Questões - - Números Complexos e Equações Algébricas III

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Questão 1/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Atente para os seguintes números complexos:
z1=2+3iz2=1+iz1=2+3iz2=1+i
Com base nos dados fornecidos e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com números complexos, determine o resultado de z1z2z1z2.
Nota: 10.0
	
	A
	1+2i1+2i
	
	B
	55
	
	C
	5+i25+i2
Você acertou!
2+3i1+i.1−i1−i=2−2i+3i−3i21−i2=2−2i+3i+31+1=5+i22+3i1+i.1−i1−i=2−2i+3i−3i21−i2=2−2i+3i+31+1=5+i2
(livro-base, p. 103-104).
	
	D
	5i25i2
	
	E
	−1+i2−1+i2
Questão 2/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
O número complexo
z=3(cox5π4+i sen5π4)z=3(cox5π4+i sen5π4)
pode ser escrito na forma algébrica z=a+biz=a+bi.
Com isto e de acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas, a parte real Re(z)Re(z)e aparte imaginária Im(z)Im(z) são, respectivamente:
Nota: 10.0
	
	A
	√2222   e    √2222
	
	B
	3√232    e   3√232
	
	C
	−3√2−32    e   −3√2−32
	
	D
	−3√22−322    e    −3√22−322
Você acertou!
Sabendo que  cos5π4=−√22cos5π4=−22 e  sen5π4=−√22sen5π4=−22 e, substituindo esses valores no número complexo zz, temos:
z=3(cos5π4+isen5π4)z=3(−√22+i.(−√22))z=3(−√22−i.√22)z=−3√22−3√22.iz=3(cos5π4+isen5π4)z=3(−22+i.(−22))z=3(−22−i.22)z=−322−322.i
Logo, Re(z)=−3√22Re(z)=−322 e Im(z)=−3√22Im(z)=−322 .
Livro-base, p.81-126.
	
	E
	−3√22−322    e    3√22322
Questão 3/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere o seguinte número complexo:
z=2−2iz=2−2i
Com base no dado fornecido e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre números complexos, escolha a alternativa que indica a forma trigonométrica (polar) de zz.
Nota: 10.0
	
	A
	z=2.(cosπ6+i.senπ6)z=2.(cosπ6+i.senπ6)
	
	B
	z=2√2.(cos7π4+i.sen7π4)z=22.(cos7π4+i.sen7π4)
Você acertou!
Calculamos o módulo de z e seu argumento:
ρ=√22+(−2)2=√8=2√2ρ=22+(−2)2=8=22
sen θ=bρ=−22√2=−√22cos θ=aρ=22√2=√22sen θ=bρ=−222=−22cos θ=aρ=222=22
θ=7π4θ=7π4
Logo, z=2√2.(cos7π4+i.sen7π4)z=22.(cos7π4+i.sen7π4) (livro-base, p. 109-111).
	
	C
	z=2√2.(cosπ4+i.senπ4)z=22.(cosπ4+i.senπ4)
	
	D
	z=√2.(cosπ3+i.senπ3)z=2.(cosπ3+i.senπ3)
	
	E
	z=√2.(cosπ4+i.senπ4)z=2.(cosπ4+i.senπ4)
Questão 4/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Os números complexos podem ser representados de diversas formas. As mais usuais são as formas algébrica e polar.
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas, escreva na forma algébrica o número complexo abaixo:
z=6(cosπ6+i senπ6)z=6(cosπ6+i senπ6)
Nota: 10.0
	
	A
	z=6√6+6iz=66+6i
	
	B
	z=√3+3iz=3+3i
	
	C
	z=6√3+6iz=63+6i
	
	D
	z=3√32+32iz=332+32i
	
	E
	z=3√3+3iz=33+3i
Você acertou!
Temos que  cosπ6=√32cosπ6=32 e  senπ6=12senπ6=12 , logo,
z=6(cosπ6+isenπ6)z=6(√32+i12)z=6√32+i62z=3√3+3iz=6(cosπ6+isenπ6)z=6(32+i12)z=632+i62z=33+3i
Livro-base, p. 81-126.
Questão 5/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere a seguinte informação:
 “A forma algébrica de um número complexo é z = a +bi, com a e b quaisquer números reais. Quando a parte imaginária de um complexo é nula, ele é considerado um número real. Um número complexo também pode ser denominado número imaginário puro, quando se apresenta no formato z=bi, com b diferente de zero”.
 Fonte: Texto elaborado pelo autor dessa questão.
Considerando o trecho anterior e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre os números complexos, analise as alternativas que seguem. Na sequência, assinale aquela que apresenta, de forma correta, o(s) valor(es) que x deve assumir para que z=x2−4+(x−2)iz=x2−4+(x−2)i seja um número imaginário puro:
 
Nota: 10.0
	
	A
	x=2x=2 ou x=−2x=−2
	
	B
	x=2x=2
	
	C
	x=−2x=−2
Você acertou!
Para que z=x2−4+(x−2)iz=x2−4+(x−2)i possa ser um número imaginário puro a=0a=0 e b≠0b≠0. Assim:
x2−4=0x2=4x1=2x2=−2x−2≠0x≠2x2−4=0x2=4x1=2x2=−2x−2≠0x≠2
 
Logo, x=−2x=−2 (livro-base, p. 86-89).
	
	D
	x=4x=4 ou x=−4x=−4
	
	E
	x=4x=4
Questão 6/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
A primeira fórmula de De Moivre diz respeito ao cálculo de potências de números complexos na forma trigonométrica e é escrita por zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)].
Com base nessa informação e nos conteúdos de números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, escolha a alternativa correta para (1+i)4.(1+i)4.
Nota: 10.0
	
	A
	z4=(cos4π+i.sen4π)z4=(cos4π+i.sen4π)
	
	B
	z4=(cosπ+i.senπ)z4=(cosπ+i.senπ)
	
	C
	z4=4.(cos4π+i.sen4π)z4=4.(cos4π+i.sen4π)
	
	D
	z4=4.(cosπ+i.senπ)z4=4.(cosπ+i.senπ)
Você acertou!
Escrevendo 1+i1+i na forma trigonométrica:
a=1     b=1ρ=√12+12=√2a=1     b=1ρ=12+12=2
senθ=bρ=1√2=√22cosθ=aρ=1√2=√22senθ=bρ=12=22cosθ=aρ=12=22
Logo, θ=π4θ=π4.
Assim, 1+i1+i na forma trigonométrica é escrito: z=√2(cosπ4+i.senπ4)z=2(cosπ4+i.senπ4)
Aplicando a fórmula de De Moivre:
zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]=z4=(√2)4[cos(4.π4)+i.sen(4.π4)z4=4(cosπ+i.senπ)zn=ρn[cos(n.θ)+i.sen(n.θ)]=z4=(2)4[cos(4.π4)+i.sen(4.π4)z4=4(cosπ+i.senπ)
Livro-base p. 113-114
	
	E
	z4=4.(cos2π+i.sen2π)z4=4.(cos2π+i.sen2π)
Questão 7/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
A representação geométrica de um número complexo é dada por z=a+bi,z=a+bi,  com z≠0,z≠0, tal que aa é denominada parte real (Re(z)=aRe(z)=a) e bb a parte imaginária
(Im(z)=b)Im(z)=b). Outra forma de representar um número complexo é a forma trigonométrica ou polar z=ρ(cosθ+isenθ)z=ρ(cosθ+isenθ), com 0≤θ≤2π0≤θ≤2π.  
Com base no texto acima e no Livro-base Números complexos e equações algébricas sobre o conteúdo de número complexos, responda:
A parte real Re(z)Re(z) e a parte imaginária Im(z)Im(z) do número complexo z=3.(cos5π4+i.sen5π4)z=3.(cos5π4+i.sen5π4) são, respectivamente:
Nota: 10.0
	
	A
	√22 e √2222 e 22
	
	B
	3√2 e 3√232 e 32
	
	C
	−3√2 e −3√2−32 e −32
	
	D
	−3√22 e −3√22−322 e −322
Você acertou!
z=3.(cos5π4+i.sen5π4)=z=3.(−√22+i.−√22)=z=−3√22−3√22iRe(z)=−3√22 e Im(z)=−3√22z=3.(cos5π4+i.sen5π4)=z=3.(−22+i.−22)=z=−322−322iRe(z)=−322 e Im(z)=−322
Livro-base pp. 85-89.
	
	E
	−3√22 e 3√22−322 e 322
Questão 8/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere os seguintes números complexos:
z1=2+3iz2=5−2iz1=2+3iz2=5−2i
Com base nos dados fornecidos e nos contéudos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com números complexos, determine o resultado de z1−z2z1−z2.
Nota: 0.0
	
	A
	3+i3+i
	
	B
	3+5i3+5i
	
	C
	−3+5i−3+5i
2+3i−(5−2i)2+3i−5+2i−3+5i2+3i−(5−2i)2+3i−5+2i−3+5i
(livro-base, p. 95-97)
	
	D
	−3+i−3+i
	
	E
	16−19i16−19i
Questão 9/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o seguinte fragmento de texto:
 “Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemático mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau: x2–10x+40=0x2–10x+40=0”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: SANTOS, G. T. Números complexos.  <http://www.ime.unicamp.br/~ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/NC5.docx.pdf>. Acesso em 19 set. 2018.
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre a resolução de equações, analise as asserções a seguir, marcando como V as proposições verdadeiras e com F as proposições falsas.
I. (  ) Uma equação de segundo grau cujo delta é negativo não tem solução no conjunto dos números complexos.
II. (  ) No conjunto dos números complexos, a solução para a equação x2+8=0x2+8=0 é S={−4i,4i}.S={−4i,4i}.
III. (  ) A unidade imaginária torna possível a resolução de algumas equações que não têm solução no conjunto dos números reais. 
IV. (  ) 2i é uma das soluções da equação quadrática x2+4=0x2+4=0.
Agora, marque a alternativa que apresenta a ordem correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V – V – F – F
	
	B
	F – F – V – V
As afirmativas I e II são falsas pois é possível resolver equações com delta negativo no conjunto dos complexos e a resposta da equação x2+8=0x2+8=0 é S={−2√2i,2√2i}S={−22i,22i}. As afirmativasIII e IV são verdadeiras, pois “com o surgimento desse número i, tornou-se possível a resolução de equações que, até o momento, não tinham soluções em R”. As soluções para a equação x2+4=0x2+4=0 são 2i2i e −2i−2i (livro-base, p. 83-85).
	
	C
	V – F – V – F
	
	D
	V – F – V – V
	
	E
	F – F – F – V
Questão 10/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Um número complexo z=a+biz=a+bi pode ser escrito na forma trigonométrica z=ρ(cosθ+i.senθ)z=ρ(cosθ+i.senθ).
Com base nessa informação e nos conteúdos sobre números complexos do livro-base Números complexos e equações algébricas, escolha a melhor alternativa para a forma trigonométrica de z = 4.
Nota: 10.0
	
	A
	z=cos4+i.sen4z=cos4+i.sen4
	
	B
	z=4(cos0+i.sen0)z=4(cos0+i.sen0)
Você acertou!
z=4+0ia=4     b=0ρ=√a2+b2ρ=√42+02=√16=4z=4+0ia=4     b=0ρ=a2+b2ρ=42+02=16=4
Para cálculo de θθ:
sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1sen θ=bρ=04=0cos θ=aρ=44=1
Para esses valores de seno e cosseno, temos que θ=0θ=0.
(Livro-base p. 109-111).
	
	C
	z=cos0+i.sen0z=cos0+i.sen0
	
	D
	z=4(cosπ+i.senπ)z=4(cosπ+i.senπ)
	
	E
	z=cosπ+i.senπz=cosπ+i.senπ