DESCONTO SIMPLES PARA SÉRIES DE TÍTULOS DE MESMO VALOR

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CÁLCULO DO VALOR DO DESCONTO SIMPLES PARA SÉRIES DE TÍTULOS DE MESMO VALOR
 
Vamos admitir que sejam apresentados a um banco 5 títulos, no valor de R$ 1.000,00 cada um, com vencimentos de 30 a 150 dias (de 1 a 5 meses) respectivamente, para serem descontados. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3% ao mês, calcular o valor do desconto global e o valor líquido correspondente a ser creditado na conta do cliente. As novas variáveis serão representadas pelos seguintes símbolos:
 
Dt = valor do desconto total = D1 + D2 + ... + Dn
 
N = número de títulos (ou prestações)
 
S= VN = Valor de cada título
 
VA= valor líquido total dos títulos = (N x VN) - Dt
 
a) Obtenção do desconto global, a partir do cálculo individual, para cada título:
 
 
Sendo          D = VN.i.n, tem - se que:
 
D1 = 1.000,00 x 0,03 x 1 = 30,00
 
D2 = 1.000,00 x 0,03 x 2 = 60,00
 
D3 = 1.000,00 x 0,03 x 3 = 90,00
 
D4 = 1.000,00 x 0,03 x 4 = 120,00
 
D5 = 1.000,00 x 0,03 x 5 = 150,00
 
Logo:   Dt = 30,00 + 60,00 + 90,00 + 120,00 + 150,00 = 450,00
 
b) Dedução de uma fórmula que possibilita obter o desconto total de forma simplificada.
 
Com base no desenvolvimento feito no item anterior, podemos escrever:
 
Dt = D1 + D2 + D3 + D4 + D5
 
Dt =1.000 x 0,03 x 1 + 1.000 x 0,03 x 2 + 1.000 x 0,03 x 3 + 1.000 x 0,03 x 4 + 1.000 x 0,03 x 5
 
Dt= (1.000, x 0,03) x (1+ 2 + 3 + 4 + 5)
 
Aplicando-se a fórmula que dá a soma dos termos de uma progressão aritmética (PA):
 
SPA = Soma da Progressão Aritmética = (t1 + tn)N / 2
 
em que t1 representa o prazo do título que vence primeiro, tn o prazo do título que vence por último e N o número de títulos, ternos:
 
Dt = (VN de cada título x taxa de juros). (t1 + tn). N/2
Dt = (1.000 . 0,03) . (1+5).5 / 2                           
 
Dt= 1.000,00 . 0,03 . 15 = 450,00.
 
O valor líquido creditado na conta do cliente seria:
 
VA = VN . N – Dt
VA = (1.000,00 . 5) - 450,00 = 4.550,00
 
Substituindo na expressão (1) cada número pelo seu símbolo correspondente, ternos:
 
Dt = S . i . (t1 + tn) N / 2         ou         Dt = S . N . i . (1 + tn)/2
 
em que a expressão (t1 + tn)/2 representa o prazo médio dos títulos descontados.
 
Essa fórmula somente é válida para desconto de séries de títulos ou de prestações com valores iguais, de vencimentos sucessivos e de periodicidade constante a partir do primeiro vencimento. Quando os vencimentos ocorrem no final dos períodos unitários, a partir do primeiro, a fórmula para determinar o desconto total de uma série de títulos pode ser escrita como segue:
 
Dt = S.N.i.(1 + tn)/2
 
em que tn, que representa o prazo expresso em número de períodos unitários (mês, bimestre, ano etc.) referente ao título que vence por último, será sempre igual ao número de títulos N.
 
É importante lembrar que o período unitário da taxa deve estar sempre coerente com o período unitário do prazo, isto é, se na fórmula de cálculo os prazos forem representados em meses, trimestres ou anos, a taxa de desconto também deve ser representada em termos de taxa mensal, trimestral ou anual, respectivamente.
 
Exemplos:
 
1. Calcular o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 12 títulos, no valor de R$ 1.680,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2,5% ao mês.
 
Dados:
 
S = 1.680,00
N = tn = 12
i = 2,5%
Pt = ?
 
Solução:
 
Dt = S.N.i.(1 + tn) / 2
 
Dt = 3.276,00
 
VA = S . N - Dt = 20.160,00 - 3.276,00 = 16.884,00
 
2. Quatro duplicatas, no valor de R$ 32.500,00 cada uma, com vencimentos para 90, 120, 150 e 180 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3,45% ao mês, calcular o valor do desconto.
 
Dados:
 
S = 32.500,00
N = 4
i = 3,45% ao mês
t1 = 90 dias = 3 meses
tn = 180 dias = 6 meses
DT = ?
 
Solução:
 
DT = S.N.d.(t1 + t2) /2
 
DT = 20.182,50