FUNÇÃO QUADRÁTICA

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PROFESSOR: GILVAN LUCENA
CONTEÚDO: FUNÇÃO QUADRÁTICA
 Função Quadrática
Definição:
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 
1. f(x) = 3x2 - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
 
Gráfico:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
	x
	y
	-3
	6
	-2
	2
	-1
	0
	
	
	0
	0
	1
	2
	2
	6
	
	
 Observação:
 
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
· se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
· se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
 
Zero e Equação do 2º Grau.
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
	
    Temos:
                    
Observação:
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:
· quando  é positivo, há duas raízes reais e distintas;
· quando  é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
· quando  é negativo, não há raiz real.
Coordenadas do vértice da parábola.
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:
 
Explicarei esta parte com um simples desenho.
	
	
	a>0
	a<0
Imagem.
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c,  a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,
	a > 0
 
2ª quando a < 0,
	a < 0
Construção da Parábola.
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3. O vértice V  indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos  y é o eixo de simetria da parábola;
5. Para x = 0, temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então  (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.
1) Dada à função quadrática f(x) = 3x² - 4x + 1. Determine:
a) f(1) 
 c) f(2) 
b) f(0) 
 d) f(-2) 
2) O preço de ingresso numa peça de teatro (p) relaciona-se com a quantidade de frequentadores (x) por sessão através da relação;
p = - 0,2x + 100
Qual a receita arrecadada por sessão, se o preço de ingresso for R$ 60,00?
3) Calcular os valores: f(3), f(1), f(0) e f(-10), para a função real f=f(x) definida por:
4) Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas abaixo:
a) x² - 6x + 5
= 0
b) x² - 7x + 10 = 0
c) 4x² - 4x +1 = 0
d) -x² +9 = 0
e) 4x² - 36 = 0
5) Sabe-se que a equação 5x2- 4x + 2m = 0  tem duas raízes reais e diferentes. Nessas condições, determine o valor de ‘m’.
6) Determine o valor de ‘p’ na equação x2 – px + 9 = 0  para que essa equação tenha uma única raiz real.
7) Determine o valor de ‘m’ na equação 12x2 – mx – 1 = 0, de modo que a soma das raízes seja 5/6
8) O produto das raízes da equação 8x2 – 9x + c = 0  é igual a 3/4. Calcular o valor do coeficiente c.
9) Calcule o vértice V de cada parábola definida pelas funções quadráticas abaixo indicando o valor máximo ou o valor mínimo admitido pelas mesmas:
a) x² - 6x + 5 = 0
b) x² - 7x + 10 = 0
c) -x² +9 = 0
10) Seja a função f, de R em R, definida por f(x) = 2x2 – 24x +1. O valor mínimo de f é:
a) 73 b) 71 c) –71 d) –73 e) –79
11) O valor máximo da função f(x) = -x2 + 2x + 2 é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
12) A potência elétrica lançada por um circuito num gerador é P=10i - 5i², onde i é a intensidade da corrente elétrica. Determine a intensidade da corrente elétrica para que se possa obter a potência máxima do gerador. 
13) Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura máxima atingida por uma bala, em metros, em função do tempo, em segundos, é dada por h(t) = -20t2 + 200t. Qual a altura máxima atingida pela bala?
14) Uma empresa que elabora material para panfletagem (santinhos) tem um lucro, em reais, que é dado pela lei L(x) = - x2 + 10x - 16, onde x é a quantidade vendida em milhares de unidades. Assim, a quantidade em milhares de unidades que deverá vender, para que tenha lucro máximo, é:
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
15) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser vendidas:
a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades e) 4 unidades
16) O lucro de uma Empresa é calculado pela fórmula l(x) = (1 - x) (x - 2) em que x é a quantidade vendida. Podemos afirmar que o lucro é:
a) máximo para x = 2
b) positivo para qualquer valor de x
c) positivo para x > 2
d) positivo para 1 < x < 2
17) O lucro diário L é a receita gerada R menos o custo de produção C. Suponha que, em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções R(x) = 60x – x2 e C(x) = 10(x+40), sendo x o número de itens produzidos no dia. Sabendo que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, considere as seguintes afirmativas:
I. O número mínimo de itens x que devem ser produzidos por dia, para que a fábrica não tenha prejuízo, é 10.
II. A função lucro L(x) é crescente no intervalo [10; 25].
III. Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, deve produzir 30 itens por dia.
IV. Se a fábrica produzir 50 itens num único dia, terá prejuízo.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.