Integrais Múltiplas e Calculo Vetorial - I

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Integrais Múltiplas e 
Cálculo Vetorial
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lucia Nogueira Junqueira
Revisão Textual:
Prof. Ms. Luciano Vieira Francisco
Diferenciação de Função de Várias Variáveis
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•	 Introdução
•	 Curvas	Paramétricas	Planas
•	 Curvas	no	Espaço
•	 Funções	Vetoriais
•	 Algumas	Noções	Topológicas:	Conjuntos	Abertos,	Fechados	e	Fronteira
•	 Gráfico	de	uma	Função	de	Duas	Variáveis
•	 Curvas	de	Nível
•	 Limite	e	Continuidade	de	Função	de	Duas	ou	Mais	Variáveis
•	 Limite	de	Uma	Função	de	Duas	Variáveis	Independentes
•	 Derivadas	Parciais
 · Apresentar o conceito de função vetorial e curvas parametrizadas.
 · Definir e trabalhar limites, continuidade e integral de funções vetoriais. 
 · Apresentar o conceito de função de várias variáveis.
 · Definir curvas de nível e tangentes em curvas em uma superfície.
 · Definir limite e continuidade de funções de várias variáveis, evidenciando 
semelhanças e diferenças desses conceitos em uma variável. 
 · Definir e trabalhar derivadas parciais e regra da cadeia. 
 · Trazer exemplos significativos e algumas aplicações.
Caro(a) aluno(a),
Até então você deve ter estudado o cálculo de função de uma variável e na disciplina 
abordaremos todas as noções, provavelmente já vistas e mais algumas para funções de várias 
variáveis. Então temos que ir por partes. 
Nesta Unidade estudaremos parametrização de curvas no plano e no espaço, funções 
vetoriais, interpretação de tangente às curvas e superfícies, em um ponto. Em seguida, 
introduziremos as noções de funções de várias variáveis, com direito a todos os conceitos 
trabalhados em uma variável: domínio, imagem, gráfico, limite e continuidade, mais derivação 
parcial. É tudo novo, mas parece conhecido por analogia. E é isso mesmo! Com certeza há 
muita analogia, mas com algumas extensões que criam peculiaridades, que devem ser vistas 
cuidadosamente. 
Diferenciação de Função de Várias Variáveis
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Para esboçar um gráfico, ou ajudar na visualização de uma superfície, lançaremos mão 
das curvas de nível. Nesse sentido, é muito útil o conhecimento de Geometria analítica, 
particularmente sobre cônicas e quádricas, as quais ajudam na identificação das equações. 
Tenha isso em mente para, no caso de precisar, retomar esse estudo. Para o conceito de limite 
de funções de duas variáveis a noção de vizinhança de um ponto será estendida para uma 
vizinhança como um disco aberto – ou bola aberta – em torno do ponto e para derivar uma 
função de mais de uma variável, definiremos e trabalharemos com derivadas parciais. 
Mas, acima de tudo, trataremos desses conceitos além da fundamentação teórica, com 
muitos exemplos e imagens para ajudar na visualização e nos procedimentos de resolução. 
Não deixe de ver os tópicos abordados em contextualização por situarem a relevância e a 
aplicabilidade desses conceitos, na Matemática e em outras áreas do conhecimento. 
O material complementar traz a contextualização histórica do cálculo, importante para ter 
conhecimento de como vieram as primeiras ideias, quais dificuldades e percalços na criação e 
evolução dos conceitos afins, bem como os principais nomes de pesquisadores em cada época. 
Acompanhe o desenvolvimento da teoria, prestando redobrada atenção às definições, 
propriedades e teoremas, confira os exemplos dados, preparando-se para resolver as atividades 
propostas nesta Unidade. Serão úteis as estratégias algébricas, bem como os conhecimentos 
sobre o cálculo de função de uma variável.
Como de costume, teremos atividades avaliativas e de reflexão sobre o tema desta Unidade. 
Fique atento(a) aos prazos!
Espera-se que ao término desta Unidade você seja capaz reconhecer, analisar e trabalhar 
com os conceitos do cálculo de funções de mais de uma variável, uma vez que os fenômenos 
no mundo físico e aplicações no mundo real envolvem sempre relações e funções com 
várias variáveis. Acima de tudo, espera-se que você saiba utilizar os conceitos aqui tratados, 
transpondo-os em outras situações em que se façam presentes. 
Bom estudo!
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Contextualização
Até aqui você viu o cálculo de funções de uma única variável. No entanto, no mundo real 
os fenômenos ou as quantidades físicas envolvidas dependem de duas variáveis ou mais. Por 
exemplo:
Criação	de	Abelhas
Fonte: iStock/Getty Images
Figura 1
A Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária 
(Embrapa) informa que para obter sucesso na criação 
de abelhas, é fundamental uma avaliação detalhada 
do tipo de vegetação em torno do apiário, levando-
se em conta não apenas a identificação das espécies 
melíferas, mas também a densidade populacional e 
os seus períodos de floração. Essas informações serão 
fundamentais na decisão do local para a instalação do 
apiário, assim como no planejamento e cuidados a 
serem tomados – revisão, alimentação suplementar 
e de estímulo etc. – para os períodos de produção 
e de entressafra – épocas de pouca ou nenhuma 
disponibilidade de recursos florais. 
Estados	Físicos	da	Matéria
A matéria é composta por pequenas partículas e, de acordo com o maior ou menor grau 
de agregação entre essas, pode ser encontrada em três estados: sólido, líquido e gasoso. O 
volume, a densidade e a forma de um composto podem variar com a temperatura. Assim, 
os compostos apresentam características de acordo com o estado físico em que se encontram: 
estado gasoso (A), líquido (B) e sólido (C):
Figura 2
Fonte: brasilescola.com
Essas características obedecem a fatores como a força de coesão – que faz com que as 
moléculas se aproximem umas das outras – e a força de repulsão – na qual as moléculas se 
afastam umas das outras. No estado gasoso a força de repulsão predomina, enquanto que no 
estado sólido é a força de coesão a preponderante. Assim, quando uma substância muda de 
estado físico sofre alterações nas suas características microscópicas – arranjo das partículas – e 
macroscópicas – volume, forma –, sendo que a composição continua a mesma.
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Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Eletromagnetismo
Figura 3
Fonte: brasilescola.com
Eletromagnetismo é o nome que se dá ao 
conjunto de teorias que Maxwell, apoiado em 
outras descobertas, desenvolveu e unificou para 
explicar a relação existente entre a eletricidade 
e o magnetismo. Eletromagnetismo é uma 
parte essencial da Física e uma ferramenta de 
importância fundamental em praticamente todas 
as engenharias. É onipresente na vida quotidiana: 
telefones celulares, televisões, rádios, leitores de 
CD, computadores, trovoadas, reações químicas, 
visão, radar e a luz das estrelas são, entre muitas 
outras coisas, fenômenos influenciados pelo 
eletromagnetismo, ou tecnologia que funciona à 
base do eletromagnetismo.
É ainda descrito por leis matemáticas, nesse caso contidas nas Equações de Maxwell: que 
dependem do campo elétrico, do campo magnético, da densidade de carga elétrica e da 
densidade da corrente elétrica.
Derramamento	de	Petróleo	no	Mar
Figura 4
Fonte: iStock/Getty Images
Quando derramado no mar, o petróleo se 
espalha, formando uma mancha, de espessura 
variável e que se deslocará em função da 
velocidade e direção dos ventos e correntes 
marinhas.
No seu percurso em direção à costa ou ao alto 
mar, tal mancha sofrerá uma série de processos, 
chamados intempéricos que, por sua vez, são 
influenciados por outros fatores, como o estado 
do mar e do clima, a presença de bactérias e 
materiais particulados suspensos na água e, 
principalmente, das propriedades físico-químicas do óleo derramado.
Conhecer as características físicas e químicas do óleo permite aos tomadores de decisões 
dos planos de contingência preverem o comportamento e o destino da mancha. Com isso, cria-
se maiores probabilidades de serem adotadas medidas de contenção e controle maiseficazes 
e em um espaço de tempo muito menor, garantindo, assim, a minimização dos impactos 
ambientais causados, a redução de operação e até maior volume de óleo recuperado. 
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Mecânica	dos	Fluidos
Figura 5
Fonte: Wikimedia Commons
Muitas aplicações tecnológicas baseiam-
se na mecânica dos fluidos, ou à estrutura é 
grandemente afetada pelas leis de movimento 
dos fluidos. Um exemplo evidente é o da 
aerodinâmica de um avião, associada a um 
bom desempenho e a um baixo consumo de 
combustível, que é intensivamente testado em 
todos os novos protótipos em túneis de vento.
Outro exemplo surpreendente é fornecido 
pelo estudo dos problemas do trânsito em uma 
grande cidade, o qual pode ser modelado por um 
problema de mecânica dos fluidos, fazendo-se 
variar a velocidade, compressibilidade, viscosidade 
e outras propriedades do fluido consoante à situação concreta que se pretende estudar.
Uma das equações fundamentais da mecânica dos fluidos é a de Navier-Stokes. A linguagem 
em que é escrita a Equação de Navier-Stokes é, mais uma vez, a do cálculo diferencial de várias 
variáveis, aplicado ao campo vetorial da velocidade do fluido e a outros fatores.
Modelo	Econômico	Tradicional
Figura 6
Fonte: iStock/Getty Images
A maior parte das empresas ainda utiliza o 
modelo econômico tradicional em seu processo 
de planejamento. Denominamos de modelo 
tradicional aquele em cuja concepção não se 
leva em conta o fator incerteza.
O modelo econômico tradicionalmente 
utilizado pelas empresas é dado pela expressão 
L = (P - V). X - F, onde: 
•	 L = lucro total;
•	 P = preço unitário de venda do produto;
•	 V = custo variável por unidade;
•	 X = volume de vendas;
•	 F = custo fixo total.
Normalmente, as empresas consideram que todas as variáveis de entrada desse modelo, ou 
seja, preços de venda, custos e volumes de produção, são conhecidas – consideram o modelo 
determinístico que despreza o comportamento aleatório. Assim, o lucro é função do preço 
unitário do produto, do custo variável por unidade de fabricação do produto, do volume de 
vendas e do custo fixo de produção. 
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Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Altitude	Acima	do	Nível	do	Mar
Figura 7
Fonte: Wikimedia Commons
A altitude acima do nível do mar de um 
determinado ponto da superfície da Terra 
depende das coordenadas geográficas de 
latitude e longitude do lugar.
Painel	Solar
Figura 8
A quantidade de energia utilizável que um painel solar pode captar depende de sua 
eficiência, de seu ângulo de inclinação em relação aos raios solares, do ângulo de elevação do 
Sol acima do horizonte, além de outros fatores. 
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Volume	de	Recipientes	
Figuras 9 e 10
O volume de um recipiente depende de sua forma tridimensional. No caso de caixas na 
forma de blocos retangulares – paralelepípedos – o volume depende de três dimensões lineares, 
comprimento, largura e altura. No caso de recipientes cilíndricos, depende também dá área 
da base – dimensão dois – e da altura.
Figuras 11 e 12É o que ocorre com muita frequência em livros de 
Matemática, inclusive em exercícios para determinar quais 
seriam as dimensões que fornecem o maior volume, dentro 
de algumas condições iniciais como, por exemplo, a limitação 
de custo de material. Mas como fazer para encontrar volumes 
de recipientes de formatos não tão geometricamente 
convencionais, como as das seguintes figuras?
Nesse caso, a integração tripla poderá ser um caminho 
para resolver, dentro de algumas condições que veremos 
nesta Unidade, particularmente no caso de rotação de curvas 
em torno de um eixo, gerando um sólido de revolução.
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Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Introdução
Até aqui você deve ter visto o cálculo de funções de uma única variável. No entanto, no 
mundo real, os fenômenos ou as quantidades físicas envolvidas dependem de duas variáveis ou 
mais, como você viu na contextualização. 
Mas antes de definirmos função de mais de uma variável, vejamos um tópico que será muito 
útil mais à frente. Trata-se de como podemos trabalhar matematicamente o movimento.
Por exemplo, veja que no mundo real a maioria das situações está em movimento, que 
pode ser um movimento planar – contido em um plano –, ou um movimento espacial. 
Figura 1 – Corpo humano em movimento.
Fonte: iStock/Getty Images
Figura 2 – Montanha russa
Fonte: iStock/Getty Images
As curvas representadas por esses movimentos podem ser parametrizadas de acordo com 
suas componentes vetoriais em cada direção. É do que aqui trataremos.
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Curvas Paramétricas Planas
Imagine que uma partícula se move ao longo da curva C representada na seguinte Figura. É 
impossível descrever C como uma função y = h(x) porque para um mesmo valor de x, teríamos 
mais de um valor de y (o que contraria a definição de função e uma variável). Mas as coordenadas (x,y) da partícula são funções do tempo t. Assim, podemos definir x = f(t) e y = g(t) e esse par 
de equações é uma maneira conveniente de descrever uma curva desse tipo:
Figura 3
Fonte: Stewart (2012, p. 636)
Suponha, então, que x e y sejam dadas como funções de uma terceira variável t, denominada 
parâmetro, pelas equações x = f(t) e y = g(t), denominadas equações paramétricas. Dessa 
forma, cada valor de t determina um ponto (x,y) que pode ser marcado no plano coordenado. 
Quanto t varia, o ponto (x,y) = (f(t), g(t)) varia e traça a curva C, denominada curva 
parametrizada. O parâmetro t não representa necessariamente o tempo e podemos exibir 
qualquer outra letra para o parâmetro. Porém, em aplicações em que o parâmetro t é o 
tempo, notadamente na Física, podemos interpretar o par (f(t), g(t)) como a posição de uma 
partícula no instante t.
Exemplo	1
Considere C a circunferência de equação x2 + y2 = 4 representada na seguinte figura – 
especificamente no contorno do círculo – e encontre uma parametrização para esta curva: 
Figura 4
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Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Resolução
Nesse caso, dado um ponto P(x,y) sobre a curva, podemos escolher como parâmetro o 
ângulo t que o raio vetor r OP=  forma com o semieixo positivo OX das abscissas, no sentido 
anti-horário. Assim, como 2r = temos as equações paramétricas dessa circunferência C: 
( ) 2x cos t= e ( )2y sen t= , 0 2t π≤ ≤
Essa parametrização pode ser graficamente representada da seguinte maneira:
Figura 5
Exemplo	2
Identifique a curva definida pela parametrização x = t2 - 2t e y = t + 1, t∈ . 
Resolução
Podemos isolar t da equação da ordenada, t = y - 1, e substituir na equação da abscissa,
( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2 2 4 3x y y y y y y y= − − − = − + − + = − +
Temos, da Geometria analítica, que é uma parábola com eixo paralelo ao eixo horizontal – 
eixo X –, cuja equação geral é dada por (y - k)2 = 2p (x - h), onde V = (h, k) é o ponto do vértice e 
2
p é a distância focal – do foco ao vértice. Tentemos então colocar a equação da seguinte forma:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 4 3 2 4 3 2 1 2 1x y y y y y x = − + = − − + = − − ⇒ − = + 
Logo, V = (-1,2) e 1 12 1 2 2 4pp p= ⇒ = ⇒ = . Como não nos interessa aqui identificar o 
foco, mas as raízes para podermos esboçar a curva, podemos da equação x = y2 - 4y + 3 
fazer x = 0 e acharmos as raízes em relação ao eixo Y.
Então, y2 - 4y + 3 = 0 1
3
y
y
=
⇒ ⇒ =
 (0,1) e (0,3) são as raízes. Poderíamos também ter feito x = 0 na equação paramétrica x = t2 - 2t e encontrar t para substituir na equação paramétrica y = t + 1 para encontrar o y correspondente, ou seja:
( ) ( )2
0 1
0 2 0 0,1 0,3
2 3
t y
x t t e
t y
= = 
= ⇒ − = ⇒ ⇒ ⇒ = = 
 raízes no eixo Y. 
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Encontrando mais alguns valores de t para representar graficamente a parábola temos:
Figura 6
Fonte: Stewart (2012, p. 636)
Observe que neste exercício o que fizemos foi identificara equação da curva por eliminação 
do parâmetro. 
Exemplo	3
Empregar trigonometria para descobrir a curva representada por:
( ) ( )3 e 4 , 0 2x cos y senθ θ θ π= = ≤ ≤
Resolução
Para eliminar o parâmetro neste caso, faremos assim:
( ) ( ) ( ) ( )2 2e e usando que 1
3 4
x ycos sen sen cosθ θ θ θ= = + = , temos:
2 2 2 2
1 1
3 4 9 16
x y x y   + = ⇒ + =   
   
Então a curva é uma elipse de centro na origem e eixo maior no eixo Y, a = 4 
Portanto, com vértices A1 = (0,4) e A2 = (0,4) ; eixo menor no eixo X, b = 2, logo, vértices B1 = (3,0) e B2 = (-3,0) representada a seguir:
Figura 7
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Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Exemplo	4
Dispositivos de elaborar gráficos fazem parte da maioria das calculadoras ou de alguns 
programas. Podem também ser usados para fazer gráficos de curvas dadas por equações 
paramétricas porque os pontos se localizam em ordem, conforme são incrementados os 
valores do parâmetro. 
Vejamos, por exemplo, se utilizarmos um dispositivo de fazer gráficos para a curva dada 
pela equação cartesiana x = y4 - 3y2, pode-se usar a seguinte parametrização: y = t e x = t4 - 3t2, 
t∈ . Usando um dispositivo, o gráfico é:
Figura 8
Fonte: Stewart (2012, p. 639)
Exemplo	5 
Eliminar o parâmetro das equações paramétricas a seguir e encontrar a equação cartesiana: 
( ) ( ) ( )2 2 2e . , .x sen t y tg t sen t t= = ∈
Resolução
Usando relações trigonométricas, como ( ) ( )( )
2
2
2
sen t
tg t
cos t
= temos que:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 4 4 2
22 2 4
2 2 2 . 11 1
sen t sen t sen t xy sen t y x x
cos t cos t sen t x
 
= = = = ⇒ − = 
− − 
Abordaremos agora algumas curvas muito importantes e famosas: a cicloide, a catenária e 
a bruxa de Agnesi. 
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Cicloide
Cicloide é a curva descrita pelo ponto P na circunferência de um círculo quando esse gira ao 
longo de uma linha reta sem deslizar. A parametrização da cicloide está indicada na seguinte 
Figura.
Suponhamos que o círculo tenha raio a e o ângulo de giro seja θ , que tomamos como 
parâmetro, como indicado na mencionada Figura. Além disso, suponhamos que no início 
do movimento o ponto P se encontra na origem. Quando θ π= , P está no ponto máximo 
( ), 2a aπ e quando 2θ π= ,P retorna ao eixo X em ( )2 , 0aπ e segue repetindo esse processo 
em períodos iguais a 2π . Portanto:
( ) ( ) ( ) AC BDsen sen sen APC
a a
θ π θ= − = ∠ = =
( ) ( ) ( ) APcos cos cos APC
a
θ π θ= − − = − ∠ = −
Daí, ( )AP acos θ= − e ( )BD asen θ= . Como o círculo roda ao longo do eixo X, sabemos 
que BA = DC = a. Além disso, OD = arco (PD) = aθ . Logo, a parametrização da cicloide é:
( ) ( )( )
( ) ( )( )1
x OD BD a asen a sen
y BA AP a acos a cos
θ θ θ θ
θ θ
= − = − = −
= + = − = −
Figura 9
Fonte: Larson e Edwards (2010, p. 716)
Observe que a cicloide tem quinas agudas nos pontos de abscissas 2x k aπ= , k inteiro 
positivo. As derivadas são nulas nesses pontos, ou seja, quando 2kθ π= pois:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 1 0
2 2 .0
x a cos x k a cos k a
y asen y k asen k a
θ θ π π
θ θ π π
= − ⇒ = − = −′ ′
′
=
= ⇒ = =′
Nesses pontos a tangente é vertical. Em todos os outros pontos a cicloide é uma curva suave. 
18
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
 Saiba Mais
A braquistócrona e o desenvolvimento da Ciência:
Uma pergunta que muitos matemáticos e físicos escutam sobre suas pesquisas é: 
“Para que serve isso?”
Acredita-se que o significado dessa pergunta está intimamente ligado ao que 
é a Ciência e como essa se desenvolve. Muitas vezes, um trabalho puramente 
teórico é o passo inicial para o desenvolvimento de toda uma área com diversas 
aplicações. Uma dessas condições, chamada de problema da braquistócrona, 
apareceu em junho de 1696, na revista alemã de Matemática Acta Eruditorium, 
fundada por Leibniz. Naquela época, era comum matemáticos proporem desafios 
dessa forma e o matemático suíço Johann Bernoulli propôs o seguinte:
Dados dois pontos A e B em um plano vertical, qual 
a curva traçada de um ponto ao outro tal que uma 
partícula, sob ação apenas da gravidade, desloque-se 
no menor intervalo de tempo?
Foram propostas soluções para o problema por Newton, Jacob Bernoulli, Leibniz 
e L’Hôpital, publicadas na Acta Eruditorium posteriormente. A curva procurada 
é a cicloide, nome dado por Galileu, que estudou suas propriedades em 1600. A 
cicloide, como vimos, é uma curva definida por um ponto em uma circunferência 
rolando, sem deslizar, por uma reta. A braquistócrona, cujo nome significa a 
curva mais rápida, é um ramo da cicloide invertida e é onde observarmos que a 
partícula sempre chegará antes em comparação com outras curvas:
Figura 10 
A
B
Cicloide
Mas a cicloide invertida é também uma curva tautócrona. Nessa, o tempo 
independe da altura, o que significa que, de quaisquer dois pontos que forem 
deixados dois móveis, esses chegarão ao mesmo tempo no ponto mínimo da curva. 
E na braquistócrona, o tempo de queda é o menor possível, o que significa que 
a curva imprime maior aceleração. Por essa propriedade, a braquistócrona, que 
outrora “esquentou a cabeça” de muitos matemáticos, causando algumas dúvidas 
e divergências, hoje serve até como fundamento para aceleradores de partículas.
Veja seu movimento e outras informações em: https://youtu.be/k6vXtjne5-c e 
http://www.etudes.ru/en/etudes/cycloid.
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Catenária	e	Curvas	Parabólicas
Um cabo flexível homogêneo suspenso em equilíbrio pode assumir a forma 
de uma catenária ou de uma parábola, mas em condições diferentes. 
Segure um fio pelas extremidades, não o estique e verificará que a força da gravidade faz 
com que o fio penda ao meio, assim como a sua forma varia consoante o afastamento das 
extremidades. O mesmo ocorre com uma corrente suspensa ou ainda em cabos suspensos, de 
eletricidade de alta tensão, como nas seguintes figuras:
Figura 11
Fonte: iStock/Getty Images
Figura 12
Fonte: Thinkstock/Getty Images
Mas qual forma é esta? Galileu Galilei pensou que se tratava de uma parábola. Em 1669, 
Joachim Jungius provou que Galileu tinha se enganado – grandes cientistas também cometem 
erros – e, por volta de 1690, em resposta a um desafio lançado por Jacob Bernoulli, vários 
matemáticos de renome, como Leibniz, Huygens e Johann Bernoulli, encontraram a equação 
correta dessa curva, denominada por Huygens, em uma carta a Leibniz, de catenária. 
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Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
A catenária é o gráfico do cosseno hiperbólico ( )( ) 1/ 2( )t tcosh t e e −= + , então a curva é 
( )( ){ }, , C t cosh t t= ∈ , logo, suas equações paramétricas são:
( )
: ,
x t
C t
y cosh t
=
∈ =

Figura 13
Fonte: professores.uff.br
Observe ainda que uma mudança de escala na catenária ainda é uma catenária:
Figura 14
Fonte: professores.uff.br
A título de informação, a catenária pode ser deduzida pela modelagem das forças físicas que 
agem no cabo suspenso, usando equações diferenciais, mas que não correspondem ao foco 
desta Unidade. 
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Quando se aplicam cargas, distribuídas em intervalos iguais, a uma curva catenária, a corrente 
adota a forma de uma parábola. É o que sucede nas pontes suspensas por cabos. Mas a parábola 
apenas se forma quando são adicionados à catenária os cabos de tração verticais. Então temos:
O cabo assume a forma da curva catenária quando está submetido apenas ao seu próprio 
peso, ou seja, a carga está uniformemente distribuída ao longo do cabo. 
Figura 15
Fonte: alfaconnection.net 
O cabo assume a forma de uma parábola quando está submetido a uma força uniformemente 
distribuída na horizontal. Essa condição ocorre em duas situações, quando o cabo: 
•	 Sustenta uma ponte pênsil, sendoo seu peso próprio desprezível em face ao peso da ponte;
•	 Está muito esticado estando o seu peso próprio distribuído uniformemente na horizontal 
de forma aproximada.
Figura 16
Fonte: alfaconnection.net
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Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
 Saiba Mais
Vimos que a catenária é a forma assumida por um cabo suspenso submetido 
apenas ao seu próprio peso, onde as tensões internas equilibram naturalmente 
o peso. Essa característica é transportada para peças estruturais desenvolvidas 
na Engenharia e na Arquitetura partir da catenária e as principais características 
dessas peças são: estabilidade e leveza, grande resistência a fortes ventos, beleza e 
harmonia nas formas, como pode ser visto nas seguintes estruturas arquitetônicas:
•	 Arcos na Basílica da Sagrada Família e arcos da Casa Milá, conhecida 
também como La Pedreira, ambos em Barcelona, Espanha, obras do 
arquiteto catalão Antônio Gaudí (1823-1926);
•	 Arco Gateway, em Saint Louis, Estados Unidos, com altura de 192m, do 
arquiteto Eero Saarinem (1910-1961).
Figura 17 – Arcos Basílica Sagrada Família
Fonte: Wikimedia Commons
Figura 18 – Arcos da Casa Milá
Fonte: Wikimedia Commons
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Figura 19 – Arco Gateway
Fonte: Dirk Beyer/Wikimedia Commons
Outra aplicação da catenária, segundo Junqueira (2007), diz respeito a uma 
operação muito comum para os grupos que ancoram e desancoram plataformas 
de perfuração, bem como outros equipamentos ligados à exploração de petróleo 
no mar, que consiste na instalação das âncoras e linhas de ancoragem.
O processo consiste em um rebocador ou embarcação de apoio içar, através da 
âncora, a linha de ancoragem da plataforma ou navio, por intermédio de um 
cabo de apoio, work wire e, durante o içamento, os guinchos, tanto do lado 
da plataforma, quanto do lado da embarcação de apoio, liberam quantidades 
restritas das linhas até que a âncora atinja o leito marinho, segundo um 
planejamento prévio de quantas etapas a serem executadas e o quanto de linha 
deve ser liberada em cada etapa, tal qual se vê na seguinte Figura. Atualmente, 
para o planejamento dessas etapas, dispõe-se de sistemas para cálculo de linhas 
em catenária, conforme abaixo ilustrado: 
Figura 20
Fonte: scielo.br
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Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Curva	de	Agnesi	–	ou	Bruxa	de	Agnesi
Figura 21
Fonte: Domingues (2013, p. 22)
A parametrização dessa curva pode ser obtida pelo seguinte procedimento: a partir da 
origem, desenha-se uma reta que passe por qualquer ponto P, diferente da origem, do círculo 
de raio a e centrado em C = (0,a). Então, da interseção Q dessa reta com a reta horizontal y = 2a, traça-se uma reta vertical. O ponto de interseção W da reta vertical com a reta horizontal 
que passa por P é um ponto da curva de Agnesi. 
Observe que o ponto R = (0,2a) e que o parâmetro t é o ângulo ROP , medido no sentido 
anti-horário. Para se chegar à parametrização W(t) = (x(t), y(t)) da curva, devemos usar 
relações trigonométricas nos triângulos retângulos que surgem no processo de construção. 
( ) ( ) ( ) ( )2 .
2
x tRQtg t x t a tg t
aOR
= = ⇒ =
Para determinar y(t) que varia no intervalo (0, 2a], basta determinar a coordenada y de P 
Como P varia na circunferência, consideraremos o ângulo 2RCP t= e como o centro da 
circunferência é C = (0, a), chegamos a y pela equação paramétrica y(t) = a + acos(2t), uma 
vez que podemos deduzir assim:
Figura 22
25
Observando a figura vemos que a coordenada y varia no intervalo (a, 2a)], então basta 
observar que para , ,
2 4 4 2
t π π π π   ∈ −     ∪
, tem-se ( ) ( ]cos 1,0t ∈ − e que para ,
4 4
t π π ∈ −  
, 
( ) ( ]cos 2 0,1t ∈ . Daí, como ( ) ( )21 cos 2 2t cos t+ = , obtemos:
( ) ( )( ) ( )21 2 2y t a cos t acos t= + =
Assim, a parametrização da curva de Agnesi é:
( ) ( ) ( )( ) ( )2
2 .
: , ,
2 . 2 2
x t a tg t
W t t
y t a cos t
π π=  ∈ −  =  
 Saiba Mais
Como na história da Matemática nunca existiram bruxas, vamos começar por 
esclarecer o nome de bruxa Agnesi dado à curva. Essa curva foi estudada por 
Fermat, em 1703, mas sua construção geométrica só foi detalhada em 1718 
pelo matemático italiano Grandi, que à época denominou a curva de versoria, 
cujo significado em latim é corda que vira a vela – de barco – e traduziu para o 
italiano versiera – que significa virar. Em meados do século XVIII, a matemática 
italiana Maria Agnesi publicou um livro com muitos exemplos, analisando 
cuidadosamente as propriedades das curvas planas, entre as quais a versiera, 
nomeada corretamente por Agnesi. Ocorre que, por volta de 1760, na tradução 
desse livro para o inglês, John Colson cometeu um erro: em vez de traduzir “la 
versiera” como curva, traduziu “l’aversiera”, que significa bruxa. 
Figura 23 – Maria Gaëtana Agnesi
Fonte: Wikimedia Commons
Maria Gaëtana Agnesi (1718-1790) nasceu em Milão e é considerada um dos 
grandes talentos matemáticos do século XVIII. Maria foi reconhecida como uma 
menina prodígio muito cedo, falava francês e italiano aos cinco anos de idade. 
Aos treze anos já havia adquirido fluência no grego, hebraico, espanhol, alemão 
e latim, sendo considerada uma verdadeira poliglota. Sempre educou seus irmãos 
mais novos. Quando tinha nove anos de idade compôs um discurso em latim para 
um encontro acadêmico. O tema era o direito das mulheres de receber educação. 
Publicou diversos tratados sobre Filosofia. Autodidata, estudou Teologia e 
Matemática, concentrando-se nos trabalhos de l’Hôpital e Newton. É reconhecida 
como autora da primeira obra que tratou simultaneamente de cálculo diferencial e 
integral. Seu trabalho mais conhecido é o tratado em latim Instituzioni analitiche 
ad uso dela gioventù italiana, um compêndio em dois volumes que contém, entre 
tantas outras coisas, o referido estudo das curvas planas. 
26
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Curvas no Espaço
O esboço de curvas no é bem mais complicado do que no plano, pois duas características 
são muito importantes, a torção e a curvatura, as quais determinam completamente a curva, 
mesmo as de movimentos rígidos são estudadas em Geometria diferencial. Muitas vezes nem 
mesmo as projeções nos planos coordenados ajudam em seu esboço, por isso não se costuma 
insistir no esboço das curvas, mas trabalhar apenas na parametrização, quando necessário. 
Por exemplo, veja a seguinte curva e suas projeções nos planos coordenados: 
Figura 24
Fonte: Vilches e Corrêa (2005, p. 65)
A parametrização dessa curva é:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) [ ]cos 2 2 , 2 2 , cos 2 , 0, 6t t sen t sen t sen t t t tγ π= + + + ∈
27
Veja agora a hélice circular reta, na seguinte Figura:
Figura 25
Fonte: Vilches e Corrêa (2005, p. 66)
As equações paramétricas da hélice circular reta são:
( ) ( )
( ) ( )
( )
.
. , 
. .
x t a cos t
y t a sen t t
z t a m t
=
 = ∈
 =

Se m > 0 a forma da hélice lembrará um parafuso de rosca à direta, se m < 0 a forma da 
hélice será a de um parafuso de rosca à esquerda. Em 1953 os cientistas J. Watson e F. Crick 
descobriram que a estrutura de DNA – ácido desoxirribonucleico – é de duas hélices circulares 
paralelas interligadas, como na seguinte representação: 
Figura 26 – Hélice dupla do DNA
28
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Funções Vetoriais
O cálculo vetorial permite estudar as trajetórias, velocidade e aceleração dos corpos em 
movimento. Os valores das funções estudadas são vetores, cujas componentes escalares são 
funções a valores reais. Isso permite trabalhar com as noções de limite, derivada e integral de 
funções vetoriais. 
Definição	1
Seja um domínio D ⊂  . Uma função vetorial r de uma variável, t é uma correspondência 
que a cada t D∈ associa um vetor ( ) nr t ∈ . Por exemplo: 
Figura 27
Em (a) a função vetorial ( ) ( ) ( )2: , r D r t x t i y t j→ = +
 
 
 descreve um ponto 
percorrendo uma curva no plano. Por exemplo: ( ) ( ) ( ) [ ]cos , 0, 2r t t i sen t j t π= + ∈
 

 
Em (b) a função vetorial ( ) ( ) ( ) ( )3: , r D r t x t i y t j z t k→ = + +

 
 
 descreve um ponto 
percorrendo uma curva no espaço. Por exemplo: ( ) 2 3.r t t i t j t k= + +

 
 . 
Tecnicamente, uma curva no plano ou no espaço consiste em uma coleção de pontos e as 
equações paramétricas que a definem. Duas curvas diferentes podem ter o mesmo gráfico. Por 
exemplo, as curvas dadas por: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2cos e cosr t sen t i t j r t sen t i t j= + = +    
Ambas têm como gráfico a circunferência unitária, entretanto, essas equações não 
representam a mesma curva, uma vez que a circunferência é traçada de maneiras distintas em 
cada uma dessas.
Muito importante é distinguir a função vetorial das suas funções componentes 
escalares, que são funções de uma variável a valores reais. Em outra palavras, se 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), r t f t i g t j h t k r t= + +

 
 
 é um vetor e ( ) ( ) ( ), , f t g t h t são números reais, 
para cada t. 
As funções vetoriais desempenham um papel duplo na representação de curvas. Se o 
parâmetro t representa o tempo, a função vetorial representa o movimento ao longo da curva.
29
No caso mais geral, pode-se usar uma função vetorial para traçar uma curva, daí ( )r t é o 
vetor posição, com ponto de aplicação na origem e ponto final P sobre a curva, sendo que a 
ponta da flecha do vetor na curva indica a orientação nessa, apontando na direção dos valores 
crescentes de t como representado na seguinte Figura:
Figura 28
Exemplo	6
Descrever a curva do espaço representada pela função vetorial 
( ) ( ) ( )4cos 4 , 0 4r t t i sen t j tk t π= + + ≤ ≤

 

Resolução
A função vetorial ( )r t traça uma curva no 3 e das duas primeiras equações paramétricas 
( )4cosx t= e ( )4y sen t= obtemos que 2 2 16x y+ = que é uma circunferência no pano XY 
com centro na origem 0 = (0,0,0) e raio 4. Como a terceira equação paramétrica é z = t, para cada 
valor de 0, 
4
t π ∈   
, a curva descreve uma hélice circular em torno do cilindro C de equação:
C x y z x y z= ( ) + = ≤ ≤




, , 2 2 16 0
4
 e pi
O traçado da curva está assim representado:
Figura 29
Fonte: Larson e Edwards (2010, p. 835).
30
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Exemplo	7
Representar a parábola y = x2 - 1 como função vetorial. 
Resolução
Há muitas maneiras de escolher um parâmetro, contudo, o mais simples é eleger as 
equações paramétricas x = t e y = t2 - 1. Assim, uma função vetorial que representa essa 
curva é ( ) ( )2 1r t ti t j= + −  , t−∞ < < ∞ , enquanto a identificação de alguns valores do 
parâmetro t estão ilustrados na seguinte Figura, bem como a orientação da curva definida 
por essa função vetorial:
Figura 30 
Exemplo	8
Determinar a função vetorial que representa a curva de interseção do cilindro x2 + y2 = 1 e 
o plano y + z = 2.
Resolução
A seguinte Figura ilustra essa interseção do plano com o cilindro, que é uma elipse e que 
denotaremos por E: 
Figura 31
Fonte: Stewart (2012, p. 842)
31
A projeção da curva E sobre o plano XY é a circunferência x2 + y2 = 1,z = 0 Então, 
analogamente ao exemplo 1, podemos escrever:
( ) ( ), , 0 2x cos t y sen t t π= = ≤ ≤
Da equação do plano temos que z = 2 - y = 2 - sen(t). Portanto, podemos escrever a função 
vetorial que descreve a elipse E como:
( ) ( ) ( ) ( )( )2 , 0 2r t cos t i sen t j sen t k t π= + + − ≤ ≤

 

A função vetorial determina uma parametrização da curva E e as setas indicam a direção na 
qual E é traçada, conforme o parâmetro t aumenta quando percorre o intervalo [0,2].
Limite	e	Continuidade	de	uma	Função	Vetorial
Definição	2:	limite
Seja a função vetorial ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k= + +

 

. Se ( ) 1limt a f t L→ = , ( ) 2limt a g t L→ =e ( ) 3limt a h t L→ = , então:
( ) 1 2 3limt a r t L i L j L k→ = + +

 

Definição	3:	continuidade
Seja a função vetorial ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k= + +

 

. Se as funções escalares f, g, h são 
contínuas em um ponto t = a, então ( )r t é contínua em t = a. A função ( ) r t é contínua, se 
for contínua para todos os pontos de seu domínio. 
Exemplo	9
A função ( ) ( )( ) ( )( )r t tcos t i tsen t j= +
 

 é contínua para todo t∈ , porque as funções 
componentes são contínuas em todos os pontos. 
A função ( ) 31r t i t j
t
= +
 

 não está definida em t = 0 porque a primeira componente não 
existe nesse ponto. No entanto, a função vetorial é contínua, pois é contínua em todos os 
pontos de seu domínio.
32
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Derivada	e	Integral	de	Função	Vetorial
Como uma função vetorial, cada uma de suas componentes é formada por funções escalares; 
se essas forem deriváveis e integráveis, a função vetorial também o será. 
Definição	4:	derivada	em	um	ponto
A função vetorial ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k= + +

 

 possui derivada em t se, e somente se, 
suas funções coordenadas escalares tiverem derivadas em t. A derivada é a função vetorial: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
lim
t
t
t
r t r tdrr t f t i g t j h t k
dt ∆ →
+ ∆ −
= = = + +
∆
′ ′ ′ ′
 

 
 
Uma função ( )r t é derivável se for derivável em todos os pontos de seu domínio. A reta 
tangente à curva em um ponto P = (f(a), g(a), h(a)) é definida como a reta que passa por P e 
é paralela ao vetor dr
dt

 em t = a. 
Figura 32
Uma curva que é feita por um número finito de curvas lisas ligadas de maneira contínua é lisa por 
partes. Na seguinte Figura as curvas 1 e 3 são lisas, enquanto as curvas 2 e 4 são lisas por parte:
Figura 33
curva 1
curva 3
curva 2
curva 4
As regras de derivação que valem para as funções componentes também valem para a 
função vetorial.
33
Exemplo	10:	estudando	o	movimento.
Determine as equações paramétricas da reta tangente à elipse do exemplo 8 no ponto P = (0,1,1). 
A função vetorial é ( ) ( ) ( ) ( )( )2 , 0 2r t cos t i sen t j sen t k t π= + + − ≤ ≤

 

. Então: 
( ) ( ) ( ) ( )cos cosr t sen t i t j t k= − + −′
 
 
 e como queremos a tangente no ponto P = (0,1,1), 
que corresponde a 
2
t π= .
cos cos 0 0
2 2 2 2
r sen i j k i j k iπ π π π       = − + − = − + + = −       
      
′

  
    
Então a tangente em P tem a direção do vetor i , isto é, paralela ao eixo X, indicando 
sentido contrário ao do movimento. 
Definição	5:	integral	de	função	vetorial
A integral indefinida de ( )r t é o conjunto de todas as primitivas de r e se R
��
é uma das 
primitivas, então:
∫ = ( ) +
� ��rdt R t C
Assim como as derivadas, as integrais indefinidas e as integrais definidas de funções vetoriais 
são calculadas componente a componente. 
Exemplo	11:	encontrando	uma	trajetória.
O vetor velocidade de uma partícula que se move no plano – com a trajetória em metros – é 
1 2
1
dr i tj
dt t
= +
+

  , 0t ≥ . Encontre a posição da partícula como função vetorial, se ( ) ( )1 2r ln i=


.
A função vetorial 


   
r t dr
dt
dt dt
t
i tdt j t i t j C( ) = =
+





 + ( ) = + + ( ) +∫ ∫ ∫1 2 1
2ln( )
Daí ( ) ( )1 ln2r i j C C j= + + ⇒ = −
  

. Portanto, a trajetória da partícula é dada pela 
função vetorial 

 
r t t i t j( ) = + + −( )ln( )1 12
34
Unidade: Diferenciação de Função de Várias VariáveisComprimento	de	arco
Definição 6: o comprimento de arco de uma curva lisa ( ) ( ) ( ) ( )r t f t i g t j h t k= + +

 

, 
a t b≤ ≤ , que é traçada exatamente uma vez à medida que t aumenta de t = a até t = b é:
2 2 2 2 2 2b b
a a
df dg dh dx dy dzL dt dt
dt dt dt dt dt dt
           = + + = + +           
           ∫ ∫
Exemplo	12
A trajetória de uma partícula é dada pela função vetorial 
( ) ( )( ) ( )( )1 cosr t t i t sen t j= − + −
 

Encontre a distância percorrida por essa partícula de t = 0 a 2
3
t π=
Resolução
As funções coordenadas do movimento são: x = 1 - cos(t) e y = t - sen(t). Portanto, 
( )dx sen t
dt
= e ( )1 cosdy t
dt
= − . Então a distância que a partícula percorre de t = 0 a 2
3
t π= 
é o comprimento de arco: 
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2
3 3 3
2 2
0 0 0
1 2 1 cos 2 1 cosL sen t cos t dt t dt t dt
π π π
= + − = − = −∫ ∫ ∫
Vamos resolver ( )( )1 cos t dt−∫ . 
Seja ( ) ( ) ( )
1 cos duu t du sen t dt dt
sen t
= − ⇒ = ⇒ =
Mas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2cos 1 1 1 2t u cos t u sen t cos t u u= − ⇒ = − ⇒ = − = −
Logo, 
( )2
dudt
u u
=
−
 e ( )( )
( )
11 cos
22
ut dt du du
uu u
− = =
−−∫ ∫ ∫
Seja 2s u ds du= − ⇒ = − , então temos:
 ( )
1 1
2 21 2 2 2 2 2 1 cos
2
du s ds s s u t
u
−
= − = − = − = − − = − +
−∫ ∫
Portanto: ( )( ) ( )1 cos 2 1 cost dt t− = − +∫ e daí o comprimento de arco é
( )( ) ( )
2
23
3
0
0
1 12 1 cos 2 2 1 cos 2 2 1 1 1 2 2 2 2 4 2
2 2
L t dt t
π
π     = − = − + = − − − + = − − = − + =       
∫
 
unidades.
35
Função	de	Várias	Variáveis
O conceito de função real de duas ou mais variáveis reais é análogo ao conceito e função 
real de uma variável real. Por exemplo, a equação z = x2 - y2 exprime z como função de x e y. 
Definição	7
Dizemos que z é uma função de x e y quando existir uma regra ƒ que, a cada P(x,y) de 
um conjunto 2D ⊂  , denominado domínio de ƒ, associe um único ponto z∈ . Em outras 
palavras: 2:f D ⊂ →  , tal que ( ) ( ), ,x y z f x y→ = . 
Usualmente, escrevemos que z = ƒ(x,y) ou z = z(x,y) e dizemos que z é a imagem do ponto (x,y) pela função ƒ, ou que z é o valor de ƒ no ponto (x,y) e podemos representar da seguinte 
forma:
Figura 34
Definição	8
De uma maneira geral, dizemos que :
nf D ⊂ →  é uma função de n variáveis 
independentes, se existe um único valor real w∈ tal que ( )1 2, , , nf x x x w… = . O 
conjunto nD ⊂  é chamado domínio de ƒ e a imagem de ƒ é o conjunto 
( ) ( ){ }1 2 1 2: , , , , , , , n nw w f x x x para x x x D∈ = … … ∈ .
Exemplo	13:	
a) A função z = x2 - y2 pode ser calculada para todo ( )x y ∈ , logo, seu domínio 2D =  
e sua imagem é  ;
b) A função 2z y x= − só pode ser calculada para 2y x≥ , então seu domínio 
( ){ }2 2, :D x y y x= ∈ ≥ e sua imagem é [ )0,∞ ;
c) A função 
1z
xy
= só pode ser calculada se 0xy ≠ então seu domínio é 
( ){ }2, : 0 0D x y x e y= ∈ ≠ ≠ e sua imagem é ( ) ( ),0 0,−∞ ∞∪ ;
d) A função z = cos(xy) pode ser calculada para todo ( ) 2,x y ∈ , logo, seu domínio 
2D =  e sua imagem é [-1,1].
36
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Exemplo	14
Esboce o domínio das seguintes funções e dê seus valores no ponto P = (3,2):
a) ( )
1
,
1
x y
f x y
x
+ +
=
−
b) ( ) ( )2, .g x y x ln y x= −
Resolução:
a) O domínio da função f é ( ){ }2, : 1 0 1D x y x y e x= ∈ + + ≥ ≠ . E ( ) 63,2 2f =
b) O domínio da função f é ( ){ }2 2, :gD x y x y= ∈ < . E ( ) ( )3, 2 3 1 0g ln= =
a seguir a representação gráfica dos domínios das funções f e g:
Figura 35
Fonte: Stewart (2012, p. 879)
Exemplo	15
Seja ( ) 2 2 2 , , 1w f x y z y x y z= = + + − . Esta função só está definida se o radicando 
for maior ou igual a zero, isto é, 2 2 2 1x y z+ + ≥ . Logo, a função está definida para todo o 
3 , exceto para a região determinada por:x2 + y2 + z2 < 1
A qual determina uma esfera de centro na origem e raio 1. Então, o domínio de f é 
formado por todos os pontos do 3 que não são interiores a essa esfera. 
37
Exemplo	16
Seja a função ( ) 2 2,f x y x y= + cujo domínio é todo o plano 2 . A imagem da função 
f , denotada por ( )Im f é o conjunto ( ) { }: 0Im f z z= ∈ ≥ e o seu gráfico é a folha 
superior do cone z2 = x2 + y2, como indica a seguinte Figura:
Figura 36
Fonte: Silva e Matos (2009, p. 10)
38
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Algumas Noções Topológicas: Conjuntos Abertos, Fechados e Fronteira
Definição	9
Seja a n∈ e r +∈ . Chama-se bola aberta de centro a e raio r ao conjunto 
( ) ( ){ } : ,nrB a x d x a r= ∈ < , onde d(x,a) é definida por
( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 2, n nd x a x a x a x a= − + − +…+ −
A notação da bola aberta também pode ser B(a,r).
Em  as bolas abertas são intervalos abertos. Se n = 2 e a = (x0, y0), então 
( ) ( ) ( ) ( ){ }2 22 20 0, : rB a x y x x y y r= ∈ − + − < , que é o interior de um círculo de raio r e 
centro em (x0 , y0), conforme representado na seguinte Figura: 
Figura 37
Analogamente, em 3 as bolas abertas são esferas de raio r e centro em (x0 , y0 , z0).
39
Definição	10
Um conjunto nA⊂  é dito aberto em n se para todo x A∈ , existe Br(x) tal que 
( )rB x A⊂ . 
Os pontos nx∈ tal que existe r de forma que ( )rB x A⊂ são chamados pontos 
interiores de A. Analogamente, se existe r tal que B x Ar ( )∩ =∅ , então x é um ponto exterior 
ao conjunto A. Conjuntos abertos são uma generalização natural de intervalos abertos em  . 
Por definição, o conjunto vazio e o n são abertos em n . Em 2 podemos representar 
assim um conjunto aberto A:
Figura 38
Observe que  é aberto em  , mas  pensado como uma reta do plano não é aberto 
em 2 , pois qualquer bola aberta centrada em (x,0) não está contida em . Da mesma 
forma e pelo mesmo motivo, 2 não é aberto em 3 . 
Costumamos chamar um conjunto aberto A que contenha um ponto x de vizinhança de x. 
Definição	11
Seja o conjunto nA⊂  . Um ponto nx∈ está na fronteira ou borda A de se toda 
vizinhança de x intersecta A e n A− . 
Denotamos o conjunto dos pontos da fronteira do conjunto A por A∂ . Portanto, um 
conjunto A é aberto se A A∩∂ =∅ . Na Figura anterior, A∂ são os pontos da linha tracejada 
em azul. 
Definição	12
Seja o conjunto nA⊂  
a) Um conjunto A é dito fechado em n se A A∂ ⊂
b) Um conjunto A é limitado se existe uma constante k tal que d(x, 0) < k, para todo 
x A∈ . Logo, A é limitado se está contido em uma bola centrada na origem e de raio k. 
Observações: n também é fechado. Em geral, os sólidos são fechados, pois 
costumam conter a sua fronteira, que é a superfície lateral. Por exemplo, o conjunto 
( ){ }3 2 2 2 2, , : , 0W x y z x y z r r= ∈ + + ≤ > é fechado, pois a sua fronteira é 
( ){ }3 2 2 2 2, , : , 0W x y z x y z r r∂ = ∈ + + = > e, portanto, W W∂ ⊂ .
40
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Gráfico de uma Função de Duas Variáveis
O gráfico de uma função f de duas variáveis é o conjunto de pontos ( ) 3, ,x y z ∈ tal que z = f (x,y) com ( ),x y D∈ , D o domínio de f . O gráfico de uma função de duas variáveis 
pode ser interpretado como uma superfície do 3 , como indica a seguinte Figura:
Figura 39
Exemplo	17
Esboçar os gráficos das funções:
a) ( ) 2 2, 9f x y x y= − −
O domínio da função f é ( ){ }2 2 2, : 9D x y x y= ∈ + ≤ , que é um disco no plano 
XY centrado na origem e de raio 3. Além disso, a coordenada ( ), 0z f x y= ≥ é tal que z2 = 9 - x2 - y2, ou seja, x2 + y2 + z2 = 9, que é a calota superior da esfera de centro na origem e 
raio 3 – limitada pelo plano XY. Assim, seu gráfico está esboçado na Figura 40a.
b) g(x, y) = 6 - 3x - 2y
O domínio da função g é todo2 , pois não existe nenhuma restrição para sua equação. A 
imagem é toda reta  , ou seja, todo eixo Z. A coordenada z = g(x, y) é tal que z = 6 - 3x - 2y, 
 ou seja, 3x + 2y + z = 6, que é um plano inclinado do 3 , cujas interseções com os eixos 
coordenados são (2,0,0), (0,3,0) e (0,0,6). Como três pontos não alinhados determinam um 
único plano, o esboço de parte do plano está na Figura 40b: 
Figura 40
Fonte: Stewart (2012, p. 881)
41
Por motivos óbvios, não é possível representar o gráfico de uma função de três ou mais 
variáveis, pois teríamos que representá-lo em dimensão maior ou igual a quatro. 
A seguir há alguns gráficos (STEWART, 2012, p. 882) obtidos por meio de softwares 
gráficos em computadores:
Figura 41
Fonte: Stewart (2012, p. 882)
42
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Curvas de Nível
Você já deve ter ouvido falar em curvas de nível. Um exemplo comum são os mapas 
topográficos de regiões montanhosas. Nesse caso, as curvas de nível são curvas de elevação 
constante acima do nível do mar; caminhando sobre essas não subimos, nem descemos, mas 
permanecemos na mesma altitude.
Outro exemplo comum são as curvas de nível da função temperatura em mapas climáticos, 
chamadas de isotérmicas – mesma temperatura –, como na figura a seguir, em que as curvas 
de nível isotérmicas são medidas em graus Fahrenheit:
Figura 42
Em outras áreas também são utilizadas curvas de nível, como na agricultura. Uma boa 
técnica de cultivo do solo é a do terraceamento, que consiste em realizar a produção ordenando 
a plantação em linhas que seguem as diferenças de altitude do solo. Essa técnica de fazer a 
plantação em curvas de nível é mais adequada para terrenos com declividades – morros, por 
exemplo – e ajuda a conter o processo de erosão. Além disso, contribui para a contenção de 
água, pois dessa forma, essa escorre mais devagar e tem maior chance de infiltrar na terra. Na 
seguinte Figura vemos uma plantação de arroz em curvas de nível.
Figura 43
Fonte: iStock/Getty Images
43
Curvas	de	Nível	para	Visualização	de	Gráficos
Outra maneira de visualizar uma função de duas variáveis é usar as curvas de nível ao 
longo das quais o valor de ( ),f x y é constante. Mas fazer ( ),f x y k= significa interceptar 
o gráfico de f por planos paralelos ao plano XY na cota z = k, obtendo a curva de nível 
daquela cota. Variando o valor da constante k obtemos uma família de curvas, cada uma na 
sua cota. Daí, projetamos no plano XY toda a família de curvas, obtendo o que chamamos de 
configuração em curvas de nível da função f . Veja a seguinte representação:
Figura 44
Fonte: Stewart (2012, p. 883) 
Exemplo	18
Uma configuração de curvas de nível está dada na Figura a seguir. Use-a para estimar os 
valores de f (1,3) e f (4, 5):
Figura 45
Resolução
Observando o mapa de curvas de nível, vemos que o ponto (1, 3) está entre as curvas de 
nível com valores de z de 70 a 80, então ( )1, 3 73f ≈ . E o ponto (4, 5) está entre curvas de 
nível com valores de z de 50 e 60, então ( )4, 5 57f ≈ .
44
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Exemplo	19
Observe a configuração em curvas de nível desta superfície dada pela função 
( ) 2 2, x yf x y xye− −= − . 
Figura 46
Fonte: Stewart (2012, p. 886)
Exemplo	20
Observe o gráfico e a configuração em curvas de nível da função ( ) ( )2 21,
2
f x y sen x y= + , 
obtida em computador com o uso do software Winplot:
Figura 47
Fonte: Winplot
Exemplo	21
Considere a função g(x,y) = 6 - 3x - 2y (a mesma do item [b] do exemplo 17). Tomando 
alguns valores de k = -6, 0, 6, 12, temos uma configuração em curvas de nível dessa função, a 
saber, as retas do plano XY de equações:
Para ( )6 , 6 3 2 12k g x y x y= − ⇒ = − ⇒ + = (corta o eixo X na abscissa x = 4).
Para ( )0 , 0 3 2 6k g x y x y= ⇒ = ⇒ + = (corta o eixo X na abscissa x = 2).
Para ( )6 , 6 3 2 0k g x y x y= ⇒ = ⇒ + = (corta o eixo X na abscissa x = 0).
Para ( )12 , 2 3 2 6k g x y x y= ⇒ = ⇒ + = − (corta o eixo X na abscissa x = -2). 
45
Segue a configuração dessas curvas de nível, que são retas paralelas, pois o gráfico da 
função é um plano, como você pode conferir no exemplo 17.
Figura 48
Superfícies	de	Nível
No caso de função de três variáveis, em analogia às curvas de nível, temos as superfícies de 
nível. O conjunto de pontos (x, y, z) tal que f (x, y, z) = k, k constante, é chamado superfície 
de nível. Nesse caso, apesar de poder conhecer uma configuração de superfícies de nível no 
3 , não ajuda para esboçar o gráfico da função que está contido no 4 apenas imaginar. 
A seguir a representação de uma configuração de superfícies de nível da função 
( ) 2 2 2, ,f x y z x y z= + + , que são esferas concêntricas do 3 , a saber:
Figura 49
Fonte: Stewart (2012, p. 887)
46
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Limite e Continuidade de Função de Duas ou Mais Variáveis
Seja : nf D ⊂ →  uma função e 0
nx ∈ tal que x D D0 ∈ ∂∪ . 
Intuitivamente, se x D D0 ∈ ∪∂ significa que se 0x D∉ , deve estar arbitrariamente 
“próximo” de D, já que, neste caso, teria que pertencer à D∂ . 
Definição	13
Limite de uma função de várias variáveis.
O limite de uma função : nf D ⊂ →  , quando nx∈ se aproxima de um ponto 
0 ,
nx ∈ é L quando para todo 0,ε > existe 0δ > tal que x B x D f x L∈ ( )∩ ⇒ ( ) − <δ ε0 . Em 
notação simbólica escrevemos que ( )
0
lim
x x
f x L
→
= .
Limite de Uma Função de Duas Variáveis Independentes
Observe estas duas funções de duas variáveis, assim definidas:
( )
( )2 2
2 2
 
,
 
sen x y
f x y
x y
+
=
+
e ( )
2 2
2 2,
x yg x y
x y
−
=
+
Tanto a função f quanto a função g não estão definidas em (0,0) e podemos adiantar 
que, mesmo as duas tendo o mesmo denominador, a função f tem limite igual a 1, quando 
( ) ( ), 0,0x y → , mas não existe o limite da função g quando ( ) ( ), 0,0x y → .
Definição	14:	limite	de	uma	função
Uma função f tem limite L quando (x,y) se aproxima de (x0, y0) se, dado qualquer número 
0ε > , existe um número 0δ > tal que, para todo (x,y) no domínio de f , ocorrer que:
( ) ( ) ( )2 20 00 ,x x y y f x y Lδ ε< − + − < ⇒ − <
Em símbolos, escrevemos:
( ) ( )
( )
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y L
→
=
47
Observe que ( ) ( )2 20 00 x x y y δ< − + − < é equivalente a dizer que ( ) ( )0, x y B xδ∈ ou 
seja, que (x,y) está em uma vizinhança aberta de (x0, y0) que, no caso de 2 , é uma bola aberta 
centrada em (x0, y0) de raio δ . Fazer a aproximação de (x,y) a (x0,y0) significa aproximar por 
todos os caminhos possíveis que ligam esses dois pontos dentro da bola aberta. Para existir o 
limite, deve existir e ter o mesmo valor por todos esses caminhos.
Figura 50
Essas observações são importantes para deixar bem clara a diferença de aproximar dois 
pontos da reta, que só tem uma direção – a da própria reta – e dois sentidos, pela esquerda ou 
pela direita do ponto em questão, que é o que fazemos no caso de limite de função de apenas 
uma variável independente. 
Teorema	1: propriedades dos limites de funções de duas variáveis.
Suponha que ( ) ( )
( )
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y L
→
= e , então valem:
( ) ( )
( ) ( )
0 0, ,
lim , ,
x y x y
f x y g x y L M
→
± = ±  
( ) ( )
( ) ( )
0 0, ,
lim , . , .
x y x y
f x y g x y L M
→
=  
( ) ( )
( )
0 0, ,
lim , . ,
x y x y
kf x y k L k
→
=   constante
( ) ( )
( )
( )0 0, ,
,
lim , 0
,x y x y
f x y L M
g x y M→
= ≠
( ) ( )
( )
0 0, ,
lim ,
mm
nn
x y x y
f x y L
→
=   , se m,n inteiros e se mnL for um número real. 
Quando aplicamos o Teorema 1 a polinômios e funções racionais obtemos o resultado útil 
de que o limite dessas funções, quando () ( )0 0, ,x y x y→ podem ser calculados determinando-
se as funções em (x0,y0), sendo a única exigência a função racional estar definida neste ponto. 
48
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Exemplo	22
Calculando limites:
a) 
( ) ( )
2
2 3, 0,1
3 0 0 3lim 3
0 1x y
x xy
x y y→
− + − +
= = −
− −
b) 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ), 2,
cos cos 2 1 0 1lim
sen 2 2 0 2x y
xy tg y tg
x y senπ
π π
π→
+ + +
= = =
+ + +
Ambos os casos são de simples resolução, uma vez que as funções racionais envolvidas 
atendem as condições do Teorema 1, portanto, basta calcular no ponto em questão. 
Exemplo	23
No início deste tópico apresentamos o limite de duas funções e afirmamos que um dos quais 
existia e o outro não. Vamos agora provar que isso é verdade, verificando a existência ou não 
dos limites, quando ( ) ( ), 0,0x y → , das funções:
a) ( )
( )2 2
2 2,
sen x y
f x y
x y
+
=
+
b) ( )
2 2
2 2,
x yg x y
x y
−
=
+
	Resolução:
a) Lembre-se que, se 
( )
0
, lim 1
t
sen t
t
t→
∈ = é um dos limites fundamentais do cálculo. 
Então, podemos fazer a seguinte substituição: 2 2t x y= + ∈ , 0t ≥ . Então, quando 
( ) ( ) ( )
0
, 0,0 0 lim 1
t
sen t
x y t
t+
+
→
→ ⇒ → ⇒ = . Portanto:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2 2
2 2, 0,0 , 0,0 0
lim ( , lim lim 1
x y x y t
sen x y sen t
f x y
x y t+→ → →
+
= = =
+
Logo, existe o limite de f no ponto (0,0) e vale 1.
b) Seja a função ( )
2 2
2 2,
x yg x y
x y
−
=
+
. Tentaremos fazer o limite por alguns caminhos e 
verificar se existem e, caso existam, se coincidem no valor limite.
Primeiro, aproximar-nos-emos de (0,0) pelo eixo X. Para isto, faremos y = 0.
Daí, ( ) ( )
2
2,0 1, 0 , 1
xf x se x f x y
x
= = ≠ ⇒ → quando x, ,0 0 0( ) → ( )
Agora nos aproximaremos de (0,0) pelo eixo Y. Para isto, faremos x = 0 e daí, 
( ) ( )
2
20, 1, 0 , 1
yf y se y f x y
y
−
= = − ≠ ⇒ → − , quando ( ) ( )0, 0,0y → 
49
Esta situação pode ser vista na seguinte representação gráfica:
Figura 51
Portanto, nesses dois caminhos o limite existe, mas com valores diferentes, o que fere uma 
condição fundamental de existência de limite de uma função. Logo, concluímos que não existe 
o limite de g(x,y) quando ( ) ( ), 0, 0x y → . 
 Importante!
Teste dos dois caminhos para a não existência de um limite
Se ( ),f x y tem limites diferentes ao longo de dois caminhos diferentes 
quando ( ) ( )0 0, ,→x y x y , então ( ) ( ) ( )0 0, ,lim ,→x y x y f x y não existe.
50
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Exemplo	24
Aplicando o teste dos dois caminhos, mostre que não existe o limite da função 
( )
2
4 2
2, x yh x y
x y
=
+
 quando ( ) ( ), 0, 0x y → .
Resolução
Claro é que ( ) ,h x y não está definida em (0,0), por isso o interesse em verificar seu 
comportamento nas proximidades da origem. É igualmente claro que se optarmos por caminhos 
em que x ou y forem, não simultaneamente, nulos, a função é nula e, portanto, não resolve o 
que queremos. Tomaremos, então, outro caminho: observando as potências do denominador, 
escolheremos o caminho 2 , 0y kx x= ≠ . Assim, ( )
4
2
4 2 4 2
2 2,
1
kx kh x kx
x k x k
= =
+ +
. Logo:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) 2
2 
2, 0,0 , 0,0
2lim , lim ,
1
ao longo de y kx
y kxx y x y
kh x y h x y
k
=
=→ →
 = =  +

Basta tomar valores não nulos distintos de k, por exemplo, k = 1 e k = 2, para obtermos 
valores diferentes do limite, respectivamente, 1 e 4
5
. 
Vemos, então, que esse limite varia com o caminho de aproximação ao ponto (0,0). 
Logo, 
( ) ( )
( )
, 0,0
lim ,
x y
h x y
→
 . 
Exemplo	25
Calcule o seguinte limite: 
( ) ( )
2
2 2, 0,0
5lim
x y
x y
x y→ +
Resolução
Seja ( )
2
2 2
5, x yf x y
x y
=
+
. Se fizermos como nos exemplos anteriores, vemos que ao longo 
tanto do eixo X, quanto do eixo Y, ( )0, 0f y = e ( ),0 0f x = Igualmente nos caminhos 
lineares y = kx, ( ) ( )32 25, 01kxf x kx x k= →+ , quando 0x→ . Se tentarmos os caminhos 
( ) ( )
4 2
2 2
2 22 2 2
5 5, 0
11
, kx kxy kx f x kx
k xx k x
= = = →
++ , quando 0x→ . Portanto, não podemos ficar 
tentando encontrar, “às cegas”, algum caminho cujo limite dê outro valor, quando o ponto se 
aproxima da origem. Ao que tudo indica até agora, parece que o limite existe e vale zero, mas 
não podemos concluir sem demonstrar. Resta, então, mostrar usando a definição, para L = 0. 
Seja 0ε > . Devemos encontrar um 0δ > tal que, se 2 20 x y δ< + < , então 
2
2 2
5x y
x y
ε<
+
. 
Para isso, observemos que 2 2 2x x y≤ + , pois 2 0y ≥ . Então 
2
2 2 1
x
x y
≤
+ e
2
2 2 2
2 2
5
5 5 5
x y
y y x y
x y
≤ = ≤ +
+
51
Basta, então, escolher 5
εδ = , que fazendo 2 20 x y δ< + < teremos:
2 2
2 2
2 2 2 2
5 50 5 5x y x y x y
x y x y
δ ε− = ≤ + < =
+ +
Assim, provamos que ( ) ( )
2
2 2, 0,0
5lim 0
x y
x y
x y→
=
+
Confira nos gráficos das superfícies a seguir: 
Quando ( ) ( ), 0, 0x y → a função ( )
22 2
2 2,
x yf x y
x y
 −
=  + 
 não tem limite, enquanto que a 
função ( )
2
2 2
5, x yf x y
x y
=
+ tem e vale 0. 
Figura 52
Fonte: Larson e Edwards (2010, p. 900-901)
52
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Continuidade	de	Uma	Função	de	Duas	Variáveis
A definição de continuidade para funções de duas variáveis é essencialmente a mesma que 
para funções de uma única variável.
Definição 15: uma função ( ),f x y é contínua no ponto (x0, y0) se:
1) for definida em (x0, y0);
2) 
( ) ( )
( )
0 0, ,
lim ,
x y x y
f x y
→
 existir;
3) ( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0, ,
lim , ,
x y x y
f x y f x y
→
=
Uma função é contínua quando o é em todos os pontos de seu domínio.
Exemplo	26
Observe que a função ( )
2
4 2
2, x yh x y
x y+
 (a mesma do exemplo 24) é contínua, pois como 
uma função racional – quociente de funções algébricas – o Teorema 1 se aplica a essa, ou seja, 
existe o limite de h(x, y) para todo ponto do seu domínio ( ) ( ) ( ){ }2, : , 0, 0D x y x y= ∈ ≠ e o 
valor do limite é igual ao valor da função no ponto. Como ( )0, 0 D∉ , o fato de não existir o 
limite da função h em (0,0) em nada interfere na continuidade dessa função, uma vez que a 
condição 1 de continuidade não estaria satisfeita. 
Exemplo	27
Considere agora a função ( ),f x y assim definida:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
4 2
2 , , 0, 0
,
0, , 0, 0
x y se x y
x yf x y
se x y

≠ += 
 =
Vimos que para ( ) ( ), 0, 0x y ≠ a função ( ),f x y é contínua, pois coincide com a função h(x, y) do exemplo 26. Mas a função f é diferente da função h, pois têm domínios distintos, 
a função h não está definida na origem e ( )0, 0 0f = . A questão, então, para discutir a 
continuidade da função f , restringe-se apenas à verificação de continuidade na origem. 
Entretanto, pelo exemplo 24, vimos que 
( ) ( )
( )
, 0,0
lim ,
x y
f x y
→
 . Logo, a função f é contínua 
em todos os pontos do plano, exceto na origem. 
53
Observe os gráficos de duas funções contínuas em todos os pontos de 
2 :
Figura 53
Fonte: Larson e Edwards (2010, p. 902)
 Importante!
Limite	e	continuidade	para	funções	de	mais	de	duas	variáveis
As definições de limite e continuidade para funções de duas variáveis e as 
propriedades sobre limites e continuidade – somas, produtos, quocientes 
potências e composições – estendem-se a funções de três variáveis ou mais. Por 
exemplo, as funções ( ) ( ), ,f x y z ln x y z= + + e ( ) ( )., ,
1
y sen z
g x y z
x
=
−
 são 
contínuas em seus domínios, respectivamente,( ){ }3, , : 0fD x y z x y z= ∈ + + > e 
( ){ }3, , : 1gD x y z x= ∈ ≠ . Possuem também limites como:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
221,0, 1
1lim
21 0
x z
P
e e
cosz cos xy
+ −
→ −
= =
− ++
Onde P indica o ponto (x, y, z), podem ser encontrados por meio de substituição 
direta.
54
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Derivadas Parciais
Em aplicações de funções de várias variáveis, muitas vezes a questão que surge é: como 
o valor de uma função é afetado ao efetuarmos uma mudança em uma de suas variáveis 
independentes?
Pois, podemos responder essa questão considerando cada uma das variáveis independentes em 
separado. Por exemplo, para determinar o efeito de um catalisador em uma experiência com um 
produto químico, a experiência pode ser repetida várias vezes utilizando diferentes quantidades de 
catalisador, mantendo as demais variáveis constantes, como temperatura e pressão. 
Para determinar a velocidade ou a taxa de mudança de uma função , com respeito a uma 
das suas variáveis independentes, pode-se usar um procedimento similar. Esse processo é 
chamado de diferenciação parcial e o resultado chama-se derivada parcial de ƒ em relação à 
variável independentemente escolhida.
Definição	16:	
Derivadas parciais de uma função de duas variáveis
Se ( ),z f x y= , as derivadas parciais primeiras de ƒ, com relação às variáveis independentes x e y são as funções xf e yf definidas por:
a) f x y f x f x yx x
xy
( , ) lim ( ) ( , )= + −
→∆
∆
∆0
b) f x y
f x f x y
y
y
yy
( , ) lim
( ) ( , )
=
+ −
→∆
∆
∆0
Sempre e quando esses limites existirem. 
Observação: São também utilizadas as notações ( ) ( )
,
,x
f x y
f x y
x
∂
=
∂
 e ( )
( ),,y
f x y
f x y
y
∂
=
∂
.
Exemplo	28
Encontre as derivadas parciais de ( ) ( ), .f x y y sen xy=
Para encontrar a derivada parcial xf consideramos y constante e derivamos em relação 
à variável x como fazemos em uma função de uma variável, usando as regras de derivação, 
inclusive a regra da cadeia, quando necessário. Analogamente, em relação à derivada parcial 
yf temos:
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2, . . . . . .x
sen xy xy
f x y y y cos xy y cos xy y y cos xy
x x
∂ ∂
= = = =
∂ ∂
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
, 1. . . .
.
y
sen xy
f x y sen xy y sen xy y cos xy x
y
sen xy xy cos xy
∂
= + = +
∂
= +
55
Interpretação	de	Derivadas	Parciais
Para dar uma interpretação geométrica de derivadas parciais, recordemos que a equação 
( ),z f x y= representa uma superfície S (o gráfico de f ). Seja ( , b)f a , então o ponto 
( )( ), , ,P a b f a b= está situado sobre S. Quando fazemos y = b esse plano intercepta a 
superfície S em uma curva C1 que passa pelo ponto ( , b)f a e, ao derivarmos em relação a x, a interpretação é a mesma de função de uma variável, ou seja, em ( , b)f a a ( , )xf a b dá 
a medida da inclinação da tangente à curva C1 no ponto P. Analogamente, para a derivada 
parcial yf em relação a outra curva C2, obtida pela interseção do plano x = a com a superfície S e que cruza ortogonalmente com C1 no ponto P.
Na seguinte Figura a derivada parcial ( , )xf a b mede a inclinação da reta T tangente à curva 
de interseção da superfície ( ),z f x y= com o plano y = b isto é, ( ) ( ),xtg f a bθ = :
Figura 54
Fonte: Silva e Matos (2009, p. 34)
Vemos, então, que derivadas parciais podem ser interpretadas como taxas de variação, em 
relação a cada uma de suas variáveis independentes. Veja a seguir:
Quadro 2
O	índice	de	sensação	térmica
Em dias frios, é comum ouvirmos falar que a temperatura está baixa e que a sensação térmica é 
de uma temperatura ainda menor. O que é sensação térmica? Como essa é calculada?
Nos termômetros, a temperatura marcada depende apenas da medição feita no ar. A sensação 
térmica, por outro lado, é a temperatura que realmente sentimos, tendo seu valor influenciado 
principalmente pela velocidade do vento, mas também pela umidade e densidade do ar, entre 
outros fatores climáticos. Geralmente os valores de sensação térmica são tabelados para 
velocidades comuns do vento, porém, existe uma fórmula empírica para calcular esses valores:
S(T) v v T= + + −( ) −33 10 10 45 3322, .
Onde T é a temperatura em graus Celsius e v é a velocidade do vento em quilômetros por hora.
Fonte: Stewart (2012, p. 904)
56
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Exemplo	29
Vimos que o índice de sensação térmica é dado por uma função de duas variáveis, a qual 
podemos reescrever ( ) ( ) 33, 33 10 10,45 . 22
Tf T v v v −= + + − , com v em km/h e T em graus Celsius. 
Calcule a sensação térmica em ( ) ( ), 3, 40T v = e a derivada parcial de f em relação à v 
neste ponto, interpretando como taxa de variação.
Resolução
A sensação térmica em ( ) ( ), 3, 40T v = é (3,40)f cujo cálculo segue:
( ) ( ) ( ) ( )3 333,40 33 10 40 10,45 40 . 33 33,7 . 1,36 33 45,83 12,8 C22f
− = + + − ≅ + − ≅ − ≈ − 
 

Temos agora que encontrar ( ),vf T v , calcular ( )3, 40vf e interpretar.
( ) ( ) 33, 33 10 10,45 . 22
Tf T v v v −= + + −
( )
1
2
1
2
10. 10,45
33 33, 0 . 5. 1 .
22 22v
v v
T Tf T v v
v
−
 
∂ + −   − −    = + = −    ∂     
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 3 333, 40 1 . 0,79 1 . 1,36 0,21 . 1,36 0,29 /
2240v
f C h−   = − ≅ − − ≅ − − ≅ °     
Logo, quando a temperatura é de 3°C e a velocidade do vento é de 40km/h a sensação 
térmica é de 12,8 C≈ − ° e a taxa de variação da sensação térmica é cerca de 0,3°C / h , ou 
seja, se a temperatura se mantiver em 3°C , mas a velocidade do vento aumentar em 1km/h, a 
sensação térmica sofre uma variação de, aproximadamente, 0,3°C. 
Exemplo	30
Em alguns casos, as derivadas parciais devem ser calculadas pela definição. É a circunstância 
para a função definida por:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 , , 0,0,
0, , 0,0
xy para x y
x yf x y
para x y
 ≠ += 
 =
Essa função é definida por duas sentenças – por isso não é uma função elementar – e (0,0) 
é o ponto de transição de uma sentença para outra. Portanto, as derivadas parciais no ponto 
de transição devem ser calculadas pela definição. Então temos:
( ) ( ) ( )
0 0 0
,0 0, 0 00, 0 lim lim lim 0 0x h h h
f h f
f
h h→ → →
−
= = = =
De forma similar, encontramos ( )0, 0 0yf =
57
Exemplo	31
Seja a função ( ) 2 2, 4 2f x y x y= − − , determine ( )1,1 xf e ( ) 1,1 yf e interprete essas 
taxas de variação.
Resolução:	
Vemos que:
( ) ( ), 2 1,1 2x xf x y x f= − ⇒ = − e ( ) ( ), 4 1,1 4y yf x y y f= − ⇒ = −
O gráfico de f é o paraboloide z = 4 - x2 -2y2 e o plano vertical y = 1 corta o paraboloide 
na curva C1 que é uma parábola. A declividade da reta tangente a essa parábola no ponto 
(1,1,1) é (1,1) 2xf = − . Analogamente, em relação à reta tangente à curva C2 interseção do 
plano vertical x = 1, no ponto (1,1,1) da superfície, cuja declividade é ( )1,1 4yf = − . Confira 
nos seguintes gráficos:
Figura 55
Fonte: Stewart (2012, p. 904)
58
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Derivação	Parcial	Implícita
Por vezes temos uma equação em três variáveis e desejamos encontrar a taxa de variação 
de uma dessas em função de outra. Ocorre que fica mais complicado explicitar essa variável 
em função das outras duas. Nessa situação usamos o recurso de derivação implícita, que pode 
se visto no seguinte exemplo:
Exemplo	32
Considere a esfera dada pela equação x2 + y2 + z2 = 1. Determine a inclinação da esfera na 
direção de y nos pontos 2 1 2, ,
3 3 3
 
 
 
 e 2 1 2, ,
3 3 3
 − 
 
.
Resolução
O ponto 2 1 2, ,
3 3 3
 
 
 
 fica no hemisfério superior 2 21z x y= − − e o ponto 2 1 2, ,3 3 3
 − 
 
 fica 
localizado nohemisfério inferior 
2 2(1 )z x y= − − − . Observe que para achar as taxas 
solicitadas temos que encontrar a derivada parcial 
z
y
∂
∂
 e calcular nos pontos. Contudo, fica 
mais fácil derivar implicitamente em relação à variável y a equação da esfera – e não as funções 
dos respectivos hemisférios. Isso é feito usando a regra da cadeia. Então, derivando em relação 
a y a equação x2 + y2 + z2 = 1: 
[ ]2 2 2 1x y z
y y
∂ ∂ + + = ∂ ∂
2 . 2 . 2 . 0 2 .0 2 .1 2 . 0x y z zx y z x y z
y y y y
∂ ∂ ∂ ∂
+ + = ⇒ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
2 . 2z z yz y
y y z
∂ ∂
= − ⇒ = −
∂ ∂
Agora, calculando essa derivada parcial nos pontos solicitados, temos:
1
2 1 2 13, , 23 3 3 2
3
z
y
∂   = − = − ∂  
 
e
 1
2 1 2 13, , 23 3 3 2
3
z
y
∂  − = − = ∂   −
Portanto, vemos que a inclinação da esfera no ponto 
2 1 2, ,
3 3 3
 
 
 
 é 
1
2
− e no ponto 
2 1 2, ,
3 3 3
 − 
 
 
a inclinação é 1
2
.
59
Derivadas	Parciais	de	Ordem	Superior	de	Funções	de	Duas	Variáveis
Da mesma forma que a funções de uma variável que podemos encontrar as derivadas 
primeira, segunda, enfim de qualquer ordem, sempre que for derivável – e levando em conta 
que as derivadas parciais de uma função de duas variáveis são também funções de duas variáveis 
– podemos encontrar as derivadas parciais de ordem superior, desde que essas derivadas 
existam. 
Considere z = f (x,y) e suponha que existam suas derivadas parciais primeiras, fx∂∂ e fy∂∂ , então, para encontrar as derivadas de segunda ordem, fazemos assim: 
1) Derivada segunda em relação a x:
 
2
2 xx
f f f
x x x
∂ ∂ ∂  = = ∂ ∂ ∂ 
2) Derivada segunda em relação a y:
∂
∂
∂
∂





 =
∂
∂
=
y
f
y
f
y
f yy
2
2
Derivada primeira em relação a x e depois em relação a y:
2
xy
f f f
y x y x
∂ ∂ ∂  = = ∂ ∂ ∂ ∂ 
Derivada primeira em relação a y e depois em relação a x:
2
yx
f f f
x y x y
 ∂ ∂ ∂
= = ∂ ∂ ∂ ∂ 
As derivadas nos casos 3 e 4 são chamadas de derivadas parciais mistas. 
Importante!
Por exemplo, f fxy x y= ( ) significa que derivamos 
primeiro em relação a x e depois em relação a y. No 
entanto, na outra notação essa derivada mista, nessa 
mesma ordem, é denotada como f
y x
∂ ∂ 
 ∂ ∂ 
. Isso é uma 
convenção! 
Podemos também continuar esse processo e obter as derivadas parciais fxxx, fxxy, fxyx, fyxy, fxyy, fyyx, fyyy e assim sucessivamente, desde que existam essas derivadas parciais. 
60
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Exemplo	33
Encontre todas as derivadas parciais segundas da função:
( ) 2, xf x y y e y= +
( ) ( )( )
2
2 ,,
, 2
x
xxx
x x
xy
f x y y e
f x y y e
f x y ye
 == ⇒  =
( ) ( )( )
, 2
, 2 1
, 2
x
yxx
y x
yy
f x y ye
f x y ye
f x y e
 == + ⇒  =
Observe que ( ) ( ), 2 ,xxy yxf x y ye f x y= = . Isto é, consequência do seguinte Teorema:
Teorema	2: igualdade das derivadas parciais mistas. 
Se f é uma função de x e y tal que xyf e yxf são contínuas em um disco aberto R, então, 
para todo ( ), x y R∈ , ( ) ( ), ,xy yxf x y f x y=
Derivadas	de	Funções	de	Mais	de	Duas	Variáveis
O conceito de derivada parcial pode se estender de maneira natural a funções de três ou 
mais variáveis. No caso de ( ), ,w f x y z= existem três derivadas parciais primeiras, cada 
uma das quais obtidas mantendo as outras duas constantes.
Por exemplo, se ( ) ( )2, , . 2f x y z z sen xy z= + , para encontrar a zf , consideramos x e y 
constantes e derivamos em relação a z. Assim: 
( )( ) ( ) ( ) [ ]2 2 2. 2 . 2 2 .z sen xy z z sen xy z sen xy z zz z z
∂ ∂ ∂ + = + + + ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2. 2 .2 2 2 . 2 2z cos xy z sen xy z z cos xy z sen xy z = + + + = + + + 
De uma maneira geral, se ( )1 2 3, , , , nw f x x x x= … se possui n derivadas parciais 
denotadas por:
( )1 2 3, , , , , 1, 2,3 ,ix n
i
w f x x x x i n
x
∂
= … = …
∂
Para encontrar a derivada parcial com respeito a uma das variáveis, mantém-se constantes 
todas as demais e se deriva em relação à variável dada. 
61
Exemplo	34
Se ( ), , , x y zf x y z w
w
+ +
= dê o valor de ( )1, 2, 3, 4f e de ( )1.2,3,4wf
Resolução:	
( ) 1 2 3 6 31,2,3, 4
4 4 2
f + += = =
Para encontrar ( ), , ,wf x y z w consideramos x,y,z constantes e derivamos em relação a w, 
portanto:
( ) ( ) ( )1 2 2. . . 1
x y z x y zx y z w x y z w
w w w w
− −∂ + + ∂ + +   = + + = + + − = −   ∂ ∂ 
Daí:
( ) 2
1 2 3 6 31,2,3,4
4 16 8w
f + += = =
Assim, chegamos ao fim desta Unidade, que tratou da parametrização de curvas no 
plano e no espaço, de funções vetoriais no plano e no espaço e da extensão dos conceitos 
fundamentais do cálculo de função de uma variável para funções de mais de uma variável: 
limite e continuidade, abordando curvas de nível, gráficos e derivadas parciais, com exemplos 
e algumas aplicações.
62
Unidade: Diferenciação de Função de Várias Variáveis
Material Complementar
A	Gênese	do	Cálculo
A criação e o desenvolvimento do cálculo foram motivados por uma série de problemas, 
divididos em três grandes temas: 
•	 Cálculo integral – relaciona-se com o cálculo da quadratura – área – das figuras planas; 
com o cálculo da cubatura – volume – de sólidos; com o cálculo dos centros de gravidades 
de algumas figuras geométricas; com a retificação de curvas; 
•	 Cálculo diferencial – trata dos métodos de traçar tangentes em curvas e dos problemas 
relacionados com máximos e mínimos de funções; 
•	 Cálculo infinitesimal – faz a ligação entre os dois primeiros.
Dos três cálculos acima indicados, o integral é o mais antigo, foi desenvolvido, inicialmente, 
pelo astrônomo e matemático grego Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.), através do método da 
exaustão utilizado no cálculo de áreas e de volumes de figuras envolvendo curvas. Esse método 
foi também apresentado pelo matemático grego Euclides de Alexandria (323-285 a.C.) em 
seu famoso livro Elementos de Geometria. Por sua vez, o matemático grego Arquimedes de 
Siracusa (287-212 a.C.) repetiu aquele cálculo, porém, de maneira muito mais elaborada – 
por essa razão, a grande maioria dos historiadores da Ciência o considera como o “inventor” 
desse tipo de cálculo.
Em termos simples, Aristóteles tinha afirmado que o contínuo – por exemplo, um segmento 
de reta – era composto por partes que, de novo, podiam ser divididas, e assim sucessivamente, 
sem fim. Galileu, servindo-se de seu método de resolução do paradoxo da “roda de Aristóteles” 
(HISTÓRIA das funções..., [20--]), em oposição a Aristóteles, afirma que um contínuo é 
“composto de uma infinidade de indivisíveis”.
Os problemas de cálculo integral foram tratados pelo método de exaustão arquimediano 
até o século XVI, no entanto, com as traduções latinas das obras de Arquimedes, em 1544, 
o principal argumento desse matemático, de redução ao absurdo, em suas demonstrações 
passou a receber críticas e algumas modificações até que, aos poucos, foi substituído pela 
passagem direta ao processo de limite.
Um novo método para o cálculo de áreas e volumes foi desenvolvido pelo astrônomo 
alemão Johannes Kepler (1571-1630), ao considerar que áreas e volumes eram compostos, 
respectivamente, de uma quantidade “infinita” de retas e planos. Com isso, Kepler abandonou 
o método arquimediano e implementou o uso de indivisíveis e infinitesimais. No livro Nova 
steriometria doliorum vinatorium – Nova Geometria sólida dos barris de vinho –, editado 
em 1615, Kepler apresentou o cálculo de volume de sólidos obtido pela rotação de cônicas 
em torno de um eixo no seu plano.
63
O método dos indivisíveis foi também usado pelo astrônomo italiano Galileu Galilei (1564-
1642) nos seus estudos sobre o movimento. Entretanto, quem de fato escreveu