GABARITO DO LIVRO - GEOMETRIA ANALÍTICA - UNOPAR

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Geometria 
analítica
APÊNDICE
UNIDADE 1
1U1 - Sistema cartesiano ortogonal e o estudo dos planos
UNIDADE 1: Sistema cartesiano ortogonal e o estudo dos planos
Gabarito 1. Faça valer a pena – Seção 1.1
1. Alternativa Correta: B 
Resposta Comentada: 
Como os pontos A( , )-2 2 e B( , )3 5 correspondem a vértices 
opostos de um quadrado, então esses pontos são extremos de 
uma das diagonais do quadrado.
Para calcular o comprimento da diagonal, podemos obter a 
distância entre os pontos A e B da seguinte forma:
d x x y y d= − + − = − − + −( ) ( ) ( ( )) ( )2 1
2
2 1
2 2 23 2 5 2 ⇒
⇒ ⇒ ⇒ d d d= + = + =5 3 25 9 342 2
Portanto, obtemos um quadrado de lado a, com diagonal de 
comprimento d = 34 u.c., representado na figura a seguir:
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
Figura 1.12
Fonte: elaborada pelo autor (2017).
Pelo teorema de Pitágoras, segue que:
( )34 34 2 172 2 2 2= + = =a a a a ⇒ ⇒
Logo, o quadrado tem lado de comprimento 17 unidades.
Concluímos que a área do quadrado é dada por:
A a A A= = =2 217 17 ⇒ ⇒( ) ,
ou seja, o quadrado tem área igual a 17 unidades.
2 U1 - Sistema cartesiano ortogonal e o estudo dos planos
2. Alternativa Correta: D 
Resposta Comentada:
A mediana do triângulo ABC relativa ao vértice B tem como extremos 
o vértice B e o ponto médio M do segmento AC. Sabendo que 
A( , )1 1- e C( , )7 1 , então o ponto médio M x yM M( , ) de AC é dado por:
x xM M=
+
= =
1 7
2
8
2
4 ⇒
y yM M=
− +
= =
( )1 1
2
0
2
0 ⇒
Assim, temos o ponto médio M( , )4 0 do segmento AC. 
Para calcular o comprimento da mediana, é preciso determinar a 
distância entre os pontos M e B. Sendo B( , )3 4 , segue que:
d x x y y dM B M B= − + − = − + −( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 24 3 0 4 ⇒
⇒ ⇒ d d= + − = + =1 4 1 16 172 2( )
Portanto, a mediana do triângulo ABC relativa a B tem comprimento 
17 u.c.
3. Alternativa Correta: A 
Resposta Comentada: 
Sabendo que o triângulo ABC tem vértices A( , )11 e C( , )3 5 , e que o 
ponto médio do segmento AB possui coordenadas M( , )4 2 , então o 
vértice B x yB B( , ) é tal que:
1
2
4 1 8 7+ = + = =x x xB B B ⇒ ⇒
1
2
2 1 4 3+ = + = =y y yB B B ⇒ ⇒
Logo, o vértice B tem coordenadas B( , )7 3 .
Como A( , )11 , B( , )7 3 e C( , )3 5 , o baricentro do triângulo possui 
coordenadas:
xG =
+ +
=
1 7 3
3
11
3
yG =
+ +
= =
1 3 5
3
9
3
3
3U1 - Sistema cartesiano ortogonal e o estudo dos planos
Portanto, o baricentro do triângulo ABC é dado por: G 11
3
3,





.
Gabarito 2. Faça valer a pena – Seção 1.2
1. Alternativa Correta: B 
Resposta Comentada: 
Como a chapa metálica pode ser aproximada por um plano que 
contém os pontos P( , , )1 2 5- e Q( , , )2 2 1 , além de possuir 
v

= −( , , )1 0 1 como vetor paralelo ao plano, precisamos determinar 
o vetor normal a esse plano. Tomando o vetor PQ
� ���
= −( , , )1 4 4 , em 
conjunto com v

, pelo produto vetorial, segue que
n v PQ
i j k�� � � ���
� � ��
= × = −
−
=1 0 1
1 4 4
4 3 4( , , ) 
Considerando o ponto Q, a equação geral do plano pode ser 
determinada da seguinte forma:
4 2 3 2 4 1 0( ) ( ) ( )x y z− + − + − =
⇒ 4 8 3 6 4 4 0x y z− + − + − =
⇒ 4 3 4 18 0x y z+ + − =
Portanto, a chapa metálica pode ser representada pelo plano de 
equação geral 4 3 4 18 0x y z+ + − = .
2. Alternativa Correta: D 
Resposta Comentada: 
Observe que a interseção do plano p1 com o eixo das abscissas 
(eixo x) corresponde a um ponto na forma P a( , , )0 0 . Sendo assim,
3 5 2 3 0 3 0 0 3 0 1x y z a a− + − = ⇒ − + − = ⇒ = 
Logo, o ponto de interseção entre p1 e o eixo x corresponde ao 
ponto P( , , )10 0 e, assim, a afirmação I está correta.
A interseção do plano p2 com o eixo das ordenadas (eixo y) é dada 
por um ponto na forma Q b( , , )0 0 . Logo,
x y z b b+ − + = ⇒ + − + = ⇒ =−2 12 0 0 2 0 12 0 6 
4 U1 - Sistema cartesiano ortogonal e o estudo dos planos
Sendo assim, Q( , , )0 6 0- corresponde ao ponto de interseção entre 
p2 e o eixo y, de onde segue que a afirmação II está incorreta.
A interseção do plano p3 com o eixo das cotas (eixo z) é um ponto 
de coordenadas R c( , , )0 0 dado por
2 3 4 6 0 0 0 4 6 0 3
2
x y z c c− − + = ⇒ − − + = ⇒ = 
Portanto, a interseção de p3 com o eixo z corresponde ao ponto 
R 0 0 3
2
, ,





, então a afirmação III está correta.
3. Alternativa Correta: C 
Resposta Comentada: 
Sabemos que o plano p contém o ponto A( , , )-1 0 4 e o ponto de 
interseção do plano de equação geral 2 3 5 0x y z− + − = com o 
eixo das cotas (eixo z). 
Para a determinação das coordenadas do segundo ponto, note que 
ele assume o formato B b( , , )0 0 por ser pertencente ao eixo z. 
Assim, da equação geral 2 3 5 0x y z− + − = , temos que
2 0 3 0 5 0 5⋅ − ⋅ + − = ⇒ =b b 
Desta forma, o plano p contém os pontos A( , , )-1 0 4 e B( , , )0 0 5 , a 
partir dos quais podemos definir o vetor AB
� ���
= ( , , )1 0 1 paralelo a p .
Como p também é paralelo ao vetor descrito por v

= −( , , )2 1 0 , 
podemos determinar o vetor normal a p , como segue:
n v AB
i j k�� � � ���
� � ��
= × = − = −2 1 0
1 0 1
1 2 1( , , ) 
Para construir a equação geral do plano p , que contém, por 
exemplo, o ponto B( , , )0 0 5 , e tem por vetor normal n
��
= −( , , )1 2 1 , 
podemos empregar o seguinte procedimento:
1 0 2 0 1 5 0 2 5 0( ) ( ) ( )( )x y z x y z− + − + − − = ⇒ + − + = 
Portanto, a equação geral do plano p é dada por x y z+ − + =2 5 0 .
5U1 - Sistema cartesiano ortogonal e o estudo dos planos
Gabarito 3. Faça valer a pena – Seção 1.3
1. Alternativa Correta: B 
Resposta Comentada: 
Para analisar se os planos são paralelos entre si, precisamos verificar 
se os vetores ortogonais aos dois planos também o são. Podemos 
analisar esta condição verificando se os vetores ortogonais são 
múltiplos um do outro.
Temos que n1 3 6 12
���
= −( ), , é um vetor normal a p1, enquanto 
n2 2 4 8
���
= −( ), , é um vetor normal a p2 . Além disso, note que
n n1 23 6 12
3
2
2 4 8 3
2
��� ���
= −( )= −( )=, , , , .
Logo, os planos são paralelos entre si. Assim, a afirmação I é 
verdadeira.
Em relação à afirmação II, precisamos verificar se o vetor 
v

= −( )1 2 4, , é ortogonal aos planos dados. Para isso, ele deve ser 
paralelo aos vetores ortogonais a p1 e p2 . Note que
n v1 3 6 12 3 1 2 4 3
��� �
= −( )= −( )=, , , , 
n v2 2 4 8 2 1 2 4 2
��� �
= −( )= −( )=, , , , .
Como estas relações podem ser obtidas a partir das componentes 
dos vetores, temos que v

, n1
���
 e n2
���
 são paralelos entre si. Logo, a 
afirmação II é verdadeira.
Porém, a afirmação II não justifica a I, pois não retrata uma relação 
que apresenta diretamente uma comprovação para o motivo de os 
planos serem paralelos entre si. A afirmação II apenas apresenta um 
terceiro vetor relacionado aos dois planos em questão, incluindo 
uma nova informação, em vez de justificar a relação apresentada.
Portanto, as afirmações I e II são verdadeiras, mas a II não é uma 
justificativa correta para a I.
2. Alternativa Correta: E 
Resposta Comentada: 
Como p é paralelo ao eixo y, então o vetor j

= ( , , )0 10 é paralelo 
ao plano. 
6 U1 - Sistema cartesiano ortogonal e o estudo dos planos
Sabendo que PQ
� ���
= − −( , , )4 1 1 também é paralelo a p , podemos 
determinar o vetor ortogonal ao plano por meio do produto vetorial
n PQ j
i j k
i k
�� � ��� �
� � ��
= × = − − = + =4 1 1
0 1 0
4 1 0 4( , , ) .
A equação geral do plano que contém o ponto Q( , , )3 1 0 e tem por 
vetor normal n
��
= ( , , )1 0 4 é dadapor
1 3 0 1 4 0 0( ) ( ) ( )x y z− + − + − =
⇒ − + = x z3 4 0
⇒ + − = x z4 3 0 .
Portanto, a equação geral do plano é dada por x z+ − =4 3 0.
3. Alternativa Correta: D 
Resposta Comentada: 
Como os planos que descrevem as chapas metálicas são paralelos 
entre si, para avaliar a distância entre eles, ou seja, o comprimento 
do cabo de aço, é necessário identificar um ponto de um dos 
planos e determinar sua distância ao outro plano.
Veja que P( , , )− ∈3 3 0 1 p , 
3 3 3 5 0 12 0⋅ −( )− + ⋅ + =
Para calcular a distância entre os planos, podemos determinar 
d d Pp p p1 2 2, ,( ) = ( ). Sendo assim,
d P( , )
( ) ( )
( )
,p2 2 2 2
9 3 3 3 15 0 2
9 3 15
38
315
2 14=
⋅ − + − ⋅ + ⋅ −
+ − +
=
−
≈ .
Portanto, o comprimento do cabo de aço que une as duas chapas 
metálicas é de 2,14 u.c., aproximadamente.