínio de f e sua imagem, e o conjunto de valores possíveis de f, ou seja: {𝑓(𝑥, 𝑦) / (𝑥, 𝑦)𝜖𝐷}.
Exemplo
Para cada uma das seguintes funções, calcule 𝑓(3, 2).
a) 𝑓 𝑥, 𝑦 =
x+ y+ 1
x - 1
Resolução:
Substituindo x e y por 3 e 2, respectivamente, obtemos:
𝑓 𝑥, 𝑦 =
x+ y+ 1
x - 1
𝑓 3, 2 =
3 + 2 + 1
3 - 1
𝑓 3, 2 =
6
2
b) 𝑓 x, y =
x2y + 2y2
x - y
Resolução:
Substituindo x e y por 3 e 2, respectivamente, temos:
𝑓 x, y =
x2y + 2y2
x - y
𝑓 3, 2 =
32 . 2 + 2 . 22
3 - 2
𝑓 3, 2 =
18 + 8
1
𝑓(3, 2) = 26
( ) √
( ) √
( ) √
( ) √
( )
( )
( )
( )
Derivadas Parciais
Assim como na de�nição de uma derivada de uma função de uma variável, o conceito formal da derivada parcial passa pelo uso
do limite das funções, como vemos a seguir.
Segundo Flemming e Gonçalves (2007), uma de�nição para derivada de uma função de duas variáveis pode ser expressa da
seguinte maneira:
Sejam 𝑓 :𝐴 ⊆ ℝ2 ⟶ ℝ ∴ 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , uma função de duas variáveis e 𝑥0, 𝑦0 ∈ 𝐴 , ao �xarmos 𝑦 = , 𝑦0, podemos considerar a
função 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦0 . Isso nos dá a derivada de 𝑔(𝑥) no ponto 𝑥 = 𝑥0, o que será denominado como sendo a derivada parcial
de f em relação a x no ponto 𝑥0, 𝑦0 , tendo a sua representação da seguinte forma:
( ) ( )
( ) ( )
( )
𝝏 𝒇
𝝏 𝒙 = 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎( )
Agora, lembrando da de�nição de derivada quando estudado com uma variável, temos também:
𝝏 𝒇
𝝏 𝒙 = 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 = limx→ ∞ 
g x - g x0
x - x0( ) ( ) ( ) ou 𝝏 𝒇𝝏 𝒙 = 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 = limx→ ∞ f x , x0 - f x0 , y0x - x0( ) ( ) ( )
Caso o limite exista.
Como a função tem duas variáveis, de igual modo, partindo do mesmo princípio podemos de�nir a derivada parcial de f em
relação a y no ponto 𝑥0, 𝑦0 :( )
𝝏 𝒇
𝛛 𝒙 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 = limy→ y0 
𝒇 𝒙 𝟎 − 𝒚 − 𝒇 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 
𝒚 − 𝒚 𝟎( )
( ) ( )
Quando observamos que 𝑥 − 𝑥0 = ∆ 𝑥 e que 𝑦 − 𝑦0 = ∆ 𝑦, temos que:
𝝏 𝒇
𝛛 𝒙
𝒙
𝟎
, 𝒚
𝟎
 = lim ∆ 𝒙 → 0 
𝒇 𝒙
𝟎
+ ∆ 𝒙 , 𝒚
𝟎
− 𝒇 𝒙
𝟎
, 𝒚
𝟎
 
∆ 𝒙( )
( ) ( ) e 𝝏 𝒇
𝛛 𝒙
𝒙
𝟎
, 𝒚
𝟎
 = lim ∆ y→ 0 
𝒇 𝒙
𝟎
, 𝒚
𝟎
+ ∆ 𝒚 − 𝒇 𝒙
𝟎
, 𝒚
𝟎
 
∆ 𝒚( )
( ) ( )
Exemplo
Antes de continuar seus estudos, veja mais um exemplo <galeria/aula3/anexo/exemplo01.pdf> .
 Figura 1: Representação gráfica da derivada parcial da função: 𝑓 (𝑥,𝑦)=4−𝑥 −𝑦2 2
O que devemos perceber nesse cálculo de derivada parcial é que cada incógnita teve a sua derivada; diferente da diferencial
implícita, algumas pessoas quando veem x e y, por exemplo, na mesma função têm vontade, erroneamente, de calcular como se
fosse uma derivada implícita, o que não é, devendo o seu cálculo ser feito conforme o demonstrado acima.
Derivada Parcial de Primeira Ordem
Seguindo ainda as de�nição de Flemming e Gonçalves (2007), sejam 𝑓 :𝐴 ⊆ ℝ2 ⟶ ℝ ∴ 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , em uma função de duas
variáveis e 𝐵 ⊆ 𝐴 o conjunto formado por todos os pontos (x, y), tais que 
𝜕 𝑓
𝜕 𝑥 𝑥, 𝑦 exista.
É de�nida a função derivada parcial de 1ª Ordem de f em relação a x como a função que cada (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵 associa o número 
𝜕 𝑓
𝜕 𝑥
dado por:
( )
( )
𝝏 𝒇
𝛛 𝒙 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 = lim ∆ 𝑥 → 0 
𝒇 𝒙 𝟎 + ∆ 𝑥 , 𝒚0 − 𝒇 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 
∆ 𝑥( )
( ) ( )
Assim como a derivada parcial de 1ª Ordem de f, em relação a y, é associada a:
𝝏 𝒇
𝛛 𝒙 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 = lim ∆ 𝑦 → 0 
𝒇 𝒙 𝟎 , 𝒚0 + ∆ 𝑦 − 𝒇 𝒙 𝟎 , 𝒚 𝟎 
∆ 𝑦( )
( ) ( )
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/galeria/aula3/anexo/exemplo01.pdf
Veja algumas formas de se representar a derivada parcial de 1ª Ordem seja em relação a x ou y:
Variáveis Representações da forma escrita da derivada de 1ª Ordem
x 𝝏 𝒇
𝛛 𝒙
(𝒙, 𝒚) 𝐷 𝑥 𝑓 𝑥 , 𝑦 𝐷1 𝑓 𝑥 , 𝑦 𝑓 𝑥 𝑥 , 𝑦
y 𝜕 𝑓
𝜕 𝑦
 𝑥 , 𝑦
𝐷 𝑦 𝑓 𝑥 , 𝑦 𝐷2 𝑓 𝑥 , 𝑦 𝑓 𝑦 𝑥 , 𝑦
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
As técnicas de derivação parcial são as mesmas utilizadas quando são estudadas derivadas de funções com uma variável,
porém, nos estudos das derivadas parciais, ao fazermos a derivada de x, consideramos o y uma constante; e quando estudamos
a derivada parcial de y tomamos como constante o x.
Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online
Exemplo
Dada a função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥𝑦3 − 2𝑥
Resolução:
Para calcularmos a derivada em função de x, iremos tomar o y como sendo uma constante, sendo assim, temos:
𝑓 𝑥 𝑥, 𝑦 = 4𝑥 − 𝑦 − 2
Repare que só derivamos os valores referentes ao x. Agora iremos derivar a função em relação a y, com isso, tomaremos como
constante os valores de x, não esquecendo que a derivada da constante é igual a zero:
𝑓 𝑦 𝑥, 𝑦 = 0 − 3𝑥𝑦
2 − 0 
𝑓 𝑦 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑦
2
Repare que as parcelas 2𝑥2𝑒 − 2𝑥 viraram zero, isso aconteceu pelo fato de não existir na companhia delas a variável que
queríamos derivar, o y, sendo assim, a sua derivada será zero.
Veja mais alguns exemplos <galeria/aula3/anexo/exemplo02.pdf> para �xar melhor o conteúdo.
( )
( )
( )
( )
Regra da Cadeia
Quando estudado esse conceito em funções de uma variável, tratamos o seu uso na derivação de uma função composta.
Faremos essa mesma abordagem agora, porém, em função de várias variáveis, sendo assim, iremos utilizar a de�nição de
Morettin, Hazzan e Bussand (2003).
Seja uma função de duas variáveis x e y, diferenciáveis em um ponto x0, y0 do domínio, e sejam as funções dadas por x(t) e y(t)
diferenciáveis em t0, de modo que x t0 = x0 e y t0 = y0.
Então, a derivada da função F composta de f com x e y é de�nida por:
( )
( ) ( )
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/galeria/aula3/anexo/exemplo02.pdf
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𝑑 𝐹
𝑑 𝑡 t0 =
𝜕 𝑓
𝜕 𝑥 𝑥0, 𝑦0 . 
𝑑 𝑥
𝑑 𝑡 t0 +
𝜕 𝑓
𝜕 𝑦 𝑥0, 𝑦0 . 
𝑑 𝑦
𝑑 𝑡 t0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ou 𝑑 𝐹𝑑 𝑡 = 𝜕 𝑓𝜕 𝑥 . 𝑑 𝑥𝑑 𝑡 + 𝜕 𝑓𝜕 𝑦 . 𝑑 𝑦𝑑 𝑡
Exemplo
Vejamos a sua aplicação através de alguns exemplos <galeria/aula3/anexo/exemplo03.pdf> .
Derivadas de Segunda Ordem
Consideremos uma função de duasvariáveis, com isso as derivadas parciais dessa função serão funções de duas variáveis
também; caso as derivadas dessas funções existam elas são conhecidas como derivadas parciais de 2ª Ordem, a partir das
derivadas parciais dessas funções.
Dada uma função de duas variáveis, a derivada parcial de 2ª Ordem dessa função irá nos proporcionar quatro derivadas, que são
elas:
Variáveis Representações da forma escrita da derivada de ordem superior
x 𝑓 𝑥 =
𝜕 𝑓
𝜕 𝑥
𝑓 𝑥 𝑥 =
𝜕2𝑓
𝜕 𝑥 2
𝑓 𝑥 𝑦 =
𝜕2𝑓
𝜕 𝑥 𝜕 𝑦
y 𝑓 𝑦 =
𝜕 𝑓
𝜕 𝑦
𝑓 𝑦 𝑦 =
𝜕2𝑓
𝜕 𝑦2
𝑓 𝑦 𝑥 =
𝜕2𝑓
𝜕 𝑦 𝜕 𝑥
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/galeria/aula3/anexo/exemplo03.pdf
𝑓 𝑥 =
𝜕 𝑓
𝜕 𝑥 : Derivada parcial da função 𝑓(𝑥, 𝑦) em relação a x.
𝑓 𝑥 𝑥 =
𝜕2 𝑓
𝜕 𝑥2
: Derivada de x em relação à derivada parcial de 𝑓 𝑥 .
𝑓 𝑥 𝑦 =
𝜕2 𝑓
𝜕 𝑥 𝜕 𝑦 : Derivada de y em relação à derivada parcial de 𝑓 𝑥 .
𝑓 𝑦 =
𝜕 𝑓
𝜕 𝑦 : Derivada parcial da função f(x,y) em relação a y.
𝑓 𝑦 𝑦 =
𝜕2𝑓
𝜕 𝑦2
: Derivada de y em relação à derivada parcial de 𝑓 𝑦 .
𝑓 𝑦 𝑥 =
𝜕2𝑓
𝜕 𝑦 𝜕 𝑥 : Derivada de x em relação à derivada parcial de 𝑓 𝑦 .
As representações das derivadas são as seguintes:
Exemplo
Essas representações �cam mais claras quando são necessitadas as derivadas de 2ª Ordem, como você verá nos exemplos
<galeria/aula3/anexo/exemplo04.pdf> .
Atividade
1. O valor numérico da função 𝑓 𝑥, 𝑦 =
√2𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦 , f(3,1) é:( )
a) 
√7
2
b) 
√7
√2
c) 
7
2√
d) 
7
2
e) 
2
7
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/galeria/aula3/anexo/exemplo04.pdf
2. A derivada parcial fx da função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥
3 + 𝑦3 − 3𝑥𝑦 tem como resposta:( )
a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 + 3𝑦2 − 3𝑦 
b) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 + 3𝑦2 − 3𝑥 
c) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 - 3𝑦 
d) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 - 3𝑥 
e) 𝑓 𝑥 = 3𝑥
2 - 3 
3. A derivada parcial fy da função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥
3 + 𝑦3 − 3𝑥𝑦 tem como resposta:( )
a) 𝑓 𝑦 = 3𝑦
2 − 3𝑦 
b) 𝑓 𝑦 = 3𝑥
2 + 3𝑦2 − 3𝑥 
c) 𝑓 𝑦 = 3𝑥
2 − 3𝑦 
d) 𝑓 𝑦 = 3𝑦
2 − 3𝑥 
e) 𝑓 𝑦 = 3𝑦2 − 3 
4. Calcule a derivada total 
𝑑 𝑧
𝑑 𝑡 , sendo: 𝑧 = 𝑢 + 𝑣𝑡, onde 𝑢 𝑡 = 2𝑡
2 e 𝑣(𝑡) = 𝑡 + 2. A resposta é:( )
a) 6𝑡
b) 6𝑡 + 2
c) 6𝑡2 + 2
d) 6𝑡
e) 2
5. Calcule a derivada total 
𝑑 𝑧
𝑑 𝑡 , sendo 𝑧 = 𝑥
2 − 8𝑥𝑦 − 𝑦3, onde 𝑥(𝑡) = 𝑡 e 𝑦(𝑡) = 3𝑡. A resposta é:
a) −46𝑡 − 81𝑡2
b) −46 − 81𝑡2
c) −46𝑡 − 81
d) 46𝑡 − 81𝑡2
e) −46𝑡 + 81𝑡2
NotasReferências
BROCHI, A. Cálculo diferencial e integral II (livro proprietário). Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FINNEY, R. L.; WEIR, M. D.; GIORDANO, F. R. (ed.). Cálculo George B. Thomas. São Paulo: Pearson, 2009. v. 1 e 2.
FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo B. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2007.
MORETTIN, P. A; HAZZAN, S.; BUSSAND, W. O. Cálculo: Funções de uma e Várias Variáveis. São Paulo: Saraiva. 2013.
STEWART, James. Cálculo volume 2. São Paulo: Cegage Learning, 2013.
Próxima aula
Integrais múltiplas;
Integral dupla na forma cartesiana (retangular e não retangular).
Explore mais
LENKE, Raiane. Calculadora de derivadas parciais de 2ª ordem. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/ur2p456G
<https://www.geogebra.org/m/ur2p456G> . Acesso em: 29 nov. 2018.
______. Derivadas parciais. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/kRRweBwp
<https://www.geogebra.org/m/kRRweBwp> . Acesso em: 29 nov. 2018.
______. Funções de duas variáveis. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/PNjvbNdK
<https://www.geogebra.org/m/PNjvbNdK> . Acesso em: 29 nov. 2018.
https://www.geogebra.org/m/ur2p456G
https://www.geogebra.org/m/kRRweBwp
https://www.geogebra.org/m/PNjvbNdK