AD1 Métodos Determinísticos II

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determinísticos II
2o Semestre de 2020
Avaliação a Distância 1 - AD1
GABARITO
Questão 1: [4,0 pts] Considere as seguintes funções f :R→R e g :R→R, definidas abaixo:
f (x) =

0, se x < 0
x2, se 06 x 6 1
0, se x > 1
e g (x) =

1, se x < 0
2x, se 06 x 6 1
1, se x > 1
.
Determine o que se pede em cada um dos itens a seguir. Justifique todas as suas respostas.
a) Encontre a lei de formação de f ◦ g .
b) Encontre o domínio de f ◦ g .
c) Esboce o gráfico de f ◦ g .
d) Responda: f ◦ g é uma função inversível? Justifique.
Solução:
a) Se x < 0, então ( f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (1) = 12 = 1.
Se 0 6 x 6 1, então ( f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (2x). Assim, para 0 6 x 6 1
2
, temos 0 6 2x 6 1. Logo, neste
caso, ( f ◦ g )(x) = (2x)2 = 4x2; Além disso, para 1
2
< x 6 1, temos 2x > 1, donde ( f ◦ g )(x) = 0.
Se x > 1, então ( f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f (1) = 12 = 1.
Dessa forma, a lei de formação de f ◦ g é dada por:
( f ◦ g )(x) =

1, se x < 0
4x2, se 06 x 6
1
2
0, se
1
2
< x 6 1
1, se x > 1
.
b) Como f ◦ g está definida para todo número real, temos que Dom( f ◦ g ) =R.
c) Gáfico de f ◦ g :
d) A função f ◦ g não é inversível, pois não é injetiva.
Questão 2: [1,0 pto] Sendo f : [0,1) → [0,1) uma função definida por f (x) = xp
1+x2
, encontre a função
inversa de f .
Solução:
Seja g = f −1 : [0,1) → [0,1). Para encontrar a lei de formação de g , denotaremos y = f (x) = xp
1+x2
.
Assim,
y = xp
1+x2
⇔ y2 = x
2
1+x2 ⇔ y
2(1+x2)−x2 = 0 ⇔ y2 + (y2 −1)x2 = 0 ⇔ x2 = −y
2
y2 −1 ⇔ x
2 = y
2
1− y2 .
Como x ∈ [0,1) e y ∈ [0,1), segue que
p
x2 = |x| = x,
√
y2 = |y | = y e 1− y2 > 0. Dessa forma,
x2 = y
2
1− y2 ⇔ x =
y√
1− y2
.
Portanto, fazendo x = g (y) = f −1(y), temos que lei de formação da função inversa de f é dada por g (y) =
y√
1− y2
. Ou ainda, trocando y por x em g , podemos escrever g (x) = xp
1−x2
.
Questão 3 [1,5 pto] Resolva a inequação ln(x2 −2x −2) ≤ 0.
Solução: Para que a expressão ln(x2 −2x −2) ≤ 0 faça sentido, primeiro devemos observar a condição de
existência do logaritmo, que no caso é dada por x2 −2x −2 > 0. Mas
x2 −2x −2 > 0 ⇔ x < 1−p3 ou x > 1+p3.
Dessa forma, para que exista o logaritmo dado, devemos ter x ∈ (−∞,1−p3)∪ (1+p3,+∞).
Aplicando a função exponencial de base e a ambos os membros da desigualdade l n(x2 − 2x − 2) ≤ 0,
obtemos:
ln(x2−2x−2) ≤ 0 ⇔ e l n(x2−2x−2) ≤ e0 ⇔ x2−2x−2 ≤ 1 ⇔ x2−2x−3 ≤ 0 ⇔ (x+1)(x−3) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 3.
(Observe que o sinal da desigualdade se mantém porque a função exp(x) = ex é crescente.)
Portanto, para que a desigualdade seja satisfeita, devemos ter x ∈ [−1,3].
Fazendo a interseção entre os conjuntos obtidos, segue que a solução da inequação é dada pelo conjunto
S = {x ∈R;−1 ≤ x < 1−p3 ou 1+p3 < x ≤ 3}= [−1,1−p3)∪ (1+p3,3].
Questão 4: [2,0 pts] Suponha que a empresa A receba uma proposta para prestar serviços, por 45 dias, para
a empresa B. Indique qual das seguintes formas de pagamento é a mais vantajosa para a empresa A receber:
(i) Vinte trilhões de reais de uma vez, ao final dos 45 dias de serviços prestados; ou
(ii) Um centavo de real no primeiro dia, dois centavos de real no segundo dia, quatro centavos de real
no terceiro dia, oito centavos de real no quarto dia e assim por diante, até completar os 45 dias de
serviço.
2
Justifique sua resposta utilizando apenas exponenciais e/ou logaritmos (não utilize progressões geométri-
cas).
Solução: Para saber qual proposta é a mais vantajosa, precisamos comparar o total de centavos a serem
pagos na opção (i), com o total de centavos que serão pagos na opção (ii) ao final dos 45 dias de serviço.
Como 1 real = 100 centavos = 102 centavos, concluímos que o total de centavos oferecido pela proposta (i) é
dado por:
20 trilhões de reais = 20×1012 reais = 20×1012 ×102 centavos = 2×1015 centavos.
Calculemos agora o total de centavos pagos na proposta (ii). Neste caso, a função que representa o valor do
pagamento no n-ésimo dia de serviço é dada por f (n) = 2n−1.
Assim, ao final dos 45 dias, a empresa A terá recebido, de acordo com a proposta (ii), um total de (244 +
243 +·· ·+22 +2+1) centavos. Para calcular essa soma, basta utilizar o seguinte produto notável:
an −bn = (a −b)(an−1 +an−2b +an−3b2 +·· ·+abn−2 +bn−1),
no qual a = 2, b = 1 e n = 45.
Dessa forma,
(244 +243 +·· ·+22 +2+1)(2−1) = (245 −1) ⇔ 244 +243 +·· ·+22 +2+1 = 245 −1.
Portanto, o total que a proposta (ii) oferece é o pagamento de 245 −1 centavos ao final dos 45 dias. Como
1 ¿ 245 (isto é, 1 é um valor desprezível perto de 245), basta compararmos 2 × 1015 com 245. Para isso,
utilizaremos o logaritmo de base decimal: vamos reescrever 245 e 2×1015 como potências de base 10 e a
comparação dos expoentes nos fornecerá qual desses números é o maior. Assim,
10x = 2×1015
log(10x ) = log(2×1015)
x = log(2)+ log(1015)
x = log(2)+15
x ∼= 0,3+15 = 15,3
e
10y = 245
log(10y ) = log(245)
y = 45× log(2)
y ∼= 45×0,3 = 13,5
.
Portanto, 2×1015 ∼= 1015,3 e 245 ∼= 1013,5. Como 13,5 < 15,3, segue que 245 < 2×1015, donde concluímos
que a proposta (i) é a mais vantajosa para a empresa A.
Questão 5: [1,5 pts] Calcule os limites abaixo.
a) lim
x→7
p
x +2−3
x −7
b) lim
x→2
3
p
x − 3p2
x −2
c) lim
x→1
x3 −1
x2 −1
Solução:
a) lim
x→7
p
x +2−3
x −7 = limx→7
p
x +2−3
x −7 ·
p
x +2+3p
x +2+3 = limx→7
x −7
(x −7)(px +2+3) = limx→7
1p
x +2+3 =
1
6
.
b) lim
x→2
3
p
x − 3p2
x −2 = limx→2
3
p
x − 3p2
( 3
p
x − 3p2)( 3
p
x2 + 3px 3p2+ 3
p
22)
= lim
x→2
1
3
p
x2 + 3px 3p2+ 3
p
22
= 1
3 3
p
4
.
c) lim
x→1
x3 −1
x2 −1 = limx→1
(x −1)(x2 +x +1)
(x −1)(x +1) = limx→1
x2 +x +1
x +1 =
3
2
.
3