AULA 8 - PROBLEMAS DE CONTAGEM

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 MATEMÁTICA E LÓGICA PROF SÉRGIO SARKIS RACIOCÍNIO MATEMÁTICO 
Aula 8 ANÁLISE COMBINATÓRIA 
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (P.F.C) 
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o 
número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. 
Princípio fundamental da contagem 
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 
maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número 
total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: 
 
Exercícios resolvidos 
1) Quantos são os números de 4 algarismos que podemos formar com os algarismos do sistema decimal? 
 
Solução: _____ ______ ______ ______ 
 Milhar Centena Dezena Unidade 
 
Um número de 4 algarismo é formado pelas casas da unidade, dezena, centena e milhar. 
Com os algarismos de 0 a 9 ( 10 algarismos ) podemos formar a seguinte quantidade de números: 
Milhar = 9 opções ( não inclui o zero ) 
Centena = 10 opções 
Dezena = 10 opções 
Unidade= 10 opções 
Assim teremos 9x10x10x10 = 9000 números 
 
2) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos 
devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto? 
a) 24 
b) 48 
c) 96 
d) 120 
e) 720 
Solução: Os pais deverão ocupar os extremos: 
 
P ____ ____ ____ ____ M = 4x3x2x1 = 24 maneiras ou 
M ____ ____ ____ ____P = 4x3x2x1 = 24 maneiras 
 
Assim , teremos 24 + 24 = 48 maneiras alternativa b 
 
Fatorial ( ! ) 
Fatorial é uma operação matemática realizada com números naturais (IN) definida como sendo o 
produto em ordem decrescente dos números naturais de n até 1. 
 
Para n≥ 2 teremos 
 
5! = 5.4.3.2.1 = 120 4! = 4.3.2.1 = 24 3! = 3.2.1 = 6 
 
2! =2.1 = 2 1! = 1 0! = 1 (por convenção) 
 
Exemplos: 
1) Simplifique a expressão: 
!2
!3!5−
 
Solução 
𝟓! − 𝟑!
𝟐!
= 
𝟏𝟐𝟎 − 𝟔
𝟐
= 
𝟏𝟏𝟒
𝟐
= 𝟓𝟕 
 
2) Resolva a equação n! = 720 
Solução 
n! = 720 → n ! = 6! → n = 6 
 
 
 
n ! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3).....3.2.1 
 
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Aula 8 ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Importante: o fatorial de todo número natural pode ser escrito em função de outro número natural 
menor. Observe: 
5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! 
6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5! 
 
Generalizando teremos: n! = n.(n – 1)! = n.(n - 1).( n - 2)! 
 
3) Qual deve ser o valor numérico de n para que a equação (n + 2)! = 20.n! seja verdadeira? 
Solução 
O primeiro passo na resolução deste problema consiste em escrevermos (n + 2)! em função de n!, em 
busca de uma equação que não mais contenha fatoriais: 
(n +2)! = (n+2).(n+1).n! 
Assim teremos então: 
(n+2).(n+1).n! = 20.n! → (n+2).(n+1) = 20 → n2 + n + 2n + 2 = 20 n2 + 3n – 18 = 0 
→ raízes da equação do 2º grau n = -6 e n = 3. 
Por se tratar de fatorial descartamos o valor – 6 por não ser natural. Assim o valor de n é 3. 
 
Formas de agrupamentos 
 
A seguir vamos estudar os tipos de agrupamentos que podemos construir. Importante lembrar que 
as questões que são “cobradas” em concurso público em sua grande maioria são resolvidas pelo princípio 
fundamental da contagem (P.F.C). 
Para entender os tipos de agrupamentos é necessário definirmos que n será número de elementos 
disponíveis para a formação do agrupamento e p será o número de elementos do agrupamento que 
desejamos formar. Por exemplo se você dispõe de 5 tipos de frutas diferentes e quer agrupá-las duas a 
duas para fazer sucos dizemos que n = 5 (frutas disponíveis) e p = 2 (grupos de 2). 
Outro exemplo: se você dispõe de 6 algarismos distintos e deseja formar senhas utilizando 3 destes 
algarismos teremos que n = 6 e p = 3. 
 
A seguir veremos os tipos de agrupamentos: 
 
Combinação simples: são agrupamentos que não apresentam repetição de elementos e a posição 
dos elementos do agrupamento não altera o agrupamento. Por exemplo, se temos um casal 
formado por Paula e João teremos o mesmo casal formado por João e Paula. 
Outro exemplo de combinação: em um concurso da mega - sena foram sorteadas as dezenas 58, 45. 
36, 17, 14 e 15. 
Quando a Caixa Econômica divulga os resultados ela o faz colocando as dezenas na ordem sorteadas 
mas também em ordem crescente para facilitar a conferência dos apostadores. 
Assim, a sequência 58, 45. 36, 17, 14 e 15 é igual a sequência 14, 15, 17, 36, 45 e 58. Observe que a 
posição das dezenas não altera o resultado do concurso. 
 
São problemas típicos de combinação: 
a) Grupo de pessoas (sem disputa de cargos ou ordem de chegada) 
b) Formação de figuras geométricas como retas, triângulos, quadriláteros. 
Fórmula: 𝑪 𝒏, 𝒑 = 
𝒏!
(𝒏−𝒑)! 𝒑!
 
 
Exemplos: 
1) Considere um grupo de 5 pessoas. De quantos modos diferentes podemos forma agrupamentos de 2 
pessoas para participar de um torneio de dominó? 
Solução: nesse caso temos n = 5 e p = 2. Assim teremos 
 
𝑪 𝟓, 𝟐 = 
𝟓!
(𝟓−𝟐)! 𝟐!
 = 
𝟓!
𝟑! 𝟐!
 = 
120
6.2
 = 10 
 
2) Em um plano existem 8 pontos não alinhados. Determine o número de triângulos que podemos formar 
utilizando esses pontos? 
Solução: se no plano existem 8 pontos disponíveis então n = 8. 
Para formar triângulos precisamos unir 3 pontos ou seja p = 3. 
 
𝑪 𝟖, 𝟑 = 
𝟖!
(𝟖−𝟑)! 𝟑!
= 
𝟖!
𝟓!𝟑!
= 𝟓𝟔 triângulos 
 
 
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Arranjos simples: são agrupamentos onde não há repetição de elementos e a posição dos 
elementos altera o resultado. 
 
Considere a senha LX 2356. Se trocarmos a posição do elemento X com o elemento L formamos uma 
nova senha XL 2356. 
Veja que essa é a diferença fundamental entre a combinação e o arranjo, no arranjo a troca de posição 
do elemento altera o agrupamento. 
 
São problemas típicos de arranjo: 
a) Grupo de pessoas com disputa de cargos ou ordem de chegada; 
b) Formação de números, senhas, distribuição de prêmios. 
 
Fórmula 𝑨 𝒏, 𝒑 = 
𝒏!
(𝒏−𝒑)!
 
 
 
Exemplo: 
20
6
120
!3
!5
)!25(
!5
2,5 ===
−
=A
 
Para diferenciar problemas de arranjo e combinação devemos proceder da seguinte forma: 
 
1) forme um exemplo do agrupamento desejado; 
2) troque os elementos de posição. 
 
Se a troca de posição alterar o agrupamento o problema é de arranjo; se a troca de posição não 
alterar o agrupamento o problema é de combinação. 
 
Exemplo: 
1) O número 123 é diferente de 312 logo a posição altera o resultado ( é um arranjo ) 
2) O conjunto { 1,2,3 } é igual ao conjunto { 2,1,3 ), logo a posição não altera o resultado ( é uma 
combinação ). 
 
IMPORTANTE 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Considere os algarismos 2,3,4,5 e 6. Determine o número de senhas de 3 algarismos distintos que 
podemos formar. 
Solução 
Dispomos de 5 algarismos (n = 5) e vamos agrupa-los de 3 em 3 (p = 3). Como trata-se de formação 
de senhas a posição dos algarismos altera o resultado da senha, estamos então diante de um problema 
de arranjo. 
 
 𝑨 𝟓, 𝟑 = 
𝟓!
(𝟓−𝟑)!
=
𝟏𝟐𝟎
𝟐
= 𝟔𝟎 senhas distintas 
 
2) Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os 
agrupamentospossíveis para os três primeiros colocados? 
Solução 
Obviamente, como em qualquer corrida, a ordem de chegada é um fator diferenciador dos 
agrupamentos. Como temos 7 corredores (n = 7) e queremos saber o número de possibilidades de 
chegada até a terceira posição ( p = 3 ), devemos calcular A7, 3 
 
𝑨 𝟕, 𝟑 = 
𝟕!
(𝟕 − 𝟑)!
= 
𝟕!
𝟒!
= 
𝟕. 𝟔. 𝟓. 𝟒!
𝟒!
= 𝟐𝟏𝟎 
 
Logo 210 são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados. 
 
 
Os problemas de arranjo simples na verdade são resolvidos de forma simples e rápida pelo princípio fundamental da 
contagem (P.F.C) 
 
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Permutação: são agrupamentos que admitem repetição de elementos onde os elementos apenas 
trocam de posição entre sí formando um novo agrupamento. 
 
Por exemplo: considere a palavra PAI; trocando a posição das letras formamos novas “siglas” como por 
exemplo IAP. 
 
Observe que a Permutação é um caso particular do Arranjo uma vez que em ambos a posição dos 
elementos altera o agrupamento. 
 
A permutação pode ser sem repetição de elementos, chamada simples ou com repetição de 
elementos. 
 
Permutação simples: 𝑷 𝒏 = 𝒏! Exemplo: 𝑃4 = 4! = 24 
 
Permutação com repetição 𝑷𝒏
𝒙,𝒚,𝒛
=
𝒏!
𝒙!𝒚!𝒛!
 
 
Exemplo: 
 
 
Exemplos 
1) Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra LIVRO? 
 
Solução 
Um anagrama é uma palavra ou frase formada com todas as letras de uma outra palavra ou frase. 
Normalmente as palavras ou frases resultantes são sem significado, como já era de se esperar. 
Como a palavra LIVRO possui 5 letras distintas, devemos calcular o número de permutações calculando 
P5. Temos então: 
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 
O número de anagramas que podemos formar a partir da palavra LIVRO é igual 120. 
 
2) Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar 
posicionadas nesta fila? 
Solução 
São três pessoas que podem trocar de posição entre si. Temos que calcular P3, então: 
P3 = 3! =3.2.1= 6 
 
As três pessoas podem estar posicionadas de seis maneiras diferentes na fila. 
 
3) Quantos são os anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra ERVILHAS, sendo que 
eles comecem com a letra E e terminem com vogal? 
 
Solução 
A letra E deve ocupar a primeira posição e as vogais I e A devem ocupar a última posição. Observe as 
possibilidades: 
 
P1) E _ _ _ _ _ _ I (sobram 6 letras trocando de posição entre si) 
 
 P 6 = 6 ! = 720 anagramas 
 
P2) E_ _ _ _ _ _ A (sobram 6 letras trocando de posição entre si) 
 
 P 6 = 6! = 720 anagramas 
 
Total 720 + 720 = 1440 anagramas. 
 
 
 
 
 
 
 
10
12
120
6.2
120
!3!2
!53,2
5 ====P
 
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4) Quantos são os anagramas que podemos formar com as letras da palavra ALUNA. 
 
Solução 
Temos 5 letras (2 iguais) trocando de posição entre si. 
Assim teremos uma permutação com repetição de elementos. 
𝑷𝟓
𝟐 =
𝟓!
𝟐!
= 
𝟏𝟐𝟎
𝟐
= 𝟔𝟎 𝒂𝒏𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒔 
5) Dos números distintos que são formados com todos os algarismos do número 333669, quantos desses 
são ímpares? 
Neste exemplo, número ímpares serão aqueles terminados em 3 ou 9. 
P1) números terminados em 3. _ _ _ _ _ 3 
 
Sobram 5 algarismos trocando de posição entre si. 
𝑷𝟓
𝟐,𝟐 =
𝟓!
𝟐! 𝟐!
= 
𝟏𝟐𝟎
𝟐. 𝟐
= 𝟑𝟎 
 
P2) números terminados em 9 _ _ _ _ _ 9 
 
Sobram 5 algarismos trocando de posição entre si. 
𝑷𝟓
𝟐,𝟑 =
𝟓!
𝟐! 𝟑! 
= 
𝟏𝟐𝟎
𝟐. 𝟔
= 𝟏𝟎 
Total de números 30 + 10 = 40 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Os links com a resolução comentada dos exercícios estão ao final dessa lista, logo após o 
gabarito. 
Bons estudos! 
 
1) Ano: 2016 Banca: IBFC Órgão: EBSERH Prova: Engenheiro Eletricista (HUPEST-UFSC) 
Um fazendeiro possui oito tipos de sementes para plantar, porém, apenas quatro podem ser plantadas ao mesmo tempo. As 
possibilidades que ele tem de escolher quatro tipos de sementes, sem ocorrer repetição está descrita na alternativa: 
a) Cento e trinta 
b) Cento e dez 
c) Setenta 
d) Quarenta e oito 
e) Cinquenta e seis 
 
2) Ano: 2016 Banca: IF-ES Órgão: IF-ES Prova: Pedagogo 
Um grupo de oito amigos foi acampar e levou duas barracas distintas, uma com capacidade máxima para três pessoas e a outra 
para cinco pessoas. De quantas formas distintas eles podem se agrupar para passar a noite, ficando cinco em uma barraca e três 
na outra? 
a) A8,3 . A8,5 
b) C8,3 . C5,5 
c) C8,3 . C8,5 
d) A8,3 
e) 5! . 3! 
 
3) Ano: 2016 Banca: UVA Órgão: Prefeitura de Sobral – CE Prova: Agente Administrativo 
De uma fábrica de refrigerantes partem 12 caminhões. Cada caminhão abastece 3 armazéns. Cada armazém distribui os 
refrigerantes para 5 supermercados. Supondo que cada supermercado é abastecido por um único armazém, quantos 
supermercados recebem refrigerante desta fábrica? 
a) 15. 
b) 20. 
c) 120. 
d) 180. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) Ano: 2016 Banca: FEPESE Órgão: CELESC Prova: Assistente Administrativo 
Em um colégio os alunos irão eleger o diretor, vice-diretor e tesoureiro entre os 20 professores do colégio. 
De quantas maneiras esta escolha pode ser feita? 
a) 6980 
b) 6840 
c) 6720 
d) 6660 
e) 6220 
 
5) Ano: 2016 Banca: Quadrix Órgão: CRM – ES Prova: Agente Administrativo 
Em um campeonato de futebol, uma vitória corresponde a 3 pontos ganhos, um empate corresponde a 1 ponto ganho e, em caso 
de derrota, não há pontuação. Após cinco jogos disputados nesse campeonato, de quantas maneiras diferentes um time pode 
obter exatamente cinco pontos? 
a) 3 
b) 25 
c) 30 
d) 5 
e) 31 
 
6) Ano: 2016 Banca: IDECAN Órgão: Câmara de Aracruz – ES Prova: Analista em Tecnologia da Informação 
Rodrigo está montando um aquário e adquiriu 4 troncos e 5 pedras para sua ornamentação. Considere que dentre os troncos ele 
deseja escolher um ou dois e dentre as pedras ele pretende escolher duas ou três. De quantas maneiras ele poderá fazer a escolha 
dos troncos e das pedras que irá utilizar? 
 a) 120. 
 b) 180. 
 c) 200. 
 d) 240. 
 
7) Ano 2016 Banca: INSTITUTO AOCP Órgão: IF-BA Prova: Professor de Matemática 
Em uma aula de matemática, foi solicitada aos alunos a resolução do seguinte exercício: “Paula comprou um cofre e criou uma 
senha formada por 4 algarismos distintos. Lembrava-se apenas do primeiro, 8, e sabia que o algarismo 3 também fazia parte da 
senha. Qual é o número máximo de tentativas para ela abrir o cofre?”. Percorrendo as carteiras, o professor verificou diferentes 
raciocínios combinatórios. Apresentamos, a seguir, cinco deles. 
Aluno A: A8,2 + C8,2. 
Aluno B: 3. A8,2. 
Aluno C: 3. C8,2. 
Aluno D: 3. P8. 
Aluno E: A8,2 . C8,2. 
Assinale a alternativa que indica o aluno que apresentou o raciocínio correto para a resolução da questão. 
a) Aluno A. 
b) Aluno B. 
c) Aluno C. 
d) Aluno D. 
e) Aluno E. 
 
8) Ano: 2016 Banca: INSTITUTO AOCP Órgão: IF-BA Prova: Professor 
Na sequência crescente de todos os números obtidos, permutando-se os algarismos 1, 2, 3, 7, 8, a posição do número 78.312é: 
a) 94ª. 
b) 95ª. 
c) 96ª. 
d) 97ª. 
e) 98ª. 
 
9) Ano: 2016 Banca: CONED Órgão: Sesc – PA Prova: Encarregado Administrativo 
Com as letras da palavra MATEUS, quantos anagramas se iniciando com consoante e terminando com vogal, podem ser formados? 
 a) 720 
 b) 240 
 c) 740 
 d) 216 
 e) 420 
 
 
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Aula 8 ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
10) Ano: 2016 Banca: UNISUL Órgão: Prefeitura de Biguaçu – SC Prova: Professor 
Assinale a alternativa INCORRETA: 
 a) O número de anagramas que podemos obter com as letras da palavra CONCURSO é 8!/2!2! 
 b) O conjunto solução da equação (2x – 3)! = 1 é S = {2} 
 c) O número de anagramas da palavra SONHAR em que as letras N e H fiquem juntos, nesta ordem, é 5! 
 d) No fim de uma reunião pedagógica em um determinado colégio, todos os integrantes se cumprimentaram uma única vez, 
totalizando 78 apertos de mão, assim podemos afirmar que estavam presentes 13 pessoas. 
 e) Em um plano existem 9 pontos não colineares e, portanto nestas condições existem 9!/5!4! quadriláteros com vértices nesses 
pontos. 
 
GABARITO 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
C B C B E C B B D B 
 
Segue abaixo o link de resolução dos exercícios: 
 
Q1 https://www.youtube.com/watch?v=cLfkFBeupWE&t=88s 
Q2 https://www.youtube.com/watch?v=Kmn4WK9nVOE 
Q3 https://www.youtube.com/watch?v=ky08hI3c_kc 
Q4 https://www.youtube.com/watch?v=dfsFMPw1WRE 
Q5 https://www.youtube.com/watch?v=OS_8w7K0qNU 
Q6 https://www.youtube.com/watch?v=Ubs5BOiKR8g 
Q7 https://www.youtube.com/watch?v=SgL8IeehMDM 
Q8 https://www.youtube.com/watch?v=cQfiMo7vWKM 
Q9 https://www.youtube.com/watch?v=jAlJcN8CPIE 
Q10 https://www.youtube.com/watch?v=yNBCC4LOmb4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=cLfkFBeupWE&t=88s
https://www.youtube.com/watch?v=Kmn4WK9nVOE
https://www.youtube.com/watch?v=ky08hI3c_kc
https://www.youtube.com/watch?v=dfsFMPw1WRE
https://www.youtube.com/watch?v=OS_8w7K0qNU
https://www.youtube.com/watch?v=Ubs5BOiKR8g
https://www.youtube.com/watch?v=SgL8IeehMDM
https://www.youtube.com/watch?v=cQfiMo7vWKM
https://www.youtube.com/watch?v=jAlJcN8CPIE
https://www.youtube.com/watch?v=yNBCC4LOmb4