Propriedades de Anéis

Prévia do material em texto

11/04/2020 EPS
simulado.estacio.br/alunos/?user_cod=2016428&matr_integracao=201802299173 1/5
 
A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto
estudado:
 Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z, m(na) = (mn)a
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
CEL0687_A7_201802299173_V2 
Lupa Calc.
 
 
Vídeo PPT MP3
 
Aluno: FLAVIO BATISTA LOBATO BARROS Matr.: 201802299173
Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLGEB 2020.1 EAD (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua
avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
 
1.
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
m(ka) = (mk)a
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre m verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n temos n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
 
javascript:voltar();
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
javascript:calculadora_on();
javascript:abre_frame('1','7','','FOYBGDT7GKUOQNUXFN1B','314433404');
javascript:abre_frame('2','7','','FOYBGDT7GKUOQNUXFN1B','314433404');
javascript:abre_frame('3','7','','FOYBGDT7GKUOQNUXFN1B','314433404');
11/04/2020 EPS
simulado.estacio.br/alunos/?user_cod=2016428&matr_integracao=201802299173 2/5
Seja M_2x2 (R) o anel das matrizes 2 por 2 de entradas nos reais. Logo, não podemos afirmar que:
Um anel é um conjunto A, cujos elementos(x,y e z) podem ser adicionados e multiplicados satisfazendo as seguintes
algumas propriedades. Diga, entre as opções abaixo a propriedade que identifica o anel comutativo.
Identifique o anel abaixo com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade.
A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto
estudado:
 Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z, m(na) = (mn)a
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
 
2.
M_2x2 (R) tem divisores de zero
M_2x2 (R) é um anel comutativo.
Nenhuma das anteirores
M_2x2 (R) tem unidade.
M_2x2 (R) tem elemento neutro da soma.
 
3.
(x.y).z = x.(y.z)
x + y = y + x
x.y= y.x
(x + y) + z = x + (y + z)
x(y + z) = x.y + x.z
Gabarito
Coment.
 
4.
2Z
Z+
O conjunto M2(Z) das matrizes 2 × 2
Q
Z
 
5.
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n temos n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre m verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
11/04/2020 EPS
simulado.estacio.br/alunos/?user_cod=2016428&matr_integracao=201802299173 3/5
A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a
alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
 Se (A, + ,⋅ ) é um anel e então (x - y)z = xz - yz.
 
A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a
alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
 Se (A, + ,⋅ ) é um anel e então - (-x) = x
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
m(ka) = (mk)a
 
6.
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
 Temos xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto, (x - y)z = xz - yz.
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto, (x - y)z = xz - yz.
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A.
Temos: xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto, (x - y)z = xz - yz.
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
 Portanto, (x - y)z = xz - yz.
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z
 Temos xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto, (x - y)z = xz - yz.
 
7.
x, y, z ∈ A
x ∈ A
11/04/2020 EPS
simulado.estacio.br/alunos/?user_cod=2016428&matr_integracao=201802299173 4/5
Um anel é um conjunto A, cujos elementos(x,y e z) podem ser adicionados e multiplicados satisfazendo as seguintes
 
8.
11/04/2020 EPS
simulado.estacio.br/alunos/?user_cod=2016428&matr_integracao=201802299173 5/5
algumas propriedades. Diga, entre as opções abaixo a propriedade que identifica o anel comutativo.
(x + y) + z = x + (y + z)
x(y + z) = x.y + x.z
x.y= y.x
(x.y).z = x.(y.z)
x + y = y + x
Legenda: Questão não respondida Questão não gravada Questão gravada
Exercício inciado em 10/04/2020 23:59:11. 
javascript:abre_colabore('35088','185789690','3704864554');