Aritmética de Ponto Flutuante - Métodos Computacionais

Prévia do material em texto

Josué Abranti
Métodos computacionais
Aritmética de Ponto Flutuante
Brasil
Porto Alegre 05 de Abril de 2020
Josué Abranti
Métodos computacionais
Aritmética de Ponto Flutuante
Trabalho acadêmico apresentado à disci-
plina de Métodos Computacionais da insti-
tuição Pontíficia Universidade Católica do
Rio Grande do Sul como parte dos requisi-
tos necessários para obtenção do título de
Engenheiro de Computação.
Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul - PUCRS
Escola Politécnica
Engenharia de Computação
Brasil
Porto Alegre 05 de Abril de 2020
Josué Abranti
Métodos computacionais
Aritmética de Ponto Flutuante/ Josué Abranti. – Brasil, Porto Alegre 05 de Abril
de 2020-
Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul - PUCRS
Escola Politécnica
Engenharia de Computação, Porto Alegre 05 de Abril de 2020.
1. Métodos Computacionais. 2. Computação Científica. I. Beatriz Franciosi. II.
Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul.
“ A Matemática apresenta invenções tão sutis
que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como,
também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens ”
(René Descartes, Século 17)
Lista de ilustrações
Figura 1 – Régua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Figura 2 – Definição matemática do sistema de ponto flutuante . . . . . . . . . . . 11
Figura 3 – Diferença dos valores em número real para a representação em ponto
flutuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Figura 4 – Região de overflow e underflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE . . . . . . . . . . . . . . 11
3 VISÃO GERAL DA ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE . . . 13
4 OVERFLOW E UNDERFLOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Introdução
Entra 1970 e 1980 um grupo formado por cientistas e engenheiros de de diferentes
empresas de computação realizou um trabalho intenso na tentativa de encontrar um
padrão de representação dos números, que deveria ser adotado por todas as indústrias na
construção de seus computadores. A necessidade desta padronização tinha como principal
objetivo de uniformizar os resultados obtidos por um mesmo programa computacional
executado em diferentes máquinas.
Esta discussão teve início em 1976, e este grupo de trabalho ficou conhecido como
IEEEp754, pois foir organizado pleo Institute for Electrical and Eletronics Engineers
(IEEE). Entre os fabricantes estavam Apple, Zilog, DEC, Intel, Hewlett-Packard, Motorola
e National Semicondutor. O professor William Kahan liderava o grupo de cientistas e pelo
trabalho desenvolvido neste projeto, recebeu o prêmio Turing Prize de 1989.
Este projeto tinha como metas principais:
- Especificar como representar os números em precisão simples e dupla.
- Padronizar o arredondamento nas operações neste sistema.
- Estabelecer critérios para padronizar situações como divisão por zero, operações
envolvendo infinito.
9
1 Algarismos significativos
Algarismos significativos de um número são aqueles que podem ser usados com
confiança e geralmente corresponde ao número de algarismos corretos mais um estimado,
também chamado de duvidoso, e esse algarismo duvidoso carrega com ele uma incerteza e
é nela que mora o erro.
Por exemplo, na marcação de uma régua, quantos centímetros podemos dizer que
ela está medindo?
Figura 1 – Régua
Bom, podemos afirmar com certeza que ela está medindo mais que 2,2 e menos
que 2,3 cm. Mas existe um intervalo entre esses números que nós não identificamos com
certeza absoluta. Podemos colocar esse número mais perto do 2,2 cm ou mais perto do 2,3
cm. Mas qual valor esta certo? Não podemos afirmar nada. Então, temos uma incerteza.
E isso está dependendo do observador ou do equipamento que você está usando para tirar
essa medida.
Devido a este problema encontrado em representações computacionais usa-se a
aritmética de ponto flutuante, uma vez dependendo do uso a representação inteira pode
ser utilizada, porém em outros casos se faz necessário conhecer qual a precisão utilizada.
11
2 Aritmética de Ponto Flutuante
Embora números inteiros forneçam uma representação exata para valores numéricos,
eles têm uma grande desvantagem: a inabilidade para representar valores fracionários.
Aritmética em ponto flutuante resolve este problema. Programadores são advertidos da
perda de velocidade associada com aritmética de ponto flutuante; contudo, os benefícios
obtidos com o uso de ponto flutuante superam esta desvantagem.
Um sistema de ponto flutuante F ⊂ R é um subconjunto dos números reais cujos
elementos tem a forma:
Figura 2 – Definição matemática do sistema de ponto flutuante
A aritmética de ponto flutuante F é caracterizada por quatro números inteiros:
• base β (binária, decimal, hexadecimal e etc...);
• precisão t (número de algarismos da mantissa);
• limites do expoente e (emin≤ e ≤ emax);
Portanto a definição de F é dada por F(β, t, emin, emax).
A mantissa é fracionária nesta representação (<1).
A fim de assegurar representação única para cada y ∈ F, faz−seumanormalizaçãonosistemadeformaque0d1 6=
0paray 6= 0.
13
3 Visão Geral da Aritmética de Ponto Flutu-
ante
Um grande problema com a aritmética de ponto flutuante é que ela não segue as
regras padrões da álgebra. Números inteiros também não seguem as regras padrões da
álgebra, porque a representação deles é feita com números finitos de bits. Não se pode
representar nenhum valor inteiro acima do ’valor máximo’ ou abaixo do ’valor mínimo’
suportado por determinada representação binária. Ponto flutuante, não só sofre deste
mesmo problema, como também de outro: números inteiros são um subconjunto dos
números reais. Sendo assim, os valores de ponto flutuante representam o mesmo conjunto
de inteiros infinitos. Contudo, há um número infinito de valores entre quaisquer dois
números reais; assim o problema é infinitamente pior. Entretanto, da mesma forma que
foram limitados os valores na faixa entre máximos e mínimos, não se pode representar
todos os valores entre essa faixa.
Figura 3 – Diferença dos valores em número real para a representação em ponto flutuante
Para representar números reais, o mais comum é o uso da notação científica, usando
a maior parte dos dígitos para representar a mantissa e a menor parte para representar
o expoente. Assim, estes números de ponto flutuante podem somente ser representados
através de um número específico de dígitos significativos. Isto tem um grande impacto
na operação com aritmética de ponto flutuante É fácil ver o impacto de utilizar precisão
limitada na aritmética de ponto flutuante: adotando um formato simplificado de ponto
flutuante decimal, por exemplo, com uma mantissa com três dígitos significativos e um
expoente decimal com dois dígitos, sendo a mantissa e o expoente com valores sinalizados
15
4 Overflow e Underflow
O conjunto de números de números reais é infinito, entretanto, a sua representação
em um sistema de ponto flutuante é limitada, pois é um sistema finito, o que não a
representação exata da totalidade dos números reais.
Essa limitação tem duas origens:
• a faixa dos expoentes é limitada (emin ≤ e ≤emin);
• a mantissa pode representar um número finito de números (β−1 ≤ m ≤ −β−t);
A primeira limitação leva aos fenômenos chamados de “overflow” e “underflow”. A
Segunda leva aos erros de arredondamentos, que será visto na próxima seção.
Sempre que uma operação aritmética produz um número com expoente superior
ao expoente máximo, tem-se o fenômeno de “overflow”. De forma similar, operações que
resultem em expoente inferior ao expoente mínimo tem-se o fenômeno de “underflow”.
No caso do exemplo dado, pode-se observar qualas regiões que ocorrem o overflow e
o underflow. Neste caso, considera-se a parte positiva e negativa da aritmética do exemplo.
Figura 4 – Região de overflow e underflow
Observe que, se o expoente for maior que 3 ou menor que -1, não tem-se represen-
tação no conjunto formado pela aritmética de ponto flutuante. No primeiro caso, tem-se o
overflow, no segundo caso, tem-se o underflow.
Quando da ocorrência de overflow ou underflow, a máquina realiza alguma ação.
Cada máquina responde de alguma forma. As principais ações são:
Overflow
a) Pára o cálculo Overflowb) Retorna um número que representa o infinito da máquina (IEEE)
16 Capítulo 4. Overflow e Underflow
Underflow

a) Pára o cálculo
b) Arredonda para zero
c) Arredonda para um número subnormal
As duas maneiras que a máquina trata o overflow possuem aspectos indesejáveis. No
primeiro caso não possui resposta. No segundo caso também não é muito útil, exceto para
interpretações físicas ou aplicações específicas, pois não apresenta uma resposta numérica.
No caso do underflow, o primeiro caso é indesejado. Os segundo e terceiro caso
resulta em uma resposta útil, mas existe o perigo de numa operação seguinte surgir um
overflow.
Deve-se procurar evitar overflow e underflow em implementação computacionais.
Uma maneira prática de evitar o overflow é o escalonamento, que pode também evitar o
underflow.
Exemplo:
x =
√
a2 + b2
Suponha uma máquina com 10 dígitos decimais com expoentes [-99,99]
a = b = 1060
a2 e b2 ambos estão em overflow e a computação pode ser parada, mesmo que o
resultado seja
√
2×1060 e seja representável na aritmética de ponto flutuante.
Similarmente:
a = b = 10−60
Pode-se evitar o overflow, utilizando um escalonamento:
s = |a| + |b|
c = s
√(
a
s
)2
+
(
b
s
)2
Esta formulação também evita o underflow.
17
5 Adição e subtração
O problema que enfrentamos é que, além dos bits significativos, temos o escalo-
namento (ou o “deslocamento” do ponto). Na adição precisamos que ambos os valores
tenham a mesma escala para poder adicioná-los. Um exemplo, em decimal, é a tentativa
de adicionar 1.0×100 ao valor 1.0×102. Não podemos, simplesmente, somar 1.0 com 1.0!
Temos que tornar as escalas (100 e 102) iguais e, para isso, adaptamos o menor valor:
1.0× 102 + 0.01× 102 = 1.01× 100
Aqui, 1.0×100 foi transformado em 0.01×102. O motivo de adequarmos o menor
valor é que os bits do menor valor serão deslocados para a direita e a adição tenderá a
obter uma soma normalizada. Troque agora o valor normalizado por um valor inteiro
binário (com o bit 23, implícito, setado) e a escala na base 2, ao invés de 10.
Existe um detalhe interessante: Se a diferença entre os expoentes EaeEbformaiorque24, significaqueomenorvalorpodeserseguramentedesconsideradonaadição.Omotivo, óbvio, équeeledeveráserdeslocado24bitsparaadireita, fazendocomquetodososseusbitssignificativosıdesapareçam.Assim, aadiçãosóéfeitaseEa−
Eb < 24ondeEa > Eb.
A subtração segue as mesmas regras, mas a ordem com a qual os operandos
aparecem é importante.
19
6 Multiplicação e divisão
Diferente da adição (e da subtração), a multiplicação não precisa sofrer adequações
das frações. Isso fica claro quando você percebe que basta somar os dois expoentes de
mesma base para obter a escala correta e, as frações, só precisam ser multiplicadas:
(fa · 2Ea) · (fb · 2Eb) = (fa · fb) · 2Ea+Eb
O detalhe é que, ao obtermos a fração com o bit implícito, teremos um valor
de 24 bits de tamanho que, ao multiplicar por outro valor de 24 bits de tamanho nos
dará um valor de 48 bits de tamanho. Considere o caso de multiplicarmos 1.0 por ele
mesmo. Esse valor é codificado, em hexadecimal, como 0x800000. Depois da multiplicação
obtemos 0x400000000000. Não é óbvio, mas o resultado encontra-se 23 bits deslocado para
a esquerda, ou seja, justamente os 23 bits da parte fracionária dos argumentos originais! A
resposta é justamente [(a · b) shr 23] · 2Ea + Eb, onde a e b são os valores inteiros de 24
bits com o bit implícito!
A divisão, é claro, segue o sentido inverso. os bits significativos devem ser divididos
e os expoentes subtraídos, mas diferente da multiplicação, o dividendo deve ser deslocado
23 bits para a esquerda antes que a divisão possa ser feita. Novamente, vamos tentar
dividir 1.0 por ele mesmo. . . Se dividirmos 0x800000 por ele mesmo obteremos o quociente
1. Mas 1 é apenas o bit 0 da fração, ou seja, 2−23. Mas, se deslocarmos a para esquerda
em 23 bits, teremos 0x4000000000000x800000 = 0x800000. Assim, a divisão binária fica
a shl 23
b
· 2Ea−Eb .
Claro que temos que considerar o caso espacial onde labelb = 0.
Atenção que a renormalização também pode ser necessária depois de multiplicações
e divisões. Tomemos o caso onde todos os bits significativos estejam setados e E=0. Se
quisermos elevar esse valor ao quadrado, neste caso, a será 0xffffff e obteremos 0xfffffe000001.
Ao deslocarmos 23 bits para a direita teremos 0x1fffffc, que tem 25 bits de tamanho! Isso
deve ser deslocado em 1 bit para a direita e o valor de E incrementado.
Como os dois valores originais tm expoente zerado, o expoente final deveria ser
zerado também Ea + Eb = 0 + 0 = 0, mas a renormalização nos deu um expoente unitário,
sendo fácil perceber que a parte fracionária é resultante do shift para a direita do valor que
expus anteriormente. Na divisão algo similar pode acontecer, mas no sentido contrário.
	Folha de rosto
	Epígrafe
	Lista de ilustrações
	Sumário
	Introdução
	Algarismos significativos
	Aritmética de Ponto Flutuante
	Visão Geral da Aritmética de Ponto Flutuante
	Overflow e Underflow
	Adição e subtração
	Multiplicação e divisão