fundamentos de analise

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1.
		Identificando cada propriedade formal da relação de ordem com seu nome, obtemos respectivamente,
(I) Se m < n  e n < p então m < p.
 
(II) Dados m, n ∈ IN, somente uma das três alternativas pode ocorrer: ou m = n ou m < n ou m > n.
 
(III) Se m < n então   `AAp∈ IN*`   tem-se m + p < n + p.
	
	
	
	(I) Transitividade, (II) Tricotomia e (III) Monotonicidade da Adição.
 
	
	
	(I) Tricotomia, (II) Transitividade e (III) Associativa.
 
 
	
	
	(I) Associativa, (II) Lei do Corte e (III) Tricotomia.
 
 
	
	
	(I) Monotonicidade da Adição, (II) Comutativa e (III) Tricotomia.
 
	
	
	(I) Monotonicidade da Adição, (II) Tricotomia e (III) Transitividade.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considerando o conjunto dos números naturais como  N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma.
P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n.
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que
	
	
	
	Todo número natural é sucessor de algum numero natural.
	
	
	Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural.
	
	
	Todo número natural possui um sucessor que não é natural.
	
	
	Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural.
	
	
	Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano.
Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n.
 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem sucessores diferentes.
(II) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro.
(III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N.
Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto
 
	
	
	
	I somente.
	
	
	I e III somente.
	
	
	I, II e III.
	
	
	II e III somente.
	
	
	I e II somente.
	
	
 
		
	
		1.
		Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano.
Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n.
 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem sucessores diferentes.
(II) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro.
(III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N.
Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto
 
	
	
	
	II e III somente.
	
	
	I e III somente.
	
	
	I somente.
	
	
	I, II e III.
	
	
	I e II somente.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Identificando cada propriedade formal da relação de ordem com seu nome, obtemos respectivamente,
(I) Se m < n  e n < p então m < p.
 
(II) Dados m, n ∈ IN, somente uma das três alternativas pode ocorrer: ou m = n ou m < n ou m > n.
 
(III) Se m < n então   `AAp∈ IN*`   tem-se m + p < n + p.
	
	
	
	(I) Monotonicidade da Adição, (II) Comutativa e (III) Tricotomia.
 
	
	
	(I) Associativa, (II) Lei do Corte e (III) Tricotomia.
 
 
	
	
	(I) Transitividade, (II) Tricotomia e (III) Monotonicidade da Adição.
 
	
	
	(I) Tricotomia, (II) Transitividade e (III) Associativa.
 
 
	
	
	(I) Monotonicidade da Adição, (II) Tricotomia e (III) Transitividade.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considerando o conjunto dos números naturais como  N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma.
P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n.
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que
	
	
	
	Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural.
	
	
	Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural.
	
	
	Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural.
	
	
	Todo número natural possui um sucessor que não é natural.
	
	
	Todo número natural é sucessor de algum numero natural.
	
	Marque a alternativa que prova corretamente por indução que ∀∀ a ∈∈N, a > 0, temos que Lnan = nLna.
	
	
	
	Seja P(n): Lnan = nLna . P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
   Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna.  Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	
	 Seja P(n): Lnan = nLna.  Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).  Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	
	Seja P(n): Lnan = nLna.   Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
   Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna
	
	
	Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
 Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna.   Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	
	Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna. Mostramos que a propriedade     foi verificada.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Marque a alternativa que prova corretamente que  todo número é diferente do seu sucessor.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Dado o número natural n, seja P(n):  n  s(n). P(1) é verdadeira.  De fato:  1  s(1), já que 1 não é sucessor de número algum; em particular, 1 não é sucessor de si próprio.
Hipótese de Indução.  Supor  P(n)   verdadeira,   ou seja, n  s(n).
Assim,  a  verdade  de  P(n)  acarreta   a   verdade  de P(s(n)).  
	
	
	Dado o número natural n, seja P(n):  n  s(n). Etapa Indutiva.  s(n) = s(s(n)), pois a função s : N  N é injetiva. Mas a afirmação s(n)  s(s(n) significa que P(s(n))  é  verdadeira.   Assim,  a  verdade  de  P(n)  acarreta   a   verdade  de P(s(n)).  Pelo Princípio da Indução, todos os números naturais gozam da propriedade P, ou seja, são diferentes de seus sucessores.
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Marque a alternativa que apresenta corretamente a demonstração do Teorema:  
Se p é elemento mínimo de X, então esse elemento é único.
	
	
	
	 Dado X contido em N, suponhamos por absurdo que existirem dois elementos mínimos para X: p ∈∈X e q ∈∈X.  Como p ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é maior do que qualquer elemento de X, e já que q ∈∈X, temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q  e  q ≤ p, ficamos com p = q.                  
	
	
	Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈∈X e q ∈∈X . Como p ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que  q ∈∈X temos que p = q. Da mesma forma, q ∈∈X  é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈∈X, temos então esse elemento é único.
 
	
	
	Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈∈X  e q ∈∈X.  Como p ∈∈X   é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈∈X , temos que p ≤ q. Da mesmaforma, q ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈∈X  , temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q.                                    
	
	
	Como p ∈∈X  por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X. q ∈∈X é elemento máximo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q.                                    
	
	
	Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈∈X e q ∈∈X. Como p ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈∈X, temos que p > q. Da mesma forma, q ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈∈X, temos que q ≤ p. Portanto,  p = q.                  
	
		
		Assinale a opção onde o conjunto correspondente é infinito.
	
	
	
	As pessoas que habitam o planeta Terra.
	
	
	Os meses do ano.
	
	
	{ 1,2,3,.........,1999}
	
	
	{x : x é par}
	
	
	{ x : x ∈ R e x2 -7x=0}
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dentre os conjuntos abaixo relacionados , assinale o único que é finito :
	
	
	
	{ x ∈ Z : 2 < x < 7}
	
	
	{ x∈ R : x > 3}
	
	
	{ x ∈ Z : x > -3 }
	
	
	{ x ∈ R : 3 < x < 5}
	
	
	{ x ∈ N : x > 7}
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Com relação a noção de conjunto enumerável e aos conjuntos dados, é somente correto afirmar que
(I) O conjunto N é enumerável, pois a função φ : N-> N, definida por φ(n) = n é bijetiva.
(II) O conjunto {2, 4, 6, . . .} é enumerável, pois a função φ : N-> N, definida por φ(n) = 2n é bijetiva.
(III) O conjunto −1,−2,−3,−4, . . . ,−n, . . . é enumerável, pois a função φ : N-> N, definida por φ(n) = -n é bijetiva.
	
	
	
	(I)
	
	
	(I) e (III)
	
	
	(II) e (III)
	
	
	(I), (II) e (III)
	
	
	(I) e (II)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere as afirmativas a seguir.
(I) Dizemos que um conjunto A é enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção f:N->A.
(II) Quando existe uma bijeção f:N->A, dizemos que A é um conjunto infinito enumerável.
(III) Todo conjunto finito A contém um subconjunto infinito enumerável.
Com relação a elas, é correto afirmar
	
	
	
	I e III somente.
	
	
	II e III somente.
	
	
	I e II somente.
	
	
	I, II e III.
	
	
	I somente.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere as afirmativas a seguir.
(I) Se X é um conjunto finito então todo subconjunto Y de X é finito.
(II) Não pode existir uma bijeção f: X-> Y de um conjunto finito X em uma parte própria Y C X.
(III) Seja A C In. Se existir uma bijeção f: In-> A, então A=In .
Com relação a elas, é correto afirmar
	
	
	
	II e III somente.
	
	
	I e III somente.
	
	
	I, II e III.
	
	
	I e II somente.
	
	
	II somente.
	
	Gabarito
Coment.
	
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		Assinale a opção onde o conjunto correspondente é infinito.
	
	
	
	As pessoas que habitam o planeta Terra.
	
	
	{x : x é par}
	
	
	{ x : x ∈ R e x2 -7x=0}
	
	
	Os meses do ano.
	
	
	{ 1,2,3,.........,1999}
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dentre os conjuntos abaixo relacionados , assinale o único que é finito :
	
	
	
	{ x ∈ R : 3 < x < 5}
	
	
	{ x ∈ Z : x > -3 }
	
	
	{ x ∈ Z : 2 < x < 7}
	
	
	{ x ∈ N : x > 7}
	
	
	{ x∈ R : x > 3}
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Com relação a noção de conjunto enumerável e aos conjuntos dados, é somente correto afirmar que
(I) O conjunto N é enumerável, pois a função φ : N-> N, definida por φ(n) = n é bijetiva.
(II) O conjunto {2, 4, 6, . . .} é enumerável, pois a função φ : N-> N, definida por φ(n) = 2n é bijetiva.
(III) O conjunto −1,−2,−3,−4, . . . ,−n, . . . é enumerável, pois a função φ : N-> N, definida por φ(n) = -n é bijetiva.
	
	
	
	(II) e (III)
	
	
	(I), (II) e (III)
	
	
	(I) e (III)
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(I)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere as afirmativas a seguir.
(I) Dizemos que um conjunto A é enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção f:N->A.
(II) Quando existe uma bijeção f:N->A, dizemos que A é um conjunto infinito enumerável.
(III) Todo conjunto finito A contém um subconjunto infinito enumerável.
Com relação a elas, é correto afirmar
	
	
	
	II e III somente.
	
	
	I, II e III.
	
	
	I e III somente.
	
	
	I somente.
	
	
	I e II somente.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere as afirmativas a seguir.
(I) Se X é um conjunto finito então todo subconjunto Y de X é finito.
(II) Não pode existir uma bijeção f: X-> Y de um conjunto finito X em uma parte própria Y C X.
(III) Seja A C In. Se existir uma bijeção f: In-> A, então A=In .
Com relação a elas, é correto afirmar
	
	
	
	I e III somente.
	
	
	II e III somente.
	
	
	I e II somente.
	
	
	II somente.
	
	
	I, II e III.
	
	Gabarito
Coment.
	
		1.
		Considere o resultado:
Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então −(−a) = a.
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado.
	
	
	
	Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então −(−a) = a.
Seja  (-a) + a = 0. Usando o teorema  (*) ,  temos:  a = -(-a), logo podemos concluir que  -(-a) = a
(*) Se a + b  = 0, então b = -a
 
 
 
	
	
	Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então −(−a) = a.
Seja  (-a) + a = 0. Usando o teorema  (*) ,  temos:  a = -(-a), logo podemos concluir que  -(-a) = a
(*) Se a - b  = 0, então b = a
 
	
	
	Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então (−a) = a.
Seja  (-a) + a = 0. Usando o teorema  (*) ,  temos:  a = -(-a), logo podemos concluir que  -(-a) = a
(*) Se a + b  = 0, então b = -a
 
	
	
	Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então −(a) = a.
Seja  (-a) + a = 0. Usando o teorema ,  temos:  a = -(-a), logo podemos concluir que  -(-a) = - a
 
(*)  Se a + b = 0 , então b = -a
	
	
	Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então (−a) = a.
Seja  (-a) + a = 0. Usando o teorema  (*) ,  temos:  a = -(-a), logo podemos concluir que  -(-a) = a
 
(*)  Se a + b = 0 , então b = -a
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Existem duas operações binárias no conjunto dos números reais: adição e multiplicação. Estas operações satisfazem as propriedades a seguir:
	
	
	
	axiomas da adição: fechamento,  comutativa,  associativa, elemento neutro, elemento simétrico.
axiomas da multiplicação: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.
axioma da distributividade: distributiva.
	
	
	axiomas da adição: fechamento,  comutativa,  associativa, elemento neutro, elemento simétrico.
axiomas da multiplicação: fechamento, comutativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.
axioma da distributividade: distributiva
	
	
	axiomas da adição: fechamento,  comutativa,  associativa, elemento neutro.
axiomas da multiplicação: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.
	
	
	axiomas da adição: fechamento,  comutativa,  associativa, elemento simétrico.
axiomas da multiplicação: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.
axioma da distributividade: distributiva.
	
	
	axiomas da adição: fechamento,  comutativa,  associativa, elemento neutro, elemento simétrico.
axiomas da multiplicação: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere o resultado:
Sejam elementos arbitrários a, b ∈ R , então −(a + b) = (−a) + (−b).
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado.
	
	
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr2. (a + b) = [((1) . a) + ((1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. -(a + b) = (-a) + (-b)
	
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) =  (a + b),
1, distr                              2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. -(a + b) = (a) + (-b)
	
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                              2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. -(a + b) = (-a) + (-b)
	
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                              2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . -b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. (a + b) = (a) + (b)
	
	
	teo (a) = (1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                             2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a        3. -(a + b) = (-a) + (-b)
	
	
 
		
	
		1.
		Seja x um número real tal que -3 < 2x + 5 < 7 , podemos afirmar que x pertence ao intervalo.
	
	
	
	] - 4 , 0 [
	
	
	[ - 5 , 0 ]
	
	
	[ - 4 , 1 ]
	
	
	] - 4 , 1 [
	
	
	[ - 4 , 1 [
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dentre as opções abaixo a única que representa um número racional é:
	
	
	
	∛9
	
	
	√7
	
	
	log 3
	
	
	√64
	
	
	log 256
	
		A expressão (2n+3)/2n não é maior que 6. Sabendo que n é um número natural diferente de zero, podemos afirmar que a soma dos valores de n que atende as condições do problema é igual a :
	
	
	
	5
	
	
	6
	
	
	4
	
	
	7
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Se a e b são números inteiros , 1 ≤ a < b ≤ 9 , o menor valor que a+baba+bab pode assumir é :
	
	
	
	1
	
	
	2/ 9
	
	
	15/56
	
	
	17 / 72
	
	
	9 / 20
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		A desigualdade 1/(x+1) ≥ 0 é satisfeita se :
	
	
	
	x< -1
	
	
	x = -1
	
	
	x > -1
	
	
	x > 0
	
	
	x < 0
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Se 0 < x < 1 , qual dos números abaixo é maior que x ?
	
	
	
	-x
	
	
	x . x
	
	
	√x
	
	
	x . x . x
	
	
	0,9 x
	
		
		A soma dos valores reais de x que são raízes da equação |2x+2| = 6x-18 é:
	
	
	
	6
	
	
	5
	
	
	8
	
	
	9
	
	
	7
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		A equação |x-1| = |x| +1
	
	
	
	tem uma infinidade de soluções
	
	
	tem somente duas soluções
	
	
	tem uma única solução
	
	
	não tem solução
	
	
	tem exatamente 4 soluções
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Resolvendo a inequação |2x-5|<3 no conjunto dos números reais, encontramos para conjunto solução:
	
	
	
	[ 1 , 4 ]
	
	
	[1 , 4 [
	
	
	] 1 , 4 [ b) ] 1 , 4 ] c)[1,4] d) {1,4} e) [1,4[
	
	
	] 1 , 4 ]
	
	
	{ 1 , 4 }
	
	Gabarito
Coment.
	
	
 
		
	
		1.
		Achar o ínfimo, se existir , do conjunto A ={ x∈ R : x = 1n1n  , n ∈∈ N* }.
	
	
	
	4
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	-5
	
	
	3
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o ínfimo do conjunto E = {x∈R;3x2−10x+3<0}{x∈R;3x2-10x+3<0}.
	
	
	
	Inf E = 2
	
	
	Inf E = 1/3
	
	
	Inf E = 1/2
	
	
	Inf E = 3
	
	
	Inf E = 1
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine o supremo do conjunto E = {x∈R;3x2−10x+3<0}{x∈R;3x2-10x+3<0}.
	
	
	
	Sup E = 1/3
	
	
	Sup E = 2
	
	
	Sup E = 1/2
	
	
	Sup E = 3
	
	
	Sup E = 0
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Seja A={x∈Q:x=(−1)nn−1,n∈N}A={x∈Q:x=(-1)nn-1,n∈N} O supremo e o ínfimo do conjunto dado A são respectivamente:
	
	
	
	0 e -1
	
	
	1 e -1
	
	
	1 e 0
	
	
	1/2 e -1
	
	
	1/2 e 0
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
 
		
	
		1.
		Considere as afirmações sobre cortes:
(I) Todo corte em R é determinado por um numero real.
(II) Se (A,B) é um corte em R então existe um só numero c pertencente ao conjunto dos números reais tal que a< c, para qualquer a ∈A e c < b, para qualquer b ∈ B.  
(III) Considere um elemento fixo c pertencente ao conjunto dos reais. O par ordenado (A,B) , onde A={x ∈R: x<=c} e B={x∈ R : x>c} é um corte para R.
É somente correto afirmar que  
	
	
	
	(II) e (III)
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(I)
	
	
	(III)
	
	
	(I) e (III)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Verifique  se a sequência de intervalos encaixante In = [0,1/n), com n ∈∈N   possui um ponto em comum.
 
	
	
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 1, ou seja,In = {1}
	
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 2, ou seja In = {2}
	
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 3, ou seja In = {3}
	
	
	 
Há uma interseção entre a sequencia de intervalos, que é o número zero, ou seja, In = {0}.
	
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 4, ou seja In = {4}
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Observe a sequencia de intervalos a seguir:
Com relação a estes intervalos é somente correto afirmar que
(I) Trata-se da sequencia de intervalos In=[0,1/n[, com n pertencente a N.
(II) Esta sequencia de intervalos é encaixante.
(III) a sequencia de intervalos não possui ponto em comum.
	
	
	
	(II)
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(II) e (III)
	
	
	(I), (II) e (III)
	
	
	(I) e (III)
	
	
	
		1.
		Verifique  se a sequência de intervalos encaixante In = [0,1/n), com n ∈∈N   possui um ponto em comum.
 
	
	
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 1, ou seja,In = {1}
	
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 3, ou seja In = {3}
	
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 2, ou seja In = {2}
	
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 4, ou seja In = {4}
	
	
	 
Há uma interseção entre a sequencia de intervalos, que é o número zero, ou seja, In = {0}.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere as afirmações sobre cortes:
(I) Todo corte em R é determinado por um numero real.
(II) Se (A,B) é um corte em R então existe um só numero c pertencente ao conjunto dos números reais tal que a< c, para qualquer a ∈A e c < b, para qualquer b ∈ B.  
(III) Considere um elemento fixo c pertencente ao conjunto dos reais. O par ordenado (A,B) , onde A={x ∈R: x<=c} e B={x∈ R : x>c} é um corte para R.
É somente correto afirmar que  
	
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(III)
	
	
	(I) e (III)
	
	
	(II) e (III)
	
	
	(I)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Observe a sequencia de intervalos a seguir:
Com relação a estes intervalos é somente correto afirmar que
(I) Trata-se da sequencia de intervalos In=[0,1/n[, com n pertencente a N.
(II) Esta sequencia de intervalos é encaixante.
(III) a sequencia de intervalos não possui ponto em comum.
	
	
	
	(I) e (III)
	
	
	(I), (II) e (III)
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(II) e (III)
	
	
	(II)
	
	
	
	
		1.
		Verifique  se a sequência de intervalos encaixante In = [0,1/n), com n ∈∈N   possui um ponto em comum.
 
	
	
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 2, ou seja In = {2}
	
	
	 
Há uma interseção entre a sequencia de intervalos, que é o número zero, ou seja, In = {0}.
	
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 3, ou seja In = {3}
	
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 4, ou seja In = {4}
	
	
	Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 1, ou seja,In = {1}
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Observe a sequencia de intervalos a seguir:
Com relação a estes intervalos é somente correto afirmar que
(I) Trata-se da sequencia de intervalos In=[0,1/n[, com n pertencente a N.
(II) Esta sequencia de intervalos é encaixante.
(III) a sequencia de intervalos não possui ponto em comum.
	
	
	
	(I) e (III)
	
	
	(II) e (III)
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(I), (II) e (III)
	
	
	(II)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere as afirmações sobre cortes:
(I) Todo corte em R é determinado por um numero real.
(II) Se (A,B) é um corte em R então existe um só numero c pertencente ao conjunto dos números reais tal que a< c, para qualquer a ∈A e c < b, para qualquerb ∈ B.  
(III) Considere um elemento fixo c pertencente ao conjunto dos reais. O par ordenado (A,B) , onde A={x ∈R: x<=c} e B={x∈ R : x>c} é um corte para R.
É somente correto afirmar que  
	
	
	
	(I)
	
	
	(I) e (III)
	
	
	(I) e (II)
	
	
	(II) e (III)
	
	
	(III)
	
	
	
	 
		
	
		1.
		Dizemos que um conjunto G em RpRp é um aberto em RpRp se, Ax∈GAx∈G, existe r>0,r∈Rr>0,r∈R, tal que Ay∈RpAy∈Rp, ||x−y||G||x-y||G, em outras palavras, um conjunto G é aberto se todo ponto de G é centro de alguma bola aberta inteiramente contida em G.
Com relação às propriedades dos conjuntos abertos, considere as afirmativas. 
 
(I) O vazio e todo o espaço RpRp são abertos em RpRp.
(II) A interseção de dois abertos quaisquer é um aberto em RpRp..
(III) A união de qualquer coleção de abertos é um aberto em RpRp..
 
Com relação às afirmativas e as propriedades dos conjuntos abertos, é CORRETO
	
	
	
	I e II somente.
	
	
	II somente.
	
	
	I, II e III.
	
	
	II e III somente.
	
	
	I e III somente.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y}S={(x,y)∈R2:x≤y} da figura e as afirmativas
(I) Conjunto dos pontos interiores de S: int S={(x,y)∈R2:x<y}S={(x,y)∈R2:x<y}
(II) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´=SS´=S
(III) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y}S={(x,y)∈R2:x>y}
Para este conjunto é correto
	
	
	
	I, II e III.
	
	
	I e II apenas.
	
	
	I e III apenas.
	
	
	I apenas.
	
	
	II e III apenas.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Observe o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y}S={(x,y)∈R2:x≤y} e as afirmativas referentes a ele.
(I) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y}S={(x,y)∈R2:x>y}
(II) Conjunto dos pontos fronteira de S:  fr S={(x,y)∈R2:x=y}S={(x,y)∈R2:x=y}
(III) Fecho de S:  ¯¯¯S2=SS¯2=S
Com relação ao conjunto dado e as afirmativas, é correto
	
	
	
	I, II e III.
	
	
	I e III somente.
	
	
	II e III somente.
	
	
	I e II somente.
	
	
	I somente.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		As afirmativas abaixo são relacionadas à noção de vizinhança no espaço métrico R.
 
 (I) Um ponto x∈Rpx∈Rp é dito ponto interior de um conjunto A⊂RpA⊂Rp se existe uma vizinhança de x totalmente contida em A.
 
(II) Um ponto x∈Rpx∈Rp é dito ponto exterior de um conjunto A⊂RpA⊂Rp se existe uma vizinhança de x inteiramente contida em no complementar de A - C(A)
 
(III) Se toda vizinhança N(x,r) de centro x e raio r contém um ponto de G  e um ponto do complementar de G (Rp -G) diz-se que x é um ponto fronteira de G.
 
Com relação às afirmativas e a teoria de vizinhança no espaço metrico R, é CORRETO
	
	
	
	I, II e III.
	
	
	II e III somente.
	
	
	I e II somente.
	
	
	I e III somente.
	
	
	I, somente.
	
	
	
	
		1.
		As afirmativas abaixo são relacionadas à noção de vizinhança no espaço métrico R.
 
 (I) Um ponto x∈Rpx∈Rp é dito ponto interior de um conjunto A⊂RpA⊂Rp se existe uma vizinhança de x totalmente contida em A.
 
(II) Um ponto x∈Rpx∈Rp é dito ponto exterior de um conjunto A⊂RpA⊂Rp se existe uma vizinhança de x inteiramente contida em no complementar de A - C(A)
 
(III) Se toda vizinhança N(x,r) de centro x e raio r contém um ponto de G  e um ponto do complementar de G (Rp -G) diz-se que x é um ponto fronteira de G.
 
Com relação às afirmativas e a teoria de vizinhança no espaço metrico R, é CORRETO
	
	
	
	I e II somente.
	
	
	I e III somente.
	
	
	II e III somente.
	
	
	I, II e III.
	
	
	I, somente.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y}S={(x,y)∈R2:x≤y} da figura e as afirmativas
(I) Conjunto dos pontos interiores de S: int S={(x,y)∈R2:x<y}S={(x,y)∈R2:x<y}
(II) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´=SS´=S
(III) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y}S={(x,y)∈R2:x>y}
Para este conjunto é correto
	
	
	
	I e II apenas.
	
	
	I e III apenas.
	
	
	I apenas.
	
	
	I, II e III.
	
	
	II e III apenas.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Observe o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y}S={(x,y)∈R2:x≤y} e as afirmativas referentes a ele.
(I) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y}S={(x,y)∈R2:x>y}
(II) Conjunto dos pontos fronteira de S:  fr S={(x,y)∈R2:x=y}S={(x,y)∈R2:x=y}
(III) Fecho de S:  ¯¯¯S2=SS¯2=S
Com relação ao conjunto dado e as afirmativas, é correto
	
	
	
	I somente.
	
	
	I e III somente.
	
	
	II e III somente.
	
	
	I, II e III.
	
	
	I e II somente.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dizemos que um conjunto G em RpRp é um aberto em RpRp se, Ax∈GAx∈G, existe r>0,r∈Rr>0,r∈R, tal que Ay∈RpAy∈Rp, ||x−y||G||x-y||G, em outras palavras, um conjunto G é aberto se todo ponto de G é centro de alguma bola aberta inteiramente contida em G.
Com relação às propriedades dos conjuntos abertos, considere as afirmativas. 
 
(I) O vazio e todo o espaço RpRp são abertos em RpRp.
(II) A interseção de dois abertos quaisquer é um aberto em RpRp..
(III) A união de qualquer coleção de abertos é um aberto em RpRp..
 
Com relação às afirmativas e as propriedades dos conjuntos abertos, é CORRETO
	
	
	
	I e II somente.
	
	
	I e III somente.
	
	
	I, II e III.
	
	
	II e III somente.
	
	
	II somente.