Lista de Exercícios 3 - EDO de 1ª ordem

Prévia do material em texto

Lista 3 de Exercícios – Equações Diferenciais 
01. Determine a solução geral das EDO’s de Variáveis Separáveis: 
a) 
𝑑𝑢
𝑑𝑣
=
1+𝑢²
1+𝑣²
 b) (1 + 𝑦)𝑑𝑥 − (1 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0 
c) (𝑎 + 1)
𝑑𝑎
𝑑𝑏
= (𝑎 + 2) d) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 𝑥 + 𝑦2 + 𝑥𝑦² 
 
02. Determine a solução geral das EDO’s Exatas: 
a) (𝑥3 + 𝑦3)𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦2𝑑𝑦 = 0 b) (𝑦 − 3𝑥2)𝑑𝑥 − (4𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0 
c) 2(3𝑥𝑦2 + 2𝑥3) + 3(2𝑥2𝑦 + 𝑦2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 d) (𝑦3 − 𝑥)𝑦′ = 𝑦 
 
03. Determine a solução geral das EDO’s Lineares: 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑦 = −2𝑒−𝑥 b) 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥𝑒−𝑥² 
c) 
𝑑𝑝
𝑑𝜃
+ 𝑝. 𝑡𝑔(𝜃) = 0 d) 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
+
1
𝑡
𝑠 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
 
04. Ache a solução explícita das EDO’s: 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥
𝑦+𝑥²𝑦
 y(0) = – 2 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥
1+2𝑦
 y(2) = 0 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1−2𝑦
2𝑥−𝑦
 y(1) = – 1 
d) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦. 𝑡𝑔 𝑥 + cos 𝑥, y(0) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito Lista 3 - EDO 
1. 
a) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑢) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑣) + 𝑐 𝑢(𝑣) = 
𝑣+𝑐
1−𝑐.𝑣
 
b) ln|1 + 𝑦| = ln|1 + 𝑥| + 𝑐 𝑦(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑐 − 1 
c) 𝑎 − ln|𝑎 + 2| = 𝑏 + 𝑐 
𝑒𝑎
𝑎+2
= 𝑐𝑒𝑏 
d) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑦) =
𝑥²
2
+ 𝑥 + 𝑐 𝑦(𝑥) = 𝑡𝑔(
𝑥²
2
+ 𝑥 + 𝑐) 
 
2. 
a) 
𝑥4
4
+ 𝑥𝑦3 = 𝑐 𝑦(𝑥) = √
𝑐
𝑥
−
𝑥³
4
3
 
b) 𝑥𝑦 − 𝑥3 − 2𝑦2 = 𝑐 
c) 3𝑥2𝑦2 +
𝑥4
2
+
𝑦³
3
= 𝑐 
d) 
𝑦4
4
− 𝑥𝑦 = 𝑐 
 
3. 
a) 𝑦(𝑥) = 𝑒−𝑥 + 𝑐𝑒𝑥 
b) 𝑦(𝑥) = 𝑥²𝑒−𝑥² + 𝑐𝑒−𝑥 
c) 𝑝(𝜃) = 𝑐. 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 
d) 𝑆(𝑡) = − cos(𝑡) + 𝑡−1. 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑐𝑡−1 
 
4. 
a) 𝑦2 = 2 ln|𝑥2 + 1| + 4 𝑦(𝑥) = −√𝑙𝑛|𝑥2 + 1| + 4 
b) 𝑦 + 𝑦2 = 𝑥2 − 4 𝑦(𝑥) = √𝑥2 −
15
4
−
1
2
 
c) y² − 4xy + 2x = 7 𝑦(𝑥) = 2𝑥 − √7 − 2𝑥 + 4𝑥2 
d) 𝑦(𝑥) = 
𝑥.𝑠𝑒𝑐𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥
2