5 ESTATÍSTICA FUNDAMENTAL

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Tema 07 – Planejamento 
fatorial fracionário
Bloco 1
Natália M. B. Oliveira
Estatística Experimental
W
BA0514_V1.0
Objetivos
Aprender: 
• A elaborar planejamentos fatoriais 
fracionários;
• O conceito de resolução para analisar 
os resultados obtidos, relacionando 
contrastes e efeitos;
• Utilidade deste conteúdo na triagem 
de fatores.
Introdução
• Planejamento fatorial completo de 2 níveis:
• k fatores (exemplo 7)
• n = 2k ensaios (exemplo 128 ensaios)
• ­ k ® maior quantidade de interações de 
ordem alta. Exemplo:
7 int. de 1ª ordem 
21 int. de 2ª ordem
21 int. de 5ª ordem
35 int. de 3ª ordem 
7 int. de 6ª ordem
35 int. de 4ª ordem 
1 int. de 7ª ordem
• ­ k ® ­ chances de alguns não afetarem 
significativamente a resposta;
• 1º estágio: avaliar o maior número de 
fatores possível (TRIAGEM);
• P/ tal fim: planejamento fatorial 
fracionário.
Introdução
Planejamento fatorial completo
EXEMPLO: k = 4
• Reação química similar à estudada antes.
• Além de R, T e C, avaliar a influência de t.
• Resposta=rendimento da reação (Y) 
em %.
• n = 24 = 16 ensaios.
Planejamento fatorial completo
EXEMPLO: k = 4Ensaio(n) R(x1) T(x2) C(x3) t (x4) Y(%)
Ensaio
(n)
t 
(x4)
Y
(%)
1 -1 -1 -1 -1 17,3 9 +1 32,3
2 +1 -1 -1 -1 20,1 10 +1 38,7
3 -1 +1 -1 -1 41,5 11 +1 67,5
4 +1 +1 -1 -1 37,7 12 +1 64,7
5 -1 -1 +1 -1 28,3 13 +1 40,8
6 +1 -1 +1 -1 22,0 14 +1 46,3
7 -1 +1 +1 -1 61,7 15 +1 96,2
8 +1 +1 +1 -1 64,0 16 +1 95,9
Planejamento fatorial completo
EXEMPLO: k = 4
• Não foram feitas réplicas ® erro residual
1 média
4 efeitos principais
6 interações de 2ª ordem
4 interações de 3ª ordem
1 interação de 4ª ordem 5 GL
Planejamento fatorial completo
EXEMPLO: k = 4
Cálculo de b no Excel:
=MATRIZ.MULT(MATRIZ.INVERSO
(MATRIZ.MULT(TRANSPOR(A2:P17); A2:P17));
MATRIZ.MULT(TRANSPOR(A2:P17);R2:R17))
𝑦" = 48,4 + 0,24𝑥+ + 17,7𝑥. + 8,46𝑥0 +
11,9𝑥2 − 0,81𝑥+𝑥. − 0,09𝑥+𝑥0 + 0,86𝑥+𝑥2
+4,84𝑥.𝑥0 + 3,06𝑥.𝑥2 + 1,04𝑥0𝑥2
Planejamento fatorial completo
𝑠67689:;. =média [(efeitos123...k)2]
𝑠<. =
𝑠67689:;
2
.
=
média [(efeitos123...k)2]
4
𝑠<. =
média [(2.b123...k)2]
4 = média [(b123...k)
2]
𝑠< = média [(b123...k)2]
�
𝑠< =
(1,16).+(−1,06).+(0,29).+(0,64).+(−0,74).
5
�
= 0,84	%
Planejamento fatorial completo
EXEMPLO: k = 4
𝑡D(EF	%) = 2,015																𝛽8 = 𝑏8 ± 𝑠<J. 𝑡D(EF	%)
𝛽8 = 𝑏8 ± 0,84.2,015 = 𝑏8 ± 1,69
• Coeficientes significativos a 90 % de 
confiança: 𝑏8 > 1,69
• Modelo enxuto: 𝑦" = 48,4 + 17,7𝑥. +
8,46𝑥0 + 11,9𝑥2 + 4,84𝑥.𝑥0 + 3,06𝑥.𝑥2
Planejamento fatorial completo
EXEMPLO: k = 4 – Modelo enxuto
𝑦" = 48,4 + 17,7𝑥. + 8,46𝑥0 + 11,9𝑥2 + 4,84𝑥.𝑥0 + 3,06𝑥.𝑥2
𝑠< = média [(b123...k)2]
�
𝑠<
= 	 M
(0,24).+(−0,81).+(−0,09).+(0,86).+(1,04).
10
+
(1,16).+(−1,06).+(0,29).+(0,64).+(−0,74).
10 N
F,D
= 0,78	%
𝑡+F(EF	%) = 1,812
Planejamento fatorial completo
EXEMPLO: k = 4 – Modelo enxuto
R2 = 99,0 %
MQR/MQr = 184,54 
>> F5,10 (95 %) = 3,33.
Planejamento fatorial completo
EXEMPLO: k = 4 – Modelo enxuto - EXCEL
Planejamento fracionário
EXEMPLO: k = 4 n = 24 – 1 = 8 ensaios
n Rx1
T
x2
C
x3
t 
x4
Y
(%) n
t 
x4
Y
(%)
1 -1 -1 -1 -1 17,3 9 +1 32,3
2 +1 -1 -1 -1 20,1 10 +1 38,7
3 -1 +1 -1 -1 41,5 11 +1 67,5
4 +1 +1 -1 -1 37,7 12 +1 64,7
5 -1 -1 +1 -1 28,3 13 +1 40,8
6 +1 -1 +1 -1 22,0 14 +1 46,3
7 -1 +1 +1 -1 61,7 15 +1 96,2
8 +1 +1 +1 -1 64,0 16 +1 95,9
Planejamento fracionário
EXEMPLO: k = 4 n = 24 – 1 = 8 ensaios
• Com 8 ensaios pode-se calcular a média, 
os 4 efeitos principais e os 6 efeitos de 
interação de dois fatores;
• Fração de planejamento: 
calcula-se contrastes.
ℓ0 =
𝑋Q. 𝑦
𝑛 =
𝑋Q. 𝑦
2ST+ 													ℓ𝑖 =
𝑋Q. 𝑦
𝑛/2 =
𝑋Q. 𝑦
2ST.
fração ½
Planejamento fracionário
EXEMPLO: k = 4 n = 24 – 1 = 8 ensaios
Tema 07 – Planejamento 
fatorial fracionário
Bloco 2
Natália M. B. Oliveira
Estatística Experimental
Planejamento fracionário
EXEMPLO:
k = 4
n = 24 – 1 = 8
Podem ser 
estimados 
com meia 
fração
Fat. Completo Fat. Fracionário
Média = 48,4 % Média = 47,7 %
1 = 0,48 % ℓ1 = 1,75 %
2 = 35,4 % ℓ2 = 36,0 %
3 = 16,9 % ℓ3 = 14,8 %
4 = 23,7 % ℓ4 = 26,1 %
12 = – 1,63 % ℓ12 = 0,45 %
13 = – 0,18 % ℓ13 = 5,95 %
14 = 1,73 % ℓ14 = 11,4 %
23 = 9,68 % ℓ23 = 11,4 %
24 = 6,13 % ℓ24 = 5,95 %
34 = 2,08 % ℓ34 = 0,45 %
Planejamento fracionário
EXEMPLO: k = 4 n = 24 – 1 = 8
• GL: com 8 ensaios não se pode estimar 
11 grandezas independentes;
ℓ12 = ℓ34; 
ℓ13 = ℓ24;
ℓ14 = ℓ23.
Construção de uma fração meia
• 1o: Constrói-se um planejamento completo 
para (k – 1) fatores com 2k – 1 ensaios;
• 2º: Atribui-se à variável restante os sinais 
da interação 123...(k – 1).
k = 123...(k – 1)
I = 123...k (relação geradora)
Construção de uma fração meia
Padrões de confundimento
EXEMPLO: 24 – 1
Os contrastes calculados
na fração ½ confundem 
2 efeitos e estimam a
soma dos mesmos.
ℓ1 = ℓ234 = 1 + 234
ℓ2 = ℓ134 = 2 + 134
ℓ3 = ℓ124 = 3 + 124
ℓ4 = ℓ123 = 4 + 123
ℓ12 = ℓ34 = 12 + 34
ℓ13 = ℓ24 = 13 + 24
ℓ14 = ℓ23 = 14 + 23
ℓ0 = M + ½ (1234)
Resolução do planejamento
EXEMPLO: 24 – 1 ℓ1 = ℓ234 = 1 + 234
ℓ2 = ℓ134 = 2 + 134
ℓ3 = ℓ124 = 3 + 124
ℓ4 = ℓ123 = 4 + 123
ℓ12 = ℓ34 = 12 + 34
ℓ13 = ℓ24 = 13 + 24
ℓ14 = ℓ23 = 14 + 23
ℓ0 = M + ½ (1234)
Quando os contrastes 
relativos aos efeitos 
principais não se misturam 
com os das interações de 
dois fatores, mas esses se 
misturam entre si, diz-se 
que o planejamento 
fatorial fracionário tem 
resolução IV. 
Resolução do planejamento
• Importante característica dos 
planejamentos fatoriais fracionários.
• Determinado pela relação geradora.
• Planejamento 2k – 1, tem resolução k se 
I = 123...k.
Resolução do planejamento
• P/ resolução k: contrastes misturam efeitos 
principais com interação de (k – 1) fatores.
• Nesse caso, se (k – 1) ≥ 3: contrastes são 
boas estimativas dos efeitos principais.
Resolução do planejamento
• Exemplo: 24-1 com I = 1234 ® 2WX2T+.
• Usar a interação de ordem mais alta do 
fatorial de partida é o mais indicado ®
resulta no planejamento fracionário de 
máxima resolução possível para os 
fatores considerados.
Fatores inertes
• Exemplo: 2WX2T+.
• Contrastes aparentemente desprezíveis:
ℓ1, ℓ12, ℓ13 e ℓ14.
• x1 = fator interne. R não afeta Y.
• Obtém-se planejamento 23 completo 
para as variáveis T, C e t.
Fatores inertes
EXEMPLO: 2WX2T+ ® 23
n Rx1
T
x2
C
x3
t 
x4
Y
(%)
1 -1 -1 -1 -1 17,3
10 +1 -1 -1 +1 38,7
11 -1 +1 -1 +1 67,5
4 +1 +1 -1 -1 37,7
13 -1 -1 +1 +1 40,8
6 +1 -1 +1 -1 22,0
7 -1 +1 +1 -1 61,7
16 +1 +1 +1 +1 95,9
n Tx2
C
x3
t 
x4
Y
(%)
1 -1 -1 -1 17,3
4 +1 -1 -1 37,7
6 -1 +1 -1 22,0
7 +1 +1 -1 61,7
10 -1 -1 +1 38,7
11 +1 -1 +1 67,5
13 -1 +1 +1 40,8
16 +1 +1 +1 95,9
Triagem dos fatores
• A princípio, pode ser difícil definir a faixa 
de valores dos fatores a serem estudados.
• Recomendação: fazer inicialmente uma 
fração menor do planejamento completo.
• Posteriormente, fazer os ensaios restantes 
se for adequado.
TRIAGEM
(tentativa de identificar fatores significativos)
Triagem dos fatores
• Pode ser que a fração ½ ainda 
seja grande;
• ¼ de fração = 2k – 2;
• 1º: fatorial completo para (k – 2) fatores;
• 2º: definição de 2 relações geradoras;
• Cada contraste é confundido com outros 3;
• Resolução: definida pela menor geratriz.
Triagem dos fatores
• Efeitos do planejamento envolvidos na 
definição de cada contraste:
2S
𝑁 =
2S
2ST. = 4
Exemplo k = 5 p/ ¼ de fração = 25 – 2
4 = 123 e 5 = 23 ® I = 1234 e I = 235
3ª geratriz: I = 145 Resolução III: 𝟐𝑰𝑰𝑰𝟓T𝟐
(efeitos principais confundidos com 
interações de 2 fatores)
Triagem dos fatores
• Contrastes com valores pequenos o 
suficiente para permitir o descarte de suas 
variáveis correspondentes;
OU
• É necessário fazer mais ensaios:
§ Para obter uma fração de maior 
resolução;
§ Ou para completar o fatorial.
Objetivos
Aprender: 
• A elaborar planejamentos 
fatoriais fracionários; ✓
• O conceito de resolução para analisar os 
resultados obtidos, relacionandocontrastes e efeitos; ✓
• Utilidade deste conteúdo na triagem 
de fatores. ✓
Glossário
Geratriz;
Contrastes;
Padrões de confundimento.
Reflexão
Exemplo k = 6 fração = 26 – 3
4 = 123 ® I = 1234
5 = 12 ® I = 125
6 = 23 ® I = 236
4ª geratriz: I = 345
5ª geratriz: I = 1356
6ª geratriz: I = 146
7ª geratriz: I = 2456
2S
𝑁 =
2S
2ST0 = 8
Resolução III: 𝟐𝑰𝑰𝑰𝟔T𝟑
(efeitos principais 
confundidos com 
interações de 2 fatores)
Fatores inertes
EXEMPLO: 2WX2T+ ® 23
n Tx2
C
x3
t 
x4
Y
(%)
1 -1 -1 -1 17,3
4 +1 -1 -1 37,7
6 -1 +1 -1 22,0
7 +1 +1 -1 61,7
10 -1 -1 +1 38,7
11 +1 -1 +1 67,5
13 -1 +1 +1 40,8
16 +1 +1 +1 95,9
Sem réplicas ®
erro residual
• 1 média
• 3 efeitos principais
• 3 interações de 
2ª ordem
• 1 interação de 
3ª ordem
Fatores inertes
EXEMPLO: k = 3
Cálculo de b no Excel:
=MATRIZ.MULT(MATRIZ.INVERSO
(MATRIZ.MULT(TRANSPOR(A2:H9);
A2:H9));
MATRIZ.MULT(TRANSPOR(A2:H9);
M2:M9))
𝑦" = 47,7 + 18,0𝑥. + 7,40𝑥0 +
13,0𝑥2 + 5,70𝑥.𝑥0 + 2,98𝑥.𝑥2
Fatores inertes
𝑠< = média [(b123...k)2]
�
=
(0,225).+(0,875).
2
�
= 0,64	%
𝑡.(EF	%) = 2,920																𝛽8 = 𝑏8 ± 𝑠<J. 𝑡.(EF	%)
𝛽8 = 𝑏8 ± 0,64.2,920 = 𝑏8 ± 1,87
• Coeficientes significativos a 90% de confiança: 
𝑏8 > 1,87
• Modelo enxuto: 
𝑦" = 47,7 + 18,0𝑥. + 7,40𝑥0 + 13,0𝑥2 +
5,70𝑥.𝑥0 + 2,98𝑥.𝑥2
Fatores inertes
EXEMPLO: k = 3 – Modelo enxuto
R2 = 99,9 %
MQR/MQr = 289,57 
>> F5,2 (95 %) = 19,30.
Fatores inertes
EXEMPLO: k = 3 – Modelo enxuto
𝛽8 = 𝑏8 ± 0,64.2,920 = 𝑏8 ± 1,87
Fatores inertes
Com 16 ensaios:
𝑦" = 48,4 + 17,7𝑥. + 8,46𝑥0 + 11,9𝑥2
+4,84𝑥.𝑥0 + 3,06𝑥.𝑥2
Com 8 ensaios:
𝑦" = 47,7 + 18,0𝑥. + 7,40𝑥0 + 13,0𝑥2
+5,70𝑥.𝑥0 + 2,98𝑥.𝑥2
MODELOS OBTIDOS 
SÃO MUITO SIMILARES