Lista de Derivada Direcional e Vetor Gradiente

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IBMEC – Lista de Derivada Direcional e Vetor Gradiente 
 
 
1) Considere a função )ln(),( xyyxf  . Determine 
a) o gradiente da função no ponto (1,-3). 
b) A taxa de variação máxima da função nesse ponto. 
 
2) A temperatura do ar em pontos do espaço é dada pela função 222),,( zyxzyxT  . 
Um mosquito localizado em (1,2,1) deseja esfriar-se o mais rápido possível. Em que 
direção e sentido ele deve voar? 
 
3) Sendo 22),( yxyxf  , calcule a derivada direcional 
u
f



 no ponto (1,2) e na direção 
e sentido do vetor )2,4( v

. 
 
4) Em que direção e sentido se deve seguir, começando da origem, para obter a taxa mais 
rápida de decrescimento da função 22 )123()2(),,(  zyxyxzyxf ? 
 
5) (P2 UFRJ 2008): Seja )cos(4),( xyxyxf  . 
a) Encontre a derivada direcional de f no ponto ),2(  com relação à direção do vetor 









2
1
,
2
3
u . 
b) Qual é a menor taxa de variação da função no ponto ),2(  ? Em que direção e sentido 
esta ocorre? 
 
6) (P2 UFRJ 2009/1) Seja T(x,y,z) uma função diferenciável e suponha que ela represente a 
temperatura em graus Celsius em cada ponto de uma sala (as dimensões x, y e z são medidas em 
metros). Suponha ainda que T possui as seguintes propriedades: 
030)2,4,5( T , 
m
x
T
/3)2,4,5( 0


, m
y
T
/1)2,4,5( 0


 e m
z
T
/1)2,4,5( 0


. Uma mosca está voando por 
esta sala. 
a) Se a posição da mosca em cada instante t (dado em segundos) for representada pelo caminho, 
12  tx , ty 2 , 310 tz  , determine a taxa de variação da temperatura em relação ao 
tempo neste caminho, no instante t=2 segundos. 
b) Se a mosca estiver no ponto (5,4,2) e voar na direção definida pelo vetor )2,1,2( v

, 
determine a taxa de variação da temperatura nesta direção. Se a mosca escolher voar nesta 
direção, ela vai sentir mais ou menos calor do que no ponto (5,4,2)? 
c) Se a mosca escolher voar, a partir do ponto (5,4,2) do item (b), seguindo a direção em que a 
temperatura decresce mais rapidamente, determine qual deverá ser essa direção. 
 
 
 
 
 
7) (PF UFRJ 2009/1): Seja a função 22 4942
3
1
),( yxyxf  . 
(a) Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto 






3
5
,2,
3
1 . 
(b) Suponha que tsx  2
3
1
 e tsey 32 . Utilize a regra da cadeia para determinar as 
derivadas 
t
f


 e 
s
f


. 
c) Seja )2,
3
1
(),( 32 tsetsftsF  . Use os ítens (a) e (b) para determinar a taxa de 
variação de ),( tsF , no ponto (1;0), na direção do vetor 






2
1
,
2
1
v
 .