Geometria Analítica 2

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Geometria Analítica 2
Questão 1/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho de texto a seguir: 
"A distância entre os pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) é d(A,B)=√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L.F.D. Geometria Analítica. Curitiba: Editora Intersaberes, 2016. p. 116.
Calcule a distância entre os pontos A = (1, 0, 1) e B = (2, 1, 0) e assinale a resposta correta:
Nota: 0.0
	
	A
	√1818
	
	B
	√1313
	
	C
	√88
	
	D
	√66
	
	E
	√33
Comentário:
A=(x1,y1,z1)=(1,0,1)B=(x2,y2,z2)=(2,1,0)A=(x1,y1,z1)=(1,0,1)B=(x2,y2,z2)=(2,1,0)
(Livro-base, p. 116)
Questão 2/10 - Geometria Analítica
Leia o texto a seguir:
A distância relaciona todos os conceitos da Geometria Analítica, pois temos a relação de elementos geométricos com os algébricos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Assinale a alternativa que possui a medida da distância entre os pontos A=(3,2,4)A=(3,2,4) e B=(1,2,3)B=(1,2,3):
Nota: 0.0
	
	A
	√22
	
	B
	√33
	
	C
	√55
Comentário:
A medida da distância entre os pontos A e B é dada por:
d(A,B)=√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d(A,B)=√(3−1)2+(2−2)2+(3−4)2d(A,B)=√(2)2+(0)2+(−1)2d(A,B)=√4+0+1d(A,B)=√5d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d(A,B)=(3−1)2+(2−2)2+(3−4)2d(A,B)=(2)2+(0)2+(−1)2d(A,B)=4+0+1d(A,B)=5
(Livro-base, p. 116).
	
	D
	√77
	
	E
	√88
Questão 3/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir: 
"A medida da distância entre um ponto PP e um plano ππ é dada por:"
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119.
Marque a alternativa que apresenta, corretamente, a medida da distância do ponto PP ao plano ππ, sendo P=(2,1,−3)P=(2,1,−3) e π:2x−y−4z−6=0π:2x−y−4z−6=0:
Nota: 0.0
	
	A
	9√21921
Comentário:
A medida da distância entre PP e ππ é dada por:
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.2+(−1).1+(−4).(−3)+(−6)|√22+(−1)2+(−4)2d(P,π)=|4−1+12−6|√4+1+16d(P,π)=9√21d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2d(P,π)=|2.2+(−1).1+(−4).(−3)+(−6)|22+(−1)2+(−4)2d(P,π)=|4−1+12−6|4+1+16d(P,π)=921
(Livro-base p.119).
	
	B
	2√26226
	
	C
	27√212721
	
	D
	135√2313523
	
	E
	35√163516
Questão 4/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
Para determinar distâncias utilizaremos propriedades da geometria com a escrita em termos de vetores, métodos para encontrar a distância entre pontos, de ponto e a reta, de ponto a plano, entre retas, de reta a plano e entre planos.
Fonte: Livro base pag. 116
 Com base no trecho anterior e nos conteúdos do livro base páginas 116 a 121, determine a distância entre a reta rr e o plano ππ se  reta r:⎧⎪⎨⎪⎩x=−2−3ty=4tz=1−2tr:{x=−2−3ty=4tz=1−2t e o plano  é π:2x+3y+3z+6=0π:2x+3y+3z+6=0 .
Dica: Escolha um ponto da reta e utilize a fórmula d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2.
Nota: 0.0
	
	A
	d=5u.a.d=5u.a.
	
	B
	d=2√2211u.a.d=22211u.a.
	
	C
	d=2√1122ud=21122u.a.
	
	D
	d=2√1111u.a.d=21111u.a.
	
	E
	d=5√2222u.a.d=52222u.a.
Comentário:
Para verificar se a reta é paralela ao plano deve-se verificar se o produto interno entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano é zero. O vetor diretor da reta é ⃗r=(−3,4,−2)r→=(−3,4,−2) e o vetor normal ao plano é ⃗n=(2,3,3)n→=(2,3,3).
<⃗r,⃗n>=(−3,4,−2)⋅(2,3,3)<⃗r,⃗n>=(−3)⋅2+4⋅3+(−2)⋅3=−6+12−6=0<r→,n→>=(−3,4,−2)⋅(2,3,3)<r→,n→>=(−3)⋅2+4⋅3+(−2)⋅3=−6+12−6=0Portanto, a reta e o plano são paralelas.
Para calcular a distância do plano à reta, escolhemos um ponto qualquer do plano e calculamos sua distância à reta com a fórmula d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2.
Escolhendo o ponto P0=(−2,0,1)P0=(−2,0,1) da reta r.
Calculando a distância
d(P0,α)=|2⋅(−2)+3⋅0+3⋅1+6|√22+32+32=5√22=5√2222d(P0,α)=|2⋅(−2)+3⋅0+3⋅1+6|22+32+32=522=52222
(livro-base, p. 119)
Questão 5/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
Uma das formas de escrever equações de retas é a equação simétrica. Para tanto, é necessário sempre conhecer um vetor diretor e um ponto pelo qual passa a reta. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, a reta r com vetor diretor ⃗r=(2,4,5)r→=(2,4,5) e que o ponto P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) pertence a r, a equação simétrica de r é:
Dica: A equação simétrica tem a forma: r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ, sendo P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) e ⃗r=(a,b,c)r→=(a,b,c).
Nota: 10.0
	
	A
	r:x−22=y+4−1=z−54=λr:x−22=y+4−1=z−54=λ
	
	B
	r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ
Você acertou!
Comentário: A equação simétrica da reta que passa pelo ponto P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) e é paralela ao vetor ⃗r=(a,b,c)r→=(a,b,c) é
r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ
Aplicando os dados do problema na fórmula teremos
r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ
(livro-base, p. 89)
	
	C
	r:x−22=y−4−1=z−54=λr:x−22=y−4−1=z−54=λ
	
	D
	r:x−22=y−44=z−55=λr:x−22=y−44=z−55=λ
	
	E
	r:x2=y4=z5=λr:x2=y4=z5=λ
Questão 6/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
A posição relativa entre uma reta e um plano pode ser de três formas:  A reta é coincidente ao plano ou a reta é paralela ao plano ou a reta intercepta o plano. O produto interno do vetor diretor da reta pela normal do plano nos dá tal informação. Se ele for zero, a reta é coincidente ou paralela ao plano. Se for diferente de zero a reta intercepta o plano.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Com base no texto e nos conteúdos do livro-base Geometria Analítica, determine o valor de kk para que a reta rr seja paralela ao plano αα, dados:
r:⎧⎪⎨⎪⎩x=2−3ty=4tz=1−2tr:{x=2−3ty=4tz=1−2t e o plano α:2x+3y+kz+5=0α:2x+3y+kz+5=0.
Nota: 0.0
	
	A
	11
	
	B
	00
	
	C
	−3−3
	
	D
	22
	
	E
	33
Comentário: Para que a reta r seja paralela ao plano αα é necessário que o produto interno entre o vetor diretor de r com o vetor normal de αα seja nulo.
<⃗r⋅⃗n>=−3⋅2+4⋅3+(−2)⋅k=−6+12−2k=06=2kk=3<r→⋅n→>=−3⋅2+4⋅3+(−2)⋅k=−6+12−2k=06=2kk=3
(livro-base, p. 121)
Questão 7/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho de texto: 
Considerando um plano ππ e um ponto PP, a medida da distância entre PP e ππ é dada por:
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119.
Assinale a alternativa que possui a medida da distância do ponto PP ao plano ππ, sendo P=(1,0,1)P=(1,0,1) e π:2x+2y−2z+3=0π:2x+2y−2z+3=0.
Nota: 0.0
	
	A
	d(P,π)=2√135d(P,π)=2135
	
	B
	d(P,π)=9√24d(P,π)=924
	
	C
	d(P,π)=5√122d(P,π)=5122
	
	D
	d(P,π)=√76d(P,π)=76
	
	E
	d(P,π)=√124d(P,π)=124
Comentário:
A medida da distância entre PP e ππ é dada por:
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.1+2.0−2.1+3|√22+22+(−2)2d(P,π)=|2+0−2+3|√4+4+4d(P,π)=3√12d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2d(P,π)=|2.1+2.0−2.1+3|22+22+(−2)2d(P,π)=|2+0−2+3|4+4+4d(P,π)=312
Racionalizando o denominador:
d(P,π)=3√12.√12√12d(P,π)=3√12√144d(P,π)=3√1212d(P,π)=312.1212d(P,π)=312144d(P,π)=31212
Simplificando por 3, tem-se:
d(P,π)=√124d(P,π)=124
(Livro-base p.119).
Questão 8/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho de texto a seguir:
Para calcular o ângulo θθ entre uma reta e um plano aplicamos a fórmula  θ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||θ=arcsin⁡|n→⋅r→|||n→||⋅||r→||  em que ⃗rr→ é o vetor diretor da reta r e ⃗nn→ é o vetor normal ao plano 
Fonte: Texto adaptado do livro-base, p. 114.
Dados a reta r:x−12=y+2−3=z+1−1r:x−12=y+2−3=z+1−1 e o plano π:3x−y+z+4=0π:3x−y+z+4=0, calcule o ângulo entre a reta r e o plano ππ:
Nota: 0.0
	
	A
	θ=arcsin1√154θ=arcsin⁡1154
	
	B
	θ=arcsin8√151θ=arcsin⁡8151
	
	C
	θ=arcsin8√154θ=arcsin⁡8154
O ângulo θθ formado pelo plano \pi e pela reta r é o complementar do ângulo αα formado pelo vetor normal ⃗n=(3,−1,1)n→=(3,−1,1) do plano e o vetor diretor ⃗r=(2,−3,−1)r→=(2,−3,−1) da reta. Para calcular diretamente o ângulo θθ utilizamos a fórmulaθ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||θ=arcsin⁡|n→⋅r→|||n→||⋅||r→||
Cálculos auxiliares:
⃗n=√32+(−1)2+12=√9+1+1=√11n→=32+(−1)2+12=9+1+1=11
⃗r=√22+(−1)2+(−1)2=√4+9+1=√14r→=22+(−1)2+(−1)2=4+9+1=14
|⃗n⋅⃗r|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8|n→⋅r→|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8
Aplicando estes valores na fórmula
θ=arcsin8√11⋅√14=arcsin8√154θ=arcsin⁡811⋅14=arcsin⁡8154
(livro-base página 154).
	
	D
	θ=30∘θ=30∘
	
	E
	θ=arcsin2√77θ=arcsin⁡277
Questão 9/10 - Geometria Analítica
Nos estudos sobre o plano, temos que qualquer plano pode ser representado por uma equação, e uma das formas para determinar a equação desse plano é conhecendo três pontos desse plano, assim, escolhendo um ponto genérico do plano é possível escrever três vetores coplanares. Dados os pontos A, B e C a sequência é: 1º Calcular os vetores −−→ABAB→ (fazendo B-A) e −−→ACAC→ (fazendo C-A); 2º Montar o vetor  −−→AXAX→ genérico pertencente ao plano (fazendo X-A). 3º Calcular o produto misto destes três vetores e igualar a zero (calcular o determinante com os três vetores).
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o excerto de texto e os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, assinale a alternativa que representa a equação do plano formado pelos pontos A(2,1-1), B(-1,-1,0) e C(3,3,-4):
Nota: 0.0
	
	A
	4x−8y−z=04x−8y−z=0
	
	B
	4x−8y−4z−4=04x−8y−4z−4=0
Comentário: Primeiro determinamos a equação do plano. Sabemos que três vetores são coplanares (pertencem ao mesmo plano) se o módulo do produto misto dos vetores é igual a zero. Os vetores são:
−−→AX=X−A=(x−2,y−1,z+1)−−→AB=B−A=(−3,−2,1)−−→AC=C−A=(1,2,−3)AX→=X−A=(x−2,y−1,z+1)AB→=B−A=(−3,−2,1)AC→=C−A=(1,2,−3)
 O produto misto é dado por:
−−→AX.(−−→AB×−−→AC)=∣∣
∣∣x−2y−1z+1−3−2112−3∣∣
∣∣=0AX→.(AB→×AC→)=|x−2y−1z+1−3−2112−3|=0(x−2).(6−2)−(y−1).(9−1)+(z+1).(−6+2)=04x−8y−4z−8+8−4=04x−8y−4z−4=0(x−2).(6−2)−(y−1).(9−1)+(z+1).(−6+2)=04x−8y−4z−8+8−4=04x−8y−4z−4=0
(livro-base, p. 92)
	
	C
	x−y−4z−4=0x−y−4z−4=0
	
	D
	4x−8y=04x−8y=0
	
	E
	x−y−z−1=0x−y−z−1=0
Questão 10/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
O estudo das retas na geometria analítica oferece algumas formas de escrever suas equações, uma delas é a simétrica, ou seja, r:=x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:=x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ, sendo P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) um ponto pertencente a reta e ⃗r=(a,b,c)r→=(a,b,c) seu vetor diretor. Quaisquer que sejam as equações escolhidas para representar a reta, é sempre necessário conhecer um vetor diretor e um ponto pelo qual passa a reta.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, a reta rr que passa pelo ponto P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) e é paralela ao vetor ⃗r=(2,4,5)r→=(2,4,5). A equação simétrica de rr é:
Nota: 0.0
	
	A
	⎧⎪⎨⎪⎩x=2λy=−1+λz=4+5λ{x=2λy=−1+λz=4+5λ
	
	B
	r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ
A equação simétrica da reta que passa pelo ponto P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) e é paralela ao vetor ⃗r=(2,4,5)r→=(2,4,5) é
r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ.
(livro-base, p. 89)
	
	C
	r:x−12=y−14=z+45=λr:x−12=y−14=z+45=λ
	
	D
	r:x−22=y−5−1=z−54=λr:x−22=y−5−1=z−54=λ
	
	E
	r:{x=10−2yz=21−4yr:{x=10−2yz=21−4y
Questão 1/10 - Geometria Analítica
Ao representar uma reta por quaisquer que sejam suas equações, sempre é possível determinar um vetor diretor e um ponto da reta. Na equação reduzida, temos duas funções em xx (poderia ser outra incógnita). Para determinar um ponto AA escolhe-se um valor para xx e calcula-se yy e depois zz. Para descobrir o vetor diretor ⃗rr→,  determina-se outro ponto BB e subtrai um do outro (⃗r=B−Ar→=B−A).
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica e a reta r em sua forma reduzida {y=x+3z=2x−4{y=x+3z=2x−4. O vetor diretor de rr é:
Nota: 0.0
	
	A
	⃗r=(0,1,2)r→=(0,1,2)
	
	B
	⃗r=(0,1,0)r→=(0,1,0)
	
	C
	⃗r=(1,0,2)r→=(1,0,2)
	
	D
	⃗r=(1,0,0)r→=(1,0,0)
	
	E
	⃗r=(1,1,2)r→=(1,1,2)
Comentário: Como descrito no elemento base vamos escolher dois pontos P0P0 e P1P1.
Escolha de P0P0. Determinando x=0x=0 temos:
{y=0+3z=2⋅0−4⟹{y=3z=−4⟹P0=(0,3,−4){y=0+3z=2⋅0−4⟹{y=3z=−4⟹P0=(0,3,−4)
Escolha de P1P1. Determinando x=1x=1 temos:
{y=1+3z=2⋅1−4⟹{y=4z=−2⟹P1=(1,4,−2){y=1+3z=2⋅1−4⟹{y=4z=−2⟹P1=(1,4,−2)
Encontrando o vetor diretor ⃗r.r→.
⃗r=P1−P0=(1,4,−2)−(0,3,−4)=(1,1,2)r→=P1−P0=(1,4,−2)−(0,3,−4)=(1,1,2)
(livro-base, p. 88 a 99)
Questão 2/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho de texto a seguir: 
"A distância entre os pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) é d(A,B)=√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L.F.D. Geometria Analítica. Curitiba: Editora Intersaberes, 2016. p. 116.
Calcule a distância entre os pontos A = (1, 0, 1) e B = (2, 1, 0) e assinale a resposta correta:
Nota: 10.0
	
	A
	√1818
	
	B
	√1313
	
	C
	√88
	
	D
	√66
	
	E
	√33
Você acertou!
Comentário:
A=(x1,y1,z1)=(1,0,1)B=(x2,y2,z2)=(2,1,0)A=(x1,y1,z1)=(1,0,1)B=(x2,y2,z2)=(2,1,0)
(Livro-base, p. 116)
Questão 3/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir: 
"A medida da distância entre um ponto PP e um plano ππ é dada por:"
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119.
Marque a alternativa que apresenta, corretamente, a medida da distância do ponto PP ao plano ππ, sendo P=(2,1,−3)P=(2,1,−3) e π:2x−y−4z−6=0π:2x−y−4z−6=0:
Nota: 10.0
	
	A
	9√21921
Você acertou!
Comentário:
A medida da distância entre PP e ππ é dada por:
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.2+(−1).1+(−4).(−3)+(−6)|√22+(−1)2+(−4)2d(P,π)=|4−1+12−6|√4+1+16d(P,π)=9√21d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2d(P,π)=|2.2+(−1).1+(−4).(−3)+(−6)|22+(−1)2+(−4)2d(P,π)=|4−1+12−6|4+1+16d(P,π)=921
(Livro-base p.119).
	
	B
	2√26226
	
	C
	27√212721
	
	D
	135√2313523
	
	E
	35√163516
Questão 4/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
Uma das formas de escrever equações de retas é a equação simétrica. Para tanto, é necessário sempre conhecer um vetor diretor e um ponto pelo qual passa a reta. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, a reta r com vetor diretor ⃗r=(2,4,5)r→=(2,4,5) e que o ponto P0=(2,−1,4)P0=(2,−1,4) pertence a r, a equação simétrica de r é:
Dica: A equação simétrica tem a forma: r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ, sendo P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) e ⃗r=(a,b,c)r→=(a,b,c).
Nota: 10.0
	
	A
	r:x−22=y+4−1=z−54=λr:x−22=y+4−1=z−54=λ
	
	B
	r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ
Você acertou!
Comentário: A equação simétrica da reta que passa pelo ponto P0=(x0,y0,z0)P0=(x0,y0,z0) e é paralela ao vetor ⃗r=(a,b,c)r→=(a,b,c) é
r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λr:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ
Aplicando os dados do problema na fórmula teremos
r:x−22=y+14=z−45=λr:x−22=y+14=z−45=λ
(livro-base, p. 89)
	
	C
	r:x−22=y−4−1=z−54=λr:x−22=y−4−1=z−54=λ
	
	D
	r:x−22=y−44=z−55=λr:x−22=y−44=z−55=λ
	
	E
	r:x2=y4=z5=λr:x2=y4=z5=λ
Questão 5/10 - Geometria Analítica
Nos estudos sobre o plano, temos que qualquer plano pode ser representado por uma equação, e uma das formas para determinar a equação desse plano é conhecendo três pontos desse plano, assim, escolhendo um ponto genérico do plano é possível escrever três vetores coplanares. Dados os pontos A, B e C a sequência é: 1º Calcular os vetores −−→ABAB→ (fazendo B-A) e −−→ACAC→ (fazendo C-A); 2º Montar o vetor  −−→AXAX→ genérico pertencente ao plano (fazendo X-A). 3º Calcular o produto misto destes três vetores e igualar a zero (calcular o determinante com os três vetores).
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o excerto de texto e os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, assinale a alternativa que representa a equação do plano formado pelos pontos A(2,1-1), B(-1,-1,0) e C(3,3,-4):
Nota: 10.0
	
	A
	4x−8y−z=04x−8y−z=0B
	4x−8y−4z−4=04x−8y−4z−4=0
Você acertou!
Comentário: Primeiro determinamos a equação do plano. Sabemos que três vetores são coplanares (pertencem ao mesmo plano) se o módulo do produto misto dos vetores é igual a zero. Os vetores são:
−−→AX=X−A=(x−2,y−1,z+1)−−→AB=B−A=(−3,−2,1)−−→AC=C−A=(1,2,−3)AX→=X−A=(x−2,y−1,z+1)AB→=B−A=(−3,−2,1)AC→=C−A=(1,2,−3)
 O produto misto é dado por:
−−→AX.(−−→AB×−−→AC)=∣∣
∣∣x−2y−1z+1−3−2112−3∣∣
∣∣=0AX→.(AB→×AC→)=|x−2y−1z+1−3−2112−3|=0(x−2).(6−2)−(y−1).(9−1)+(z+1).(−6+2)=04x−8y−4z−8+8−4=04x−8y−4z−4=0(x−2).(6−2)−(y−1).(9−1)+(z+1).(−6+2)=04x−8y−4z−8+8−4=04x−8y−4z−4=0
(livro-base, p. 92)
	
	C
	x−y−4z−4=0x−y−4z−4=0
	
	D
	4x−8y=04x−8y=0
	
	E
	x−y−z−1=0x−y−z−1=0
Questão 6/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
Para determinar distâncias utilizaremos propriedades da geometria com a escrita em termos de vetores, métodos para encontrar a distância entre pontos, de ponto e a reta, de ponto a plano, entre retas, de reta a plano e entre planos.
Fonte: Livro base pag. 116
 Com base no trecho anterior e nos conteúdos do livro base páginas 116 a 121, determine a distância entre a reta rr e o plano ππ se  reta r:⎧⎪⎨⎪⎩x=−2−3ty=4tz=1−2tr:{x=−2−3ty=4tz=1−2t e o plano  é π:2x+3y+3z+6=0π:2x+3y+3z+6=0 .
Dica: Escolha um ponto da reta e utilize a fórmula d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2.
Nota: 10.0
	
	A
	d=5u.a.d=5u.a.
	
	B
	d=2√2211u.a.d=22211u.a.
	
	C
	d=2√1122ud=21122u.a.
	
	D
	d=2√1111u.a.d=21111u.a.
	
	E
	d=5√2222u.a.d=52222u.a.
Você acertou!
Comentário:
Para verificar se a reta é paralela ao plano deve-se verificar se o produto interno entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano é zero. O vetor diretor da reta é ⃗r=(−3,4,−2)r→=(−3,4,−2) e o vetor normal ao plano é ⃗n=(2,3,3)n→=(2,3,3).
<⃗r,⃗n>=(−3,4,−2)⋅(2,3,3)<⃗r,⃗n>=(−3)⋅2+4⋅3+(−2)⋅3=−6+12−6=0<r→,n→>=(−3,4,−2)⋅(2,3,3)<r→,n→>=(−3)⋅2+4⋅3+(−2)⋅3=−6+12−6=0Portanto, a reta e o plano são paralelas.
Para calcular a distância do plano à reta, escolhemos um ponto qualquer do plano e calculamos sua distância à reta com a fórmula d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P0,α)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2.
Escolhendo o ponto P0=(−2,0,1)P0=(−2,0,1) da reta r.
Calculando a distância
d(P0,α)=|2⋅(−2)+3⋅0+3⋅1+6|√22+32+32=5√22=5√2222d(P0,α)=|2⋅(−2)+3⋅0+3⋅1+6|22+32+32=522=52222
(livro-base, p. 119)
Questão 7/10 - Geometria Analítica
Leia o texto a seguir:
A distância relaciona todos os conceitos da Geometria Analítica, pois temos a relação de elementos geométricos com os algébricos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Assinale a alternativa que possui a medida da distância entre os pontos A=(3,2,4)A=(3,2,4) e B=(1,2,3)B=(1,2,3):
Nota: 10.0
	
	A
	√22
	
	B
	√33
	
	C
	√55
Você acertou!
Comentário:
A medida da distância entre os pontos A e B é dada por:
d(A,B)=√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d(A,B)=√(3−1)2+(2−2)2+(3−4)2d(A,B)=√(2)2+(0)2+(−1)2d(A,B)=√4+0+1d(A,B)=√5d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d(A,B)=(3−1)2+(2−2)2+(3−4)2d(A,B)=(2)2+(0)2+(−1)2d(A,B)=4+0+1d(A,B)=5
(Livro-base, p. 116).
	
	D
	√77
	
	E
	√88
Questão 8/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho de texto a seguir:
Para calcular o ângulo θθ entre uma reta e um plano aplicamos a fórmula  θ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||θ=arcsin⁡|n→⋅r→|||n→||⋅||r→||  em que ⃗rr→ é o vetor diretor da reta r e ⃗nn→ é o vetor normal ao plano 
Fonte: Texto adaptado do livro-base, p. 114.
Dados a reta r:x−12=y+2−3=z+1−1r:x−12=y+2−3=z+1−1 e o plano π:3x−y+z+4=0π:3x−y+z+4=0, calcule o ângulo entre a reta r e o plano ππ:
Nota: 10.0
	
	A
	θ=arcsin1√154θ=arcsin⁡1154
	
	B
	θ=arcsin8√151θ=arcsin⁡8151
	
	C
	θ=arcsin8√154θ=arcsin⁡8154
Você acertou!
O ângulo θθ formado pelo plano \pi e pela reta r é o complementar do ângulo αα formado pelo vetor normal ⃗n=(3,−1,1)n→=(3,−1,1) do plano e o vetor diretor ⃗r=(2,−3,−1)r→=(2,−3,−1) da reta. Para calcular diretamente o ângulo θθ utilizamos a fórmula θ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||θ=arcsin⁡|n→⋅r→|||n→||⋅||r→||
Cálculos auxiliares:
⃗n=√32+(−1)2+12=√9+1+1=√11n→=32+(−1)2+12=9+1+1=11
⃗r=√22+(−1)2+(−1)2=√4+9+1=√14r→=22+(−1)2+(−1)2=4+9+1=14
|⃗n⋅⃗r|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8|n→⋅r→|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8
Aplicando estes valores na fórmula
θ=arcsin8√11⋅√14=arcsin8√154θ=arcsin⁡811⋅14=arcsin⁡8154
(livro-base página 154).
	
	D
	θ=30∘θ=30∘
	
	E
	θ=arcsin2√77θ=arcsin⁡277
Questão 9/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho de texto: 
Considerando um plano ππ e um ponto PP, a medida da distância entre PP e ππ é dada por:
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119.
Assinale a alternativa que possui a medida da distância do ponto PP ao plano ππ, sendo P=(1,0,1)P=(1,0,1) e π:2x+2y−2z+3=0π:2x+2y−2z+3=0.
Nota: 0.0
	
	A
	d(P,π)=2√135d(P,π)=2135
	
	B
	d(P,π)=9√24d(P,π)=924
	
	C
	d(P,π)=5√122d(P,π)=5122
	
	D
	d(P,π)=√76d(P,π)=76
	
	E
	d(P,π)=√124d(P,π)=124
Comentário:
A medida da distância entre PP e ππ é dada por:
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.1+2.0−2.1+3|√22+22+(−2)2d(P,π)=|2+0−2+3|√4+4+4d(P,π)=3√12d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2d(P,π)=|2.1+2.0−2.1+3|22+22+(−2)2d(P,π)=|2+0−2+3|4+4+4d(P,π)=312
Racionalizando o denominador:
d(P,π)=3√12.√12√12d(P,π)=3√12√144d(P,π)=3√1212d(P,π)=312.1212d(P,π)=312144d(P,π)=31212
Simplificando por 3, tem-se:
d(P,π)=√124d(P,π)=124
(Livro-base p.119).
Questão 10/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
A posição relativa entre uma reta e um plano pode ser de três formas:  A reta é coincidente ao plano ou a reta é paralela ao plano ou a reta intercepta o plano. O produto interno do vetor diretor da reta pela normal do plano nos dá tal informação. Se ele for zero, a reta é coincidente ou paralela ao plano. Se for diferente de zero a reta intercepta o plano.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Com base no texto e nos conteúdos do livro-base Geometria Analítica, determine o valor de kk para que a reta rr seja paralela ao plano αα, dados:
r:⎧⎪⎨⎪⎩x=2−3ty=4tz=1−2tr:{x=2−3ty=4tz=1−2t e o plano α:2x+3y+kz+5=0α:2x+3y+kz+5=0.
Nota: 10.0
	
	A
	11
	
	B
	00
	
	C
	−3−3
	
	D
	22
	
	E
	33
Você acertou!
Comentário: Para que a reta r seja paralela ao plano αα é necessário que o produto interno entre o vetor diretor de r com o vetor normal de αα seja nulo.
<⃗r⋅⃗n>=−3⋅2+4⋅3+(−2)⋅k=−6+12−2k=06=2kk=3<r→⋅n→>=−3⋅2+4⋅3+(−2)⋅k=−6+12−2k=06=2kk=3
(livro-base, p. 121)