Eletromag_Aula_6_2019

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Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 1 
 
Neri Alves 
 
 
Campo elétrico em dielétricos 
Eletromagnetismo 2019 
Neri Alves 
18/09/2019 - 6a Aula 
Dielétrico Real 
• Cargas livres. Responsáveis pelos processos de condução. 
• Cargas ligadas. Polarização elétrica do meio. 
 
Momento de dipolo 
P⃗⃗ = q𝑙 
 
O momento de dipolo tem unidade 
[P⃗⃗ ]=Cm 
 
1. Quando se aplica um campo elétrico externo em um dielétrico, o campo polariza o 
meio, e esta polarização pode variar de ponto para ponto. 
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2. O meio polarizado também produz um campo, pois as cargas se separam. 
3. O campo produzido pelo meio polarizado “altera” o campo externo que produziu a 
polarização. 
Como exemplos de momento de dipolo podem citar-se a polarização eletrônica que ocorre 
no átomo de hidrogênio e a polarização molecular que ocorre na molécula da água. 
 
Considere um volume Δv em um meio dielétrico eletricamente neutro. Ao ser polarizado as 
cargas se separam o que se caracteriza por um momento de dipolo elétrico. 
∆P⃗⃗ = ∫ r dq′
∆v
 
 
 
Onde 
P⃗⃗ = q𝑙 
Esta quantidade determina o campo elétrico produzido por um Δv em pontos distantes, 
comparados com as dimensões deste elemento Δv. No entanto ∆P⃗⃗ depende do tamanho do 
elemento de volume. Por esta razão é mais conveniente usar a expressão 
P⃗⃗ =
∆P⃗⃗ 
∆𝑉
 
ou melhor 
P⃗⃗ = lim
∆𝑉→0
∆P⃗⃗ 
∆𝑉
 
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E desta forma P⃗⃗ é a polarização elétrica, ou simplesmente polarização do meio é uma 
função pontual tal que 
P⃗⃗ = P⃗⃗ (x, y, z) 
 
Unidades 
 
[[P]⃗⃗ ⃗ = [
Cm
𝑚3
] = [
C
𝑚2
] 
 
Dipolo molecular. Uma molécula é uma pequena Unidade eletricamente neutra, para a 
qual pode se escrever que 
P⃗⃗ m = ∫ r dq′
molecula
 
Esta é a polarização na molécula (microscopia). Para um conjunto de moléculas num 
volume Δv, temos: 
 
P⃗⃗ =
1
∆𝑉
∑P⃗⃗ m
n
i=1
 
 
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Dielétrico Polarizado 
 Um dielétrico é polarizado quando é colocado em um campo elétrico de tal forma que ocorre 
uma orientação das cargas em cada ponto r , que é caracterizado por uma polarização P⃗⃗ (r ). 
 
O potencial de um dipolo molecular é 
φ(r ) =
p⃗ ∙ (r − r ′)
4πε0|(r − r ′)|3
 
no elemento de volume ΔV’ temos ∆P⃗⃗ (r ), logo 
∆𝑉′ → ∆P⃗⃗ (r ) e assim a expressão acima pode ser reescrita como 
φ(r ) =
∆p⃗ ∙ (r − r ′)
4πε0|(r − r ′)|3
 
mas, como P⃗⃗ =
∆P⃗⃗ 
∆𝑉′
 temos que ∆P⃗⃗ = P⃗⃗ ∆𝑉′, então reescrevendo 
φ(r ) =
P⃗⃗ (r⃗ ′)∙(r⃗ −r⃗ ′)∆V′
4πε0|(r⃗ −r⃗ ′)|3
 e no limite em que∆𝑉′ → 0, temos φ(r ) e somando as contribuições de 
todo o volume temos 
φ(r ) =
1
4πε0
lim
∆𝑉′→0
∑
P⃗⃗ (r′⃗⃗ ) ∙ (r − r ′)∆V′
|(r − r ′)|3
 
 
Então 
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φ(r ) =
1
4πε0
∫
P⃗⃗ (r ′) ∙ (r − r ′)dV′
|(r − r ′)|3
 
 
onde |(r − r ′)| = [(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + (𝑧 − 𝑧′)2]
1
2 
 
 
∇′= −∇ 
∇→Calculado em r 
∇′→Calculado em r ’ 
Isto significa que o gradiente do operador ∇ calculado em r é igual ao negativo do mesmo 
operador calculado em r ’ onde 
∇= î
∂
dy
+ k̂
∂
dz
 
 
∇ [
1
|(r − r ′)|
] =? 
∇|(r − r ′)|−1 = [(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + (𝑧 − 𝑧′)2]−
1
2 
Seja 𝑑 = (𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + (𝑧 − 𝑧′)2, então 
∂|(r − r ′)|−1
∂x
=
1
2
[d]−
3
2 2(x − x′) = −(x − x′)[d]−
3
2 
Similarmente 
∂|(r − r ′)|−1
∂y
= −(y − y′)[d]−
3
2 
e 
∂|(r − r ′)|−1
∂z
= −(z − z′)[d]−
3
2 
Logo 
Inserção 
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∇ [
1
|(r − r ′)|
] = −[(x − x′)î + (y − y′)ĵ + (z − z′)k̂][d]−
3
2 
Ou 
∇ [
1
|(r − r ′)|
] = −
(r − r′)
|(r − r′)|3
 
Refazendo os cálculos para r ′ temos o mesmo resultado com o sinal trocado. Veja: 
∂|(r⃗ −r⃗ ′)|−1
∂x′
= −
1
2
[d]−
3
2 2(x − x′)(−1) = (x − x′)[d]−
3
2 e assim por diante. Então temos que 
∇′= ∇ 
Ou 
∇′ [
1
|(r − r ′)|
] =
(r − r′)
|(r − r′)|3
 
 
 
 
Reescrevendo o integrando 
P⃗⃗ ∙ (r − r ′)
|(r − r ′)|3
= P⃗⃗ ∙ ∇′ [
1
|(r − r ′)|
] 
 
 
 
𝑓 ⟹
1
|(r − r ′)|
 
A⃗⃗ ⟹ P⃗⃗ 
 
P⃗⃗ ∙ ∇′ [
1
|(r − r ′)|
] = ∇′ ∙ [
1
|(r − r ′)|
P⃗⃗ ] −
1
|(r − r ′)|
∇′ ∙ P⃗⃗ 
Então 
Fim da Inserção 
∇ ∙ (𝑓A⃗⃗ ) = 𝑓∇ ∙ A⃗⃗ + A⃗⃗ ∙ ∇𝑓 
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P⃗⃗ ∙ (r − r ′)
|(r − r ′)|3
= ∇′ ∙ [
1
|(r − r ′)|
P⃗⃗ ] −
1
|(r − r ′)|
∇′ ∙ P⃗⃗ 
Finalmente 
φ(r ) =
1
4πε0
∫ [∇′ ∙ [
1
|(r − r ′)|
P⃗⃗ ] −
1
|(r − r ′)|
∇′ ∙ P⃗⃗ ] dV
V
 
ou 
φ(r ) =
1
4πε0
∫ ∇′ ∙
P⃗⃗ 
|(r − r ′)|
dV′
V
−
1
4πε0
∫
∇′ ∙ P⃗⃗ 
|(r − r ′)|
dV′
V
 
Aplicando o teorema d divergência, a primeira integral pode ser reescrita como 
∫ ∇′ ∙
P⃗⃗ 
|(r − r ′)|
dV′
V
= ∮
P⃗⃗ ∙ n̂
|(r − r ′)|
dA′
S
 
Assim 
 
φ(r ) =
1
4πε0
∮
P⃗⃗ ∙ n̂
|(r − r ′)|
dA′
S
+
1
4πε0
∫
(−∇′ ∙ P⃗⃗ )
|(r − r ′)|
dV′
V
 
 
Onde P⃗⃗ ∙ n̂ é a projeção de P⃗⃗ na direção de n̂ , normal à superfície e lembrando que 
[P⃗⃗ ] = 
C
m2
, tem unidade de carga por unidade de superfície podemos afirmar que a grandeza 
P⃗⃗ ∙ n̂representa uma densidade superficial de carga de polarização. Daí 
σP ≡ P⃗⃗ ∙ n̂ 
Onde siga é a densidade superficial de carga de polarização. 
Como ∇′ ∙ P⃗⃗ é um escalr e tem Unidade 
C
m3
, então 
ρp ≡ −∇
′ ∙ P⃗⃗ 
Observação se P⃗⃗ for uniforme não teremos ρp. De forma que : 
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φ(r ) =
1
4πε0
∮
σPdA
′
|(r − r ′)|
S
+
1
4πε0
∫
ρpdV′
|(r − r ′)|
V
=
1
4πε0
∫
dq′
|(r − r ′)|
V
 
 
Na s do dielétrico a polarização tem origem nas cargas ligadas (que não se separa). 
A polarização é produzida por dipolos e portanto 
QTotal = 0 
 
QTotal = ∮ σPdA
′
S
+ ∫ ρpdV
′
V
= ∮ P⃗⃗ ∙ n̂dA′
S
+ ∫(−∇′ ∙ P⃗⃗ )dV′
V
 
Onde pelo Teorema da divergência 
∫ ∇′ ∙ P⃗⃗ dV′ =
V
∮ P⃗⃗ ∙ n̂dA′
S
 
Então 
QTotal = ∮ P⃗⃗ ∙ n̂dA
′
S
− ∮ P⃗⃗ ∙ n̂dA′
S
= 0 
ρp e σP são grandezas macroscópica (Superfície e volume) e P⃗⃗ é uma grandeza microscópica 
relativa à molécula. 
 
 
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O Campo Elétrico 
 
E⃗⃗ = −∇φ 
Deve-se usar ∇(sem linha) pois estamos analisando no ponto P. Sabendo que 
∇′ [
1
|(r − r ′)|
] = −∇ [
1
|(r − r ′)|
] 
e 
∇′ [
1
|(r − r ′)|
] =
(r − r′)
|(r − r′)|3
 
Temos finalmente que: 
E⃗⃗ (r ) = ∮ σP
(r − r′)
|(r − r′)|3
dA′
S
+ ∫ ρp
(r − r′)
|(r − r′)|3
dV′
V
 
 
 
 
Lei de Gauss em um dielétrico (Deslocamento Elétrico) 
 Considere um dielétrico com cargas q1, q2 e q3 imersas em seu volume. Sejam q1, q2 e 
q3 corpos condutores carregados e S1, S2 e S3 as superfícies destes corpos e S uma superfície 
Gaussiana envolvendo todas as cargas de polarização. Admita-se que QP seja a carga de 
polarização e as cargas reais (excesso de carga e carga externa) Q= q1 + q2 + q3 
 
Lei de Gauss 
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∮ E⃗⃗ 
S
∙ n̂dA =
QTotal
ε0
 
 
Onde 𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = QP + Q 
 
∮ E⃗⃗ 
S
∙ n̂dA =
QP + Q
ε0
 
 
Mas 
QP = ∮ σPdA
′
S1+S2+S3
+ ∫ ρpdV
′
V
 
Ou 
QP = ∮ P⃗⃗ ∙ n̂ dA
′
S1+S2+S3
+ ∫(−∇′ ∙ P⃗⃗ )dV′
V
 
∮ E⃗⃗ 
S
∙ n̂dA =
 Q
ε0
+
1
ε0
∮ P⃗⃗ ∙ n̂ dA′
S1+S2+S3
+
1
ε0
∫(−∇′ ∙ P⃗⃗ )dV′
V
 
A primeira integral não se aplica a superfície de Gauss (S), pois esta foi escolhida no 
dielétrico. Usando o Teorema da divergência 
 
 
 
Então 
 
∫ ∇′ ∙ P⃗⃗ dV′
V
= ∮ P⃗⃗ ∙ n̂
S+ S1+S2+S3
 dA 
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∮ E⃗⃗ 
S
∙ n̂dA =
 Q
ε0
+
1
ε0
∮ P⃗⃗ ∙ n̂ dA′
S1+S2+S3
−
1
ε0
∮ P⃗⃗ ∙ n̂
S+ S1+S2+S3
 dA 
Ou 
∮ E⃗⃗ 
S
∙ n̂dA =
 Q
ε0+
1
ε0
∮ P⃗⃗ ∙ n̂ dA′
S1+S2+S3
−
1
ε0
∮ P⃗⃗ ∙ n̂
S+ S1+S2+S3
 dA −
1
ε0
∮ P⃗⃗ ∙ n̂
S
 dA 
 
Então 
∮ E⃗⃗ 
S
∙ n̂dA =
 Q
ε0
−
1
ε0
∮ P⃗⃗ ∙ n̂
S
 dA 
 
Ou 
∮ ε0E⃗⃗ 
S
∙ n̂dA + ∮ P⃗⃗ ∙ n̂
S
 dA = Q 
O que pode ser escrito como: 
∮ (ε0E⃗⃗ + P⃗⃗ ) ∙ n̂
S
 dA = Q 
Se definirmos �⃗⃗� = 𝜀0E⃗⃗ + P⃗⃗ , sendo �⃗⃗� o vetor deslocamento elétrico, podemos reescrever a 
integral como: 
∮ �⃗⃗� ∙ n̂
S
 dA = Q 
Onde Q é a carga Real. Esta é a Lei de Gauss no dielétrico na forma integral. 
 
 
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Exercícios 
1. Mostrar que o ∇´ = ∇ 
2. Partindo da relação do potencial para um dipolo elétrico φ(r ) =
p⃗⃗ ∙(r⃗ −r´⃗⃗ )
4πε0|(r⃗ −r´⃗⃗ )|
3 
demonstre que a expressão produzido por o potencial num meio polarizado qualquer 
numa posição r é dado por φ(r ) =
1
4πε0
[∮
σp da´
|(r⃗ −r´⃗⃗ )|S
+ ∫
ρp dv´
|(r⃗ −r´⃗⃗ )|V
]. 
3. Mostrar que a carga total de polarização em dielétrico é nula. 
4. Sabendo o potencial produzido por um meio polarizado na posição r exercício 2, 
calcule o campo elétrico nesta posição.Demonstre a lei de Gauss na forma integral 
para um meio dielétrico. 
5. Uma barra de dielétrico de secção reta A estende-se ao longo do eixo de x=0 a x=L. A 
polarização da barra dá se ao longo de seu comprimento e é dada por baxPx +=
2
. Encontre 
a densidade volumétrica de carga de polarização e a carga superficial de polarização em cada 
extremidade. Demonstre explicitamente que a carga total de polarização se anula neste caso. 
6. Um cubo dielétrico de lado L tem uma polarização radial dada por rAP

= , onde A é uma 
constante e kzjyixr ˆˆˆ ++=

. A origem do sistema de coordenadas se situa no centro do 
cubo. Encontre todas as densidades de carga de polarização (densidade da carga de volume e 
de cada superfície) e demonstre explicitamente que a carga total de polarização se anula. 
7. Uma barra de dielétrico com a forma de um cilindro circular reto de comprimento L e raio R 
se polariza na direção de seu comprimento. Se a polarização for uniforme e de modulo P, 
calcule o campo elétrico resultante desta polarização num ponto sobre o eixo da barra. 
8. Demonstre a seguinte relação entre a polarização , e as densidades de carga de polarização 
ρ
P
 e σP para uma amostra de dielétrica de volume V e superfície S. ∫ P⃗⃗ dVV ∫ ρPr dV +V
∫ σPr daS . Onde r = xî + yĵ + zk̂ é o vetor p osição a partir de qualquer origem fixa. 
Sugestão desenvolva ∇ ∙ x′r conforme a identidade vetorial ∇ ∙ (𝑓A⃗⃗ ) = 𝑓∇ ∙ A⃗⃗ + A⃗⃗ ∙ ∇′𝑓