Física I LECT-LEMT-LEF TEMA 3-2-VF- 11 Março 2020

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F Í S I C A I
Tema 3
Mecânica Clássica
Cinemática de um ponto material. 
3.2-Movimento Curvilíneo: Posição, velocidade e aceleração. Componente 
normal e tangencial da aceleração. Casos 1. Movimento de Projecteis. 2. 
Movimento Circular. Movimento Relativo
MAYRA HERNANDEZ DE SOUSA
INSTITUTO SUPERIOR DE TRANSPORTES E COMUNICAÇÕES
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Movimento Curvilíneo
 Problema da Física: Determinar a evolução no tempo e no espaço dum
sistema.
1. Vector Posição: A partícula no ponto P, de posição
𝐫(𝒕) = x𝐢 + y𝐣 + z𝐤
Fig. 3.5 Vector posição de uma partícula
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Vector Deslocamento:
 Uma partícula no ponto 𝑃1(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) de vector de posição 𝐫1 , no instante 𝑡1 e no
instante 𝑡2, encontra-se no ponto 𝑃2 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 de vector de posição 𝐫2.
 Vector Deslocamento:
∆𝐫 = 𝐫2 − 𝐫1 = (𝑥2 − 𝑥1) Ƹ𝑖 + (𝑦2 − 𝑦1) Ƹ𝑗 + (𝑧2 − 𝑧1)෠𝑘
Fig. 3.6 Vector Deslocamento.
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Vector Velocidade
 2. Vector Velocidade Média:
É a razão entre o vector Deslocamento e o intervalo de tempo ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1, 
𝐯𝑚 =
∆𝐫
∆𝑡
=
𝑥2 − 𝑥1
𝑡2 − 𝑡1
Ƹ𝑖 +
𝑦2 − 𝑦1
𝑡2 − 𝑡1
Ƹ𝑗 +
𝑧2 − 𝑧1
𝑡2 − 𝑡1
෠𝑘
 𝐯𝑚 é paralelo a ∆𝐫
Fig. 3.7 Vector velocidade média
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 Vector velocidade instantânea:
No limite o vector velocidade média aproxima-se da velocidade instantânea
𝐯 = lim
∆𝑡→0
𝐯𝑚𝑒𝑑 = lim
∆𝑡→0
∆𝐫
∆𝑡
=
d𝐫
dt
Em coordenadas cartesianas, é :
 𝐯 = vx Ƹ𝐢 + vy Ƹ𝐣 + vzመ𝐤 =
dx
dt
Ƹ𝐢 +
dy
dt
Ƹ𝐣 +
dz
dt
መ𝐤
 O vector velocidade tangente é tangente à trajectória: 𝐯 = ො𝑢𝑡
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= ො𝑢𝑡𝑣
Fig. 3.8 Vector velocidade instantânea
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Vector aceleração
 3. Vector aceleração média
No movimento curvilíneo o vector velocidade pode variar em módulo e direção.
O vector aceleração média 𝐚𝑚𝑒𝑑 define-se como
𝐚𝑚𝑒𝑑 =
∆𝐯
∆𝑡
Fig. 3.9 Vector aceleração média
A aceleração média 𝐚𝑚𝑒𝑑 é paralela a ∆𝐯
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 Vector aceleração instantânea
No limite a aceleração média aproxima-se da aceleração instantânea
𝐚 = lim
∆𝑡→0
𝐚𝑚𝑒𝑑 = lim
∆𝑡→0
∆𝐯
∆𝑡
A aceleração instantânea, em coordenadas cartesianas, é 
𝐚 =
𝑑𝐯
𝑑𝑡
= Ƹ𝐢
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
+ Ƹ𝐣
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
+ መ𝐤
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑡
 A aceleração no movimento curvilíneo é sempre dirigida para a concavidade da curva
Fig. 3.10 Vector aceleração instantânea
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Exemplo 1
 Um corpo tem o vector de posição dado por Ԧ𝑟 = 30𝑡 Ƹ𝑖 + (40𝑡 − 5𝑡2) Ƹ𝑗, onde r 
está em metros e t em segundos. 
 Encontre os vectores velocidade instantânea e aceleração instantânea como 
funções do tempo t.
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Componentes tangencial e normal da aceleração
 A aceleração tem duas componentes:
tangencial e normal (centrípeta) à
trajectória
 Fig. 3.11 Componentes da aceleração
 Aceleração tangencial 𝐚𝑇: variação do 
módulo da velocidade
 Aceleração normal 𝐚𝑁: variação da direcção
da velocidade
 Como, 
𝐚 =
𝑑𝐯
𝑑𝑡
=
𝑑 vෝ𝐮𝐭
𝑑𝑡
Deriva-se o produto, e obtêm-se
𝐚 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
ෝ𝐮𝑇 + 𝑣
𝑑ෝ𝐮𝑇
𝑑𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
ො𝑢𝑇 +
𝑣2
𝑅
ො𝑢𝑁
 𝐚 = 𝐚𝑇 ො𝑢𝑇 + 𝐚𝑁ෝ𝒖𝑁
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𝐚 = 𝐚𝑇 + 𝐚𝑁
Movimento Curvilíneo com aceleração constante
 Força constante, 𝐚 = 𝑐𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆, em 
módulo e direção
Integra-se,
𝐚 =
𝑑𝐯
𝑑𝑡
Resultam as equações de movimento:
𝑡0׬
𝑡
𝐚𝑑𝑡 = 𝐯𝟎׬
𝐯
𝑑𝐯
⇨ 𝐯 = 𝐯𝟎 + 𝐚(𝑡 − 𝑡0) (1)
volta-se a integrar, e
𝑟0׬
𝑟
𝑑𝐫 = 𝑣0׬
𝑣
𝐯𝑑𝑡 ⇨
𝐫 = 𝐫𝟎 + 𝐯𝟎(𝑡 − 𝑡0) +
1
2
𝐚(𝑡 − 𝑡0)
2 (2)
 Movimento Curvilíneo:
 𝐯𝟎 e 𝐚, a velocidade e a aceleração podem ter
direções diferentes.
 𝐯 está contido no plano definido por 𝐯𝟎 e 𝐚.
A variação da velocidade,∆𝐯 = 𝐯 − 𝐯𝟎, é sempre
paralela à aceleração 𝐚.
O deslocamento ∆𝐫 = 𝐫 − 𝐫𝟎 é uma combinação de 
dois vectores: um paralelo a 𝐯𝟎 e outro paralelo a 𝐚.
O movimento com aceleração constante ocorre
sempre num plano.
A trajectória do movimento é uma parábola
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Caso 1. Movimento de projéctil
 Movimento de um projéctil na
ação da aceleração da gravidade 𝑔,
(despreza-se a resistência do ar).
 𝐯𝟎 velocidade inicial, ângulo 𝜃
com a horizontal.
 O eixo Y com a direção positiva
para cima, e o plano XY que
coincida com o plano definido
por 𝒗𝟎 e 𝒈.
 Assim, para a aceleração temos,
𝑎𝑦 = −𝑔
𝑎𝑥 = 0
 Componentes da velocidade inicial , 
independentes 
𝑣0𝑥 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑣0𝑦 = 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃
 Na componente horizontal a velocidade
permanece constante, na componente
vertical a velocidade varia com o tempo
Fig. 3.13 Movimento de projéctil
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Assim, 
 𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥
 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − g𝑡
Para o deslocamento, separam-se as
duas componentes do movimento:
com velocidade constante em X e
movimento acelerado em Y
Com 𝑟0 = 0 e 𝑡0 = 0,
 𝑥 = 𝑣0𝑥𝑡
 𝑦 = 𝑣0𝑦𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
Que são as coordenadas
paramétricas da partícula.
 A equação geral da trajectória da
partícula é deduzida a partir destas
duas equações ao eliminar 𝑡
 𝑦(𝑥) =
𝑣0𝑦
𝑣0𝑥
𝑥 −
𝑔
2𝑣0𝑥
2 𝑥
2
 Equação da parábola.
 Caso especial: quando as elevações
inicial e final são iguais, y=0, o
alcance A do projéctil é
 𝐴 = 2𝑣0𝑥
𝑣0𝑦
𝑔
 Em termos da velocidade inicial e do 
ângulo de lançamento
 𝐴 =
𝑣0
2
𝑔
𝑠𝑒𝑛2𝜃
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 A altura máxima é o valor de y onde 
𝑥 =
1
2
A, que ao substituir na equação 
da parábola, resulta
 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝐻 =
𝑣0
2
2𝑔
𝑠𝑒𝑛2𝜃
 O tempo que o corpo leva a atingir a 
altura máxima, 
 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 = 0
 Resulta
 𝑡 =
𝑣0𝑦
𝑔
 Tempo de vôo: 𝑡𝑣ô𝑜 = 2𝑡
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Fig.3.14 Trajectoria ideal e real do projéctil
Exemplo 2
 Um objecto é atirado ao ar com velocidade inicial de 24,5 m/s a 36,9º acima da 
horizontal. O objecto é depois recuperado . Encontre (a) o tempo total que o corpo 
permanece no ar e (b) a distância total percorrida horizontalmente. Despreze a 
resistência do ar.
 Sol. (a) 𝑡 = 3,00 𝑠
(b) 𝑥 = 58,8 𝑚
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Caso 2. Movimento Circular
 A trajectória da partícula é um 
círculo de centro em C e raio R.
 Grandezas cinemáticas
 ∆s: Comprimento de arco,
distância percorrida pela partícula
ao longo da circunferência.
 ∆𝜃: ângulo de rotação, ângulo
barrido pelo raio R da
circunferência durante o
movimento circular da partícula,
 ∆𝑠 = 𝑅∆𝜃
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Fig. 3.15 Movimento circular
 𝐯 : Vector velocidade tangente ao
círculo, de módulo
v =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑅
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 ω: velocidade angular, taxa de variação
do ângulo de rotação por unidade de
tempo
 ω =
dθ
dt
v = ωR
1. Movimento Circular Uniforme
 Vector velocidade 𝐯 : o módulo é
constante, varia a direção.
 A velocidade angular 𝜔 é constante.
 Movimento periódico, de período P
e frequência 𝑓, onde 𝜔 = 2𝜋𝑓.
 Exemplos:
 Equações de movimento 
 𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
; para 𝜔 = constante
 Integra-se :
 𝜃0׬
𝜃
𝑑𝜃 = 𝑡0׬
𝑡
𝜔𝑑𝑡 , obtêm-se 
 𝜃 = 𝜃0 + 𝜔(𝑡 − 𝑡0) (1)
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2. Movimento Circular Uniformemente Variado
 A velocidade angular 𝜔 varia no 
tempo.
 𝛼: Aceleração angular
 𝛼 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
=
𝑑2𝜃
𝑑𝑡
𝑟𝑎𝑑 𝑠−2
 Equações de movimento
Para 𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
 integra-se e obtêm-se a eq. de 
movimento:
න
𝜔0
𝜔
𝑑𝜔 = 𝛼න
𝑡0
𝑡
𝑑𝑡
 𝜔 = 𝜔0 + 𝛼(𝑡 − 𝑡0) (2)
• Para 𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
, volta-se a integrar e 
resulta,
• 𝜃0׬
𝜃
𝑑𝜃 = 𝑡0׬
𝑡
𝜔0 𝑑𝑡 + 𝛼 𝑡0׬
𝑡
(𝑡 − 𝑡0)𝑑𝑡
• Obtém-se 
 𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0 𝑡 − 𝑡0 +
1
2
𝛼 𝑡 − 𝑡0
2 (3)
 Das equações acima, elimina-se o 
tempo e fica
 𝜔2 = 𝜔0
2 + 2𝛼(𝜃 − 𝜃0) (4) 
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Forma vectorial do movimento circular.
Vector velocidade 𝐯
 Partícula em movimento circular, 
num círculo de raio R
 Ԧ𝑟 : vector de posição relativo a O
 𝑅 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
Fig. 3.16 Vector velocidade
 O módulo da velocidade linear é:
𝑣 = 𝜔𝑅
𝑣 = ω𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
 𝐯 é perpendicular a 𝛚 e 𝐫
 𝐯 = 𝛚 × 𝐫
Para 𝜃 = 𝜋/2
Fig. 3.17 Movimento circular 
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Vector aceleração 𝐚
 Pela definição:
𝐚 =
d𝐯
dt
1. Movimento Circular Uniforme
 𝛚 constante, v varia de direção
𝐚 =
𝑑(𝛚 × 𝐫)
𝑑𝑡
= 𝛚 ×
𝒅𝐫
𝒅𝒕
𝐚 = 𝛚 × 𝐯
 A aceleração é:
➢ perpendicular à velocidade v e 𝝎
➢ aponta para o centro do círculo 
(ver fig. 3.16)
⇨ aceleração normal ou centrípeta
 Escreve-se,
𝐚 = 𝛚 × (𝛚 × 𝐫)
𝛚 é perpendicular a 𝐯, 
 aN = 𝜔
2𝑅 =
𝑣2
𝑅
= ac
Aceleração normal ou centrípeta
2. Movimento Circular Não-uniforme
 O módulo e a direção da velocidade 
variam.
O vector aceleração tem componente 
normal e componente tangencial, onde
 a𝑇 = 𝑅
𝑑𝜔
𝑑𝑡
= 𝑅𝛼 e aN = 𝜔
2𝑅
 𝐚 = 𝐚𝐓 + 𝐚𝐍
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Exemplo 3
 Um carrossel de um parque de diversões gira em torno de um eixo 
horizontal com velocidade angular constante. Uma pessoa em pé na 
borda do carrossel tem uma velocidade escalar constante de 3,66 Τ𝑚 𝑠 e 
uma aceleração centrípeta Ԧ𝑎 de módulo 1,83 Τ𝑚 𝑠2 . O vector posição Ԧ𝑟
indica a posição da pessoa em relação ao eixo do carrossel.
 (a) Qual é o módulo de Ԧ𝑟? Qual é o sentido de Ԧ𝑟 quando Ԧ𝑎 aponta para 
(b) para leste e (c) para o sul?
 Sol. (a) 𝑟 = 7,32 𝑚
(b) para oeste
(c) para norte
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Exemplo 4
 Um disco D pode girar livremente em torno do seu eixo horizontal. Enrola-se uma corda 
na periferia do disco e um corpo A, ligado à corda, é deixado cair sob a acção da 
gravidade. O movimento de A é uniformemente acelerado, mas a sua aceleração é menor 
do que a da gravidade. Supor que, no instante 𝑡 = 0 , a velocidade do corpo A é de 
0,04 𝑚𝑠−1 e, 2 𝑠 depois, o corpo desce 0,2 𝑚.
 Achar as acelerações tangencial e normal, em qualquer instante, de um ponto qualquer 
na periferia do disco.
𝑎𝑁 B
𝑎𝑇 Sol. 𝑎𝑇 = 0,06 𝑚𝑠
−2
𝑎𝑁 = 0,016 + 0,048𝑡 + 0,036𝑡
2 𝑚𝑠−2
0 A
0,2 m
y
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Movimento Relativo - Unidimensional
Considera-se dois corpos A e B num referencial XYZ e o observador situa-se na
origem O.
As velocidades de A e B, com relação a O, são e , respectivamente.
A velocidade de B em relação a A é
Enquanto que a velocidade de A em relação a B é
Movimento relativo de translação uniforme
• Referencial inercial: Um referencial inercial é um sistema de eixos coordenados 
em que se verifica o Princípio da Inércia. Os referenciais equivalentes são 
sistemas de eixos com movimento relativo de translação rectilíneo e uniforme.
• Sistema de referência em que a partícula não tem seu estado de movimento 
alterado a menos que haja uma força externa que o modifique.
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Posição relativa - no espaço
• Um referencial O e um segundo referencial O´ que se desloca afastando-se
do primeiro com velocidade V.
• Um observador em O vê o observador em O´ deslocar-se com velocidade V,
um observador em O´ vê o observador O deslocar-se com velocidade –V.
Fig. 3.18 Movimento relativo
• A posição da partícula B relativa a O é 
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Vector velocidade relativa de translação uniforme
• A derivada em relação ao tempo, dá a relação entre as velocidades para o ponto 
B medidas pelos dois observadores O e O´
• Um observador no referencial O vê a partícula B mover-se com velocidade v
• Um observador em O´ vê a partícula move-se com velocidade menor 𝐯´
• Volta-se a derivar e encontra-se a relação entre o vector aceleração em O e O´
Para o caso de movimento rectilíneo uniforme, a aceleração relativa é zero, 
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Transformações de Galileu
 Transformações de Galileu para as Coordenadas, Velocidades e Acelerações
• Principio da Relatividade de Galileu: As leis da Mecânica expressas num 
dado referencial, serão as mesmas em qualquer outro referencial que esteja 
em movimento rectilíneo uniforme com relação ao primeiro. 
• O Movimento não é Absoluto. Não existe um referencial privilegiado
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Exemplo 5
 Um barco a motor dirige-se para o Norte a 15 𝑘𝑚 ℎ−1, num local onde a corrente é 
de 5 𝑘𝑚 ℎ−1 na direcção S70°E.
Achar a velocidade do barco em relação à margem.
N
𝑉𝐵
v
O 70º E Sol. 𝑣 = 14,1 𝑘𝑚ℎ−1 na direcção N19,4° E
VC
S
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