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11/04/2020 EPS simulado.estacio.br/alunos/?user_cod=2016428&matr_integracao=201802299173 1/4 A A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: Seja A um anel, e temos: (m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA CEL0687_A7_201802299173_V3 Lupa Calc. Vídeo PPT MP3 Aluno: FLAVIO BATISTA LOBATO BARROS Matr.: 201802299173 Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLGEB 2020.1 EAD (G) / EX Prezado (a) Aluno(a), Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha. Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS. 1. Seja A um anel, e . Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka Seja A um anel, e . Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. Seja A um anel, e . Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. Seja A um anel, e . Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. (m - k)a = ma - ka Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. Seja A um anel, e . Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. a ∈ A ∀ ∈ Z m, n ∈ Z m, n ∈ Z m, n ∈ Z m, n ∈ Z m, n ∈ Z javascript:voltar(); javascript:voltar(); javascript:diminui(); javascript:aumenta(); javascript:calculadora_on(); javascript:abre_frame('1','7','','FOYBGDT7GKUOQNUXFN1B','314433404'); javascript:abre_frame('2','7','','FOYBGDT7GKUOQNUXFN1B','314433404'); javascript:abre_frame('3','7','','FOYBGDT7GKUOQNUXFN1B','314433404'); 11/04/2020 EPS simulado.estacio.br/alunos/?user_cod=2016428&matr_integracao=201802299173 2/4 Indique nas alternativas abaixo a unidade do anel (Zm,+, .) para m ≥ 2 onde m é um elemento do conjuntos dos inteiros. Considere as seguintes afirmações: (I) Se (A,+, .) é um anel comutativo, então (AK, +, .) é comutativo. (II) Se A e B são anéis com unidade, então A x B não tem unidade. (III) Se (A,+, .) é um anel com unidade, então (Mnxn(A),+, .) tem unidade. (IV) (Zm , +, .) é um anel comutativo com unidade. Com relação as afirmações podemos concluir que: Marque a única alternativa correta sobre os anéis comutativos. Sejam A um anel e a,b ϵ A. (I) a.0=0; (II) a.(-b)=(-b).a= -b.a; (III) (-1).a= -a; (IV) a+b=b+a; Segundo as afirmativas, Identifique o anel abaixo com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade. 2. Gabarito Coment. 3. Somente a II e III estão corretas. Somente a I, III e IV estão corretas. Somente a II e IV estão corretas. Somente a I está correta. Somente a III e IV estão corretas. 4. (Zm,+, .) não é um anel comutativo (C,+,.) não é um anel comutativo. (RR, +,.) é um anel comutativo. Os anéis das matrizes são anéis comutativos se n ≥ 2. (Z,+,.) não é um anel comutativo. 5. apenas (I) está incorreta. apenas (II) está incorreta. apenas (IV) está incorreta. Todas estão incorretas apenas (III) está incorreta. 6. 5̄ 1̄ 4̄ 2̄ 3̄ 11/04/2020 EPS simulado.estacio.br/alunos/?user_cod=2016428&matr_integracao=201802299173 3/4 A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo: Se (A, + ,⋅ ) é um anel e então (x - y)z = xz - yz. A A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado: Seja A um anel, e temos: (m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. Q Z+ 2Z Z O conjunto M2(Z) das matrizes 2 × 2 Gabarito Coment. 7. Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz. Portanto, (x - y)z = xz - yz. Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. Temos: (x - y)z = (x + (-y))z Temos xz + (-yz) = xz - yz. Portanto, (x - y)z = xz - yz. Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). Temos xz + (-yz) = xz - yz. Portanto, (x - y)z = xz - yz. Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). Portanto, (x - y)z = xz - yz. Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. Temos: xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz. Portanto, (x - y)z = xz - yz. 8. Seja A um anel, e . Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. Seja A um anel, e . Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. Seja A um anel, e . Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. (m + k)a = ma + ka Seja A um anel, e . Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. (m - k)a = ma - ka Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. x, y, z ∈ A a ∈ A ∀ ∈ Z m, n ∈ Z m, n ∈ Z m, n ∈ Z m, n ∈ Z 11/04/2020 EPS simulado.estacio.br/alunos/?user_cod=2016428&matr_integracao=201802299173 4/4 Seja A um anel, e . Por indução sobre n verificamos que: Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. Vejamos que é válido para n = k + 1. (m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. Legenda: Questão não respondida Questão não gravada Questão gravada Exercício inciado em 11/04/2020 00:03:52. m, n ∈ Z javascript:abre_colabore('35088','185790038','3704871487');