Matemática - 8º Ano - Caderno 01

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ano
8
Ensino 
Fundamental
1
caderno
MATEMÁTICA
PROFESSOR
O sistema de ensino SER está preocupado com a preservação das paisagens brasileiras e do 
patrimônio cultural nacional. Por isso, ao longo dos anos finais do Ensino Fundamental, você 
conhecerá pontos importantes de todas as regiões brasileiras, retratados nas capas do material 
didático. Acompanhe-nos nessa viagem!
A Lagoa da Pampulha é um dos cartões-postais de Minas Gerais. Com 18 quilômetros de 
extensão, o complexo abriga, em Belo Horizonte, o conjunto arquitetônico concebido nos 
anos 1940 por Oscar Niemeyer e emoldurado pelo paisagismo de Burle Marx. A Igreja de São 
Francisco de Assis faz parte desse cenário. Além da arquitetura moderna, ela é caracterizada 
por painéis que retratam a Via Sacra, assinados pelo artista Cândido Portinari.
A Igreja da Pampulha é tombada pelo Instituto do Patrimônio Histórico e Artístico Nacional 
(IPHAN). Próximo ao local, em 1965, estabeleceu-se o estádio do Mineirão.
www.ser.com.br 0800 772 0028
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Números reais e
expressões algébricas
 Ponto de partida, 3
Capítulo 1 • Conjuntos numéricos: dos números 
naturais aos números reais, 4
1. Introdução, 4
2. Conjuntos numéricos, 5
3. Comparação e operações com números reais, 41
4. Desigualdades em R, 44
Capítulo 2 • Expressões algébricas, 55
1. Introdução, 55
2. Máquinas programadas para gerar operações, 56
3. Expressões algébricas e variável, 59
4. Expressões algébricas e equações, 71
5. Resolução de exercícios e problemas com expressões 
algébricas, 82
 Ponto de chegada, 94
Matemática
Luiz Roberto Dante
2129178 (PR)
1
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Participantes da 15a Meia Maratona 
Internacional de Brasília, 2014.
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 Ponto de partida
Sob a orientação do professor, converse com seus colegas e 
responda às questões:
1. Entre os números apresentados no gráfico acima, quais 
pertencem, ao mesmo tempo, aos conjuntos N, Z e Q?
2. A maratona é uma prova de corrida com distância de 42,195 km. 
A meia maratona tem distância de 21,0975 km. Considere a expressão 
algébrica 42,195 ? x e responda: que valor deve ser dado a x para que o 
valor numérico dessa expressão seja igual à distância da meia 
maratona? Esse valor pertence a N, a Z ou a Q? Justifique.
MÓDULO
Números reais 
e expressões 
algébricas
Em 6 de abril de 2014, foi realizada a 15a Meia Maratona Internacional 
de Brasília, disputada no Distrito Federal. Quase 3 mil pessoas 
participaram das corridas de 21 km, 10 km e 5 km. Observe abaixo 
o gráfico de altimetria da prova.
Fonte: Meia Maratona de Brasília. Disponível em: <www.meiamaratonadebrasilia.
com.br/index.php/typography-2/2012-11-09-13-09-49>. 
Acesso em: 1o maio 2015.
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1
 Capítulo Conjuntos 
numéricos: dos 
números naturais 
aos números reais1
 Capítulo
1 Introdução
Usamos números para resolver várias situações do dia a dia. Alguns tipos de 
números já foram estudados nos anos anteriores, como os números racionais (núme-
ros naturais, fracionários, decimais e inteiros).
Analise e procure resolver as seguintes situações que envolvem números:
Nas situações A e B, usamos números já conhecidos: os números racionais. 
Nas situações C e D, precisamos dos números chamados de irracionais, que 
estudaremos neste capítulo.
Ao retomar os números racionais e introduzir o estudo dos números irracionais, 
vamos destacar os seguintes conjuntos: números naturais (N), números inteiros (Z), 
números racionais (Q) e números reais (R).
As atividades C e D são retomadas na página 33.
D
Se um terreno 
quadrado tem área de 
90 m2, qual é a medida 
de comprimento de 
cada um de seus 
lados?
C
Quando uma roda com 40 cm 
de raio dá 5 voltas, quantos 
metros ela percorre?
B
Malaquias faz salgadinhos para 
festas. Para fazer uma receita 
culinária de 12 esfirras de carne, 
são necessárias 2 1
4
 xícaras de farinha de trigo.
Como Malaquias pretende fazer 36 esfirras, que quantidade de farinha de 
trigo ele vai usar?
A
Roberto possuía saldo negativo de R$ 30,00 em sua conta bancária.
No mesmo dia, precisou fazer uma retirada de R$ 20,00.
No dia seguinte, efetuou um depósito de R$ 40,00 em sua conta.
Depois disso, depositou mais R$ 30,00.
Qual foi o saldo bancário de Roberto após essas movimentações?
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Pessoa andando de bicicleta.
Esfirras
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1R$ 20,00 (230 2 20 1 40 1 30 5 250 1 70 5 120)
6 3
4
xícaras
5 3 3 5 3 5 536 3 12; 3 2 1
4
3 9
4
27
4
6 3
4




4
 Objetivos:
• Identificar, representar e 
relacionar os conjuntos 
N, Z, Q e R.
• Comparar números reais e 
operar com eles.
Números reais e expressões algébricas
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2 Conjuntos numéricos
Desde os anos iniciais de es-
colaridade, você tem estudado em 
Matemática os números, as grande-
zas e suas medidas, as figuras geo-
métricas, as tabelas e os gráficos.
Agora, vamos recordar e apro-
fundar o que você já estudou sobre 
números.
Quando comparamos uma 
grandeza e uma unidade, obtemos 
um número. Se a grandeza é discre-
ta, a comparação é uma contagem, 
e o resultado é um número natural. 
Por exemplo, quando contamos o número de gibis de uma coleção. Se a gran-
deza é contínua, a comparação é uma medição, e o resultado é um número real. 
Por exemplo, quando medimos a altura de uma pessoa.
Conjunto dos números naturais (N)
Você já conhece a sequência dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... e já 
estudou que o conjunto dos números naturais pode ser representado por:
N 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
O primeiro elemento desse conjunto é o zero. O sucessor do zero é o 1, o su-
cessor do 1 é o 2, e assim por diante. Representa-se o sucessor de um número na-
tural qualquer n por n 1 1. Como sempre podemos obter o sucessor de um número 
natural, dizemos que o conjunto dos números naturais é infinito. Tal fato é represen-
tado pelas reticências (...).
Subconjuntos de N
O conjunto formado pelos números naturais pares (P) é uma parte 
de N. Podemos também dizer que P é um subconjunto de N ou que P está 
contido em N.
N 5 {0, 1, 2, 3, 4, ...} e P 5 {0, 2, 4, 6, 8, ...}
Indicamos assim: P , N. (Lê-se: P é um subconjunto de N ou P está 
contido em N.)
Outros subconjuntos de N:
¥ conjunto dos números naturais ímpares: I 5 {1, 3, 5, 7, 9, ...};
¥ conjunto dos números naturais sem o zero: N* 5 {1, 2, 3, 4, 5, ...}.
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P 
N 
Menino contando gibis.
Menino medindo a altura da colega.
 Voc• sabia?
Sempre que queremos excluir o zero de um conjunto, colocamos o asterisco (*) no símbolo 
que o representa. Por exemplo, N* indica o conjunto dos números naturais sem o zero.
Números reais e expressões algébricas 5
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Usos dos números
naturais
Contagem, código e ordenação
 1. Observe o mapa abaixo e depois analise e responda às questões a seguir.
 
 a ) Quantos estados tem o Brasil? 
26 estados e 1 Distrito Federal
 b ) Os estados brasileiros estão separados em regiões. Quantas regiões são? Quais são elas? 
5 regiões; Norte, Nordeste,Centro-Oeste, Sudeste e Sul.
 c ) Com quantos países da América do Sul o Brasil não faz limite? Quais são eles?
2 países; Chile e Equador
 d ) Pesquise e responda: quantos habitantes foram registrados no Brasil no Censo 2010? 
190 755 799 habitantes
 e ) Arredonde esse número para a dezena de milhão mais próxima e escreva-o na forma simplificada (com algarismos e palavras). 
190 000 000; 190 milhões
Você pode observar que os números naturais permitem desenvolver o processo de contagem respondendo à 
pergunta “Quantos(as)?”.
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Exercícios 
Região Norte
Região Nordeste
Região Centro-Oeste
Região Sudeste
Região Sul
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0 610 1220 km
Tr—pico de Capric—rnio
Equador
60¼ O
0¼
OCEANO
PACêFICO
OCEANO
ATLåNTICO
GUIANA
FRANCESA
(FRA)
SURINAME
AM
RR
AC
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PA
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SP
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RJ
PR
SC
RS
VENEZUELA
COLÔMBIA
EQUADOR
PERU
BOLÍVIA
ARGENTINA
URUGUAI
CHILE
GUIANA
PARAGUAI
Mapa político da América do Sul e do Brasil
Adaptado de: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro, 2012.
 Para construir:
 Exercícios 1 a 5 (p. 6 e 7)
6 Números reais e expressões algébricas
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 2. Além da contagem, os nœmeros naturais também s‹o usados como códigos ou para indicar uma ordem. Veja estes dois exemplos:
Código
5
Secretaria de Educação do Estado de Pernambuco
Avenida Afonso Olindense, 1 513
Várzea - Recife - Pernambuco
0 8 1 0 0 0 0
tado de Pernambuco
O Código de Endereçamento Postal (CEP) da Secretaria de Educação do 
Estado de Pernambuco é 50810-000.
Agora responda:
 a ) Qual é o c—digo de Discagem Direta a Dist‰ncia (DDD) de sua cidade?
Resposta pessoal.
 b ) O que indica o prefixo telef™nico 0800? 
Indica uma linha programada para assumir o pagamento das liga•›es.
 c ) Qual é a posi•‹o ocupada pelo nœmero 31 na sequ•ncia dos nœmeros primos?
11a posi•‹o (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31)
 3. Identifique, nas informa•›es do boxe Você sabia?, um nœmero natural usado:
 a ) em uma contagem. 
 b ) para indicar uma ordem. 
 4. Quantas semanas completas temos de 27/7 a 15/10 do mesmo ano, inclu’dos esses dois dias? 
11 semanas completas (5 1 31 1 30 1 15 5 81; 81 ; 7 5 11 e resto 4)
 5. Leia a tirinha a seguir e converse com seus colegas sobre a estratégia usada por Conahonty para saber quantos dinossauros 
estavam vindo.
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250
5, no artigo 5o
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Resposta pessoal.
Promova uma discuss‹o na classe sobre o 
artigo 5o da Constitui•‹o brasileira.
 Você sabia?
Atualmente, a Constituição da 
República Federativa do Brasil, 
promulgada em 5/10/1988, tem 
250 artigos permanentes.
O início do artigo 5o é: “Todos são 
iguais perante a lei”.
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Fonte: UOL economia. Dispon’vel em: <http://economia.uol.com.br/noticias/
redacao/2014/04/30/ranking-do-banco-mundial-traz-brasil-como-a-7-
maior-economia-do-mundo.htm>. Acesso em: 16 maio 2015.
Ordem
Maiores economias do mundo
Ordem País Bandeira
1a Estados Unidos
2a China
3a êndia
4a Jap‹o
5a Alemanha
6a Rœssia
7a Brasil
Em 2014, o Brasil era a 7a economia do mundo.
Números reais e expressões algébricas 7
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Raciocínio combinatório, possibilidades e contagem
Há contagens simples, como contar quantos dias faltam para o fim do mês.
Mas há também contagens mais complexas, como esta: de quantas maneiras 
diferentes três pessoas podem se sentar em um sofá de três lugares?
Esta é outra importante aplicação dos números naturais: auxiliam nas conta-
gens mais complexas. Examine este exemplo:
Ricardo tem três camisas: uma branca (b), uma azul (a) e uma vermelha (v). Tem 
também duas bermudas: uma preta (p) e uma cinza (c). De quantas maneiras diferentes 
Ricardo pode se vestir com uma camisa e uma bermuda dessas que comprou?
Esse problema pode ser resolvido de diferentes maneiras. Veja como estes cinco 
estudantes do 8o ano o resolveram.
1a) Pedro escreveu todas as possibilidades.
2a) Andreia fez o esquema abaixo.
Camisa Bermuda
branca preta
azul cinza
vermelha
6 possibilidades
3a) Cármen montou uma tabela de dupla entrada.
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Dados fictícios.
Total: 3 ? 2 5 6 possibilidades
Maneiras que Ricardo pode se vestir
3
Bermuda
Camisa
preta (p) cinza (c)
branca (b) b, p b, c
azul (a) a, p a, c
vermelha (v) v, p v, c
2
8 Números reais e expressões algébricas
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4a) Afonso lembrou-se do diagrama chamado de Ò‡rvore de possibilidadesÓ.
3 possibilidades 2 possibilidades
(para cada uma das 
3 possibilidades anteriores)
b
a
v
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c
p
c
p
c
b, p
b, c
a, p
a, c
v, p
v, c
3 5
Modos de vestirBermudaCamisa
6 possibilidades
5a) Gustavo raciocinou assim:
 De quantas maneiras diferentes Mara pode se vestir com 3 saias, 
4 blusas e 2 pares de sand‡lias? 24 maneiras (3 ? 4 ? 2)
Para cada escolha
de camisa, eu tenho 2 possibilidades
para bermuda. Como tenho 3 camisas,
 então o total de possibilidades é
3 ? 2 5 6 possibilidades.
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Exerc’cios 
 6. Escreva usando chaves.
 a ) N: conjunto dos números naturais. 
N 5 h0, 1, 2, 3, 4, ...j
 b ) N*: conjunto dos números naturais sem o zero. 
N 5 h1, 2, 3, 4, ...j
 c ) I: conjunto dos números naturais ímpares. 
I 5 h1, 3, 5, 7, 9, ...j
 d ) M(6): conjunto dos múltiplos de 6. 
M(6) 5 h0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...j
 e ) D(6): conjunto dos divisores de 6. 
D(6) 5 h1, 2, 3, 6j
 f ) A: conjunto dos números primos menores que 20. 
A 5 h2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19j
 g ) B: conjunto dos números naturais de dois algarismos. 
B 5 h10, 11, 12, 13, ..., 98, 99j
 h ) C: conjunto dos números naturais quadrados perfeitos. 
C 5 h0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...j
 Para construir:
 Exercícios 6 a 18 (p. 9 a 14)
Números reais e expressões algébricas 9
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 i ) D: conjunto dos nœmeros que s‹o sucessores dos mœltiplos de 7. 
D 5 h1, 8, 15, 22, ...j
 j ) E: conjunto dos nœmeros naturais primos de um algarismo.
E 5 h2, 3, 5, 7j
 7. Considere os nœmeros naturais que aparecem nos quadrinhos a seguir e os conjuntos da atividade anterior.
100 121 140
107 144 59
72 360 81
 a ) Quais deles fazem parte de I? 
121, 59, 81 e 107
 b ) Quais deles fazem parte de M(6)? 
144, 72 e 360
 c ) Quais deles fazem parte de C? 
100, 144, 121 e 81
 8. Descubra qual Ž o nœmero. 
 9. Responda sim ou não.
Quando a resposta 
for não, justifique-a.
Chame a aten•‹o dos alunos para o fato de que as retic•ncias (...) do item g n‹o significam infinitos.
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Eu não sou um número par. 
Sou um número natural menor que 113 
e de três algarismos. 
A soma dos meus algarismos é ímpar. 
Eu sou o número 111 .
10 Nœmeros reais e express›es algŽbricas
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 a ) Todo número natural tem um único sucessor? 
Sim.
 b ) Números naturais diferentes podem ter sucessores iguais?
Não. Se x e y são dois números naturais e x Þ y, então x 1 1 Þ y 1 1.
 c ) Existe algum número natural que não é sucessor de outro número natural? 
Sim, o zero.
 d ) Todo número natural tem antecessor em N? 
Não. O zero não tem antecessor em N.
 e ) Entre um número natural e seu sucessor existe sempre um outro número natural? 
Não. Por exemplo: entre 4 e 5 não existe número natural.
 f ) A soma de dois números naturais é sempre um número natural? 
Sim.
Números reais e express›es algébricas 11
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 g ) A diferen•a entre dois nœmeros naturais Ž sempre um nœmero natural? 
N‹o. Por exemplo: 3 ] 4 5 ] 1, que n‹o Ž um nœmero natural.
 h ) O produto de dois nœmeros naturais Ž sempre um nœmero natural? 
Sim.
 i ) O quociente de um nœmero natural por outro Ž sempre um nœmero natural? 
N‹o. Por exemplo: 3 ; 5 5 3
5
, que n‹o Ž um nœmero natural.
 j ) Existe um nœmero natural que Ž maior do que todos os outros nœmeros naturais?
N‹o, pois sempre podemos obter o sucessor.
 k ) Existe um nœmero natural que Ž menor do que todos os outros nœmeros naturais? 
Sim, o zero.
 10. Se n indica um nœmero natural qualquer, escreva como podemos indicar:
 a ) o sucessor de n: n 1 1
 b ) o triplo de n: 3n
 c ) os nœmeros naturais mœltiplos de 7: 7n
 d ) os nœmeros naturais pares: 2n
 e ) os nœmeros naturais ’mpares: 2n 1 1
 f ) os nœmeros naturais pares que n‹o s‹o mœltiplos de 4: 4n 1 2
12 Nœmeros reais e express›es algŽbricas
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 11. Indique os números naturais correspondentes a x em cada item.
 a ) x > 9
 b ) x . 15 e x < 18
 c ) x3 5 64
 d ) x é primo e 15 , x , 30
 e ) x 1 4 , 10
 f ) 3x 2 9 5 6
 g ) x2 . 30
 h ) 
⎧
⎨
⎩
x2 < 49
2x . 10
 i ) x 1 8 5 5
 12. Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de 8o ano com 40 alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 
25 acertaram a primeira questão e 20, a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões? 
 13. Uma agência de turismo lançou um plano de viagens ao Nordeste do Brasil, no qual a 
pessoa pode escolher duas entre estas quatro capitais: Salvador, Recife, Maceió e Natal. 
Quantas e quais são as possibilidades de escolha?
9, 10, 11, 12, ...
 16, 17 e 18
4
 17, 19, 23 e 29
 0, 1, 2, 3, 4 e 5
5
6, 7, 8, 9, ...
 
 6 e 7
Nenhum número natural.
A B
1015 10
(15 1 10 1 10 5 35; 40 2 35 5 5)
Apresente outros problemas como este, cuja solução seja dada por um diagrama.
 5 alunos 
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6 possibilidades (3 1 2 1 1); S-R, S-M, S-N, R-M, R-N e M-N.
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 14. Quantos números de tr•s algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3 e 4? 
 15. De quantas maneiras diferentes 5 crianças podem se sentar em um banco que tem apenas 3 lugares? 
 16. Uma equipe é formada por 6 alunas. Para se conhecerem melhor, o professor sugeriu 
que cada uma cumprimentasse a outra com um aperto de mão e depois se apresen-
tasse. Qual foi o total de apertos de mão? 
 17. De quantas maneiras voc• pode colorir esta flor usando quatro l‡pis de cores diferentes e uma cor para cada pétala? 
 18. De quantas maneiras diferentes tr•s pessoas podem se sentar em um sof‡ de tr•s lugares? 
24 números (4 ? 3 ? 2 5 24)
60 maneiras (5 ? 4 ? 3 5 60)
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lo
w
 I
m
a
g
e
s
Alunas se cumprimentando.
15 apertos de mão 
(5 1 4 1 3 1 2 1 1 5 15)
24 maneiras (4 ? 3 ? 2 ? 1)
6 maneiras (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA)
C
re
a
ti
v
a
 I
m
a
g
e
n
s
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S
h
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e
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 I
m
a
g
e
s
Pessoas sentadas em um sof‡.
14 Nœmeros reais e express›es algŽbricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 14 10/1/15 9:23 AM
Como N 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}, pode-
mos observar que N é um subconjunto de 
Z, ou seja, N , Z (N está contido em Z). 
Veja o diagrama ao lado.
3 2 5 5 22 0 2 1 5 21
250 2 300 5 250 75 2 85 5 210
Para indicar que 23 é um elemento do conjunto dos números inteiros (Z), escre-
vemos 23 [ Z (lê-se:23 pertence ao conjunto Z dos números inteiros).
Para indicar que 23 não é um elemento do conjunto dos números naturais (N), 
escrevemos 23 î N (lê-se: 23 n‹o pertence ao conjunto N dos números naturais).
Conjunto dos nœmeros inteiros (Z) 
A fotografia ao lado mostra a cidade de Lages, em Santa Catarina. Em 2014, foi 
registrada nesse município a temperatura de 4 °C abaixo de zero.
Essa temperatura é indicada assim:
24 °C
24 é um número inteiro negativo.
Lembre-se de que, reunindo os números naturais com os inteiros negativos, 
obtemos o conjunto dos números inteiros, que representamos por Z.
 Z 5 {...,23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, ...} ou Z 5 {...,23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, ...}
Z 
N 
Cidade de Lages (SC), em um 
dia de inverno de 2014. 
P
a
b
lo
 G
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A
g
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n
c
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 R
B
S
Exerc’cios 
 19. Indique com números inteiros as temperaturas:
 a ) 28 graus Celsius acima de zero. 
128 ºC ou 28 ºC
 b ) 5 graus Celsius abaixo de zero. 
25 ºC
 c ) 6 graus Celsius positivos. 
16 ºC ou 6 ºC
 d ) 2 graus Celsius negativos.
22 ºC
 20. Complete com [ (pertence) ou î (não pertence).
 a ) 228 î N
 b ) 0 [ N
 c ) 0 [ Z
 d ) 2
5
 î Z
 e ) 21 000 [ Z
 f ) 1 205 378 [ N
 g ) 0,444… î Z
 h ) 2 4
5
 î N 
 21. Observe que, se x [ N e x . 5, podemos representar os possíveis valores de x no conjunto {6, 7, 8, 9, ...}. Do mesmo modo, se 
x [ Z e x , 2, temos o conjunto {..., 23, 22, 21, 0, 1}.
Represente o conjunto formado pelos possíveis valores de x em cada item.
 a ) x [ N e x , 3 
{0, 1, 2}
 b ) x [ Z e x > 22 
{22, 21, 0, 1, ...}
 c ) x [ N e x , 0 
Não existe valor para x.
 d ) x [ Z e x , 0 
{..., 23, 22, 21}
Com os nœmeros
inteiros, podemos efetuar subtra•›es
que eram imposs’veis s— com nœmeros 
naturais. Veja ao lado.
 Para construir:
 Exercícios 19 a 21 (abaixo)
Números reais e expressões algébricas 15
M
A
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M
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Coordenadas geogr‡ficas: latitude e longitude
Em muitas situações existe a necessidade de determinar ou descrever um 
ponto da Terra, por exemplo, na navegação. Qualquer ponto da Terra pode ser lo-
calizado por linhas imaginárias, umas chamadas de linhas de latitude e outras de 
linhas de longitude.
Como a forma da Terra lembra uma esfera, essas linhas são circunfer•ncias 
ou partes de circunfer•ncias. Latitude e longitude são medidas em graus porque 
circunfer•ncias podem ser divididas em graus.
As linhas de latitude (chamadas de paralelos) são paralelas entre si e ˆ linha 
do equador.
O equador tem latitude de 0¼ e divide a Terra em dois hemisférios, norte e sul. 
Qualquer
ponto da Terra está a um número de graus ao norte (N) ou ao sul (S) do 
equador. Por exemplo, o ponto A está localizado a uma latitude de 40¼ N. O ponto B, 
a uma latitude de 20¼ S. Por convenção, atribui-se o sinal positivo a todos os pontos 
ao norte do equador e o sinal negativo a todos os pontos ao sul dele.
Os principais paralelos são o círculo polar çrtico, o trópico de C‰ncer, o 
equador, o trópico de Capricórnio e o círculo polar Antártico.
As linhas de longitude (chamadas de meridianos) estão na disposição norte-
-sul de polo a polo. Em 1884, convencionou-se que o primeiro meridiano passaria 
por Greenwich, na Inglaterra. Ele tem 0¼ de longitude e divide a Terra em dois he-
misférios, oriental (a leste) e ocidental (a oeste). Qualquer ponto da Terra está a um 
número de graus a oeste (O) ou a leste (L) do meridiano de Greenwich. Por exem-
plo, o ponto C está localizado a uma longitude de 40¼ O. Já o ponto D está localizado 
a uma longitude de 20¼ L. Por convenção, atribui-se o sinal positivo a todos os 
pontos a leste do meridiano de Greenwich e o sinal negativo a todos os pontos a 
oeste dele.
As coordenadas geográficas de qualquer ponto são indicadas pelo par orde-
nado (latitude, longitude).
Observe um globo terrestre ou um mapa e dê a latitude e a longitude, 
aproximadas, nessa ordem, de cada uma destas cidades:
 a ) Manaus
(23º, 260º)
 b ) Natal
(25º, 235º)
 c ) São Paulo
(223º, 246º)
 d ) Londres
(51º, 0º)
 e ) Brasília
(216º, 247º)
 f ) Cidade em que você mora 
Resposta pessoal.
Leitura
linha de latitude
linha de longitude
Polo Norte
Polo Sul
90¼
90¼
80¼
60¼
40¼
A
B
20¼
20¼
Equador
P
r
im
e
ir
o
m
e
r
id
ia
n
o
0¼ 20¼20¼
40¼
40¼
60¼
D
C
60¼
80¼
100¼100¼
120¼120¼
140¼140¼
160¼160¼ 180¼
80¼
Mantivemos aqui o que se faz em Cartografia: primeiro 
escrevemos a latitude, depois a longitude.
Em Matemática, é o inverso: a primeira coordenada 
está sempre na horizontal e a segunda está na vertical.
Il
u
s
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C
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 T
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a
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ra
 Para aprimorar:
 Leitura (abaixo)
16 Nœmeros reais e express›es algŽbricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 16 10/1/15 9:23 AM
Conjunto dos números racionais (Q)
Lembre-se de que os números racionais são aqueles que resultam da divis‹o de 
dois números inteiros. São exemplos de números racionais:
 a ) 2 5 23
5
3
5
 ou (23) ; 5
 b ) 0,666... 5 56
9
2
3
 ou 2 ; 3
 c ) 3,25 5 3 25
100
3 1
4
13
4
5 5 ou 13 ; 4
 d ) 5 5 10
2
 ou 10 ; 2
 e ) 0 5 0
5
 ou 0 ; 5
 f ) 0,1 5 1
10
 ou 1 ; 10
O conjunto formado pelos números racionais é representado por Q.
Podemos, então, escrever:
O conjunto Q dos números racionais é formado por todos os números que podem 
ser escritos na forma de fração com numerador e denominador inteiros e denominador 
diferente de zero.
Simbolicamente, indicamos assim:
Q 5 { }[ [{ }Z Z{ }[ [Z Z[ [{ }Z Z{ }x{ }{ }|{ }{ }x{ }{ }a{ }
b
{ }
b
{ }{ }, c{ }{ }om{ }{ }a{ }{ },{ }[ [Z Z{ }{ }Z Z,[ [,Z Z[ [{ }Z Z{ }b{ }Z Z{ }bZ Zb{ }[ [Z Z{ }{ }Z Zb[ [bZ Z[ [{ }Z Z{ }e{ }{ }b{ }{ }0{ }{ }5{ }{ }±{ }
Também podemos dizer:
Número racional é todo número cuja representação decimal é sempre finita ou 
infinita e peri—dica.
Exemplos:
 a ) 3
4
 5 0,75 b ) 3
1
 5 3 5 3,0 c ) 5
6
 5 0,83333... d ) 45
33
5 1,363636...
• 2 ; 5 5 
2
5
 ou 0,4 • 17 ; 9 5 
17
9 ou 1
8
9 ou 1,888...
Pergunte aos alunos se eles sabem por que é utilizada a letra Q 
(primeira letra de quociente).
Exercícios 
 22. D• um exemplo em cada item, quando existir. 
 a ) Um número inteiro que não é natural. 
Exemplos: 23; 28; 21.
 b ) Um número racional que não é inteiro. 
Exemplos: 2
3
; 20,7; 1 4
5
.
 c ) Um número natural que não é inteiro. 
Não existe.
Respostas pessoais.
Com os nœmeros racionais,
podemos efetuar divis›es que eram 
impossíveis s— com nœmeros inteiros.
Veja ao lado.
 Para construir:
 Exercícios 22 a 29 (p. 17 a 19)
Números reais e expressões algébricas 17
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 23. Indique se cada uma das afirma•›es Ž verdadeira ou falsa. 
 a ) V Todo nœmero natural Ž inteiro. 
 b ) F Todo nœmero racional Ž inteiro. 
 c ) V Todo nœmero inteiro Ž racional. 
 d ) V Todo nœmero natural Ž racional. 
 24. Escreva cada nœmero racional na forma de fra•‹o irredut’vel:
 a ) 0,6 5 3
5
 c ) 21
35
 5 
3
5
 e ) 28 5 
28
1
 
 b ) 3 4
5
 5 
19
5
 d ) 1,43 5 
143
100
 f ) 20
4
 5 
5
1 
25. Escreva estes nœmeros racionais na forma decimal:
 a ) 5
8
 5 0,625 c ) 21 1
5
 5 21,2 e ) 3 3
10
 5 3,3
 b ) 7 5 7,0
 d ) 2 12
3
 5 24,0 f ) 1
16
 5 0,0625
 26. Em uma competi•‹o esportiva, 81 atletas iniciaram a prova; no final de cada fase, 2
3
dos competidores foram eliminados. Quan-
tas fases teve a competi•‹o atŽ chegar ao vencedor?
 27. Coloque no diagrama ao lado as letras dos conjuntos numŽricos 
N, Z e Q de forma adequada.
Depois, distribua os seguintes nœmeros nos locais corretos:
28 17 
3
8 20,5 12
0 223 
1 4
5 0,555...
4 fases
3
8
20,5
Q
Z
N
1 4
5
28
223
0,555...
0 12
17
1a fase: eliminados 54 2
3
de 81 ;



 ficaram: 27 (81 2 54); 2a fase: eliminados 18 23 de 27 ;



 ficaram: 9 (27 2 18); 3a fase: eliminados: 6 23 de 9 ;



 ficaram 3; 
4a fase: eliminados: 2; ficou 1 (vencedor). 
18 Nœmeros reais e express›es algŽbricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 18 10/1/15 9:23 AM
 28. A equa•‹o x 1 5 5 3 n‹o tem solu•‹o em N, pois n‹o existe nœmero natural que adicionado a 5 resulte 3. Em Z, porŽm, essa 
equa•‹o tem solu•‹o. Veja: x 5 22, pois 22 1 5 5 3. 
Determine as solu•›es destas equa•›es, quando existirem:
 a ) x2 5 9, em N c ) 3x 5 2, em Z e ) 2x 5 6, em N 
 b ) x2 5 9, em Z d ) 3x 5 2, em Q f ) 2x 5 9, em N 
 29. Controle de ÒpesoÓ
IMC Ž a sigla para ’ndice de massa corporal, que permite a uma pessoa fazer o 
controle de seu ÒpesoÓ. Para calcular o IMC de uma pessoa a partir dos 19 anos, 
usamos a f—rmula ao lado, e o controle Ž feito de acordo com a tabela: 
Tomemos como exemplo uma pessoa com 70 kg e 1,64 m:
IMC 5 70
1,64 1,64
70
2,6896?
5 5 26,03 (aproximadamente)
Consultando a tabela, podemos deduzir que essa pessoa tem sobrepeso.
Considerando o texto acima, resolva as seguintes quest›es:
 a ) Em que faixa da tabela está uma pessoa com 1,70 m de altura e 70 kg? 
 b ) Qual Ž o IMC de seus pais e em que faixa da tabela eles se encontram? 
 c ) Uma pessoa tem 1,80 m de altura. Qual deve ser seu ÒpesoÓ para que o IMC seja 20?
x 5 3 N‹o existe 
solu•‹o em Z.
x 5 3
x 5 23 ou x 5 3 x 5 2
3
N‹o existe solu•‹o em N.
Utilizamos a palavra peso entre aspas, pois, embora popularmente se diga ÒpesoÓ, estamos nos referindo ˆ medida da massa da pessoa.
Interpreta•ão do IMC
IMC Menor que 18,5 De 18,5 a 24,9 De 25 a 29,9 De 30 a 40 Maior que 40
Classifica•ão Magreza Normal Sobrepeso Obesidade Obesidade grave
Fonte: Sociedade Brasileira de Endocrinologia e Metabologia. 
Dispon’vel em: <www.endocrino.org.br/teste-seu-imc/>. Acesso em: 1o maio 2015.
Normal 5
?
IMC 70
1,70 1,70
24,2.




Resposta pessoal.
64,8 kg 5 5massa: ; x
1,8 1,8
20 x 20 3,24 64,8x
?
? 5→




IMC 5 
massa
altura altura?
(massa em 
quilogramas e altura 
em metros)
Nœmeros reais e express›es algŽbricas 19
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Os nœmeros racionais e as d’zimas peri—dicas
Toda dízima periódica indica um número racional, pois pode ser transformada em 
fração. Você lembra que essa fração é chamada de fra•‹o geratriz, pois ela gera, d‡ 
origem à dízima?
Você provavelmente já estudou que, para transformar dízimas periódicas em 
fração, podemos usar equações. Vamos recordar com alguns exemplos.
Dízima peri—dica simples: 0,777... 5 ?
 x 5 0,777...
 10x 5 7,777...
 10x 5 7 1 0,777...
 10x 5 7 1 x
 10x 2 x 5 7
 9x 5 7
 x 5 7
9
 (fração geratriz)
Processo prático: 0,777... 5 7
9
período com
1 algarismo
período 
um algarismo 9
Dízima peri—dica simples: 0,353535... 5 ?
 x 5 0,353535...
 100x 5 35,353535...
 100x 5 35 1 0,353535...
 100x 5 35 1 x
 100x 2 x 5 35
 99x 5 35
 x 5 35
99
Processo prático: 0,353535... 5 35
99
período com
2 algarismos
período 
dois algarismos 9
Outros exemplos:
a) 0,666... 5 6
9
2
3
5 c) 1,444... 5 1 4
9
13
9
5
b) 0,376 376
999
5 d) 0,181818... 5 18
99
2
11
5
Algumas s‹o d’zimas
peri—dicas simples, pois o per’odo
(parte que se repete) aparece logo
depois da v’rgula.
0,333...; 3,262626...;
e 0,248 s‹o exemplos de d’zimas 
peri—dicas simples.
Existem tambŽm
as d’zimas peri—dicas compostas.
Nelas, ap—s a v’rgula, vem uma parte
n‹o peri—dica e depois a parte peri—dica. 
Exemplos: 0,36222...; 1,5919191...;
e 0,3425.
20 Nœmeros reais e express›es algŽbricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 20 10/1/15 9:23 AM
D’zima peri—dica composta: 0,25444... 5 ?
 x 50,25444...
 100x 5 25,444...
 100x 5 25 1 0,444...
 100x 5 25 1 4
9
 900x 5 225 1 4
 900x 5 229
 x 5 229
900
 e ) 0,5212121... 5 521 5
990
516
990
2
5
 f ) 0,7222... 5 72 7
90
65
90
2
5
 g ) 0,2537... 5 2 537 25
9 900
2 512
9 900
2
5
Processo prático: 0,25444... 5 254 25
900
229
900
2
5
período 
parte não 
periódica
Exerc’cio 
 30. Transforme em fração irredutível cada dízima periódica:
 a ) 0,151515… 5 515
99
5
33
 b ) 0,287 5 287
999
 c ) 0,444... 5 4
9
 d ) 0,2414141... 5 
2
5
241 2
990
239
990
 e ) 0,3263 5 
2
5 5 5
3 263 32
9 900
3 231
9 900
1 077
3 300
359
1 100
 f ) 0,185222... 5 
2
5
1 852 185
9 000
1667
9 000
 g ) 1,111... 5 51 1
9
10
9
 h ) 0,0111... 5 
21
90
01 0
90
 
 i ) 2,1222... 5 
2
5 52
12 1
90
2 11
90
191
90
 j ) 5,546 5 
2
5 5 5 5
416
75
5
546 54
900
5 492
900
4 992
900
1248
225
416
75
 
Procure descobrir 
o processo pr‡tico com mais os 
exemplos ao lado.
 Para construir:
 Exercício 30 (abaixo)
Números reais e expressões algébricas 21
M
A
T
E
M
ç
T
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A
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Os nœmeros racionais na reta numerada
Fixando um 
ponto de origem para o zero (0), 
uma unidade para o 1 e 
um sentido para ser o positivo, 
podemos localizar 
na reta numerada qualquer 
número racional.
Veja a localiza•‹o de 2
3
; 21 1
2
; 3,25; 22,6 e 2,333..., alŽm dos inteiros 24, 23, 
22, 21, 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
15141312110
unidade
sentido positivo
2122
22,6 2,333... 3,25
2324
21 1
2
2
3
¥ 
2
3
 fica entre 0 e 11: dividimos o intervalo em 3 partes iguais e tomamos duas de 
0 para 1.
¥ 21
1
2
 fica entre 22 e 21, no ponto mŽdio do intervalo.
¥ 3,25 5 3
25
100
3 1
4
5 fica entre 13 e 14: dividimos o intervalo em 4 partes iguais e 
tomamos uma de 3 para 4.
¥ 22,6 5 2 522
6
10
2 3
5
 fica entre 23 e 22: dividimos o intervalo em 5 partes iguais 
e tomamos tr•s de 22 para 23.
¥ 2,333... 5 2 3
9
2 1
3
5 fica entre 12 e 13: dividimos o intervalo em 3 partes iguais e 
tomamos uma de 12 para 13.
Então, podemos dizer
 que, para cada número racional,
existe um ponto na
reta numerada.
Mas nem todo
ponto da reta numerada 
corresponde a um 
número racional.
O conjunto Q Ònão cobreÓ 
toda a reta.
22 Nœmeros reais e express›es algŽbricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 22 10/1/15 9:23 AM
Densidade do conjunto dos números racionais
Lembre-se de que, entre dois números naturais, nem sempre há outro núme-
ro natural. Por exemplo, entre os números naturais 3 e 5 há outro número natural (4), 
mas entre quaisquer dois números naturais consecutivos (3 e 4, por exemplo) não 
há outro número natural.
Com os números inteiros, ocorre o mesmo. Entre dois números inteiros, nem 
sempre há outro número inteiro. Por exemplo, entre 21 e 22 não há outro número 
inteiro. Observe a reta numerada a seguir:
0 1 2 3 4 52122232425
Agora, veja o que ocorre com os números racionais:
0 1 2 3212223
2
1
2
1
2
Entre dois números racionais, podemos encontrar muitos outros números racionais. 
Por exemplo, entre 0 e 1, existem 1
2
 e muitos outros, como 3
4
 5 0,75; 3
5
 5 0,6, etc. 
Do mesmo modo, entre 0 e 21, existem 2 1
2
 e muitos outros, como 23
4
 5 20,75; 
2
3
5
 5 20,6, etc.
Observe a reta numerada a seguir:
0 1 2 3212223
2
1
2
1
8
1
4
1
2
2
1
4
Entre 0 e 1
2
 também existem muitos números racionais. Por exemplo, 1
4
. 
Da mesma maneira, entre 0 e 2 1
2
, existem muitos números racionais, como 2 1
4
. 
Entre 0 e 1
4
, também existem muitos números racionais, como 1
8
. E assim por diante. 
Logo, podemos escrever:
Entre dois números racionais diferentes, sempre existe outro número racional.
Outro exemplo:
Entre os números racionais 3
5
 e 3
4
, há muitos outros números racionais.
Vamos constatar essa afirmação de três maneiras diferentes:
1a) Escrevemos as frações equivalentes a 3
5
 e 3
4
 com denominadores iguais: 3
5
12
20
5 
e 3
4
15
20
.5
 Assim, por exemplo, 14
20
 está entre 12
20
 e 15
20
, ou seja, 12
20
14
20
15
20
, , ou 
3
5
14
20
3
4
., ,
Esta é a propriedade da
densidade dos números racionais.
Dizemos, por isso, que o conjunto dos 
números racionais é denso.
Números reais e expressões algébricas 23
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M
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A
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Representando na reta numerada, temos:
10
5 0,7
1
2
1
4
3
5
3
4
14
20
2a) Determinamos a mŽdia aritmŽtica entre os nœmeros racionais 3
5
 e 3
4
:
3
5
3
4
2
12
20
15
20
2
27
20
2
27
20
2 27
20
1
2
27
40
1
5
1
5 5 5 ? 5;
Assim, por exemplo, 27
40
 est‡ entre 3
5
 e 3
4
, ou seja, 3
5
27
40
3
4
., ,
3a) Transformamos 3
5
 e 3
4
 para a representa•‹o decimal: 3
5
 5 0,6 5 0,60 e 3
4
 5 0,75. 
Podemos dizer, ent‹o, que h‡ infinitos nœmeros racionais entre eles, por exemplo: 
0,65; 0,7; 0,71; 0,72, etc.
Exerc’cios 
 31. Trace uma reta, estabele•a o sentido positivo, o ponto de origem para o zero e a unidade. Localize os nœmeros inteiros de 23 a 
13 e depois localize, aproximadamente, os pontos correspondentes aos seguintes nœmeros racionais: 1 1
2
; 22,333...; 4
5
; 20,75; 
8
3
; e 21 4
5
.
 32. Associe cada nœmero racional abaixo ˆ letra correspondente, marcada na reta numerada.
0
D E G B F A C
1 2 3212223
¥ 1
4
5
 C
¥ 22,5 D
¥ 
4
3
 A
¥ 0,181818... B
¥ 2
7
10
 G
¥ 0,7 F
¥ 21
1
4
 E
 33. Use qualquer um dos processos anteriores e escreva pelo menos dois nœmeros racionais que estejam entre:
 a ) 1
2
 e 3
4
; 0,6; 
5
8
; etc. b ) 1,6
e 1 5
8
; 1,61; 1,623; etc. c ) 1 000,01 e 1 000,1. 1 000,03; 1 000,07; etc.
0
20,75
1 2 3212223
22,333...
1 1
2
21 4
5
8
3
4
5
 Você sabia?
Na reta numerada, há pontos que não correspondem a nenhum número racional.
ƒ como se houvesse ÒburacosÓ nela a serem preenchidos com outro tipo de número, que não é racional.
 Para construir:
 Exerc’cios 31 a 33 (abaixo)
24 Números reais e expressões algébricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 24 10/1/15 9:24 AM
Conjunto dos nœmeros irracionais (I)
Voc• j‡ estudou que todo nœmero racional Ž representado por uma fra•‹o, ou seja, 
ele Ž resultado da divis‹o de dois nœmeros inteiros, em que o divisor Ž diferente de zero. 
Essa divis‹o pode ter como resultado:
¥ um nœmero inteiro: 5
8
2
4 ;
¥ um nœmero decimal exato (finito): 
1
4
0,255 ;
¥ um nœmero decimal infinito e peri—dico (d’zima peri—dica): 
1
3
0,333...5
Por exemplo, 0,10100100010000100000... e 2,71727374... s‹o representa•›es 
decimais infinitas n‹o peri—dicas. Esses nœmeros n‹o s‹o racionais. Eles s‹o chamados 
de nœmeros irracionais.
No primeiro nœmero apresentado, a parte decimal Ž formada pelo 1 seguido de 
um zero, depois o 1 seguido de dois zeros, depois o 1 seguido de 3 zeros, e assim por 
diante. Dessa forma essa representa•‹o Ž infinita e n‹o peri—dica. No segundo nœme-
ro, as casas decimais tambŽm s‹o infinitas e n‹o Ž poss’vel determinar um per’odo.
Assim, podemos escrever:
Nœmero irracional Ž todo nœmero cuja representa•‹o decimal Ž infinita e n‹o 
peri—dica.
Exemplos de nœmeros irracionais:
 a) 2 5 1,4142135...
 b) 5 5 2,2360679...
 c) p 5 3,14159265...
 d) e 5 2,71828182...
Em resumo, por exemplo:
¥ 0,42 Ž um nœmero racional (decimal exato);
¥ 0,4222... Ž um nœmero racional (d’zima peri—dica);
¥ 0,424224222... Ž um nœmero irracional (decimal infinita n‹o peri—dica).
Os alunos devem observar que nesse nœmero irracional a parte 
decimal Ž formada por um 4 seguido de um 2, depois um 4 seguido 
de dois 2, depois um 4 seguido de tr•s 2, e assim sucessivamente, 
de modo que n‹o Ž poss’vel determinar um per’odo.
Existem nœmeros
que n‹o s‹o racionais?
Sim, existem nœmeros
cuja representa•‹o decimal Ž
infinita e n‹o peri—dica.
Legal e ilegal.
L’cito e il’cito.
Racional e irracional,
ou seja, que n‹o
Ž racional.
Nœmeros reais e express›es algŽbricas 25
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Nœmeros irracionais not‡veis
Nœmero p
Esse número pr—ximo de 3 é um número irracional. Ele foi chamado de pi, e seu 
símbolo é p.
Nos cálculos, usamos para o número p (pi) valores racionais aproximados, por 
exemplo, 3,14, 22
7
, 3 1
7
 e outros.
Os alunos podem utilizar barbante para determinar o comprimento da 
circunfer•ncia, cortá-lo e medir o comprimento desse barbante com uma régua.
 Você sabia?
Os matemáticos descobriram muitos 
métodos para encontrar as 
aproximações racionais do número 
irracional, sem se basearem em 
medições de objetos do mundo físico. 
Com ajuda de algoritmos 
especialmente elaborados e 
computadores velozes, eles já 
conseguiram calcular aproximações 
racionais do valor p com precisão de 
8 quatrilhões de casas decimais.
A divisão de C por d resulta 
sempre um número próximo de 3, 
qualquer que seja a circunferência.
Fazendo as medições com muita
precisão, o quociente passa um
pouquinho de 3.
Oficina de Matemática
raio
centro
d
i‰
m
e
tro
circ
unfer•ncia
Objeto
Comprimento da 
circunfer•ncia (C)
em cent’metros
Di‰metro (d) 
em 
cent’metros
C ; d
copo 22,9 cm 7,3 cm
Dados experimentais. Alunos realizando medi•›es em objetos.
S
Ž
rg
io
 D
o
tt
a
 J
r.
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Rela•‹o entre comprimento e di‰metro de objetos circulares
3,1
Resposta pessoal.
Espera-se que os alunos concluam que o valor 
aproximado é pr—ximo de 3, ou seja, que a medida do 
comprimento da circunfer•ncia é aproximadamente 
3 vezes a medida do di‰metro (C ; d . 3).
Fazendo a gente aprende
Atividade em equipe
Observem a figura ao lado. Ela indica alguns elementos de uma circunfer•ncia.
Agora, escolham alguns objetos circulares, como um rel—gio e um DVD, por exemplo. Meçam o 
comprimento de seu di‰metro (d) e o comprimento de sua circunfer•ncia (C) com uma fita métrica. 
Registrem essas medidas na tabela a seguir. Vejam um exemplo.
 1. Usem calculadora e encontrem o quociente de C por d (C : d). Em seguida, indiquem na tabela o valor aproximado de C : d para:
 a ) o copo; 
 b ) os demais objetos medidos. 
 2. O que voc•s notaram no valor aproximado de C : d em todos os objetos?
 
 Para aprimorar:
 Oficina de Matemática (abaixo)
26 Nœmeros reais e express›es algŽbricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 26 10/1/15 9:24 AM
Veja agora como fica mais f‡cil descobrir o comprimento de uma circunfer•ncia.
Constatamos que:
Comprimento da circunfer•ncia (C) ; medida do di‰metro (d) 5 p (pi) , 
com p . 3,14.
Fazendo a operação inversa, temos:
Comprimento da circunfer•ncia (C) 5 p (pi) 3 medida do di‰metro (d) , 
ou seja, C 5 p ? d .
Usando apenas símbolos, temos:
C : d 5 p ou C 5 p ? d
Como a medida do di‰metro (d) é o dobro da medida do raio (r), isto é, d 5 2r, 
podemos escrever C 5 p ? 2 ? r, ou ainda: C 5 2pr .
Examine como descobrir o comprimento da circunfer•ncia no exemplo a seguir, 
em que d 5 23 mm, usando p 5 3,14.
Comprimento da circunfer•ncia:
C 5 3,14 ? 23 mm 5 72,22 mm 5 7,222 cm
7,222 cm
23 mm
 Você sabia?
O uso da letra grega pi (p) vem da palavra perímetro. Em grego antigo, perímetro é escrito da 
seguinte forma:
Em 1737, o matemático suíço Leonhard Euler popularizou a inicial dessa palavra grega para 
indicar o quociente constante entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência, ou seja, 
p 5 C ; d.
Foi também nessa época que os matemáticos conseguiram demonstrar que p é um número 
irracional. Leonhard Euler (1707-1783)
B
. 
H
o
ll
/G
e
o
rg
io
s
 K
o
ll
id
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ck
/G
lo
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 I
m
a
g
e
s
Observação: se o di‰metro mede 1 unidade de comprimento (1 cm, 1 m, etc.), então 
C 5 p. Assim, outra maneira de definir o número p é dizer que ele indica a medida do 
comprimento de uma circunfer•ncia cujo di‰metro mede 1 unidade de comprimento. 
Estimule os alunos a ler o texto ÒUm pouco da história do p (pi)Ó, na seção Ponto de chegada, ao final deste Módulo.
Chame a atenção dos alunos para o fato 
de que os valores C e d nunca são inteiros 
ao mesmo tempo. Por isso, p não é um 
número racional, apesar de termos: 
p 5 C : d ou p5 C
d
.
Depois
multiplicamos
o valor obtido
pelo nœmero p 
(aproximadamente 
3,14).
J‡ entendi: 
medimos o 
di‰metro:
d 5 23 mm.
Números reais e expressões algébricas 27
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Exerc’cios 
 
Use p 5 3,14 nas atividades a seguir.
 34. Determine:
 a ) a medida do comprimento de uma circunferência de 3 cm de raio; 
 b ) a medida do comprimento de uma circunferência de 10 cm de di‰metro. 
 35. Calcule a medida do raio de uma circunferência de comprimento igual a 25,12 cm. 
 36. Na sua caminhada matinal, Mariana deu 10 voltas em uma praça circular com raio de 30 m. Nessa caminhada, ela percorreu mais ou 
menos do que 2 km? 
Menos
 37. A roda de uma bicicleta tem o di‰metro de 70 cm. Qual é, aproximadamente, a medida do comprimento da circunferência dessa roda?
 
18,84 cm (6 3 3,14)
31,4 cm (10 3 3,14)
4 cm
(25,12 ; 3,14 5
5 8; 8 ; 2 5 4)
Bicicleta, destacando-se aro de uma das rodas.
D
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g
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 B
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ck
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lo
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 I
m
a
g
e
s
219,8 cm 
(70 ? 3,14)
60 ? 3,14 5 188,4 m; 10 ? 188,4 5 1 884 m 5 1,884 km , 2 km
M
a
u
ro
 S
o
u
za
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rq
u
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 d
a
 e
d
it
o
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 Para construir:
 Exercícios 34 a 40 (p. 28 e 29)
28 Números reais e express›es algébricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 28 10/1/15 9:24 AM
 38. Guilhermina preparou um bolo de anivers‡rio e o modelou em uma forma circular de 
30 cm de di‰metro. Depois, decorou com uma fita de papel em volta do bolo. Qual 
deve ser a medida do comprimento dessa fita de papel? 
 39. O rel—gio da Torre Santo Estev‹o da Parliament House, em Londres, Ž composto de quatro 
mostradores de 7 metros de di‰metro e de um sino chamado ÒBig BenÓ. O nome ÒBig BenÓ 
originalmente designava apenas o sino, porŽm atualmente se refere a todo o rel—gio. Calcule 
a medida do comprimento da circunfer•ncia de cada mostrador desse rel—gio. 21,98 m (7 ? 3,14)
 40. Recorte um peda•o de papel retangular de 12 cm por 4 cm. Depois, forme 
um cilindro aberto com esse peda•o de papel. Fa•a o que se pede nos 
itens a seguir:
 a ) Me•a o di‰metro de uma das bases do cilindro e registre. 
Resposta pessoal.
 b ) Calcule a medida do di‰metro usando a f—rmula C 5 p ? d. 
 c ) Compare os resultados obtidos em a e b. 
Espera-se que o aluno chegue ˆ conclus‹o de que s‹o iguais.
94,2 cm (30 ? 3,14)
Aproximadamente 3,8 cm. 
5 ? 512 3,14 12
3,14
3,8 ..⇒
 d d
M
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ck
/G
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Big Ben, em Londres, Inglaterra. 
Foto de 2014.
12 cm
4 cm
Números reais e expressões algŽbricas 29
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Para os gregos antigos, esse número 
representava harmonia, equil’brio e beleza. 
Ele aparece em diversos lugares, por 
exemplo, no corpo humano, nas artes, na 
arquitetura e na natureza. 
Em algumas pessoas, ao dividirmos 
a altura (a) pela dist‰ncia do umbigo até o 
ch‹o (b), obtemos aproximadamente 1,6 
(número de ouro aproximado). Veja a re-
presenta•‹o ao lado.
L
e
v
 D
o
lg
a
ch
o
v
/S
h
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to
ck
/G
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w
 I
m
a
g
e
s
a
b
O esquema ao lado representa o 
Parthenon, com as medidas de sua lar-
gura e de sua altura. Verifique que a me-
dida da largura dividida pela medida da 
altura também vale aproximadamente 
1,6 (30,70 m ; 18,24 m . 1,6).
30,70 m
18,24 m
Parthenon
C
a
s
a
 d
e
 T
ip
o
s
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o
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a
 e
d
it
o
ra
Fi (F): o nœmero de ouro dos gregos
Voc• j‡ deve ter estudado que a raz‹o ‡urea (ou raz‹o de ouro) é representada 
por 1,6. Esse número corresponde a um valor racional aproximado do nœmero de ouro 
dos gregos, um número irracional representado pela letra grega F (fi maiúsculo). 
Seu valor é dado por:
F5
1
5
1 5
2
1,6180339887... 
Essa express‹o era muito utilizada por F’dias (490 a.C.-432 a.C.), escultor gre-
go encarregado da constru•‹o do Parthenon, templo situado em Atenas e que data 
de 440 a.C. Em homenagem a esse escultor, utilizamos o F (fi) para representar a 
raz‹o de ouro.
Observe os valores
do inverso e do quadrado de F. 
Veja que interessante!
F 5 1,618034...
F21 5 0,618034...
F2 5 2,618034...
30 Nœmeros reais e expressões algŽbricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 30 10/1/15 9:24 AM
Observa•‹o: Os valores negativos para x e para a não estão sendo considerados, pois 
x e a indicam uma medida de comprimento.
O número 2
Se uma região quadrada tem área 
de 9 cm2, cada um de seus lados mede 
3 cm. Veja:
x
x
xx 9 cm2
x
2 5 9
x 5 9
x 5 3
E, se a área de uma região quadrada 
é de 2 cm2, qual é a medida de compri-
mento, em centímetros, de cada lado?
a
a
aa 2 cm2
 a2 5 2
 a 5 2
 a 5 ?
Vamos obter a representação decimal do número 2 fazendo aproximações 
sucessivas:
2 5 ?2 5 ?
12 5 1 (menor do que 2)
22 5 4 (maior do que 2)
2 está entre 1 e 2
2 5 ?
(1,4)2 5 1,96 (menor do que 2)
(1,5)2 5 2,25 (maior do que 2)
2 está entre 1,4 e 1,5
2 5 ?
(1,41)2 5 1,9881 (menor do que 2)
(1,42)2 5 2,0164 (maior do que 2)
2 está entre 1,41 e 1,42
2 5 ?
(1,414)2 5 1,999396 (menor do que 2)
(1,415)2 5 2,002225 (maior do que 2)
2 está entre 1,414 e 1,415
Se continuarmos o processo, nunca chegaremos a uma representação decimal 
exata ou a uma dízima periódica. Usando uma calculadora básica, obtemos, com 
aproximação de 7 casas decimais, 2 5 1,4142135 . Pode-se provar que 2 tem 
infinitas casas decimais e não é dízima periódica. Assim, 
2 5 1,414213562... é um número irracional.
As reticências indicam que as casas decimais continuam indefinidamente.
Números reais e express›es algébricas 31
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 Voc• sabia?
Os babil™nios já haviam calculado o valor de 2 como 1,4142129 (com erro 
a partir da sexta casa) e nem se preocuparam se 2 era um número 
racional ou não.
Já para os pitag—ricos (discípulos do matemático e fil—sofo grego Pitágoras; 
582 a.C.-497 a.C.), a descoberta de que 2 não era racional, mas um número 
dado por uma cadeia infinita de casas decimais sem nenhum padrão 
2 1,414213562...5( ) causou uma grande crise de natureza filos—fica e religiosa, pois, 
até então, para eles, Òtudo era númeroÓ, subentendendo número como número racional.
Assim como 2 ,
todas as outras ra’zes quadradas
n‹o exatas de nœmeros naturais s‹o 
exemplos de nœmeros irracionais.
3 , 7 , 30 , 95 , 120
e outras s‹o nœmeros
irracionais.
Exerc’cios 
 41. Determine por aproxima•›es (atŽ dŽcimo) o valor de:
 a ) 7 b ) 13 c ) 3
Para calcular a raiz quadrada de um nœmero em uma calculadora, teclamos o nœmero e, em seguida, a tecla dXX . Confira os 
resultados dos itens acima usando a calculadora.
 42. Calcule as ra’zes quadradas a seguir usando uma calculadora e registre o resultado. Voc• obter‡ mais exemplos de nœmeros 
irracionais na forma de nœmero decimal. N‹o se esque•a de colocar retic•ncias no final, pois n‹o s‹o representa•›es decimais 
exatas.
 a ) 11 5 3,31662479...
 b ) 37 5 6,08276253... 
 c ) 90 5 9,48683298... 
 d ) 20 5 4,47213595... 
 43. Lembramos que números quadrados perfeitos s‹o nœmeros que s‹o quadrados de nœmeros naturais diferentes de zero. Os 
primeiros nœmeros naturais quadrados perfeitos s‹o 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.
Observe que:
¥ 22 5 4; 4 5 2
¥ 72 5 49; 49 5 7
Determine a raiz quadrada exata dos seguintes nœmeros quadrados perfeitos:
 a ) 324 324 5 18
 b ) 900 900 5 30
 c ) 3 721 3 721 5 61
 d ) 10 000 10000 5 100
Aproximadamente 2,6. Aproximadamente 3,6. Aproximadamente 1,7.
 Para construir:
 Exerc’cios 41 a 46 (p. 32 e 33)
32 Nœmeros reais e express›es algŽbricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 32 10/1/15 9:24 AM
 44. Um terreno de forma quadrada tem 256 metros quadrados de ‡rea. Qual Ž a medida do lado desse terreno?
 45. Sem usar calculadora, resolva as situa•›es C e D da p‡gina 4. 
Use os nœmeros irracionais com valores aproximados em centŽsimo.
D
Se um terreno 
quadrado tem 
área de 90 m2, 
qual é a medida 
de comprimento 
de cada um de 
seus lados?
P
a
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 M
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o
 d
a
 e
d
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o
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D: x2 5 90 ⇒ x 5 90 ⇒ x . 9,48
Cada um de seus lados mede, aproximadamente, 9,48 m.
C
Quando uma roda com 40 cm de 
raio dá 5 voltas, quantos metros 
ela percorre?
S
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b
iz
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G
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 I
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a
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e
s
Pessoa andando 
de bicicleta.
C: 1 volta: 2 ? 40 ? 3,14 5 251,2
5 voltas: 5 ? 251,2 5 1 256; 1 256 cm → 12,56 m
A roda percorre 12,56 m.
 46. Use decomposi•‹o em fatores primos e determine quais das ra’zes quadradas abaixo s‹o nœmeros racionais e quais s‹o nœmeros 
irracionais. Nas ra’zes exatas, calcule seu valor.
 a ) 441 5
 b ) 968 5
 c ) 1 936 5
16 m (x2 5 256 ⇒ x 5 256 5 16)
x
x
21; 
racional 
3 ? 7 5 21
irracional
44; 
racional 
2 ? 2 ? 11 5 44
Números reais e express›es algébricas 33
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 33 10/1/15 9:24 AM
 47. Use a calculadora e registre com aproxima•‹o de centŽsimos (duas casas decimais):
 a ) 0,08 . 0,28
 b ) 0,15 . 0,39
 c ) 4
5
 . 0,89
 d ) 2
3
 . 0,82
 e ) 2,44 . 1,56
 f ) 5
6
 . 0,91
 48. Calcule as ra’zes quadradas, com aproxima•‹o de centŽsimos, sem usar calculadora.
 a ) 8 . 2,83 b ) 20 . 4,47
Exerc’cios 
Ra’zes quadradas aproximadas de 
nœmeros racionais quaisquer
Voc• tambŽm pode usar a calculadora para obter ra’zes quadradas aproximadas 
de nœmeros racionais dados na forma de nœmero decimal ou na forma fracion‡ria.
12,5 5 ?
dXX521 ?
12,5 . 3,5355339
3
4
 5 ?
dXX54 43
3
4
 . 0,8660254
0,777... 5 ?
Fazemos 0,777... 5 7
9
 e, depois,
dXX54 97
0,777... . 0,881917
 Para construir:
 Exerc’cios 47 a 49 (p. 34 e 35)
34 Nœmeros reais e express›es algŽbricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 34 10/1/15 9:24 AM
Opera•›es com nœmeros irracionais
As propriedades aplicadas aos números racionais também s‹o v‡lidas para os 
números irracionais. Muitas aplica•ões e opera•ões com ra’zes n‹o exatas ser‹o abor-
dadas em outro momento, porém vamos antecipar que para todo x e y reais positivos 
e n natural, valem as rela•ões:
x y x y e
x
y
x
n
n n n
n
n
n
Exemplos:
a) 2 5 2 5 10
3 3 3 3
? 5 ? 5 b) 3
7
3
7
5
5
55
Adi•‹o e subtra•‹o
A soma de dois números irracionais tanto pode ser irracional como racional.
Exemplos:
a ) 2 51 é um número irracional e ( )3 31 2 5 0 é racional;
b ) ( )5 7 3 7 5 3 7 2 72 5 2 ? 5 é irracional;
c ) ( )3 5 4 7 3 5 7 7 3 5 4 7 3 5 3 7 72 2 2 1 5 2 2 1 1 5
 ( ) ( )3 3 5 4 3 1 75 2 1 2 1 1 0 00 5 0 7 5 50, é racional.
Multiplica•‹o e divis‹o
O produto e o quociente de dois números irracionais tanto pode ser irracional 
como racional.
Exemplos:
a ) 3 7 3 7 21? 5 ? 5 é irracional;
b ) 15 13
5 17
3 13
17
13
17
5 5 é irracional;
c )2 3 5 3? 5 10 ? 3 5 30 é racional;
d ) 12 21
4 21
 5 3 é racional.
Observa•‹o: Quando o resultado de uma opera•‹o é um número irracional, ele pode 
ser dado com aproxima•‹o. Por exemplo, 3 7 21? 5 ou, aproximadamente, 4,28, 
pois 21 . 4,28.
 49. Atividade em dupla
O gr‡fico ao lado mostra as ra’zes quadradas dos números de 0 a 50.
Respondam:
 a ) Qual é a raiz quadrada de 25? 
5
 b ) Qual é a raiz quadrada aproximada de 40? 
Aproximadamente 6,3.
 c ) Qual é o número cuja raiz quadrada é 6? 
36
100
2
20 30 40 50
4
6
8
10
Nœmero
Ra’zes quadradas 
dos nœmeros de 0 a 50
Nœmeros reais e express›es algŽbricas 35
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 35 10/1/15 9:24 AM
 50. Calcule:
 a ) 2 3 1 5 3 5 7 3 
 b ) ?2 50 5 5100 10
 c ) 81
49
 5 9
7
ou 1 2
7
 d ) 3 11
5 13
 5 3
5
11
13
 51. Determine o valor da express‹o 1 1 22 2
3
,
3
2( )   com aproxima•‹o atŽ a 1a casa decimal. Use a calculadora.
 52. Use a calculadora e calcule o valor das express›es, com aproxima•‹o atŽ a 1a casa decimal:
 a ) 2 1 5 .
 b ) 8 2 7 .
 c ) 5 ? 3 .
 d ) 8 : 3 .
 53. Verifique se x 5    47
49
64
1 3
5
3
5
1 1
3
? 1 2 1 1; Ž inteiro.
Exerc’cios 
2,9 1 5 5 58 4
9
76
9
76
3
8,7
3
2,9.




3,6 (1,4 1 2,2)
0,2 (2,8 2 2,6)
3,7 (2,2 ? 1,7)
1,6 (2,8 : 1,7)
x 5 ? 1 2 1 14
7
7
8
1 3
5
3
5
1 1
3
;







 ⇒ x 5 1 112
2
5
3
5
4
3
; ⇒ x 5 1 11
2
2
3
4
3
 ⇒ x 5 5
2
 N‹o Ž inteiro.
 Para construir:
 Exerc’cios 50 a 53 (abaixo)
36 Números reais e expressões algébricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 36 10/1/15 9:24 AM
Conjunto dos nœmeros reais (R)
Reunindo o conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dos números 
irracionais (I), obtemos o conjunto dos nœmeros reais (R).
Q I
R
R 5 Q < I
L•-se Òuni‹o comÓ.
N‹o existe um número que seja, ao mesmo tempo, racional e irracional, mas 
qualquer número racional ou irracional pode ser chamado de nœmero real.
Por exemplo:
¥ 7 é um número real irracional;
¥ 
4
7
 é um número real racional;
¥ 24 é um número real racional;
¥ p é um número real irracional.
O diagrama ao lado relaciona os conjuntos numéricos N, 
Z, Q, I e R.
¥ N é parte de Z; Z é parte de Q; Q é parte de R. Indicamos essas 
rela•›es por:
N , Z , Q , R
¥ I é parte de R. Indicamos essa rela•‹o assim:
I , R
¥ Q e I n‹o t•m elementos comuns.
Subconjuntos de R
Observe que o zero pertence aos conjuntos N, Z, Q e R, ou seja, o zero é um nú-
mero natural, número inteiro, número racional e número real.
Veja agora os s’mbolos que usamos para representar alguns subconjuntos de N, 
Z, Q e R:
¥ N*: conjunto dos números naturais sem o zero;
¥ Q*: conjunto dos números racionais sem o zero;
¥ Z2: conjunto dos números inteiros negativos com o zero;
¥ Z*2: conjunto dos números inteiros negativos;
¥ Q*1: conjunto dos números racionais positivos;
¥ R1: conjunto dos números reais positivos com o zero.
Q I
R
Z
N
Nœmeros reais e express›es algŽbricas 37
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 37 10/1/15 9:24 AM
Os nœmeros reais na reta numerada 
Observe a reta numerada. Os nœmeros irracionais 2 , 7 e p foram considera-
dos com valores aproximados 2 1,4; 7 2,6; 3,1 .. . .p( )
0 1 2 3212223
2
1
2
2 1
4
3
40,2521,7522,444... p1,333...
2 7
Observa•‹o: Considerando-se a correspond•ncia um a um citada acima, os nœme-
ros reais ocupam todos os pontos da reta. Por isso, ela Ž chamada de reta real.
Exerc’cios 
 54. Observe estes nœmeros:
24 0,888...
0 4,86 8 p
6
1
3
21 3
5
Entre esses nœmeros, escreva quais s‹o:
 a ) nœmeros naturais; 
0 e 8
 b ) nœmeros inteiros; 
24, 0 e 8
 c ) nœmeros racionais; 
24, 1
3
, 0,888..., 0, 21 3
5
, 4,86 e 8
 d ) nœmeros irracionais. 
6 e p
Agora responda: qual Ž o nome que pode ser dado a todos esses nœmeros?
Nœmeros reais.
 55. Indique as senten•as verdadeiras.
 a ) V Todo nœmero natural Ž inteiro. 
 b ) V Todo nœmero inteiro Ž real. 
 c ) V Todo nœmero irracional Ž real. 
 d ) F Todo nœmero racional Ž inteiro. 
 e ) F Existem nœmeros racionais que n‹o s‹o reais. 
 f ) V Existem nœmeros reais que n‹o s‹o racionais. 
3
4
 Ž racional e n‹o Ž inteiro.
Todo nœmero racional Ž real.
S‹o os irracionais.
Qualquer número racional 
ou irracional pode ser chamado de 
número real.
3
7
 é um número real racional; p é 
um número real irracional.
Para cada número real, há 
um ponto correspondente na reta numerada 
e, para cada ponto da reta, há um número real 
correspondente. Por
isso, dizemos que existe uma 
correspondência um a um entre os números 
reais e os pontos de uma reta.
 Para construir:
 Exerc’cios 54 a 60 (p. 38 a 40)
38 Nœmeros reais e express›es algŽbricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 38 10/1/15 9:24 AM
 56. Escreva o que representa cada um dos s’mbolos:
 a ) Z
1
 
Conjunto dos nœmeros inteiros positivos.
 b ) Z*
1
 
Conjunto dos nœmeros inteiros positivos sem o zero.
 
c ) Q
2
 
Conjunto dos nœmeros racionais negativos.
 
d ) R*
1
 
Conjunto dos nœmeros reais positivos sem o zero.
 
e ) R
2
 
Conjunto dos nœmeros reais negativos.
 f ) Q*
1 
 
Conjunto dos nœmeros racionais positivos sem o zero.
 57. Escreva dois nœmeros reais, um racional e outro irracional, que ficam entre 10 e 11. 
Respostas pessoais. Exemplos: 10 1
2
(real racional) e 105 (real irracional).
Nœmeros reais e express›es algŽbricas 39
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 39 10/1/15 9:24 AM
 58. Coloque [ ou î para indicar se o nœmero faz parte ou n‹o do conjunto:
 a ) 0 î N*
 b ) 0 [ Z
2
 c ) 7 î Q
1
 d ) p [ R
1
 e ) 23
5
 î Z
2
 f ) 0 î R*
1
 59. Avalia•‹o de resultados
Um professor pediu aos alunos que indicassem um nœmero racional entre 7 e 8. Veja algumas das respostas dadas pelos alunos 
e registre quais alunos acertaram:
Ana ( 50 ), Pedro )( 507 , Marcos (27,5), Carla (7,111...), Lucas (8) e Fl‡via )(7 38 . Pedro, Carla e Fl‡via.
60. Escreva entre que nœmeros inteiros consecutivos fica cada um dos nœmeros reais abaixo. Identifique se ele Ž real racional ou real 
irracional. O item a j‡ est‡ resolvido. 
 a ) 30 : Fica entre 5 e 6; real irracional.
 b ) 18
7
: Fica entre 2 e 3; real racional.
 c ) 28,666... : Fica entre 29 e 28; real racional.
 d ) 50 : Fica entre 7 e 8; real irracional.
 e ) 10 : Fica entre 3 e 4; real irracional.
 
40 Nœmeros reais e express›es algŽbricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 40 10/28/15 9:23 AM
3 Compara•‹o e opera•›es
com nœmeros reais
Você já estudou compara•‹o e opera•›es com números reais racionais. No caso 
de compara•‹o e opera•›es que envolvem os números reais irracionais, vamos, 
neste ano, considerar seus valores aproximados (que s‹o números racionais).
Por exemplo, considerando 3 . 1,7, 10 . 3,2 e 22 . 4,7:
1,7 é uma 
aproximação 
racional do 
número
irracional 3 .
a) 3 , 2
b) 10 2 1
10
.
c) 5 . 22
d) 5,1 1 10 . 5,1 1 3,2 5 8,3
e) (23) ? 22 . (23) ? 4,7 5 214,1
f) 3
2
 . 1,7 ; 2 5 0,85
Exerc’cios 
 61. Use uma calculadora e registre os seguintes números irracionais na forma de número decimal, com aproxima•‹o de centésimos 
(2 casas).
 a ) 2 . 1,41 b ) p . 3,14 c ) 10 . 3,16
 62. Efetue as opera•›es abaixo com números reais. Use os valores aproximados da atividade anterior para aquelas que envolvem 
números irracionais.
 a ) 2 468 1 71 5 
 b ) (235) ? (210) 5
 c ) 3
8
5
12
2 5 
 d ) 8 1 2 .
 e ) 3p .
 f ) 
10
2 .
 g ) p 1 4 .
 h ) 2 1 p .
2 539
350
2 52
9
24
10
24
1
24
8 1 1,41 5 9,41
3 ? 3,14 5 9,42
5
3,16
2
1,58
3,14 1 4 5 7,14
1,41 1 3,14 5 4,55
 Para construir:
 Exerc’cios 61 a 68 (p. 41 a 43)
Números reais e expressões algébricas 41
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 41 10/1/15 9:24 AM
 63. Compare os nœmeros reais completando com os s’mbolos ., , ou 5.
 a ) 212 , 7
 b ) 4
5
 . 9
13
45
65
 c ) 0,7222... , 0,73
 d ) p , 3,5
 e ) 2 . 4
9
 f ) 10 . 3,15
 64. Escreva os nœmeros reais abaixo em ordem crescente. 
 
3 22,8 0 22,777...
12
5
22,8; 22,777...; 0; 3 ;
12
5
 65. Compare os resultados das opera•›es de cada item completando com ., , ou 5 .
 a ) 16 91 , 16 91
b ) 10 1
3
2 . 10
3
12
 c ) 4 25? 5 4 25?
 66. Trace uma reta numerada e coloque nela os nœmeros:
23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, 5 ,2 5 ,1 3 ,2 1 3 e 1
3
2
52
65
3,14
1,41
0,444...
3,16
525 5 4 1 3 5 7
 
9
3
 5 3 2 53
1
3
1 2
1
3
5 ? 5100 10 2 5 10
0 11 12 132123 22
1
3
2
3252 5131
42 Nœmeros reais e express›es algŽbricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 42 10/1/15 9:24 AM
1,44 é um número racional ou irracional? Racional 5 5 5 51,44 1 44
100
144
100
12
10
1,2



 .
Desafio
 67. Determine o resultado de cada opera•‹o, com aproxima•‹o de centésimo. Use a calculadora.
 a ) 2 1 3 5
 b ) 35 1 p 5
 c ) p 2 5 5
 d ) 3 ; 7 5
 68. Trace um segmento de 2 cm como unidade para cada um dos itens e localize os números na reta real:
 a ) 4 2
5
 54 4 2
5
 b ) 2 11
3
523 2
3
 24 2323 2
3
 c ) 3 . 1,7 1 21,7
 d ) p
2
. 5
3,14
2
1,57 
1 2p
2
3,14
9,06
0,9
1,13
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
Nœmeros reais e express›es algŽbricas 43
M
A
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M
ç
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A
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 43 10/1/15 9:25 AM
4 Desigualdades em R
Observe as setas numeradas abaixo:
Exercícios 
 69. Desenhe a reta numerada e marque:
 a ) A 5 {x [ R | x , 4}
 b ) B 5 {x [ R | x < 21}
 c ) C 5 {x [ R | x > 3}
 d ) D 5 {x [ R | x . 6}
102122 2 3 4 5 6
1021222324 2 3
102122 2 3 4 5
1021 2 3 4 5 6 7 8
0
x < 3
x é menor do que ou igual a 3
1 2 3 4 5212223
0
x , 3
x é menor do que 3
1 2 3 4 5212223
Elas mostram a diferen•a entre x , 3 e x < 3.
Se x , 3, ent‹o x pode ser 21; 2; 2,9 ou 2,99, mas n‹o pode ser 3. A bolinha vazia 
indica isso.
Se x < 3, ent‹o x pode assumir todos esses valores e tambŽm o valor 3. A bolinha 
cheia indica isso.
Se A Ž o conjunto dos elementos para os quais x , 3 Ž verdadeira, ent‹o, podemos 
escrever:
A 5 {x [ R | x , 3}
Lemos da seguinte forma: ÒA Ž o conjunto dos nœmeros reais x, tal que x Ž menor 
do que 3Ó.
Do mesmo modo, para o segundo diagrama acima, podemos escrever:
A 5 {x [ R | x < 3}
Lemos da seguinte forma: ÒA Ž o conjunto dos nœmeros reais x, tal que x Ž menor 
do que ou igual a 3Ó.
 Para construir:
 Exerc’cios 69 a 72 (p. 44 e 45)
 Para praticar:
 Tratamento da informa•‹o (p. 46)
 Outros contextos (p. 47 a 50)
 Praticando um pouco mais (p. 51 
e 52)
 Revis‹o cumulativa (p. 53 e 54)
44 Nœmeros reais e express›es algŽbricas
SER_EF2_Matematica8_M1_C1_001_054.indd 44 10/1/15 9:25 AM
Sabe-se que Fofo Ž mais gordo do que Lulu. Bilu Ž mais gordo do que Fofo. Lulu Ž mais magro do que Bilu. Fifi Ž mais gordo 
do que Bilu.
Afinal, qual Ž o mais gordo de todos? Fifi.
Lulu
A seta indica: “é mais gordo do que”.Fofo
Lulu
Bilu
Fif i
Fofo
Raciocínio l—gico
 70. Os conjuntos P 5 {x [ R | x , 2} e Q 5 {x [ R | x > 21} est‹o marcados na reta numerada abaixo.
0
P
Q
1 2 3 421222324
Indique apenas as afirma•›es verdadeiras.
 a ) X 0 [ P
 b ) X 2 [ Q
 c ) 2 [ P
 d ) X 21 [ P
 e ) X 21 [ Q
 f ) 22 [ Q
 71. Na atividade anterior, quais nœmeros reais pertencem, ao mesmo tempo, a P e a Q? Fa•a a reta numerada. 
 72. Projeto em equipe: nœmeros racionais em not’cias
Reœna-se com seus colegas e, juntos, recortem de jornais, revistas ou folhetos de propaganda tr•s not’cias: uma que envolva 
nœmero inteiro, outra que envolva fra•‹o e outra que envolva nœmero racional na forma de nœmero decimal. Montem um painel 
e, para cada not’cia, formulem e respondam a uma quest‹o. Compartilhem seu trabalho com os demais colegas.
S 5 {x [ R | x > 21 e x , 2}
0 1 2 3 4 521222425 23
Nœmeros reais e express›es algŽbricas 45
M
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10/1/15 9:25 AM
Tratamento da informação
Interpreta•‹o de tabelas e gr‡ficos de barras
 73. Consumo de energia elétrica
Economizar energia elétrica ajuda a proteger o “bolso” e o meio ambiente.
Por isso, é muito importante saber reconhecer as informações de uma conta de energia elétrica. 
Observe a figura abaixo. Ela representa a conta de energia elétrica da casa de Sebastião e 
Gabriela referente ao mês de maio de 2015. Nessa conta, podemos observar diversas infor-
mações, por exemplo, o gráfico do histórico de consumo dessa residência (em quilowatts-
-hora), a tabela de composição do valor dessa conta, a descrição do cálculo de consumo, etc.
Analise com atenção as informações da conta de energia elétrica abaixo e, depois, resolva 
os itens a seguir. Use a calculadora quando for necessário.
 a ) Qual é a média de consumo de energia no período que vai de 
janeiro a maio de 2015, em quilowatts-hora? 
 b ) O fornecimento de energia representa que 
percentual da conta? 
 c ) Qual é a porcentagem restante? O que ela re-
presenta? 
 d ) A qual período essa conta se refere? 
De 10/4/2015 a 11/5/2015.
 e ) Quantos dias tem esse período? 
31 dias
 f ) Em média, qual foi o consumo diário de energia elé-
trica nesse período? 
 g ) Para calcular o consumo mensal em uma conta de 
energia elétrica, é necessário observar os valores in-
dicados na leitura do medidor. Verificamos qual é o 
valor indicado na leitura atual e subtraímos o valor indicado na leitura do mês anterior. Assim, na conta de Sebastião e Ga-
briela, temos:
• leitura anterior: 2 974 kWh;
• leitura atual: 3 104 kWh.
 Portanto, o consumo no mês de maio de 2015 foi de 130 kWh (3 104 2 2 974).
 Sabendo disso, responda: qual foi o valor indicado na leitura do medidor no mês de fevereiro de 2015? 
1 1 1 1
5
134 111 120 112 130
5
121,4
5
45,35
62,49 100
72,57.⇒x x
O fornecimento de energia 
corresponde a 72,57% da 
conta.
100 2 72,57 5 27,43
A porcentagem restante é de 27,43%; impostos e encargos.
4,19 kWh (130 ; 31)
Pessoa desligando abajur.
P
a
tr
ic
k
 R
y
a
n
/S
to
n
e
/G
e
tt
y
 I
m
a
g
e
s
Antes de realizar esta atividade, explore com os alunos a leitura de uma conta de energia elétrica. Se possível, traga algumas para a 
sala de aula e interpretem as informações juntos.
Para calcular o consumo mensal em uma conta de 
energia elétrica, é necessário observar os valores in-
dicados na leitura do medidor. Verificamos qual é o 
ABR/2015
MAR/2015
FEV/2015
JAN/2015
DEZ/2014
NOV/2014
OUT/2014
SET/2014
AGO/2014
JUL/2014
JUN/2014
MAIO/201
4
MƒDIA DE C
ONSUMO D
OS òLTIMOS
 12 MESES -
 121 kWh
* VALOR DO
 ENCARGO 
DE USO DO
 SISTEMA D
E DISTRIBU
I‚ÌO (REF. 
03/2015): R
S 28,55
112
120
111
134
105
107
108
130
145
155
128
91
Histórico d
e consumo
 (kWh)
Faturas em
 atraso
FATURAS
VENCIDAS
 ATÉ DIA
07/05/20
15 PAGAS.
OBRIGADO
!
Cálculo de 
consumo
TOTAL A P
AGAR
VENCIMEN
TO
Demonstra
tivo
Composiçã
o do valor t
otal de sua
 conta
ATENÇÃO
ANTERIOR
FORNECIM
ENTO DE E
NERGIA
130 3 0.34
886
Valor (RS)
45,35
IMPOSTOS
/ENCARGO
S
0,50
PIS:
2,33
COFINS:
2,27
CONTRIB. S
ERV. ILUM.
 PòBLICA
12,04
ICMS (Base
 de c‡lculo
 RS 60,22 /
Al’quota 20
,00%)
DATA
10/04/20
15
LEITURA
2974
ATUAL
DATA
11/05/201
5
LEITURA
3104
CONSTANT
E
1
CONSUMO
130
DIAS
31
R$ 62,49
20/05/20
15LEITURA CO
NFIRMADA
CEE - Comp
anhia de En
ergia Elétr
ica
SERVI‚O D
E DISTRIBU
I‚ÌO DA EN
ERGIA DIS
CRIMINAÇ
ÃO
TOTAL
COMPRA D
E ENERGIA
SERVI‚O D
E TRANSM
ISSÌO
ENCARGO
S SETORIA
IS
IMPOSTOS
 DIRETOS E
 ENCARGO
S
OUTROS S
ERVI‚OS
21,19
17,96
2,54
3,66
17,14
0,00
62,49
VALOR (RS
) %
33,91
28,74
4,06
5,88
27,43
0,00
100,00
A média de consumo é de 121,4 kWh.
2 974 2 112 5 2 862
2 862 2 120 5 2 742
O valor indicado foi de 2 742 kWh.
46 Números reais e express›es algébricas
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Outros contextos
 74. Geografia e conjuntos
Considere os seguintes conjuntos:
E: conjunto das pessoas nascidas fora do Brasil (estrangeiros);
P: conjunto das pessoas nascidas no estado de Pernambuco;
F: conjunto das pessoas nascidas na cidade de Recife, estado de Pernambuco;
X: conjunto das pessoas nascidas no estado em que se situa sua escola;
Y: conjunto das pessoas nascidas na cidade em que se situa sua escola;
B: conjunto das pessoas nascidas no Brasil.
 
Agora, fa•a o 
que se pede.
 a ) Você pertence a quais desses conjuntos? 
Resposta pessoal.
 b ) Cite dois colegas da classe, um que pertence ao conjunto Y e outro que não pertence. Justifique. 
Resposta pessoal. Um colega deve ter nascido na cidade de sua escola e outro colega deve ter nascido em outra cidade.
 c ) Quais são os elementos do conjunto das pessoas que pertencem a P e não pertencem a F? 
Pessoas nascidas no estado de Pernambuco, mas não nascidas em Recife.
 d ) Cite dois conjuntos do quadro acima que não têm elemento comum. 
Resposta pessoal. Por exemplo, E e B.
 e ) Complete com está contido ou não está contido:
¥ Y está contido em X. 
¥ P não está contido em E. 
¥ P está contido em B. 
¥ B não está contido em P. 
 f ) Em que caso temos Y 5 F? 
No caso em que o aluno que está respondendo frequente uma escola da cidade de Recife.
47
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
Números reais e expressões algébricas
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 75. Números reais: situações diversas
Os números reais aparecem nas mais variadas situações de nosso dia a dia. Veja alguns exemplos nos itens a seguir. Complete cada 
sentença com um número real. Depois, escreva se o número é real racional inteiro, real racional não inteiro ou real irracional.
Por exemplo: uma dúzia e meia de ovos corresponde a 18 ovos. 18 é um número real racional inteiro.
 a ) Marcela dividiu um bolo em 6 partes iguais. Cada uma das partes corresponde a 
1
6 do bolo. 
real racional não inteiro
 b ) Reinaldo pagou 69 reais na compra de 3 DVDs de mesmo valor. Se tivesse comprado 2 desses DVDs, ele teria pago 46 reais. 
real racional inteiro
 c ) A área de um piso quadrado é de 70 m2. Cada lado do piso mede 70 m. 
real irracional
 d ) Uma peça com 14 m de tecido foi repartida em 4 partes iguais. Cada uma das partes mede 3,5 m.
real racional não inteiro
 e ) Se a temperatura em um dia de inverno era 14 ºC e teve uma queda de 6 ºC, a temperatura passou a ser de 22 ºC. 
real racional inteiro
 f ) Se a medida do comprimento do contorno de uma praça circular for dividida pelo dobro da medida de seu raio, o resultado 
será p 5 3,141592... . 
real irracional
 g ) Um musical durou 2 horas e 20 minutos. Esse valor também pode ser 
indicado por 
2
1
3 horas.
real racional não inteiro
F
la
v
io
 H
o
p
p
/F
u
tu
ra
 P
re
s
s
Cena do musical O rei leão, dirigido por 
Julie Taylor, estreado no Brasil em 2013.
48 Números reais e expressões algébricas
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 76. Jogo dos nœmeros reais
Rodolfo e Jœlia disputaram um jogo cujo objetivo Ž identificar diferentes tipos de nœmeros reais. Antes de come•ar, eles recorta-
ram 12 papŽis para sorteio:
AE AG BF
CE CG DF
AF BE BG
CF DE DG
Analise com aten•‹o as regras do jogo:
1a) Em uma rodada, cada jogador tira um papel e, de acordo com o que est‡ indicado, localiza no quadro a seguir o nœmero cor-
respondente.
G
F
E
A B C D