Introdução à Lógica Matemática

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NOÇÕES DE LÓGICA E LINGUAGEM MATEMÁTICA 
 
 
 Prof.º Marcão 
 
1 
Símbolos usados na Lógica Matemática: 
 
1. não, não é verdade que: ~ negação 
 
2. e : ∧ conjunção 
 
3. ou : ∨ disjunção 
 
4. se ....então : ⟶ condicional 
 
5. se e somente se : ⟷ bicondicional 
 
Quantificadores: 
l. Existencial : ∃ − 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 … 
ll.Universal : ∀ − 𝑄𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑗𝑎 … 
 
A Lógica Matemática se ocupa da análise de certas sentenças, quase 
sempre de conteúdo matemático. Também estuda as relações, 
conexões, entre estas sentenças. Começaremos definindo 
proposição. Chama-se proposição uma sentença (conjunto de 
palavras e símbolos) declarativa, que exprime um pensamento de 
sentido completo, e que pode ser classificada como verdadeira ou 
falsa. 
Os termos “verdade” e “falsidade” são chamados valores lógicos de 
uma proposição. Para efeito de classificar as proposições em 
“verdadeiras” ou “falsas” a Lógica Matemática adota como regras 
fundamentais os dois seguintes princípios: 
l. Princípio da Não Contradição - Uma proposição não pode ser 
verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
ll. Princípio do Terceiro Excluído - Toda proposição ou é verdadeira 
ou é falsa (isto é, verifica-se sempre um desses casos e nunca um 
terceiro). 
Pelos dois princípios anteriores temos que: Toda proposição tem um 
e somente um dos valores lógicos “verdade” ou “falsidade”. Por este 
motivo, chamamos a Lógica Matemática de bivalente. 
As proposições serão indicadas por letras minúsculas p, q, r, s, t, ... 
e o seu valor lógico por V(p) = V (ou 1) para uma proposição 
verdadeira e, V(p) = F (ou 0) para uma proposição falsa. 
 
Exemplos: 
1. p: Salvador é a capital da Bahia 
2. q: 2 + 3 < 5 
3. r: O poeta Castro Alves era baiano. 
4. x + 2 = 1 
5. Como faz calor! 
6. Que dia é hoje? 
 
As proposições podem ser classificadas em simples e compostas. 
 Proposições simples - Aquelas que não contêm nenhuma outra 
como parte integrante de si mesma. São também chamadas de 
atômicas . 
 Proposições compostas - Aquelas formadas pela combinação de 
proposições simples. São também chamadas de moleculares . 
Exemplos: 
1. 2 é ímpar 
2. 3 é par e √3  ℚ 
3. 2 > 4 ou 5-2 = -25 
4. Se 6 é par então 6 é divisível por 2 
5. 5 é primo se e somente se 5 é ímpar 
 
 
 
 
 
 
Tabelas Verdades associadas aos conectivos lógicos: 
 
 
 
 
 
Tautologias e Contradições 
A Tautologia é uma proposição sempre verdadeira, quaisquer que 
sejam os valores verdades de sua subproposições componentes. 
Exemplo: 
 𝑝 ∨ �̅� 
 
p �̅� 𝑝 ∨ �̅� 
V F V 
F V V 
 
Contradição é a negação de uma tautologia; portanto, uma proposição 
sempre falsa. 
Exemplo: 
𝑝 ∧ �̅� 
 
p �̅� 𝑝 ∧ �̅� 
V F F 
F V F 
 
Tautologias Usuais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Negação de Proposições com Quantificadores 
Os quantificadores existencial e universal podem ser precedidos do 
símbolo de negação ( ~ ). Por exemplo, negar a proposição “Todo 
número primo é ímpar” é afirmar “Nem todo número primo é ímpar” 
ou “Existe um número primo que não é ímpar”. Simbolicamente: 
~( x primo, x é ímpar )   x primo, x não é ímpar. 
De uma maneira geral temos: ~ (  x; p(x) )   x; ~ p(x) 
 ~ ( x; p(x) )   x; ~ p(x) 
 
Questões: 
 
1. Admitindo que p e q são verdadeiras e r é falso determine o valor de 
cada proposição abaixo: 
a) p r 
b) p q 
c) ( )p q r 
d) p ( )q r 
e) ( ) ( )p q 
f) ( )p r 
 
2. um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: André, 
Eduardo, Rafael e João. Interrogados, eles fazem as seguintes 
declarações: 
André: Eduardo é o culpado 
Eduardo: João é o culpado 
Rafael: Eu não sou o culpado 
João: Eduardo mente quando diz que eu sou o culpado 
Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, diga se é 
possível, somente com esses dados, determinar quem foi o culpado. 
Caso afirmativo, diga quem foi. 
 
3. (ICMS) se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo: 
A. ( ) mesmo que se esforce, você não vencerá. 
B. ( ) seu esforço é condição necessária para vencer. 
C. ( ) se você não se esforçar então não irá vencer. 
D. ( ) você vencerá só se se esforçar. 
E. ( ) seu esforço é condição suficiente para vencer 
 
4. Três alunos são suspeitos de não estarem matriculados no Curso de 
Raciocínio Lógico. O Aparecido entrevistou os três, para cobrar a 
matrícula, e obteve os seguintes depoimentos: 
AURO: “Joaquim não pagou e Cláudia pagou”. 
JOAQUIM: “Se Auro não pagou, Cláudia também não pagou”. 
CLÁUDIA: “Eu paguei, mas pelo menos um dos outros não pagou”. 
Identificar os mentirosos, supondo que todos pagaram as matrículas. 
 
5. Guilherminho, ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da 
semana. O Dragão e o Unicórnio eram duas estranhas criaturas, que 
frequentavam a floresta. O Dragão mentia às segundas, terças e 
quartas-feiras, e falava a verdade nos outros dias da semana. O 
Unicórnio mentia às quintas, sextas e sábados, mas falava a verdade 
nos outros dias da semana. 
 
a) um dia Guilerminho encontrou o Dragão e o Unicórnio 
descansando à sombra de uma árvore. Eles disseram: 
Dragão: Ontem foi um dos meus dias de mentir. 
Unicórnio: Ontem foi um dos meus dias de mentir. 
A partir dessas afirmações, Guilherminho descobriu qual era o dia 
da semana. Descubra qual era. 
 
b) Em qual (is) dia (s) da semana é possível o Dragão fazer cada uma 
das seguintes afirmações? 
l. eu menti ontem e mentirei amanhã. 
ll. eu menti ontem ou eu mentirei amanhã. 
lll. se menti ontem, então mentirei de novo amanhã. 
IV. menti ontem se, e somente se, mentirei amanhã. 
 
6. (Mack) Duas grandezas x e y são tais que: 
“se x = 3 então y = 7”. Pode-se concluir que: 
A. ( ) se x  3 então y  7 
B. ( ) se y = 7 então x = 3 
C. ( ) se y  7 então x  3 
D. ( ) se x = 5 então y = 5 
E. ( ) nenhuma das conclusões anteriores é válida 
 
7. (FGV) A ciência provou que, se os pais têm olhos azuis, seus filhos 
também terão olhos azuis. João tem olhos azuis. Daí se concluí que. 
A. ( ) os pais de João têm olhos azuis. 
B. ( ) os pais de João não têm olhos azuis. 
C. ( ) um dos pais de João tem olhos azuis. 
D. ( ) n.d.a 
 
8. Quais das sentenças abaixo são equivalentes à sentença “Se o elefante 
rosa do planeta alfa tem olhos roxos então o porco selvagem do planeta 
beta não tem focinho comprido”? 
l. “Se o porco selvagem do planeta beta tem focinho comprido, então 
o elefante rosa do planeta alfa tem olhos roxos”. 
ll. “Se o elefante rosa do planeta alfa não tem olhos roxos então o 
porco selvagem do planeta beta não tem focinho comprido”. 
III. “Se o porco selvagem do planeta beta tem focinho comprido então 
o elefante rosa do planeta alfa não tem olhos roxos”. 
IV. “O elefante rosa do planeta alfa não tem olhos roxos ou o porco 
selvagem do planeta beta não tem focinho comprido”. 
A. ( ) somente I e III 
B. ( ) somente III e IV 
C. ( ) somente II e IV 
D. ( ) somente II e III 
E. ( ) somente III 
 
9. verificar por meio da tabela-verdade a validade das seguintes 
equivalências: 
a) (p q) [(p q) (q p)]     
b) [p (q r)] [(p q) r]     
 
10. Um dos métodos para demonstração de um teorema da forma p q 
consiste na demonstração por redução ao absurdo (ou por contradição). 
O raciocínio consiste em adicionar à hipótese p a negação da tese q 
buscando com isso chegar a uma contradição. Prove por meio da 
equivalência (p q F) (p q)    que esse raciocínio é válido 
para a demonstração do teorema dado. 
Obs.: A letra F simboliza aqui a contradição, ou seja, uma proposição 
sempre falsa. 
 
11. acompanhe o seguinte silogismo: 
“Se Luis se candidatar à presidência, então seu vice será o José. Alémdisso, se Luis se candidatar à presidência, seu “marqueteiro” será o 
Eduardo. Portanto, teremos José como candidato a vice ou Eduardo 
como marqueteiro. ” 
Por meio da tabela-verdade, verifique a validade ou invalidade deste 
argumento. 
 
 
 
 3 
12. negar as seguintes proposições: 
a) Eu não vou casar e não vou comprar uma bicicleta. 
b) Vou viajar para a praia ou para o campo nestas férias. 
c) Se eu ganhar na loteria, então comprarei um grande terreno. 
d) Se x é par, então x é divisível por 2. 
e) Se as chuvas são poucas, então a produção agrícola é baixa e 
os preços aumentam. 
 
13. (Ibmec) um locutor de rádio, durante um fim de tarde, fez a seguinte 
afirmação: 
“Se chove em São Paulo, o trânsito fica complicado e as pessoas 
chegam tarde em casa” 
Supondo verdadeira a afirmação do locutor, pode-se concluir a 
partir dela que, necessariamente, 
A. ( ) se o trânsito em São Paulo está complicado, então está 
chovendo. 
B. ( ) se as pessoas de São Paulo estão chegando mais tarde 
em casa, então o trânsito está complicado. 
C. ( ) se as pessoas de São Paulo estão chegando mais tarde 
em casa, então está chovendo. 
D. ( ) se o tempo em São Paulo está bom, então o trânsito não 
está complicado. 
E. ( ) se o trânsito em São Paulo não está complicado, então o 
tempo está bom. 
 
14. (Fiscal Trabalho) A negação da afirmação condicional "Se estiver 
chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: 
A. ( ) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. 
B. ( ) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva. 
C. ( ) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. 
D. ( ) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. 
E. ( ) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. 
 
15. (Fiscal Trabalho) dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é 
paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: 
A. ( ) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. 
B. ( ) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro. 
C. ( ) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. 
D. ( ) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. 
E. ( ) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. 
 
16. a) A partir das equivalências já estudadas, obtenha a fórmula da 
negação da bicondicional p q . 
b) Escrever a negação da frase: “Uma pessoa conseguirá um bom 
emprego se, e somente se, estudar numa universidade 
conceituada”. 
 
17. classifique as preposições a seguir em verdadeiro ou falso: 
a) 
2( )( )x R x x 
b) ( )(| | )x R x x 
c) Para todo inteiro x, existe um inteiro y tal que 1xy 
d) ( )( )( 0)x y xy 
 
18. Suponha que as três sentenças abaixo são verdadeiras: 
l. Todos os calouros são humanos 
II. Todos os estudantes são humanos 
III. Alguns estudantes pensam 
 
 
 
 
 
Dadas as quatro sentenças abaixo: 
1. Todos os calouros são estudantes 
2. Alguns humanos pensam 
3. Nenhum calouro pensa 
4. Alguns humanos que pensam não são estudantes 
 
Aquelas que são consequências lógicas de (l), (II) e (III) são: 
A. ( ) somente 2 
B. ( ) somente 4 
C. ( ) 2 e 3 
D. ( ) 2 e 4 
E. ( ) 1 e 2 
 
19. (Ibmec) um determinado país estabeleceu a seguinte lei, que deve ser 
rigorosamente obedecida: 
- Se não houver racionamento de energia, então todas as siderúrgicas 
deverão funcionar. 
Podemos concluir que: 
A. ( ) Se todas as siderúrgicas estão funcionando, então houve 
racionamento de energia. 
B. ( ) Se todas as siderúrgicas estão funcionando, então não houve 
racionamento de energia. 
C. ( ) Se houve racionamento de energia, então todas as 
siderúrgicas não estão funcionando. 
D. ( ) Se houve racionamento de energia, então todas as 
siderúrgicas estão funcionando. 
E. ( ) Se uma siderúrgica não está funcionando, então houve 
racionamento de 
energia.
 
20. A negação de “Nenhum aluno preguiçoso freqüenta esta escola” é: 
A. ( ) Todo aluno preguiçoso freqüenta esta escola 
B. ( ) Todo aluno preguiçoso não freqüenta esta escola 
C. ( ) Algum aluno preguiçoso freqüenta esta escola 
D. ( ) Algum aluno preguiçoso não freqüenta esta escola 
E. ( ) Nenhum aluno preguiçoso não freqüenta esta escola 
 
21. Negue as seguintes frases: 
a) Existe um inteiro cujo quadrado é 2. 
b) Para todo x, se x A , então x B . 
c) Para toda menina, existe sempre um menino do qual ela não gosta. 
d) Para todo x, existe um y tal que xy = 0. 
 
22. (PUC-RS-80) A sentença ( | )x x a b é a negação de: 
A. ( ) x | x a b   
B. ( ) x | x a b   
C. ( ) x | x a b   
D. ( ) x, x a b   
E. ( ) x, x a b   
 
23. (FUVEST) Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e 
do outro lado uma letra. 
 
 
 
Alguém afirmou que “se um cartão tem uma vogal numa face, então tem 
um número par na outra”. Para verificar se tal afirmação é verdadeira, 
qual o número mínimo de cartões que temos que virar? 
 
 
 
 4 
24. (IBMEC-2002) Todos os automóveis governamentais têm seguro. 
Alguns automóveis que têm seguro são blindados. Podemos 
concluir que, necessariamente: 
A. ( ) Alguns automóveis governamentais são blindados. 
B. ( ) Alguns automóveis governamentais não são blindados. 
C. ( ) Alguns automóveis blindados têm seguro. 
D. ( ) Todos os automóveis que têm seguro são blindados. 
E. ( ) Todos os automóveis governamentais são blindados. 
 
25. (Ufrj) João não estudou para a prova de Matemática; por conta 
disso, não entendeu o enunciado da primeira questão. A questão 
era de múltipla escolha e tinha as seguintes opções: 
a) O problema tem duas soluções, ambas positivas. 
b) O problema tem duas soluções, uma positiva e outra negativa. 
c) O problema tem mais de uma solução. 
d) O problema tem pelo menos uma solução. 
e) O problema tem exatamente uma solução positiva. 
 
26. (Unifesp) Certo dia um professor de matemática desafiou seus 
alunos a descobrirem as idades x, y, z, em anos, de seus três filhos, 
dizendo ser o produto delas igual a 40. 
De pronto, os alunos protestaram: a informação "x . y . z = 40" era 
insuficiente para uma resposta correta, em vista de terem 
encontrado 6 ternas de fatores do número 40 cujo produto é 40. O 
professor concordou e disse, apontando para um dos alunos, que a 
soma x + y + z das idades (em anos) era igual ao número que se 
podia ver estampado na camisa que ele estava usando. Minutos 
depois os alunos disseram continuar impossível responder com 
segurança, mesmo sabendo que a soma era um número conhecido, 
o que levou o professor a perceber que eles raciocinavam 
corretamente (chegando a um impasse, provocado por duas 
ternas). 
Satisfeito, o professor acrescentou então duas informações 
definitivas: seus três filhos haviam nascido no mesmo mês e, 
naquele exato dia, o caçula estava fazendo aniversário. Neste caso 
a resposta correta é: 
 
A. ( ) 1, 5, 8 
B. ( ) 1, 2, 20 
C. ( ) 1, 4, 10 
D. ( ) 1, 1, 40 
E. ( ) 2, 4, 5 
 
27. (Fatec) considere o exemplo. 
 
Proposição O cachorro é um animal ou a alface é um 
vegetal. 
Negação 
dessa 
proposição 
O cachorro não é um animal e a alface 
não é um vegetal. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a negação da seguinte proposição: 
Maria não faz o curso de Polímeros ou Júlia faz o curso de Silvicultura. 
A. ( ) Maria faz o curso de Polímeros e Júlia faz o curso de 
Silvicultura. 
B. ( ) Maria faz o curso de Polímeros e Júlia não faz o curso de 
Silvicultura. 
C. ( ) Maria faz o curso de Polímeros ou Júlia não faz o curso de 
Silvicultura. 
D. ( ) Maria não faz o curso de Polímeros e Júlia não faz o curso de 
Silvicultura. 
E. ( ) Maria não faz o curso de Polímeros ou Júlia não faz o curso 
de Silvicultura. 
 
28. (Esc. Naval/ Adaptada) na proposição abaixo, coloque V (verdadeiro) 
ou F (Falso) 
( ) A negação da proposição ( x A)(p(x)) ( x A)(~ q(x))     é 
( x A)(p(x)) ( x A)(q(x)).     
 
39. (Esc. Naval) considere a proposição: “Se x > 5 então y = 6”. A 
proposição equivalente é: 
A. ( ) “Se x < 5 então y  6” 
B. ( ) “Se y  6 então x < 5” 
C. ( ) “Se y > 5 então x = 5” 
D. ( ) “Se y  6 então x  5” 
E. ( ) “Se x  5 então y  6” 
 
30. (Esc. Naval) A negação da proposição: “x ≠3 e y <2” é: 
A. ( ) “x = 3 e y  2” 
B. ( ) “x = 3 e y > 2” 
C. ( ) “x = 3 ou y  2” 
D. ( ) “x  2 e y < 3” 
E. ( ) “x  3 ou y < 2” 
 
31. (Esc.Naval) Dada a proposição 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ⇔ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟) 
podemos afirmar que é: 
A. ( ) logicamente falsa 
B. ( ) uma tautologia 
C. ( ) equivalente a ( p ∨ q) ⇔ r 
D. ( ) equivalente a ( p ∨ q) V r 
 ____________ 
E. ( ) equivalente a ( p v q) ⇔ r 
 
32. (Esc. Naval) A negativa da proposição: 
(∀𝑥)(∀𝑦)(𝑥 + 𝑦 < 2 → (𝑥 ≥ 0 ∨ 𝑦 < 0)) é: 
A. ( ) (∃x) (∀y) (x + y ≥ 2 → (x < 0 ∨ y ≥ 0)) 
B. ( ) (∃x) (∃y) (x + y < 2 → (x < 0  y ≥ 0)) 
C. ( ) (∃x) (∃y) (x + y < 2  (x < 0  y ≥ 0)) 
D. ( ) (∀x) (∃y) (x + y ≥ 2 ) → (x ≥ 0  y ≥ 0)) 
E. ( ) (∃x) (∃y) (x + y ≥ 2)  (x < 0  y ≥ 0)) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
GABARITO 
 
01. a) F b) V c) F d) F e) V f) V 
02. Sim. Rafael é o culpado. 
03. E 
04. Auro e Claudia 
05. a) 5ª feira. 
b) I. 2ª ou 4ª feira. 
II. 5ª feira ou domingo. 
III. 4ª feira, 5ª feira, sábado ou domingo. 
IV. 2ª feira, 4ª feira, 6ª feira ou domingo. 
06. C 
07. D 
08. B 
09. Demonstração 
10. Demonstração 
11. O argumento é inválido, pois existe uma linha na tabela-verdade 
onde as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa. 
12. a) Eu vou casar ou vou comprar uma bicicleta. 
b) Não vou viajar para a praia nem para o campo nestas férias. 
c) Eu ganho na loteria e não compro um terreno. 
d) x é par e não é divisível por 2. 
e) As chuvas são poucas e a produção agrícola não é baixa ou 
_preços não aumentam 
13. E 
14. E 
15. A 
16. a) (p q) (q p)   
b) A pessoa conseguiu um bom emprego e não estudou numa 
universidade conceituada ou a pessoa estudou numa 
universidade conceituada e não conseguiu um bom emprego. 
 
17. a) V ( x 0 , por exemplo) 
b) F ( x 1  , por exemplo) 
c) F (considere 2x , por exemplo) 
d) V (para qualquer x, considere y = 0) 
18. A 
19. E 
20. C 
21. a) Todos os inteiros têm quadrado diferente de dois. 
b) Existe um x tal que x A e x B . 
c) Existe uma menina que gosta de todos os meninos. 
d) Existe um x tal que, para todo y, tem-se xy 0 . 
22. E 
23. dois cartões 
24. C 
25. D 
26. A 
27. B 
28. V 
29. D 
30. C 
31. B 
32. C