Equações Diferenciais Módulo 8

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24/08/2020 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
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Módulo 8. Equações Diferenciais de 2ª ordem (Não Homogêneas)
 
Conteúdo 1. Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem – Não Homogêneas (2º caso).
 
Equação Diferencial Linear de 2ª ordem (não homogênea):
a.y’’+b.y’+c.y=k(x)
 
Solução Geral da Equação Diferencial não homogênea:
y=yc+yp
 
Equação Complementar (yc): a.y’’+b.y’+c.y=0
Equação auxiliar: a.m2+b.m+c=0
 
Solução da Equação Complementar:
 
1º Caso: A equação auxiliar tem raízes reais e distintas (m1 e m2).
Solução: yc=C1em1x+C2em2x
 
2º Caso: A equação auxiliar tem raízes reais e iguais (m).
Solução: yc=C1emx+C2xemx
 
3º Caso: A equação auxiliar tem raízes complexas e conjugadas (m=a+bi).
Solução: yc=eax(C1cos(bx)+ C2sen(bx))
 
Solução Particular:
 
2º caso: Se k(x)=Ceax , então a solução particular yp = Aeax .
 
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Para a equação diferencial y’’+4y=e3x temos a seguinte solução:
 
Equação Complementar: y’’+4y=0
Equação Auxiliar: m2+4=0
Solução da Equação complementar: yc=C1cos(2x)+C2sen(2x)
 
Solução Particular:
K(x)= e3x
yp=Ae3x
y’=3Ae3x
y’’=9Ae3x
y’’+4y= e3x
9Ae3x+4Ae3x= e3x
13Ae3x= e3x
A=1/13=0,08
 
Solução Particular: yp= 0,08e3x
Solução Geral: y= C1cos(2x)+C2sen(2x)+ 0,08e3x
 
 
Exercício Resolvido:
 
Determinar a solução particular da equação diferencial y’’+y=10e2x.
Solução particular: y=Ae2x
Substituindo y=Ae2xe y’’=4Ae2x na equação diferencial y’’+y=10e2x, obtemos:
4Ae2x+Ae2x=10e2x
5Ae2x=10e2x
A=2
Logo a solução particular é y=2e2x.
 
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Conteúdo 2 Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem – Não Homogêneas (3º caso).
.
Equação Diferencial Linear de 2ª ordem (não homogênea):
 a.y’’+b.y’+c.y=k(x)
 
Solução Geral da Equação Diferencial não homogênea:
y=yc+yp
 
Equação Complementar (yc): a.y’’+b.y’+c.y=0
Equação auxiliar: a.m2+b.m+c=0
 
Solução da Equação Complementar:
 
1º Caso: A equação auxiliar tem raízes reais e distintas (m1 e m2).
Solução: yc=C1em1x+C2em2x
 
2º Caso: A equação auxiliar tem raízes reais e iguais (m).
Solução: yc=C1emx+C2xemx
 
3º Caso: A equação auxiliar tem raízes complexas e conjugadas (m=a+bi).
Solução: yc=eax(C1cos(bx)+ C2sen(bx))
 
Solução Particular:
 
3º caso: Se k(x)=Ccos(ax) ou Csen(ax) , então a solução particular yp =
Acos(ax)+Bsen(ax) .
 
Para a equação diferencial y’’+3y’+2y=cos(2x) temos a seguinte solução:
 
Equação Complementar: y’’+3y’+2y=0
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Equação Auxiliar: m2+3m+2=0
Solução da Equação complementar: yc=C1e-2x+C2e-x
 
 
Solução Particular:
K(x)= cos(2x)
yp=Acos(2x)+Bsen(2x)
y’=-2Asen(2x)+2Bcos(2x)
y’’=-4Acos(2x)-4Bsen(2x)
 
y’’+3y’+2y=0
-4Acos(2x)-4Bsen(2x)+3(-2Asen(2x)+2Bcos(2x))+2(Acos(2x)+Bsen(2x))=cos(2x)
-4Acos(2x)-4Bsen(2x)-6Asen(2x)+6Bcos(2x)+2Acos(2x)+2Bsen(2x) =cos(2x)
(-2A+6B)cos(2x)+(-2B-6A)sen(2x)= cos(2x)
-2A-6B=1
-2A=1+6B
A=-0,5-3B
 
-2B-6A=0
-2B-6(-0,5+3B)=0
-2B+3-18B=0
-20B=-3
B=0,15
 
A=-0,5-3B
A=-0,5+3.0,15
A=-0,05
 
yp=-0,05cos(2x)+0,15sen(2x)
 
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Solução geral da equação diferencial y’’+3y’+2y=cos(2x):
y=C1e-2x+C2e-x+0,0625cos(2x)+0,1875sen(2x)
 
Exercício Resolvido.
 
Determinar a solução particular da equação diferencial y’’-5y’=senx.
K(x)= senx
yp=Acosx+Bsenx
y’=-Asenx+Bcosx
y’’=-Acosx-Bsenx
Substituindo na equação diferencial: y’’-5y’=senx, obtemos:
-Acosx-Bsenx -5(-Asenx+Bcosx)=senx.
-Acosx-Bsenx +5Asenx-5Bcosx=senx.
-A-5B=0
A=-5B
-B+5A=1
-B-25B=1
B=-1/26
A=5/26
Logo a solução particular é yp=(5/26)cosx+(-1/26)senx
 
 
 
Exercício 1:
Resolvendo a equação diferencial y''-2y'+y=3e2x , obtemos:
A)
 y=C1ex+C2xex
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B)
 y=C1ex+C2xe3x
C)
 y=C1ex+C2xex+3e2x
D)
y=C1e2x+C2xex+3ex
E)
y=C1e-x+C2xex+4ex
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C) 
Exercício 2:
A função y=xe5x é uma solução da equação diferencial:
A)
 y''-2y'+y=0
B)
y''+10y'+y=0
C)
y'=5y
D)
y''-10y'+25y=0
E)
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y''=2y
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 3:
Uma solução particular da equação diferencial y''-2y'+y=ex é:
A)
yp=x2
B)
 yp=0,5x2ex
C)
yp=xex
D)
yp=xe2x
E)
 yp=7xe-x
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 4:
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A)
B)
C)
D)
E)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 5:
A)
B)
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C)
D)
E)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 6:
A)
B)
C)
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D)
E)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E) 
Exercício 7:
A)
B)
C)
D)
E)
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C)