Aula 08

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 
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Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
Aula 08 
Trigonometria. 
8. Trigonometria ............................................................................................................................ 2 
8.1. Introdução .......................................................................................................................... 2 
8.2. Razões Trigonométricas em um Triângulo Retângulo ....................................... 8 
8.2.1. Seno, Cosseno, Tangente e Cotangente ............................................................. 8 
8.2.2. Teorema de Pitágoras .............................................................................................. 11 
Alguns triângulos retângulos clássicos que podem aparecer em prova: .......... 12 
8.2.3. Outras Relações Importantes ................................................................................ 12 
8.2.3.1. Relação entre Cosseno e Tangente ................................................................. 12 
8.2.3.2. Relação entre Seno e Tangente ....................................................................... 13 
8.2.3.3. Secante e Cossecante .......................................................................................... 14 
8.3. Razões Trigonométricas Especiais ........................................................................... 14 
8.4. Relações entre Graus e Radianos ............................................................................ 16 
8.5. Ciclo Trigonométrico ..................................................................................................... 17 
8.6. Transformações .............................................................................................................. 22 
8.6.1. Cosseno da Soma ...................................................................................................... 22 
8.6.2. Cosseno da Diferença ............................................................................................... 22 
8.6.3. Seno da Soma ............................................................................................................. 22 
8.6.4. Seno da Diferença ..................................................................................................... 22 
8.6.5. Tangente da Soma e da Diferença ...................................................................... 23 
8.6.6. Cotangente da Soma e da Diferença ................................................................. 23 
8.7. Lei dos Cossenos ............................................................................................................ 24 
8.8. Memorize para a prova ................................................................................................ 25 
8.9. Exercícios de Fixação .................................................................................................... 32 
8.10. Gabarito .......................................................................................................................... 40 
8.11. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos ............................................ 41 
Bibliografia ..................................................................................................................................... 68 
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8. Trigonometria 
Hoje, chegamos à aula de trigonometria, para muitos, considerada o “bicho-
papão” da matemática. Vou procurar, nesta aula, ser o mais objetivo possível 
e mostrar aquilo que realmente você precisa saber para acertar as questões de 
trigonometria. Vamos lá! 
 
8.1. Introdução 
 
Para iniciarmos o estudo da trigonometria precisamos entender o que é 
ângulo. Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem, mas não 
contidas na mesma reta. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Semi-retas: OA e OB 
Lados do ângulo: OA e OB. 
Vértice do ângulo: O 
Ângulo: Ô ou AÔB ou BÔA ou β 
Unidade de Medida: º (graus) ou radianos (rd) 
 
Repare que, normalmente, medimos os ângulos em graus ou radianos, sendo 
que a relação entre os dois é: 
360º (360 graus) = 2π radianos 
1º (1 grau) = 
2
360
π
radianos 
O símbolo π é chamado de PI. 
 
Além disso, temos os conceitos de ângulos consecutivos e ângulos adjacentes. 
Ângulos consecutivos são ângulos que possuem um dos lados comuns, ou 
seja, um ângulo está contido em outro. Por outro lado, os ângulos 
adjacentes possuem um lado em comum, mas não têm pontos internos 
comuns, ou seja, um ângulo não está contido em outro. Vejamos: 
 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
Os ângulos CÔA e CÔB são consecutivos. 
Os ângulos CÔA e BÔA são consecutivos. 
Os ângulos CÔB e BÔA são adjacentes. 
β 
B 
A 
O 
B 
A 
O 
C 
,
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Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mais definições importantes de ângulos: ângulos suplementares, ângulos 
complementares, ângulo reto, ângulo agudo, ângulo obtuso e triângulo. 
 
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º 
(cento e oitenta graus ou π radianos). Dizemos que um ângulo é o 
suplemento do outro. 
 
Exemplo: β + θ = 180º 
 
 
 
 
 
 
 
β e θ são ângulos suplementares. 
 
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º 
(noventa graus ou 
2
π
 radianos). Dizemos que um ângulo é o complemento do 
outro. 
 
Exemplo: β + θ = 90º 
 
 
 
 
 
 
β e θ são ângulos complementares. 
 
 
β 
B 
A 
O 
θ 
β 
θ 
Ângulo: é a reunião de duas semi-retas de mesma origem, mas não contidas 
na mesma reta. 
 
Ângulos consecutivos: são ângulos que possuem um dos lados comuns, ou 
seja, um ângulo está contido em outro. 
 
Ângulos adjacentes: são ângulos que possuem um lado em comum, mas 
não têm pontos internos comuns, ou seja, um ângulo não está contido em 
outro. 
 
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Ângulo Reto é o ângulo cuja medida é igual a 90º (noventa graus ou 
2
π
 
radianos). 
Exemplo: β = 90º 
 
 
 
 
 
 
β é um ângulo reto. 
 
Ângulo Agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º (noventa graus ou 
2
π
 
radianos). 
Exemplo: β < 90º 
 
 
 
 
 
β é um ângulo agudo. 
 
Ângulo Obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º (noventa graus ou 
2
π
 radianos) e menor que 180º (cento e oitenta graus ou π radianos). 
Exemplo: 90º < β < 180º 
 
 
 
 
 
 
β é um ângulo obtuso. 
 
Triângulo é a reunião de três segmentos de retas não colineares. 
 
Exemplo: Triângulo ABC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
β 
β 
β 
 
C B 
A 
θ 
β 
δ 
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Vértices: A, B e C 
Lados: AB, BC e CA 
Ângulos Internos: δ, β e θ ⇒ δ + β + θ = 180º 
 
Esta relação é extremamente importante: as somas dos ângulos 
internos do triângulo é igual a 180º (cento e oitenta graus ou π 
radianos). 
 
Para encerrar a introdução, vamos ver mais dois conceitos: semelhança de 
triângulos e triângulo retângulo. 
 
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos 
internos iguais (ou congruentes) e os lados homólogos proporcionais. 
 
Nota: Dois lados são homólogos quando são opostos aos ângulos congruentes. 
 
Difícil? Então veja por meio de um exemplo: 
 
Exemplo: Triângulos ABC e DEF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ostriângulos ABC e DEF serão semelhantes se: 
 
1. Os ângulos internos são congruentes: 
 
C �AB ≡ F�DE (o símbolo ≡ significa que os ângulos são congruentes); 
A �C B ≡ D�F E 
A �B C = D �E F 
 
 
C B 
A 
θ 
β 
δ 
 
F 
E 
D 
ω ∂ 
µ 
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2. Os lados homólogos são proporcionais: 
 
AB CB AC
DE FE DF
= = 
 
A representação para triângulos semelhantes é o símbolo: ~. 
 
Ou seja, no caso do exemplo: ABC∆ ~ DEF∆ , onde ∆ significa triângulo. 
 
Triângulo Retângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto 
(= 90º ou 
2
π
 radianos). 
 
Além disso, temos o conceito de hipotenusa e catetos (oposto e adjacente). A 
hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, os catetos opostos são os lados 
opostos aos ângulos que não são retos e os catetos adjacentes correspondem 
a um dos lados dos ângulos que não são retos (o outro é hipotenusa). Vejamos 
um exemplo. 
 
Exemplo: δ = 90º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lado oposto ao ângulo reto δ: 
 
a = Hipotenusa 
Considerando o ângulo β, teríamos: 
 
b = Cateto oposto (lado oposto ao ângulo β). 
 
c = Cateto adjacente (um dos lados adjacentes ao ângulo β – o outro 
lado adjacente é a hipotenusa) 
Considerando o ângulo θ, teríamos: 
 
b = Cateto adjacente (um dos lados adjacentes ao ângulo θ – o outro 
lado adjacente é a hipotenusa) 
 
c = Cateto oposto (lado oposto ao ângulo θ). 
 
c 
b 
a 
β 
θ 
δ 
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Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulos Suplementares: a soma de suas medidas é 180º (cento e oitenta 
graus ou π radianos). Dizemos que um ângulo é o suplemento do outro. 
 
Ângulos Complementares: a soma de suas medidas é 90º (noventa graus 
ou 
2
π
 radianos). Dizemos que um ângulo é o complemento do outro. 
Ângulo Reto: é o ângulo cuja medida é igual a 90º (noventa graus ou 
2
π
 
radianos). 
 
Ângulo Agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º (noventa graus ou 
2
π
 radianos). 
 
Ângulo Obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º (noventa graus ou 
2
π
 radianos) e menor que 180º (cento e oitenta graus ou π radianos). 
 
Triângulo é a reunião de três segmentos de retas não colineares. 
 
Semelhança de Triângulos: dois triângulos são semelhantes se, e somente 
se, possuem os três ângulos internos iguais (ou congruentes) e os lados 
homólogos proporcionais. 
 
Triângulo Retângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto 
(= 90º ou 
2
π
 radianos). 
Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto, em um triângulo retângulo. 
Catetos Opostos: são os lados opostos aos ângulos que não são retos, em 
um triângulo retângulo. 
Catetos Adjacentes: correspondem a um dos lados dos ângulos que não 
são retos (o outro é hipotenusa), em um triângulo retângulo. 
 
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8.2. Razões Trigonométricas em um Triângulo Retângulo 
 
8.2.1. Seno, Cosseno, Tangente e Cotangente 
 
Vista a introdução, vamos começar a adentrar pela “aventura da 
trigonometria”. 
 
Para começar, temos que aprender o que é seno, o que é cosseno, o que é 
tangente e o que é cotangente. 
 
O seno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pela 
hipotenusa e será representado por sen(x). 
 
O cosseno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto adjacente pela 
hipotenusa e será representado por cos(x). 
 
A tangente de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pelo 
cateto adjacente e será representada por tg(x). A tangente de um ângulo x 
também pode ser calculada com o resultado da divisão do seno de x pelo 
cosseno de x. 
 
A cotangente de um ângulo x é o inverso da tangente ou é o resultado da 
divisão do cateto adjacente pelo cateto oposto e será representada por 
cotg(x). A cotangente de um ângulo x também pode ser calculada com o 
resultado da divisão do cosseno de x pelo seno de x. 
 
Portanto, em fórmulas matemáticas, teríamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando o ângulo β, teríamos: 
 
cos
CatetoOposto b
sen
Hipotenusa a
CatetoAdjacente c
Hipotenusa a
β
β
= =
= =
 
 
 
c 
b 
a 
β 
θ 
δ 
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cos
cot
cos
cot
1 1
t t
CatetoOposto b
tg
CatetoAdjacente c
b
sen batg
c c
a
CatetoAdjacente c
g
CatetoOposto b
c
cag
bsen b
a
cotg tg
g co g
β
ββ
β
β
ββ
β
β β
β β
⇒
= =
= = =
= =
= = =
= =
 
 
Considerando o ângulo θ, teríamos: 
 
cos
CatetoOposto c
sen
Hipotenusa a
CatetoAdjacente b
Hipotenusa a
θ
θ
= =
= =
 
 
cos
cot
cos
cot
1 1
t t
CatetoOposto c
tg
CatetoAdjacente b
c
sen catg
b b
a
CatetoAdjacente b
g
CatetoOposto c
b
bag
csen c
a
cotg tg
g co g
θ
θθ
θ
θ
θθ
θ
θ θ
θ θ
⇒
= =
= = =
= =
= = =
= =
 
 
Repare ainda que, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 
180º (cento e oitenta graus), temos que: 
 
β + δ + θ = 180º 
 
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Além disso, como δ é um ângulo reto (90º), se substituirmos este valor na 
relação acima, teríamos: 
 
β + δ + θ = 180º ⇒ β + 90º + θ = 180º ⇒ β + θ = 180º - 90º ⇒ 
⇒ β + θ = 90º 
 
Portanto, como a soma de β e θ é igual a 90º (noventa graus), eles são 
ângulos complementares. 
 
Repare agora, algumas relações importantes entre ângulos complementares: 
 
sen β = cos θ 
cos β = sen θ 
tg β = cotg θ 
cotg β = tg θ 
tg β x tg θ = 1 
cotg β x cotg θ = 1 
 
Beleza até aqui? Ressalto que estas relações de seno, cosseno, tangente e 
cotangente são a base da trigonometria e devem estar no seu “sangue” para a 
prova! 
 
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O seno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pela 
hipotenusa. 
 
O cosseno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto adjacente pela 
hipotenusa. 
 
A tangente de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pelo 
cateto adjacente. A tangente de um ângulo x também pode ser calculada 
com o resultado da divisão do seno de x pelo cosseno de x. 
 
A cotangente de um ângulo x é o inverso da tangente ou é o resultado da 
divisão do cateto adjacente pelo cateto oposto. A cotangente de um ângulo 
x também pode ser calculada com o resultado da divisão do cosseno de x 
pelo seno de x. 
 
Se o ângulo β e o ângulo θ são complementares (β + θ = 90º), então: 
 
sen β = cos θ 
cos β = sen θ 
tg β = cotg θ 
cotg β = tg θ 
tg β x tg θ = 1 
cotg β x cotg θ = 1 
 
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Agora, dê uma relaxada e beba uma água, para que possamos continuar com 
os nossos conceitos. 
 
Vamos retomar o estudo com mais conceitos IMPORTANTES para a prova. 
 
8.2.2. Teorema de Pitágoras 
 
O teorema de Pitágoras corresponde a seguinte relação: o quadrado da 
hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a = hipotenusa 
b = cateto 
c = cateto 
 
Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 (I) 
 
Se dividirmos todos os termos da equação (I) por a2, teremos: 
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
1
a b c
a a a
b c
a a
= + ⇒
⇒ = + ⇒
 
 
2 2
1
b c
a a
   ⇒ = +   
   
(II) 
 
Já vimos que: 
cos
b
sen
a
c
a
ββ
=
=
 
 
Substituindo o seno e o cosseno de β na equação (II), teríamos: 
2 2
2 2
1
1 cos
b c
a a
sen β β
   ⇒ = + ⇒   
   
⇒ = +
 
 
c 
b 
a 
β 
θ 
δ 
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Esta é outra relação importantíssima, também conhecida como relação 
fundamental: o quadrado do seno de um ângulo β qualquer somado ao 
quadrado do cosseno desse mesmo ângulo é igual a 1 (um). 
 
sen2 β + cos2 β = 1 
 
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alguns triângulos retângulos clássicos que podem aparecer em prova: 
 
Lados: 3 (cateto), 4 (cateto) e 5 (hipotenusa) 
Teorema de Pitágoras: 52 = 32 + 42 ⇒ 25 = 9 + 16 ⇒ 25 = 25 (ok) 
 
 
 
 
 
 
 
Lados: 5 (cateto), 12 (cateto) e 13 (hipotenusa) 
Teorema de Pitágoras: 132 = 52 + 122 ⇒ 169 = 25 + 144 ⇒ 169 = 169 (ok) 
 
 
 
 
 
 
 
8.2.3. Outras Relações Importantes 
 
8.2.3.1. Relação entre Cosseno e Tangente 
 
Considerando a relação anterior: 
sen2 β + cos2 β = 1 (III) 
 
Se dividirmos (III) por cos2 β, teremos: 
 
2 2
2 2 2
cos 1
cos cos cos
sen β β
β β β
+ = ⇒ 
 
Teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos 
quadrados dos catetos. 
 
Relação fundamental: o quadrado do seno de um ângulo x qualquer 
somado ao quadrado do cosseno desse mesmo ângulo é igual a 1 (um). 
sen2 x + cos2 x = 1 
 
3 
4 
5 
5 
12 
13 
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⇒
2 2
1
1
cos cos
senβ
β β
   
+ =   
   
 
 
Já sabemos que: 
 
cos
sen
tg
β
β
β
= 
 
⇒
2
2 11
cos
tg β
β
 
+ =  
 
⇒ 
⇒ 2
2
1
1
cos
tg β
β
+ = ⇒ 
⇒ 2
2
1
cos
1 tg
β
β
=
+
 
 
8.2.3.2. Relação entre Seno e Tangente 
 
Considerando a relação anterior: 
sen2 β + cos2 β = 1 (III) 
 
Se dividirmos (III) por sen2 β, teremos: 
 
2 2
2 2 2
cos 1sen
sen sen sen
β β
β β β
+ = ⇒ 
 
⇒
2 2
cos 1
1
sen sen
β
β β
   
+ =   
   
 
 
Já sabemos que: 
 
cos
sen
tg
β
β
β
= ⇒
1 cos
tg sen
β
β β
= 
 
⇒
2 2
1 1
1
tg senβ β
+ = ⇒ 
⇒
2
2 2
1 1tg
tg sen
β
β β
+
= ⇒ 
⇒
2
2
21
tg
sen
tg
β
β
β
=
+
 
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8.2.3.3. Secante e Cossecante 
 
Estas são duas relações pouco prováveis de aparecer em prova. Contudo, 
como o Sr. Seguro morreu de velho e o Sr. Prevenido está vivo até hoje, 
vamos conceituá-las. 
 
A secante, representada por sec, é o inverso do cosseno e a cossecante, 
representada por cossec, é o inverso do seno. 
 
 
1
sec
cos
1
cossec
x
x
x
senx
=
=
 
 
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.3. Razões Trigonométricas Especiais 
 
Neste item, apresentarei alguns valores importantes para a prova (podem ser 
necessários os valores do seno, cosseno, tangente e cotangente desses 
ângulos para resolver alguma questão): 
 
Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º 
Seno 0 1
2
 2
2
 
3
2
 
1 0 -1 0 
Cosseno 1 3
2
 
2
2
 
1
2
 0 -1 0 1 
Tangente 0 3
3
 
1 3 ∞ 0 -∞ 0 
Cotangente ∞ 3 1 3
3
 
0 -∞ 0 ∞ 
∞ = infinito 
 
Ou seja, se na questão aparecer o sen 30º, temos que saber que vale 
1
2
, e 
assim por diante. 
 
Relação entre Cosseno e Tangente: 2
2
1
cos
1 tg
β
β
=
+
 
 
Relação entre Seno e Tangente: 
2
2
21
tg
sen
tg
β
β
β
=
+
 
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Uma outra maneira é a questão fornecer o valor e termos que descobrir o 
ângulo. Nessa situação chamamos de arco. Por exemplo, se a questão deseja 
saber qual o ângulo cujo seno é igual a 
1
2
, falaríamos da seguinte maneira: 
 
Qual o arco seno de 
1
2
? O arco seno de 
1
2
 é 30º (trinta graus). 
 
Veja a tabela (partindo do valor para achar o ângulo): 
 
Ângulo 0 1
2
 2
2
 
3
2
 
1 
Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90º 
Arco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º 
 
Ângulo 3
3
 
1 3 
Arco Tangente 30º 45º 60º 
Arco Cotangente 60º 45º 30º 
Exemplos: 
Arco Seno 0 = 0º 
Arco Seno (
1
2
) = 30º 
Arco Cosseno (1) = 0º 
De posse dos valores de seno, cosseno, tangente e cotangente dos diversos 
ângulos, também conseguimos definir os seus intervalos de valores. Vejamos: 
 
-1 ≤ seno x ≤ 1 ⇒o valor do seno pode variar entre -1 e 1. 
-1 ≤ cosseno x ≤ 1 ⇒o valor do cosseno pode variar entre -1 e 1. 
-∞ ≤ tangente x ≤ +∞ ⇒o valor da tangente pode variar entre -∞ e +∞. 
-∞ ≤ cotangente x ≤ +∞ ⇒o valor da cotangente pode variar entre -∞ e +∞. 
 
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Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.4. Relações entre Graus e Radianos 
 
Vimos, no início da aula, que: 
 
360º (360 graus) = 2π radianos 
1º (1 grau) = 
2
360
π
radianos 
 
Vamos supor que você deseja saber qual é o valor em radianos correspondente 
a 30º (trinta graus). Basta fazer uma regra de três: 
 
360º ==� 2π radianos 
30º ==� Y radianos 
 
Multiplicando em cruz (lembra?): 360º x Y = 30º x 2π ⇒ 
⇒ Y = 
30 2 60
360 360 6
o
o
x π π π
= = 
 
 
Relações Trigonométricas Especiais: 
 
Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º 
Seno 0 1
2
 2
2
 
3
2
 
1 0 -1 0 
Cosseno 1 3
2
 
2
2
 
1
2
 0 -1 0 1 
Tangente 0 3
3
 
1 3 ∞ 0 -∞ 0 
Cotangente ∞ 3 1 3
3
 
0 -∞ 0 ∞ 
∞ = infinito 
 
Ângulo 0 1
2
 2
2
 
3
2
 
1 
Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90º 
Arco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º 
 
Intervalos: 
-1 ≤ seno x ≤ 1 ⇒o valor do seno pode variar entre -1 e 1. 
-1 ≤ cosseno x ≤ 1 ⇒o valor do cosseno pode variar entre -1 e 1. 
-∞ ≤ tangente x ≤ +∞ ⇒o valor da tangente pode variar entre -∞ e +∞. 
-∞ ≤ cotangente x ≤ +∞ ⇒o valor da cotangente pode variar entre -∞ e +∞. 
 
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Portanto, pode-se deduzir (fazendo os cálculos) que: 
 
180º
90º
2
60º
3
30º
6
π
π
π
π
=
=
=
=
 
 
e assim por diante. 
 
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.5. Ciclo Trigonométrico 
 
Também é possível utilizar o ciclo trigonométrico para calcular as relações de 
seno, cosseno, tangente e cotangente. Vejamos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OA ⇒ eixo dos cossenos (sentido positivo ⇒ O -> A) 
OB ⇒ eixo dos senos (sentido positivo ⇒ O -> B) 
C ⇒ eixo das tangentes (sentido positivo ⇒ o mesmo do eixo dos senos) 
D ⇒ eixo das cotangentes (sentido positivo ⇒ o mesmo do eixo dos 
cossenos) 
 
C 
π/2 
π 
3π/2 
P 
P1 O 
P2 
A 
B 
D 
Relação entre graus e radianos: 360º (360 graus) = 2π radianos 
 
Para calcular dos demais ângulos (fazer uma regra de três): 
 
360º ==���� 2π radianos 
Xº ==� Y radianos 
 
Multiplicando em cruz: 360º x Y = Xº x 2π 
8
8
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Cosseno P = OP1 
Seno P = OP2 
 
Se definirmos sen α, cos α, tg α e cotg α no ciclo trigonométrico: α está no 
intervalo de 0 a 2π radianos, ou seja, entre 0º e 360º. Ou seja, como o próprio 
nome sugere, é um ciclo (se repete). Repare: 
 
n é um número inteiro. 
0 = 2π (360º) = 4π (720º) = 6π (1.080º) = 2nπ 
 
π/2 (90º) = 2π + π/2 (450º) = 4π + π/2 (810º) = 6π + π/2 (1.170º) = 
= 2nπ + π/2 
 
π (180º) = 3π (540º) = 5π (900º) = 2nπ + π 
 
3π/2 (270º) = 2π+ 3π/2 (630º) = 4π + 3π/2 (990º) = 6π + 3π/2 (1.350º) = 
= 2nπ + 3π/2 
 
e assim por diante. 
 
Também precisamos ter atenção aos quadrantes do ciclo trigonométrico, pois 
eles definirão se o seno, cosseno, tangente ou cotangente serão positivos ou 
negativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1Q = Primeiro Quadrante 
2Q = Segundo Quadrante 
3Q = Terceiro Quadrante 
4Q = Quarto Quadrante 
Primeiro Quadrante: de 0 a π/2 
Segundo Quadrante: de π/2 a π 
Terceiro Quadrante: de π a 3π/2 
Quarto Quadrante: de 3π/2 a 2π 
 
Quadrante Seno x Cosseno x Tangente x Cotangente x 
1 positivo positivo positiva positiva 
2 positivo negativo negativa negativa 
3 negativo negativo positiva positiva 
4 negativo positivo negativa negativa 
1 Q 2 Q 
3 Q 4 Q 
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Novamente, a tabela dos valores de seno e cosseno, agora mais completa. 
Repare que não é preciso memorizar os valores de tangente e cotangente, 
pois, nesses casos, você pode utilizar as fórmulas abaixo: 
cos
cos
cot
senx
tgx
x
x
gx
senx
=
=
 
 
Tabela de valores: 
X Seno x Cosseno X 
0 = 0º 0 1 
ππππ/6 = 30º 1
2 
3
2 
ππππ/4 = 45º 2
2 
2
2 
ππππ/3 = 60º 3
2 
1
2 
ππππ/2 = 90º 1 0 
2ππππ/3 = 120º 3
2 
1
2
−
 
3ππππ/4 = 135º 2
2 
2
2
−
 
5ππππ/6 = 150º 1
2 
3
2
−
 
ππππ = 180º 0 -1 
7ππππ/6 = 210º 1
2
−
 
3
2
−
 
5ππππ/4 = 225º 2
2
−
 
2
2
−
 
4ππππ/3 = 240º 3
2
−
 
1
2
−
 
3ππππ/2 = 270º -1 0 
5ππππ/3 = 300º 3
2
−
 
1
2 
7ππππ/4 = 315º 2
2
−
 
2
2 
11ππππ/6 = 330º 1
2
−
 
3
2 
2ππππ = 360º 0 1 
 
 
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Exemplos: 
 
senα = 0 ⇒ α = 0, π, 2π, 3π, ... = nπ, n inteiro qualquer 
senα = 1 ⇒ α = π/2, 2π + π/2, ... = 2nπ + π/2, n inteiro qualquer 
senα = -1 ⇒ α = 3π/2, 2π + 3π/2, ... = 2nπ + 3π/2, n inteiro qualquer 
 
cos α = 0 ⇒ α = π/2, 3π/2, 5π/2,... = nπ + π/2, n inteiro qualquer 
cos α = 1 ⇒ α = 0, 2π, 4π, 6π, ... = 2nπ, n inteiro qualquer 
cos α = -1 ⇒ α = π, 3π, 5π, ... = 2nπ + π, n inteiro qualquer 
 
Em graus, teríamos: 
 
senα = 0 ⇒ α = 0, 180º, 360º, 540º, ... = 180º.n, n inteiro qualquer 
senα = 1 ⇒ α = 90º, 360º + 90º, ... = 360º.n + 90º, n inteiro qualquer 
senα = -1 ⇒ α = 270º, 360º + 270º, ... = 360º.n + 270º, n inteiro qualquer 
 
cos α = 0 ⇒ α = 90º, 270º, 450º,... = 180º.n + 90º, n inteiro qualquer 
cos α = 1 ⇒ α = 0, 360º, 720º, 1.080º, ... = 360º.n, n inteiro qualquer 
cos α = -1 ⇒ α = 180º, 540º, 900º, ... = 360º.n + 180º, n inteiro qualquer 
 
Repare que o importante é conhecer os valores de seno e de cosseno até 360º, 
pois, como é um ciclo trigonomêtrico, os ângulos se repetem a partir de 360º. 
Por exemplo, no caso de 0º, temos: 
 
cos 0º = cos 360º = cos 720º = cos 1.080º = ... = 1 
 
 
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Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ciclo Trigonométrico - Quadrantes: 
Primeiro Quadrante: de 0 a π/2 
Segundo Quadrante: de π/2 a π 
Terceiro Quadrante: de π a 3π/2 
Quarto Quadrante: de 3π/2 a 2π 
Quadrante Seno x Cosseno x Tangente x Cotangente x 
1 positivo Positivo positiva positiva 
2 positivo Negativo negativa negativa 
3 negativo Negativo positiva positiva 
4 negativo Positivo negativa negativa 
 
Valores: 
X Seno x Cosseno X 
0 = 0º 0 1 
ππππ/6 = 30º 1
2 
3
2 
ππππ/4 = 45º 2
2 
2
2 
ππππ/3 = 60º 3
2 
1
2 
ππππ/2 = 90º 1 0 
2ππππ/3 = 120º 3
2 
1
2
−
 
3ππππ/4 = 135º 2
2 
2
2
−
 
5ππππ/6 = 150º 1
2 
3
2
−
 
ππππ = 180º 0 -1 
7ππππ/6 = 210º 1
2
−
 
3
2
−
 
5ππππ/4 = 225º 2
2
−
 
2
2
−
 
4ππππ/3 = 240º 3
2
−
 
1
2
−
 
3ππππ/2 = 270º -1 0 
5ππππ/3 = 300º 3
2
−
 
1
2 
7ππππ/4 = 315º 2
2
−
 
2
2 
11ππππ/6 = 330º 1
2
−
 
3
2 
2ππππ = 360º 0 1 
 
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8.6. Transformações 
 
Neste item, veremos as transformações, que são cobradas com muita 
frequência em provas de concursos. 
 
8.6.1. Cosseno da Soma 
 
Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b 
 
Como ficaria o cos 2a? 
 
cos 2a = cos (a + a) = cos a . cos a – sen a . sen a = cos2 a – sen2 a (I) 
 
Como sen2 a + cos2 a = 1 ⇒ sen2 a = 1 – cos2 a (II) 
 
Substituindo (II) em (I): 
cos 2a = cos2 a – (1 – cos2 a) = 2 . cos2 a – 1 
 
ou 
 
Como sen2 a + cos2 a = 1 cos 2a = cos2 a = 1 – sen2 a (III) 
 
Substituindo (III) em (I): 
cos 2a = 1 – sen2 a – sen2 a = 1 – 2 . sen2 a 
 
8.6.2. Cosseno da Diferença 
 
Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b 
 
8.6.3. Seno da Soma 
 
Seno da soma: sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
 
Como ficaria o sen 2a? 
sen 2a = sen (a + a) = sen a . cos a + sen a . cos a = 2 . sen a . cos a 
 
8.6.4. Seno da Diferença 
 
Seno da diferença: sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a 
 
Curiosidade: A fórmula do seno da soma me faz lembrar um professor meu 
do antigo “segundo grau” (é, estou ficando velho), que dizia (para memorizar 
a fórmula): 
 
“Minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá, seno a cosseno b, seno 
b cosseno a”. E aí, sentiu a sonoridade? Risos. 
 
 
 
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Estes são mais difíceis de aparecer em prova, mas, por via das dúvidas, vamos 
estudar. 
 
8.6.5. Tangente da Soma e da Diferença 
 
Tangente da soma: tg (a + b) = 
1 .
tga tgb
tga tgb
+
−
 
 
Como ficaria a tg 2a? 
tg 2a = tg (a + a) = 
1 .
tga tga
tga tga
+
−
=
2
2.
1
tga
tg a−
 
 
Tangente da diferença: tg (a - b) = 
1 .
tga tgb
tga tgb
−
+
 
 
8.6.6. Cotangente da Soma e da Diferença 
 
Cotangente da soma: cotg (a + b) = 
.cot 1
cot cot
cotga gb
ga gb
−
+
 
 
Cotangente da diferença: cotg (a - b) = 
.cot 1
cot cot
cotga gb
ga gb
+
−
 
 
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b 
cos 2a = 2 . cos2 a – 1 = 1 – 2 . sen2 a 
 
Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b 
 
Seno da soma: sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
sen 2a = 2 . sen a . cos a 
 
Seno da diferença: sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a 
 
Tangente da soma: tg (a + b) = 
1 .
tga tgb
tga tgb
+
−
 
tg 2a = 
2
2.
1
tga
tg a−
 
Tangente da diferença: tg (a - b) = 
1 .
tga tgb
tga tgb
−
+
 
 
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8.7. Lei dos Cossenos 
 
De acordo com a Lei dos Cossenos, qualquer que seja o triângulo, o quadrado 
de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o 
resultado do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por 
esses lados. Difícil? Vejamos na figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a2 = b2 + c2 – 2bc.cos �A 
b2 = a2 + c2 – 2ac.cos �B 
c2 = a2 + b2 – 2ac.cos �C 
 
Memorize para a prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lei dos Cossenos: 
De acordo com a Lei dos Cossenos, qualquer que seja o triângulo, o quadrado 
de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o 
resultado do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por 
esses lados. 
 
a2 = b2 + c2 – 2bc.cos �A 
b2 = a2 + c2 – 2ac.cos �B 
c2 = a2 + b2 – 2ac.cos �C 
 
A 
B C 
a 
c b 
�C �B 
�A 
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8.8. Memorize para a prova 
 
Ângulo: é a reunião de duas semi-retas de mesma origem, mas não contidas 
na mesma reta. 
 
 
 
 
 
Semi-retas: OA e OB 
Lados do ângulo: OA e OB. 
Vértice do ângulo: O 
Ângulo: Ô ou AÔB ou BÔA ou β 
Unidade de Medida: º (graus) ou radianos (rd) 
 
Ângulos consecutivos: são ângulos que possuem um dos lados comuns, ou 
seja, um ângulo está contido em outro. 
 
Ângulos adjacentes: são ângulos que possuem um lado em comum, mas 
não têm pontos internos comuns, ou seja, um ângulo não está contido em 
outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os ângulos CÔA e CÔB são consecutivos. 
Os ângulos CÔA e BÔA são consecutivos. 
Os ângulos CÔB e BÔA são adjacentes. 
 
Ângulos Suplementares: a soma de suas medidas é 180º (cento e oitenta 
graus ou π radianos). Dizemos que um ângulo é o suplemento do outro. 
 
Ângulos Complementares: a soma de suas medidas é 90º (noventa graus 
ou 
2
π
 radianos). Dizemos que um ângulo é o complemento do outro. 
Ângulo Reto: é o ângulo cuja medida é igual a 90º (noventa graus ou 
2
π
 
radianos). 
 
Ângulo Agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º (noventa graus ou 
2
π
 
radianos). 
 
β 
B 
O 
B 
A 
O 
C 
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Ângulo Obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º (noventa graus ou 
2
π
 radianos) e menor que 180º (cento e oitenta graus ou π radianos). 
 
Triângulo é a reunião de três segmentos de retas não colineares. 
 
Semelhança de Triângulos: dois triângulos são semelhantes se, e somente 
se, possuem os três ângulos internos iguais (ou congruentes) e os lados 
homólogos proporcionais. 
 
Triângulo Retângulo é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto 
(= 90º ou 
2
π
 radianos). 
 
Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto, em um triângulo retângulo. 
Catetos Opostos: são os lados opostos aos ângulos que não são retos, em 
um triângulo retângulo. 
Catetos Adjacentes: correspondem a um dos lados dos ângulos que não são 
retos (o outro é hipotenusa), em um triângulo retângulo. 
 
Seno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pela 
hipotenusa e será representado por sen(x). 
 
Cosseno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto adjacente pela 
hipotenusa e será representado por cos(x). 
 
Tangente de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pelo 
cateto adjacente e será representada por tg(x). A tangente de um ângulo x 
também pode ser calculada com o resultado da divisão do seno de x pelo 
cosseno de x. 
 
Cotangente de um ângulo x é o inverso da tangente ou é o resultado da 
divisão do cateto adjacente pelo cateto oposto e será representada por 
cotg(x). A cotangente de um ângulo x também pode ser calculada com o 
resultado da divisão do cosseno de x pelo seno de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c 
b 
a 
β 
θ 
δ 
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Considerando o ângulo β, teríamos: 
cos
CatetoOposto b
sen
Hipotenusa a
CatetoAdjacente c
Hipotenusa a
β
β
= =
= =
 
 
cos
cot
cos
cot
1 1
t t
CatetoOposto b
tg
CatetoAdjacente c
b
sen batg
c c
a
CatetoAdjacente c
g
CatetoOposto b
c
cag
bsen b
a
cotg tg
g co g
β
ββ
β
β
ββ
β
β β
β β
⇒
= =
= = =
= =
= = =
= =
 
 
Considerando o ângulo θ, teríamos: 
 
cos
CatetoOposto c
sen
Hipotenusa a
CatetoAdjacente b
Hipotenusa a
θ
θ
= =
= =
 
cos
cot
cos
cot
1 1
t t
CatetoOposto c
tg
CatetoAdjacente b
c
sen catg
b b
a
CatetoAdjacente b
g
CatetoOposto c
b
bag
csen c
a
cotg tg
g co g
θ
θθ
θ
θ
θθ
θ
θ θ
θ θ
⇒
= =
= = =
= =
= = =
= =
 
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Relações importantes entre ângulos complementares: 
 
sen β = cos θ 
cos β = sen θ 
tg β = cotg θ 
cotg β = tg θ 
tg β x tg θ = 1 
cotg β x cotg θ = 1 
 
Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 (I) 
 
Relação fundamental: o quadrado do seno de um ângulo x qualquer somado 
ao quadrado do cosseno desse mesmo ângulo é igual a 1 (um). 
sen2 x + cos2 x = 1 
 
Relação entre Cosseno e Tangente: 2
2
1
cos
1 tg
β
β
=
+
 
 
Relação entre Seno e Tangente: 
2
2
21
tg
sen
tg
β
β
β
=
+
 
 
Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º 
Seno 0 1
2
 2
2
 
3
2
 
1 0 -1 0 
Cosseno 1 3
2
 
2
2
 
1
2
 0 -1 0 1 
Tangente 0 3
3
 
1 3 ∞ 0 -∞ 0 
Cotangente ∞ 3 1 3
3
 
0 -∞ 0 ∞ 
∞ = infinito 
 
Ângulo 0 1
2
 2
2
 
3
2
 
1 
Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90º 
Arco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º 
 
Ângulo 3
3
 
1 3 
Arco Tangente 30º 45º 60º 
Arco Cotangente 60º 45º 30º 
 
 
 
 
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Intervalo: 
-1 ≤ seno x ≤ 1 ⇒o valor do seno pode variar entre -1 e 1. 
-1 ≤ cosseno x ≤ 1 ⇒o valor do cosseno pode variar entre -1 e 1. 
-∞ ≤ tangente x ≤ +∞ ⇒o valor da tangente pode variar entre -∞ e +∞. 
-∞ ≤ cotangente x ≤ +∞ ⇒o valor da cotangente pode variar entre -∞ e +∞. 
Relação entre graus e radianos: 360º (360 graus) = 2π radianos 
 
Para calcular dos demais ângulos (fazer uma regra de três): 
 
360º ==���� 2π radianos 
Xº ==� Y radianos 
 
Multiplicando em cruz: 360º x Y = Xº x 2π 
 
Ciclo Trigonométrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OA ⇒ eixo dos cossenos (sentido positivo ⇒ O -> A) 
OB ⇒ eixo dos senos (sentido positivo ⇒ O -> B) 
C ⇒ eixo das tangentes (sentido positivo ⇒ o mesmo do eixo dos senos) 
D ⇒ eixo das cotangentes (sentido positivo ⇒ o mesmo do eixo dos 
cossenos) 
Cosseno P = OP1 
Seno P = OP2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
π/2 
π 
3π/2 
P 
P1 O 
P2 
A 
B 
D 
1 Q 2 Q 
3 Q 4 Q 
,
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1Q = Primeiro Quadrante 
2Q = Segundo Quadrante 
3Q = Terceiro Quadrante 
4Q = Quarto Quadrante 
 
Primeiro Quadrante: de 0 a π/2 
Segundo Quadrante: de π/2 a π 
Terceiro Quadrante: de π a 3π/2 
Quarto Quadrante: de 3π/2 a 2π 
 
Quadrante Seno x Cosseno x Tangente x Cotangente x 
1 positivo positivo positiva positiva 
2 positivo negativo negativa negativa 
3 negativo negativo positiva positiva 
4 negativo positivo negativa negativa 
 
Tabela de valores: 
X Seno x Cosseno X 
0 = 0º 0 1 
ππππ/6 = 30º 1
2 
3
2 
ππππ/4 = 45º 2
2 
2
2 
ππππ/3 = 60º 3
2 
1
2 
ππππ/2 = 90º 1 0 
2ππππ/3 = 120º 3
2 
1
2
−
 
3ππππ/4 = 135º 2
2 
2
2
−
 
5ππππ/6 = 150º 1
2 
3
2
−
 
ππππ = 180º 0 -1 
7ππππ/6 = 210º 1
2
−
 
3
2
−
 
5ππππ/4 = 225º 2
2
−
 
2
2
−
 
4ππππ/3 = 240º 3
2
−
 
1
2
−
 
3ππππ/2 = 270º -1 0 
5ππππ/3 = 300º 3
2
−
 
1
2 
7ππππ/4 = 315º 2
2
−
 
2
2 
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11ππππ/6 = 330º 1
2
−
 
3
2 
2ππππ = 360º 0 1 
 
Exemplos: 
 
senα = 0 ⇒ α = 0, π, 2π, 3π, ... = nπ, n inteiro qualquer 
senα = 1 ⇒ α = π/2, 2π + π/2, ... = 2nπ + π/2, n inteiro qualquer 
senα = -1 ⇒ α = 3π/2, 2π + 3π/2, ... = 2nπ + 3π/2, n inteiro qualquer 
 
cos α = 0 ⇒ α = π/2, 3π/2, 5π/2,... = nπ + π/2, n inteiro qualquer 
cos α = 1 ⇒ α = 0, 2π, 4π, 6π, ... = 2nπ, n inteiro qualquer 
cos α = -1 ⇒ α = π, 3π, 5π, ... = 2nπ + π, n inteiro qualquer 
 
Cossenoda soma: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b 
 
cos 2a = 2 . cos2 a – 1 = 1 – 2 . sen2 a 
 
Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b 
 
Seno da soma: sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
 
sen 2a = 2 . sen a . cos a 
 
Seno da diferença: sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a 
 
Tangente da soma: tg (a + b) = 
1 .
tga tgb
tga tgb
+
−
 
 
tg 2a = tg (a + a) = 
1 .
tga tga
tga tga
+
−
=
2
2.
1
tga
tg a−
 
 
Tangente da diferença: tg (a - b) = 
1 .
tga tgb
tga tgb
−
+
 
Lei dos Cossenos: 
De acordo com a Lei dos Cossenos, qualquer que seja o triângulo, o quadrado 
de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o 
resultado do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por 
esses lados. 
a2 = b2 + c2 – 2bc.cos �A 
b2 = a2 + c2 – 2ac.cos �B 
c2 = a2 + b2 – 2ac.cos 
�C 
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8.9. Exercícios de Fixação 
 
1.(AFRFB-2009-Esaf) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em 
relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode 
ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco 
primeiros segundos, é de 900 km/h, a que altura em relação ao ponto de 
lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o 
lançamento? 
 
a) 0,333 km 
b) 0,625 km 
c) 0,5 km 
d) 1,3 km 
e) 1 km 
 
2.(ATRFB-2009-Esaf) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo 
de 90 graus uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância 
cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do 
cruzamento e outro que se encontra na outra estrada a 4 km do mesmo 
cruzamento? 
 
a) 5 km. 
b) 4 km. 
c) 4 2 km. 
d) 3 km. 
e) 5 2 km. 
 
3.(Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Sabendo que 
2
cos
2
x arc= e que 1
2
y arcsen= , então o valor da expressão cos(x - y) é 
igual a: 
6 2
)
4
6 2
)
4
2
)
2
2
) 3
2
) 2
a
b
c
d
e
+
−
+
 
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4.(Auditor-Fiscal do Trabalho-MTE-2006-Esaf) Sabendo-se que 3 cos x + 
sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a: 
 
a) -4/3 
b) 4/3 
c) 5/3 
d) -5/3 
e) 1/7 
 
5.(Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) O sistema dado pelas 
equações 
 
. .cos cos2
.cos . 2
x sena y a a
x a y sena sen a
− = −
+ =
 
 
possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que “a” é uma constante, então a soma 
dos quadrados das raízes é igual a 
 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) sen π 
e) cos π 
 
6.(Analista de Finanças e Controle-STN-2002-Esaf) A expressão dada por 
y = 4 (cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo 
de variação de y é: 
 
a) -4 ≤ y ≤ 8 
b) 0 < y ≤ 8 
c) -∞ ≤ y ≤ ∞ 
d) 0 ≤ y ≤ 4 
e) 0 ≤ y ≤ 8 
 
7.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Sabendo que x = 3 sen t e y = 
4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por: 
 
a) 16 y2 - 9 x2 = 144 
b) 16 x2 - 9 y2 = 144 
c) 16 y2 + 9 x2 = 144 
d) 16 x2 + 9 y2 = 144 
e) 9 y2 - 16 x2 = 144 
 
 
 
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8.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) A função composta de duas 
funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x) 
= sen2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a: 
 
a) f (-1) 
b) f (2) 
c) g (0) 
d) g (2) 
e) f (1) 
9.(Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A condição 
necessária e suficiente para a identidade sen 2 αααα = 2 sen αααα ser verdadeira é 
que αααα seja, em radianos, igual a: 
a) π/3 
b) π/2 
c) n π sendo n um número inteiro qualquer 
d) n π/2, sendo n um número inteiro qualquer 
e) n π/3 ,sendo n um número inteiro qualquer 
 
10.(Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) A expressão dada 
por y = 3 sen x + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo 
de variação de y é 
a) -1 ≤ y ≤ 7 
b) -7 < y < 1 
c) -7 < y ≤ -1 
d) 1 ≤ y < 7 
e) 1 ≤ y ≤ 7 
 
11.(AFTN-1998-Esaf) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: 
(cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é: 
 
a) 2 
b) 0 
c) -1 
d) -2 
e) 1 
 
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12.(AFTN-1998-Esaf) Sejam três retas: a reta R1 que é a bissetriz do 
primeiro quadrante; a reta R2 que é a bissetriz do quarto quadrante e a reta R3 
que é dada pela equação x = 1. A área, em cm2, do triângulo cujos lados 
coincidem com essas três retas é: 
a) 1,5 
b) 2,5 
c) 0,5 
d) 2 
e) 1 
 
13.(Analista de Controle Interno-Secretaria de Administração-PE-FGV-
2009) Se cos x = – 1/2, então cos 6x é igual a: 
 
(A) 0. 
(B) 1. 
(C) 1/2. 
(D) 3/2 
(E) –1. 
 
14.(Inspetor-CVM-2008-NCE) Se x é um ângulo do quarto quadrante e 
seno x = -3/5, então o valor da cotangente de x é: 
 
(A) 3/4 
(B) -3/4 
(C) 4/3 
(D) 4/5 
(E) -4/3 
 
15.(Vunesp-SP) Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de 
peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são 
dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas 
funções C(x) = 2 – cos (xπ/6) e V(x) = 3 . (2)1/2. sen xπ/12, 0 ≤ x ≤ 6. O 
lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é: 
 
a) 500 
b) 750 
c) 1.000 
d) 2.000 
e) 3.000 
 
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16.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e 
Previdência Social-MA-2009-FCC) Entre 110° e 170°, o ângulo que possui 
seno igual ao cosseno de 30° é 
 
(A) 120° 
(B) 130° 
(C) 145° 
(D) 150° 
(E) 160° 
 
17.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e 
Previdência Social-MA-2009-FCC) Uma torre vertical será fixada ao solo 
conforme indica a figura. 
 
 
Adotando tg 27° = 0,5, conclui-se que a medida do ângulo formado entre os 
dois cabos de menor comprimento, ambos do mesmo lado da torre, indicada 
na figura por x, é igual a 
 
(A) 18° 
(B) 21° 
(C) 23° 
(D) 26° 
(E) 29° 
 
18.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP-
2010-FCC) Qualquer que seja o número real x, a expressão sen4x − cos4x é 
equivalente a 
 
(A) 2cos2 x − 1 
(B) 1 − sen2x 
(C) cos2x 
(D) −2cos2 x + 1 
(E) sen2x 
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19.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP-
2010-FCC) Tomando como base as informações indicadas nas três figuras 
abaixo, é correto afirmar que a área sombreada na figura da direita, em cm2, é 
 
 
 
(A) −36(cos2 α − cosα − 1) 
(B) 36(2cos2α − cosα − 1) 
(C) −36(2cos2α − cosα − 1) 
(D) 72(2cos2α − cosα − 1) 
(E) −72(2cos2α − cosα − 1) 
 
20.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-MA-2005-FCC) O número de arcos no intervalo 
11
0,
3
π 
  
 que são soluções para a equação – 2 sen2x – cosx + 1 = 0 é igual a 
 
(A) 7 
(B))6 
(C) 5 
(D) 4 
(E) 3 
 
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21.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-MA-2005-FCC) A figura, fora de escala, representa 
um veículo subindo umarua inclinada de um ângulo β em relação à 
horizontal. 
 
O comprimento do veículo, em metros, é igual a 
 
(A) 3,6 
(B) 4,0 
(C) 4,2 
(D) 4,5 
(E) 5,0 
 
22.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-MA-2005-FCC) O número de vezes que os gráficos 
das funções y = 3 sen 
6
x
 e y = - 3 cos 
3
x
 se cruzam no intervalo [0, 6π ] é 
igual a 
(A) 4 
(B) 3 
(C) 2 
(D) 1 
(E) 0 
 
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23.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-MA-2005-FCC) A expressão: 
 
onde k é um número inteiro qualquer, é idêntica a: 
 
(A) - senx 
(B) - cosx 
(C) cosx 
(D) senx 
(E) 1 
 
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8.10. Gabarito 
 
1. B 
2. A 
3. A 
4. A 
5. A 
6. E 
7. D 
8. E 
9. C 
10. E 
11. D 
12. E 
13. B 
14. E 
15. C 
16. A 
17. C 
18. D 
19. E 
20. B 
21. B 
22. D 
23. A 
 
 
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8.11. Exercícios de Fixação Comentados e Resolvidos 
 
1.(AFRFB-2009-Esaf) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em 
relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode 
ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco 
primeiros segundos, é de 900 km/h, a que altura em relação ao ponto de 
lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o 
lançamento? 
 
a) 0,333 km 
b) 0,625 km 
c) 0,5 km 
d) 1,3 km 
e) 1 km 
 
Resolução 
 
Esta é uma questão de aplicação prática do triângulo retângulo e suas 
relações. A questão estabelece que a trajetória inicial pode ser aproximada por 
uma linha reta. Portanto, inicialmente, vamos determinar quanto que o projétil 
percorreu em 5 segundos: 
 
Velocidade Média = 900 km/h, ou seja, o projétil é capaz de percorrer 900 km 
em 1 hora. 
 
Fazendo uma regra de três: 
 
900 km ===== 1 hora = 60 minutos = 60 x 60 = 3.600 segundos 
Distância ===== 5 segundos 
 
Multiplicando em cruz: 
Distância x 3.600 = 900 x 5 ⇒ Distância = 
900 5
3.600
×
= 1,25 km 
 
Contudo, a trajetória do projétil forma um ângulo de 30º em relação ao plano 
horizontal. Portanto, temos o triângulo retângulo abaixo, onde a hipotenusa é 
distância percorrida e a altura do projétil após 5 segundos será um dos 
catetos: 
 
 
 
 
 
 
A questão pede a altura (h) que o projétil estará a 5 segundos do lançamento. 
 
30º 
1,25 
h 
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Das relações trigonométricas, temos: 
 
Seno 30º = 
_cateto oposto
hipotenusa
= 
1,25
h
 (I) 
 
Também sabemos, da teoria, que: 
 
Seno 30º = 
1
2
 (II) 
 
Portanto, temos: 
1,25
h
= 
1
2
 ⇒h = 
1,25
2
⇒ h = 0,625 km 
GABARITO: B 
 
2.(ATRFB-2009-Esaf) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo 
de 90 graus uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância 
cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do 
cruzamento e outro que se encontra na outra estrada a 4 km do mesmo 
cruzamento? 
 
a) 5 km. 
b) 4 km. 
c) 4 2 km. 
d) 3 km. 
e) 5 2 km. 
 
Resolução 
 
Questão de triângulo retângulo clássico: 3, 4 e 5. 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Pitágoras: d2 = 32 + 42 ⇒ d2 = 9 + 16 = 25 ⇒ d = 5 km 
GABARITO: A 
 
3.(Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Sabendo que 
2
cos
2
x arc= e que 1
2
y arcsen= , então o valor da expressão cos(x - y) é 
igual a: 
3 km 
4 km 
d 
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6 2
)
4
6 2
)
4
2
)
2
2
) 3
2
) 2
a
b
c
d
e
+
−
+
 
 
Resolução 
 
Vamos relembrar algumas relações: 
 
Partindo do valor para achar o ângulo (a questão não irá informar 
estes valores ⇒ temos que saber para a prova): 
 
Partindo do valor para achar o ângulo: 
 
Ângulo 0 1
2
 2
2
 
3
2
 
1 
Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90º 
Arco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º 
2
cos 45
2
ox arc x= => = 
1
30
2
oy arcsen y= => = 
 
cos (x – y) = cos (45º - 30º) ⇒ aqui, temos que utilizar a equação de 
diferença de ângulos para o cosseno, tendo em vista que não conhecemos o 
valor de cos 15º, que é 45º - 30º. 
 
Relembrando: 
Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b 
 
cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º => 
 
2 3 2 1 2 3 2 6 2
cos(45 30 )
2 2 2 2 4 4 4
o o × +⇒ − = × + × = + = 
GABARITO: A 
 
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4.(Auditor-Fiscal do Trabalho-MTE-2006-Esaf) Sabendo-se que 3 cos x + 
sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a: 
 
a) -4/3 
b) 4/3 
c) 5/3 
d) -5/3 
e) 1/7 
 
Resolução 
 
3 cos x + sen x = -1 (I) 
 
A questão só fornece uma equação, mas temos que conhecer a equação 
oriunda do Teorema de Pitágoras (equação fundamental): 
sen2 x + cos2 x = 1 (II) 
 
Portanto, temos um sistema: 
3 cos x + sen x = -1 (I) 
sen2 x + cos2 x = 1 (II) 
 
De (I), temos: sen x = -1 – 3 cos x (III) 
 
Substituindo (III) em (II): 
(-1 – 3 cos x)2 + cos2 x = 1 ⇒ 
⇒ 1 + 6 cos x + 9 cos2 x + cos2 x = 1 ⇒ 
⇒ 10 cos2 x + 6 cos x = 0 ⇒ 
⇒ cos x . (10 cos x + 6) = 0 
 
Nota: Lembra? (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 
(-1 – 3 cos x)2=(-1)2 + 2.(-1).(-3 cos x) + (-3cos x)2 = 1 + 6cos x + 9cos2 x 
 
Soluções da equação: cos x . (10 cos x + 6) = 0 
cos x = 0 
10 cos x + 6 = 0 ⇒ cos x = - 6/10 = -3/5 
 
Nota: Se A x B = 0, ou A = 0 ou B = 0 ou A e B = 0. 
 
Quando cos x = 0 ⇒ sen x = -1 – 3 cos x = -1 – 3 x 0 =-1 
Quando cos x = -3/5 ⇒ sen x = -1 – 3 . (-3/5) = -1 + 9/5 = 4/5 
 
Solução 1: cos x = 0; sen x = -1 ⇒ tg x = sen x/cos x = -1/0 = -∞ 
 
Solução 2: cos x = -3/5; sen x = 4/5 ⇒ 
⇒ tg x = sen x/cos x = (4/5)/(-3/5) = -4/3 
GABARITO: A 
 
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5.(Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) O sistema dado pelas 
equações 
 
. .cos cos2
.cos . 2
x sena y a a
x a y sena sen a
− = −
+ =
 
 
possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que “a” é uma constante, então a soma 
dos quadrados das raízes é igual a 
 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) sen π 
e) cos π 
 
Resolução 
 
Dica: em questões deste tipo, tente sempre obter os quadrados dos 
senos e cossenos para tentar substituir pela equação abaixo: 
 
sen2 x + cos2 x = 1 
 
x.sen a – y.cos a = - cos 2a (I) 
Elevando (I) ao quadrado: (x.sen a – y.cos a)2 = (- cos 2a)2 ⇒ 
⇒ x2. sen2 a – 2xy sen a.cos a + y2.cos2 a = cos2 2a (I´) 
 
x.cos a + y.sen a = sen 2a 
Elevando (II) ao quadrado: (x.cos a + y.sen a)2 = (sen 2a)2 ⇒ 
⇒ x2. cos2 a + 2xy sen a.cos a + y2.sen2 a = sen2 2a (II´) 
 
Somando (I´) com (II´): 
⇒ x2. sen2 a – 2xy sen a.cos a + y2.cos2 a + x2. cos2 a + 2xy sen a.cos a + 
+ y2.sen2 a = cos2 2a + sen2 2a ⇒ 
 
Repare que “– 2xy sen a.cos a” vai compensar com “+ 2xy sen a.cos a” 
 
⇒ x2.(sen2 a + cos2 a) + y2.(sen2 a + cos2 a) = cos2 2a + sen2 2a 
 
Lembrando da equação: sen2 x + cos2 x = 1 (esta fórmula tem que estar “no 
sangue”. Você precisa comer a fórmula com “arroz e feijão”), temos: 
 
sen2 a + cos2 a = 1 
cos2 2a + sen2 2a = 1 
 
Logo, a fórmula fica: x2 + y2= 1 (que é a resposta da questão: soma 
dos quadrados das raízes)GABARITO: A 
 
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6.(Analista de Finanças e Controle-STN-2002-Esaf) A expressão dada por 
y = 4 (cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo 
de variação de y é: 
 
a) -4 ≤ y ≤ 8 
b) 0 < y ≤ 8 
c) -∞ ≤ y ≤ ∞ 
d) 0 ≤ y ≤ 4 
e) 0 ≤ y ≤ 8 
 
Resolução 
 
y = 4 (cosseno x) + 4 
 
Sabemos que –1 ≤ cosseno x ≤ 1 
 
Portanto, calculando y para os limites do intervalo do cosseno, temos: 
 
cosseno x = -1 ⇒ y = 4 x (-1) + 4 = 0 
cosseno x = 1 ⇒ y = 4 x 1 + 4 = 8 
 
Logo, 0 ≤ y ≤ 8 
GABARITO: E 
 
7.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Sabendo que x = 3 sen t e y = 
4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por: 
 
a) 16 y2 - 9 x2 = 144 
b) 16 x2 - 9 y2 = 144 
c) 16 y2 + 9 x2 = 144 
d) 16 x2 + 9 y2 = 144 
e) 9 y2 - 16 x2 = 144 
 
Resolução 
 
Observe que, nesta questão, novamente, temos que tentar obter: 
sen2 x + cos2 x = 1 
 
x = 3 sen t (I) 
y = 4 cos t (II) 
 
Multiplicando (I) por 4: 4x = 12 sen t (I´) 
Multiplicando (II) por 3: 3y = 12 cos t (II´) 
 
Elevando (I´) ao quadrado: (4x)2 = (12 sen t)2 ⇒ 16x2 = 144 sen2 t (I´´) 
 
Elevando (II´) ao quadrado: (3y)2 = (12 cos t)2 ⇒ 9y2 = 144 cos2 t (II´´) 
 
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Somando (I´´) com (II´´): 
16x2 + 9y2 = 144 sen2 t + 144 cos2 t = 144 . (sen2 t + cos2 t) 
 
Como: sen2 t + cos2 t = 1 ⇒ 16x2 + 9y2 = 144 
GABARITO: D 
 
8.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) A função composta de duas 
funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x) 
= sen2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a: 
 
a) f (-1) 
b) f (2) 
c) g (0) 
d) g (2) 
e) f (1) 
 
Resolução 
 
Temos que: (g o f) (x) = g[f(x)] 
f(x) = sen2 (x -1) 
g(x) = x – 1 
 
Cuidado! Repare que a questão explica a função (g o f) (x) = g[f(x)], mas 
pede a função (f o g) (inverteu o f com o g). 
(f o g) (2) = f[g(2)] 
 
g(2) = 2 – 1 = 1 
f[g(2)] = sen2 (g(2) – 1) = sen2 (1 – 1) = sen2 0 = 0 
 
Como f[g(2)] = f(1), pois g(2) = 1, temos: (f o g) (2) = f(1) 
GABARITO: E 
9.(Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A condição 
necessária e suficiente para a identidade sen 2 αααα = 2 sen αααα ser verdadeira é 
que αααα seja, em radianos, igual a: 
a) π/3 
b) π/2 
c) n π sendo n um número inteiro qualquer 
d) n π/2, sendo n um número inteiro qualquer 
e) n π/3 ,sendo n um número inteiro qualquer 
 
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Resolução 
 
Relembrando: 
sen (a + a) = sen 2a = sen a . cos a + sen a . cos a = 2 . sen a . cos a 
 
sen 2 α = 2 sen α ⇒ 2 sen α.cos α - 2 sen α = 0 ⇒ 2senα .(cos α - 1) = 0 
 
Logo, temos duas possibilidades: 
 
2senα = 0 ⇒ senα = 0 => α = 0, π, 2π, 3π, ... = nπ, n inteiro qualquer 
 
ou 
 
cos α - 1 = 0 ⇒ cos α = 1 => α = 0, 2π, 4π, 6π, ... = 2nπ, n inteiro qualquer 
 
Logo, a solução, considerando as duas possibilidades é: nππππ sendo n um 
número inteiro qualquer. 
GABARITO: C 
10.(Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) A expressão dada 
por y = 3 sen x + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo 
de variação de y é 
a) -1 ≤ y ≤ 7 
b) -7 < y < 1 
c) -7 < y ≤ -1 
d) 1 ≤ y < 7 
e) 1 ≤ y ≤ 7 
 
Resolução 
 
y = 3 sen x + 4 
 
Sabemos que –1 ≤ seno x ≤ 1 
 
Portanto, calculando y para os limites do intervalo do seno, temos: 
 
seno x = -1 ⇒ y = 3 x (-1) + 4 = 1 
seno x = 1 ⇒ y = 3 x 1 + 4 = 7 
 
Logo, 1 ≤ y ≤ 7 
GABARITO: E 
 
 
 
 
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11.(AFTN-1998-Esaf) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: 
(cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é: 
 
a) 2 
b) 0 
c) -1 
d) -2 
e) 1 
Resolução 
(cos x + sen x)2 + y sen x cos x - 1 = 0 ⇒ 
⇒ cos2 x + 2.sen x.cos x + sen2 x + y.sen x.cos x – 1 = 0 ⇒ 
⇒ sen2 x + cos2 x + 2.sen x.cos x + y.sen x.cos x – 1 = 0 ⇒ 
⇒ sen2 x + cos2 x + (2 + y) sen x.cos x – 1 = 0 (I) 
 
Sabemos que (temos que saber): sen2 x + cos2 x = 1 (II) 
Substituindo (II) em (I): 1 + (2 + y) sen x.cos x – 1 = 0 ⇒ 
⇒ (2 + y).sen x.cos x = 0 
 
Para que a identidade seja satisfeita, pelo menos um dos termos deve ser zero 
(raízes da equação). 
 
Logo, temos: 
 
I) 2 + y = 0 ⇒ y = -2; 
 
II) sen x = 0 ⇒ x = 0º. Conseqüentemente, cos x = cos 0º = 1 
 
ou 
 
III) cos x = 0 ⇒ x = 90º. Conseqüentemente, sen x = sen 90º = 1 
GABARITO: D 
 
12.(AFTN-1998-Esaf) Sejam três retas: a reta R1 que é a bissetriz do 
primeiro quadrante; a reta R2 que é a bissetriz do quarto quadrante e a reta R3 
que é dada pela equação x = 1. A área, em cm2, do triângulo cujos lados 
coincidem com essas três retas é: 
a) 1,5 
b) 2,5 
c) 0,5 
d) 2 
e) 1 
 
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Resolução 
 
Bissetriz ⇒ divide o ângulo em dois ângulos iguais. 
 
Ciclo Trigonométrico ⇒ possui raio igual 1. 
Exemplo: Cosseno 0º = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1Q = Primeiro Quadrante 
2Q = Segundo Quadrante 
3Q = Terceiro Quadrante 
4Q = Quarto Quadrante 
 
A questão pede área do triângulo formado pelas retas acima (Triângulo ABC). 
 
Repare que a distância AH é igual a 1 (raio do ciclo trigonométrico). Com isso, 
conseguimos obter os outros lados do triângulo, pois: 
 
Lembrando a tabela: 
Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º 
Seno 0 1
2
 2
2
 
3
2
 
1 0 -1 0 
Cosseno 1 3
2
 
2
2
 
1
2
 0 -1 0 1 
Tangente 0 3
3
 
1 3 ∞ 0 -∞ 0 
Cotangente ∞ 3 1 3
3
 
0 -∞ 0 ∞ 
∞ = infinito 
 
 
 
 
 
1 Q 2 Q 
3 Q 4 Q 
R1⇒ divide o primeiro 
quadrante (90º) em dois 
ângulos de 45º 
R4⇒ divide o quarto 
quadrante (90º) em dois 
ângulos de 45º 
X 
Y 
x = 1 (tangente ao 
ciclo trigonométrico) 
45º 
45º 
B 
C 
A H 
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Considerando o triângulo retângulo ACH (ângulo reto = 90º em H): 
 
Tangente 45º = 
_
1 1
_ 1
cateto oposto CH CH
CH
cateto adjacente AH
= = = ⇒ = 
 
Considerando o triângulo retângulo ABH (ângulo reto = 90º em H): 
 
Tangente 45º = 
_
1 1
_ 1
cateto oposto BH BH
BH
cateto adjacente AH
= = = ⇒ = 
 
Área do Triângulo ABC = (Base x Altura)/2 
 
Podemos considerar como base o lado BC e a altura seria AH: 
BC = BH + CH = 1 + 1 = 2 
AH = 1 (raio do ciclo trigonométrico) 
 
Área do Triângulo ABC = 2 x 1/2 = 1 cm2 
GABARITO: E 
 
Vou colocar mais três questões de outras bancas, que achei interessantes: 
 
13.(Analista de Controle Interno-Secretaria de Administração-PE-FGV-
2009) Se cos x = – 1/2, então cos 6x é igual a: 
 
(A) 0. 
(B) 1. 
(C) 1/2. 
(D) 3/2 
(E) –1. 
 
Resolução 
 
Cos x = -1/2 ⇒ x = 120º 
 
Tabela de valores: 
X Seno x Cosseno X 
0 = 0º 0 1 
ππππ/6 = 30º 1
2 
3
2 
ππππ/4 = 45º 2
2 
2
2 
ππππ/3 = 60º 3
2 
1
2 
ππππ/2 = 90º 1 0 
2ππππ/3 = 120º 3
2 
1
2
−
 
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3ππππ/4 = 135º 2
2 
2
2
−
 
5ππππ/6 = 150º 1
2 
3
2
−
 
ππππ = 180º 0 -1 
7ππππ/6 = 210º 1
2
−
 
3
2
−
 
5ππππ/4 = 225º 2
2
−
 
2
2
−
 
4ππππ/3 = 240º 3
2
−
 
1
2
−
 
3ππππ/2 = 270º -1 0 
5ππππ/3 = 300º 3
2−
 
1
2 
7ππππ/4 = 315º 2
2
−
 
2
2 
11ππππ/6 = 330º 1
2
−
 
3
2 
2ππππ = 360º 0 1 
 
6 x = 6 . 120º = 720º. Como o ciclo trigonométrico possui 360º, a partir daí os 
valores começam a se repetir. Portanto: 
 
cos (720º) = cos (2.360º) = cos (360º) = 1 
GABARITO: B 
 
14.(Inspetor-CVM-2008-NCE) Se x é um ângulo do quarto quadrante e 
seno x = -3/5, então o valor da cotangente de x é: 
 
(A) 3/4 
(B) -3/4 
(C) 4/3 
(D) 4/5 
(E) -4/3 
 
Resolução 
 
x é um ângulo do quarto quadrante ⇒ no quarto quadrante, seno x é negativo 
e cosseno x é positivo, lembra? 
 
Quadrante Seno x Cosseno x Tangente x Cotangente x 
1 positivo positivo positiva positiva 
2 positivo negativo negativa negativa 
3 negativo negativo positiva positiva 
4 negativo positivo negativa negativa 
 
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sen x = -3/5 
 
Sabemos que: cos2 x + sen2 x = 1 ⇒ 
⇒ cos2 x = 1 – sen2 x = 1 – (-3/5)2 ⇒ 
⇒ cos2 x = 1 – 9/25 = 16/25 ⇒ 
⇒ cos x (positivo) = 4/5 
 
cotangente x = cos x/sen x = (4/5)/(-3/5) = -4/3 
GABARITO: E 
 
15.(Vunesp-SP) Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de 
peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são 
dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas 
funções C(x) = 2 – cos (xπ/6) e V(x) = 3 . (2)1/2. sen xπ/12, 0 ≤ x ≤ 6. O 
lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é: 
 
a) 500 
b) 750 
c) 1.000 
d) 2.000 
e) 3.000 
 
Resolução 
 
x = 3 
C(3) = = 2 – cos (3π/6) = 2 – cos (π/2) = 2 – 0 = 2 (em milhares de reais) 
 
V(3) = 3 . (2)1/2 . sen (3π/12) = 3 . (2)1/2 . sen (π/4) = 3 . (2)1/2 . (2)1/2/2 ⇒ 
⇒ V(3) = 3 (em milhares de reais) 
 
Lucro (em reais) = [V(3) – C(3)] . 1.000 = (3 – 2). 1.000 = 1.000 
GABARITO: C 
 
16.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e 
Previdência Social-MA-2009-FCC) Entre 110° e 170°, o ângulo que possui 
seno igual ao cosseno de 30° é 
 
(A) 120° 
(B) 130° 
(C) 145° 
(D) 150° 
(E) 160° 
 
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Resolução 
 
Pela nossa tabela de valores: 
X Seno x Cosseno X 
0 = 0º 0 1 
ππππ/6 = 30º 1
2 
3
2 
ππππ/4 = 45º 2
2 
2
2 
ππππ/3 = 60º 3
2 
1
2 
ππππ/2 = 90º 1 0 
2ππππ/3 = 120º 3
2 
1
2
−
 
3ππππ/4 = 135º 2
2 
2
2
−
 
5ππππ/6 = 150º 1
2 
3
2
−
 
ππππ = 180º 0 -1 
7ππππ/6 = 210º 1
2
−
 
3
2
−
 
5ππππ/4 = 225º 2
2
−
 
2
2
−
 
4ππππ/3 = 240º 3
2
−
 
1
2
−
 
3ππππ/2 = 270º -1 0 
5ππππ/3 = 300º 3
2
−
 
1
2 
7ππππ/4 = 315º 2
2
−
 
2
2 
11ππππ/6 = 330º 1
2
−
 
3
2 
2ππππ = 360º 0 1 
 
Portanto, o cosseno de 30º é igual ao seno de 120º. 
GABARITO: A 
 
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17.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e 
Previdência Social-MA-2009-FCC) Uma torre vertical será fixada ao solo 
conforme indica a figura. 
 
 
 
Adotando tg 27° = 0,5, conclui-se que a medida do ângulo formado entre os 
dois cabos de menor comprimento, ambos do mesmo lado da torre, indicada 
na figura por x, é igual a 
 
(A) 18° 
(B) 21° 
(C) 23° 
(D) 26° 
(E) 29° 
 
Resolução 
 
Repare que temos os seguintes triângulos retângulos: o menor, que possui o 
ângulo y, e o maior, que possui o ângulo x + y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Repare que, se fôssemos calcular a tangente de y, no triângulo menor, 
teríamos: 
tg y = 
_
_
cateto oposto
cateto adjacente
=
6
12
 = 0,5 
12 
6 
6 
x 
y 
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É dado da questão, por não ser um ângulo conhecido, que tg 27° = 0,5. 
Portanto, temos que y é igual a 27º. 
 
No triângulo maior, temos: 
tg (x + y) = 
_
_
cateto oposto
cateto adjacente
=
6 6 12
12 12
+
= = 1 
 
Este ângulo, temos que saber. Da nossa tabela, tg 45º = 1. Portanto, temos: 
 
x + y = 45º ⇒ x + 27º = 45º ⇒ x = 45º - 27º ⇒ x = 23º 
GABARITO: C 
 
18.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP-
2010-FCC) Qualquer que seja o número real x, a expressão sen4x − cos4x é 
equivalente a 
 
(A) 2cos2 x − 1 
(B) 1 − sen2x 
(C) cos2x 
(D) −2cos2 x + 1 
(E) sen2x 
 
Resolução 
 
Temos que lembrar da nossa aula de equações. Sabemos que: 
a2 – b2 = (a + b).(a – b) 
 
Se consideramos que: 
a = sen2 x 
b = cos2 x 
 
a2 – b2 = (sen2 x)2 – (cos2 x)2 = sen4 x – cos4 x 
 
Repare que é justamente a equação que queremos calcular. Utilizando a 
relação aprendida na aula de equações: 
 
(sen2 x)2 – (cos2 x)2 = (sen2 x + cos2 x).(sen2 x – cos2 x) 
 
Sabemos que: sen2 x + cos2 x = 1 (relação fundamental). 
 
Portanto: 
sen4 x – cos4 x = (sen2 x)2 – (cos2 x)2 = 1.(sen2 x – cos2 x) ⇒ 
⇒ sen4 x – cos4 x = sen2 x – cos2 x (I) 
 
Ainda não temos resposta nas alternativas, mas, utilizando novamente a 
equação fundamental: sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ sen2 x = 1 – cos2 x (II) 
 
 
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Substituindo (II) em (I): 
⇒ sen4 x – cos4 x = sen2 x – cos2 x ⇒ 
⇒ sen4 x – cos4 x = 1 – cos2 x – cos2 x ⇒ 
⇒ sen4 x – cos4 x = 1 – 2cos2 x = – 2cos2 x + 1 
GABARITO: D 
 
19.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP-
2010-FCC) Tomando como base as informações indicadas nas três figuras 
abaixo, é correto afirmar que a área sombreada na figura da direita, em cm2, é 
 
 
 
(A) −36(cos2 α − cosα − 1) 
(B) 36(2cos2α − cosα − 1) 
(C) −36(2cos2α − cosα − 1) 
(D) 72(2cos2α − cosα − 1) 
(E) −72(2cos2α − cosα − 1) 
 
Resolução 
 
Lei dos Cossenos: 
De acordo com a Lei dos Cossenos, qualquer que seja o triângulo, o quadrado 
de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o 
resultado do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por 
esses lados. 
a2 = b2 + c2 – 2bc.cos �A 
b2 = a2 + c2 – 2ac.cos �B 
c2 = a2 + b2 – 2ac.cos 
�C 
 
Se aplicarmos a Lei dos Cossenos aos dois triângulos da questão: 
 
x2 = 62 + 62 – 2 x 6 x 6 x cos α ⇒ x2 = 36 + 36 – 72 cos α ⇒ 
⇒ x2 = 72 – 72 cos α ⇒ 
⇒ x2 = 72.(1 – cos α ) 
 
y2 = 62 + 62 – 2 x 6 x 6 x cos 2α ⇒ x2 = 36 + 36 – 72 cos 2α ⇒ 
⇒ y2 = 72 – 72 cos 2α ⇒ 
⇒ y2 = 72.(1 – cos 2α ) 
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A questão pede a área sombreada: 
 
Ainda vamos estudar na aula de geometria, mas a área de um quadrado é 
igual ao seu lado ao quadrado. Portanto, teremos: 
 
Área do Quadrado de Lado x = x2 
Área do Quadrado de Lado y = y2 
 
A área sombreada será justamente a área do quadrado de lado y menos a área 
do quadrado de lado x. Portanto: 
 
Área Sombreada = Área do Quadrado de Lado x - Área do Quadrado de Lado y 
Área Sombreada = y2 – x2 
 
Como já conhecemos os valores de x e y: 
x2 = 72.(1 – cos α ) 
y2 = 72.(1 – cos 2α ) 
 
Área Sombreada = y2 – x2 = 72.(1 – cos 2α ) – 72.(1 – cos α ) ⇒ 
 
Repare que (-)72 x (-) cos α = + 72. cos α 
 
⇒ Área Sombreada = 72 – 72.cos 2α – 72 + 72. cos α ⇒ 
⇒ Área Sombreada = – 72.cos 2α + 72. cos α ⇒ 
⇒ Área Sombreada = – 72.(cos 2α – cos α ) (I) 
 
E aí? Ainda não temos resposta. Mas, sabemos da teoria, que: 
cos 2x = 2.cos2 x – 1 
 
Portanto: cos 2α = 2.cos2 α – 1 (II) 
 
Substituindo (II) em (I): 
⇒ Área Sombreada = – 72.(cos 2α – cos α ) ⇒ 
⇒ Área Sombreada = – 72.( 2.cos2 α – 1 – cosα ) ⇒ 
⇒ Área Sombreada = – 72.( 2.cos2 α – cos α – 1) 
GABARITO: E 
 
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20.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-MA-2005-FCC) O número de arcos no intervalo 
11
0,
3
π 
  
 que são soluções para a equação – 2 sen2x – cosx + 1 = 0 é igual a 
 
(A) 7 
(B))6 
(C) 5 
(D) 4 
(E) 3 
 
Resolução 
 
Primeiramente, vamos transformar o intervalo em graus. Bom, 0 radianos é 
igual a zero graus. 
 
Sabemos que 2π radianos = 360º ou que π radianos = 180º. 
 
Portanto, teremos: 
 
11
3
π
= 
11 180
660
3
o× = 
 
Resolvendo a equação, temos: – 2 sen2x – cosx + 1 = 0 (I) 
 
Da relação fundamental (sempre ela!!!): sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ 
⇒ sen2 x = 1 – cos2 x (II) 
 
Substituindo (II) em (I): 
– 2 sen2x – cosx + 1 = 0 ⇒ – 2.(1 – cos2 x) – cosx + 1 = 0 ⇒ 
⇒ – 2 + 2.cos2 x – cos x + 1 = 0 ⇒ 
⇒ 2.cos2 x – cos x – 1 = 0 
 
Ou seja, temos uma equação do segundo grau. Para calcular a solução da 
equação (raízes) devemos utilizar a Fórmula de Bhaskara. 
 
Fórmula de Bhaskara: 
ax2 + bx + c = 0 
 
2 4
2
b b ac
x
a
− ± −= 
 
2.cos2 x – cos x – 1 = 0 
a = 2 
b = -1 
c = -1 
 
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22 ( 1) ( 1) 4.2.( 1)4
cos
2 2.2
1 1 8 1 9 1 3
cos
4 4 4
b b ac
x
a
x
− − ± − − −− ± −
= = ⇒
± + ± ±
⇒ = = =
 
 
Portanto, as raízes possíveis são: 
cos x1 = 
1 3 4
1
4 4
+
= = 
 
Sabemos, de nossa tabela, que cos 0º = 1 
 
Como o ciclo trigonométrico possui 360º, então temos que: 
cos 0º = cos 360º = cos 720º = ... (basta irmos somando 360º). 
 
0º + 360º = 360º 
360º + 360º = 720º 
(...) 
 
Como o intervalo é até 660º, já temos duas soluções: 
x = 0º e x = 360º 
 
cos x2 = 
1 3 2 1
4 4 2
− − −
= = 
Sabemos, de nossa tabela, que cos 120º = 
1
2
−
 e cos 240º = 
1
2
−
 
 
Como o ciclo trigonométrico possui 360º, então temos que: 
cos 120º = cos (120º + 360º) = cos (120º + 2 x 360º) = ... 
cos 120º = cos 480º = cos 840º = ... 
 
Como o intervalo é até 660º, já temos mais duas soluções: 
x = 120º e x = 480º 
 
Como o ciclo trigonométrico possui 360º, então temos que: 
cos 240º = cos (240º + 360º) = cos (240º + 2 x 360º) = ... 
cos 240º = cos 600º = cos 960º = ... 
 
Como o intervalo é até 660º, já temos mais duas soluções: 
x = 240º e x = 600º 
 
Logo, o número total de soluções é igual a 6. 
GABARITO: B 
 
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21.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-MA-2005-FCC) A figura, fora de escala, representa 
um veículo subindo uma rua inclinada de um ângulo β em relação à 
horizontal. 
 
 
O comprimento do veículo, em metros, é igual a 
 
(A) 3,6 
(B) 4,0 
(C) 4,2 
(D) 4,5 
(E) 5,0 
 
Resolução 
 
Para calcular o comprimento do veículo, que chamarei de x, temos que calcular 
a hipotenusa do triângulo retângulo. Como o valor fornecido foi o cateto 
adjacente ao ângulo β, temos que: 
 
cos β = 
_cateto adjacente
hipotenusa
= 
7,6
4,0 x+
 (I) 
 
Repare que o valor de cosseno de β é dado da questão: cos β = 0,95 (II) 
 
Substituindo (II) em (I): 
cos β = 
_cateto adjacente
hipotenusa
= 
7,6
4,0 x+
 = 0,95 ⇒ 
 
⇒ Multiplicando em cruz: 7,6 = 0,95.(4,0 + x) ⇒ 
⇒ 7,6 = 0,95 . 4,0 + 0,95 . x ⇒ 
⇒ 7,6 = 3,8 + 0,95 . x ⇒ 
⇒ 0,95 . x = 7,6 – 3,8 ⇒ 
⇒ 0,95 . x = 3,8 ⇒ 
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⇒ x = 
3,8
0,95
 ⇒ 
⇒ x = 4,0 
GABARITO: B 
 
22.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-MA-2005-FCC) O número de vezes que os gráficos 
das funções y = 3 sen 
6
x
 e y = - 3 cos 
3
x
 se cruzam no intervalo [0, 6π ] é 
igual a 
 
(A) 4 
(B) 3 
(C) 2 
(D) 1 
(E) 0 
 
Resolução 
 
Se a questão pede quando as funções se cruzam, temos que igualar as 
equações: 
 
3 sen 
6
x
 = - 3 cos 
3
x
 
 
E aí? Como resolveremos esta equação? Repare nos ângulos. Um é 
6
x
 e outro 
é 
3
x
. E aí? Eles não têm nada em comum? Percebeu? Um é o dobro do outro. 
 
3
x
 = 2 . 
6
x
 
 
Portanto, de chamarmos 
6
x
 de β, 
3
x
 seria 2.β. 
 
Substituindo na equação: 3 sen β = - 3 cos 2β (I) 
 
Bom, sabemos, da parte teórica, que: 
cos 2β = 2cos2 β – 1 = 1 – 2 . sen2 β (II) 
 
Substituindo (II) em (I): 
3 sen β = - 3 cos 2β ⇒ 3 sen β = - 3.(1 – 2 . sen2 β) ⇒ 
 
 
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Como o 3 aparece dos dois lados da equação, podemos simplificar (dividir tudo 
por 3: 
3 sen β = - 3.(1 – 2 . sen2 β) ⇒ 
⇒ sen β = - 1.(1 – 2 . sen2 β) ⇒ 
⇒ sen β = - 1 – 1 x (-2) . sen2 β ⇒ 
⇒ sen β = - 1 + 2.sen2 β ⇒ 
⇒ 2.sen2 β – sen β – 1 = 0 
 
Portanto, temos uma equação do segundo grau e precisamos calcular as 
raízes. Para calcular a solução da equação (raízes) devemos utilizar a Fórmula 
de Bhaskara. 
 
Fórmula de Bhaskara: 
ax2 + bx + c = 0 
 
2 4
2
b b ac
x
a
− ± −= 
 
2.sen2 β – sen β – 1 = 0 
a = 2 
b = -1 
c = -1 
 
22 ( 1) ( 1) 4.2.( 1)4
2 2.2
1 1 8 1 9 1 3
4 4 4
b b ac
sen
a
sen
β
β
− − ± − − −− ± −
= = ⇒
± + ± ±
⇒ = = =
 
 
Portanto, as raízes possíveis são: 
senβ 1 = 
1 3 4
1
4 4
+
= = 
 
Sabemos, de nossa tabela, que sen 90º = 1. Contudo, não podemos esquecer 
que substituímos 
6
x
 por β. Portanto: 
Como o ciclo trigonométrico possui 360º, então temos que: 
sen 90º = sen 450º = sen 810º = sen 1.170º = ... 
(basta irmos somando 360º). 
 
Para β = 90º = 
6
x
 ⇒ x = 90º x 6 = 540º 
 
Para β = 450º = 
6
x
 ⇒ x = 450º x 6 = 2.700º 
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Como o intervalo pedido é até 6π radianos = 6 x 180º = 1.080º, só temos 
uma solução por enquanto, que é: x = 540º 
 
senβ 2 = 
1 3 2 1
4 4 2
− − −
= = 
Sabemos, de nossa tabela, que sen 210º = 
1
2
−
 e cos 330º = 
1
2
−
 
 
Para β = 210º = 
6
x
 ⇒ x = 210º x 6 = 1.260º (está fora do intervalo pedido) 
 
Para β = 330º = 
6
x
 ⇒ x = 330º x 6 = 1.980º (está fora do intervalo pedido) 
 
Logo, o número total de soluções é igual a 1. 
GABARITO: D 
 
23.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado de Planejamento, 
Orçamento e Gestão-MA-2005-FCC) A expressão: 
 
onde k é um número inteiro qualquer, é idêntica a: 
 
(A) - senx 
(B) - cosx 
(C) cosx 
(D) senx 
(E) 1 
 
Resolução 
 
Vamos resolver esta questão utilizando as relações do seno e do cosseno da 
soma e da diferença. Relembrando: 
 
Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b 
Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b 
Seno da soma: sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
Seno da diferença: sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a 
 
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Lembrando ainda que: 
2
π
= 90º 
π = 180º 
3
2
π
= 270º 
 
Seno da diferença: sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a 
I) sen (
2
π
 - x) = sen (90º - x) = sen 90º.cos x - sen x.cos 90º 
 
Da tabela: sen 90º = 1 e cos 90º = 0 
sen (
2
π
 - x) = sen (90º - x) = 1.cos x - sen x.0 = cos x 
 
II) tg (π + x) = 
( )
cos( )
sen x
x