Tabela_de_Integrais

Prévia do material em texto

T a b e l a d e I n t e g r a i s
1.
∫
u dv = uv −
∫
v du
3.
∫
du
u
= ln |u|
5.
∫
audu =
au
ln a
8.
∫
sec2 u du = tg u
9.
∫
cossec2 u du = − cotg u
10.
∫
secu tg u du = secu
11.
∫
cossecu cotg u du = − cossecu
12.
∫
tg u du = ln |secu|
13.
∫
cotg u du = ln |senu|
14.
∫
secu du = ln |secu + tg u|
15.
∫
cossecu du = ln |cossecu− cotg u|
16.
∫
du√
a2 − u2
= arcsen
u
a
17.
∫
du
u2 + a2
=
1
a
arctg
u
a
18.
∫
du
u
√
u2 − a2
=
1
a
sec−1
(u
a
)
19.
∫
du
a2 − u2
=
1
2a
ln
∣∣∣∣u + au− a
∣∣∣∣
20.
∫
du
u2 − a2
=
1
2a
ln
∣∣∣∣u− au + a
∣∣∣∣
25.
∫
du√
u2 + a2
= ln
∣∣∣u +√u2 + a2∣∣∣
29.
∫
du
(a2 + u2)3/2
=
u
a2
√
a2 + u2
43.
∫
du√
u2 − a2
= ln
∣∣∣u +√u2 − a2∣∣∣
63.
∫
sen2 u du =
2u− sen(2u)
4
64.
∫
cos2 u du =
2u + 2 sen(2u)
4
65.
∫
tg2 u du = tg u− u
66.
∫
cotg2 u = − cotg u− u
67.
∫
sen3 u du = − (2 + sen
2 u) cosu
3
68.
∫
cos3 u du =
(2 + cos2 u) senu
3
73.
∫
senn u du = − 1
n
senn−1 u cosu +
n− 1
n
∫
senn−2 u du
74.
∫
cosn u du =
1
n
cosn−1 u senu +
n− 1
n
∫
cosn−2 u du
75.
∫
tgn u du =
1
n− 1
tgn−1 u−
∫
tgn−2 u du
79.
∫
sen(au) sen(bu) du =
sen(a− b)u
2(a− b)
− sen(a + b)u
2(a + b)
80.
∫
cos(au) cos(bu) du =
sen(a− b)u
2(a− b)
+
sen(a + b)u
2(a + b)
81.
∫
sen(au) cos(bu) du = −cos(a− b)u
2(a− b)
− cos(a + b)u
2(a + b)
82.
∫
u senu du = senu− u cosu
83.
∫
u cosu du = cosu + u senu
84.
∫
un senu du = −un cosu + n
∫
un−1 cosu du
85.
∫
un cosu du = un senu− n
∫
un−1 senu du
98.
∫
eau sen(bu) du =
eau[ a sen (bu)− b cos (bu) ]
a2 + b2
99.
∫
eau cos(bu) du =
eau[ a cos(bu) + b sen(bu) ]
a2 + b2
cos2 (x) =
1 + cos (2x)
2
sen2 (x) =
1− cos (2x)
2
sen(x + y) = senx cos y + cosx sen y
sen(x− y) = senx cos y − cosx sen y
cos(x + y) = cosx cos y − senx sen y
cos(x− y) = cosx cos y + senx sen y
tg(x + y) =
tg x + tg y
1− tg x tg y
tg(x− y) = tg x− tg y
1 + tg x tg y
sen 2x = 2 senx cosx
cos 2x = cos2 x− sen2 x = 2 cos2 x− 1 = 1− 2 sen2 x
tg x =
2 tg x
1− tg2 x
senx =
eix − eix
2i
cosx =
eix + eix
2
1 Cônicas
1.1 Elipse
(a) A equação da elipse cujos focos são F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) é
x2
a2
+
y2
b2
= 1
(b) A equação da elipse cujos focos são F1 = (0, −c) e F2 = (0, c) é
x2
b2
+
y2
a2
= 1
em ambos os casos, b =
√
a2 − c2, ou seja, c =
√
a2 − b2
x
y
A1 A2
B1
B2
F1 F2
b
a
c
onde:
A1(−a, 0) A2(a, 0)
B1(−b, 0) B1(b, 0)
F1(−c, 0) F2(c, 0)
Os pontos A1, A2, B1 e B2 são os vértices da elipse. Os segmentos A1A2 e B1B2 são os eixos da elipse.
A excentricidade e da elipse é o número dado por
e =
c
a
1.2 Hipérbole
A hipérbole é o conjunto dos pontos P no plano tais que o módulo da diferença entre as distâncias de P a dois pontos fixos F1
e F2 (focos) é constante ou sejam, se dist (F1, F2) = 2c, então a hipérbole é o conjunto de pontos P tais que
|dist (P, F1)− dist (P, F2)| = 2a,
em que a < c.
(a) A equação da hipérbole cujos focos são F1(−c, 0) e F2(c, 0) é
x2
a2
− y
2
b2
= 1
e das asśıntotas são
y = ± b
a
x
(b) A equação da hipérbole cujos focos são F1(0,−c) e F2(0, c) é
x2
b2
− y
2
a2
= 1
e das asśıntotas são
x = ± b
a
y
em ambos os casos b =
√
a2 − c2, ou seja, c =
√
a2 − b2.
x
y
y = baxy = −
b
ax
F1 F2
A1 A2
a
b
c
onde:
A1(−a, 0) A2(a, 0) (1)
F1(−c, 0) F2(c, 0) (2)
	Cônicas
	Elipse
	Hipérbole