Propriedades dos Anéis

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A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto
estudado:
 Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z, m(na) = (mn)a
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
CEL0687_A7_201802299173_V5 
Lupa Calc.
 
 
Vídeo PPT MP3
 
Aluno: FLAVIO BATISTA LOBATO BARROS Matr.: 201802299173
Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLGEB 2020.1 EAD (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua
avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
 
1.
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n temos n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
m(ka) = (mk)a
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z..
Por indução sobre m verificamos que:
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
m(ka) = (mk)a
Vejamos que é válido para n = k + 1.
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a.
 
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A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a
alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
 Se (A, + ,⋅ ) é um anel e então - (-x) = x
2.
x ∈ A
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Um anel é um conjunto A, cujos elementos(x,y e z) podem ser adicionados e multiplicados satisfazendo as seguintes
algumas propriedades. Diga, entre as opções abaixo a propriedade que identifica o anel comutativo.
Sejam A um anel e a,b ϵ A. (I) a.0=0; (II) a.(-b)=(-b).a= -b.a; (III) (-1).a= -a; (IV) a+b=b+a; Segundo as afirmativas,
A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a
alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
 Se (A, + ,⋅ ) é um anel e então (x - y)z = xz - yz.
 
 
3.
x + y = y + x
x.y= y.x
x(y + z) = x.y + x.z
(x.y).z = x.(y.z)
(x + y) + z = x + (y + z)
 
4.
apenas (IV) está incorreta.
Todas estão incorretas
apenas (III) está incorreta.
apenas (I) está incorreta.
apenas (II) está incorreta.
 
5.
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
 Portanto, (x - y)z = xz - yz.
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z
 Temos xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto, (x - y)z = xz - yz.
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
 Temos xz + (-yz) = xz - yz.
x, y, z ∈ A
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A
A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto
estudado:
Seja A um anel, e temos:
(m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
Identifique o anel abaixo com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade.
Considere as seguintes afirmações: 
(I) Se (A,+, .) é um anel comutativo, então (AK, +, .) é comutativo. 
(II) Se A e B são anéis com unidade, então A x B não tem unidade.
(III) Se (A,+, .) é um anel com unidade, então (Mnxn(A),+, .) tem unidade. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz.
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto, (x - y)z = xz - yz.
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A.
Temos: xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto, (x - y)z = xz - yz.
 
6.
Seja A um anel, e .
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
(m - k)a = ma - ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
Seja A um anel, e .
Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
Seja A um anel, e .
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
Seja A um anel, e .
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
Seja A um anel, e .
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
 
7.
Z
2Z
Z+
Q
O conjunto M2(Z) das matrizes 2 × 2
Gabarito
Coment.
 
8.
a ∈ A ∀ ∈ Z
m, n ∈ Z
m, n ∈ Z
m, n ∈ Z
m, n ∈ Z
m, n ∈ Z
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(IV) (Zm , +, .) é um anel comutativo com unidade. 
 
Com relação as afirmações podemos concluir que:
 
Somente a II e III estão corretas.
Somente a II e IV estão corretas.
Somente a III e IV estão corretas.
Somente a I está correta.
Somente a I, III e IV estão corretas.
Legenda: Questão não respondida Questão não gravada Questão gravada
Exercício inciado em 11/04/2020 00:08:32. 
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