Prova de cálculo básico

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MPE Matemática Concentrado Prova (2020)
Instruções
I. A prova pode ser respondida utilizando caneta ou lápis.
II. As respostas devem ser destacadas a caneta.
III. A prova deve ser entregue via e-class em formato digital.
IV. A prova tem nota máxima de 100 pontos.
Nome:
Distribuição dos pontos
Question Points Score
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
Total: 100
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MPE Matemática Concentrado Prova (2020)
Questão 1 (10 pontos)
Resolva as inequações
(a) x(2x− 1)(x + 1) > 0 (b) (x + 1000)2 ≥ x + 1000
Questão 2 (10 pontos)
Resolva os limites abaixo:
(a) lim
x→0
√
x2 + 16− 5
x2 + 3x
(b) lim
x→+∞
√
x + 1√
9x + 1
Questão 3 (10 pontos)
A resolução abaixo está incorreta. Indique onde ocorrem os erros e então calcule o limite corretamente.
lim
x→+∞
√
x2 + x− x = lim
x→+∞
√
x2
(
1 +
1
x
)
− x
= lim
x→+∞
x

√√√√√1 + 1x︸︷︷︸
→0
− 1
︸ ︷︷ ︸
→0

= lim
x→+∞
x · 0 = 0
Questão 4 (10 pontos)
Seja f : R→ R uma função, e supondo que lim
x→2
f(x)
x2
= 1, calcule lim
x→2
f(x)
x
Questão 5 (10 pontos)
Determine o valor de k para que a função f(x), definida abaixo, seja cont́ınua.
f(x)
{
−(x2+2x−3)
x−1 se x < 1
x + k se x ≥ 1
Questão 6 (10 pontos)
Determine a reta tangente ao gráfico de f(x) = x
2+1
x−1 que passa pelo ponto (1, 0). Dica: a equação da
reta é y − y0 = a · (x− x0), sendo (x0, y0) um ponto qualquer da reta e a o coeficiente angular.
Questão 7 (10 pontos)
Calcule as derivadas abaixo.
(a) f(x) = xe + ex (b) f(x) = ln (ex + 1) (c) f(x) = 3 + cos(2x)
(d) f(x) = x sinx (e) f(x) =
x + 1
x− 1
(f) f(x) = ln
(√
x + 1
x− 1
)
Questão 8 (10 pontos)
Calcule as integrais abaixo.
(a)
∫
e2x + e−2x dx (b)
∫
x2 + sin(x) dx (c)
∫
3 + cos(x) dx (d)
∫
1
x
+ ex dx
Questão 9 (10 pontos)
Seja A uma matriz quadrada, tal que det(A) = 1 e A2 + A− I = 0. Calcule det(A + I).
Questão 10 (10 pontos)
(a) De um exemplo de um sistema de equações lineares com nenhuma solução.
(b) De um exemplo de um sistema de equações lineares com solução única.
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