apostilaC22015
48 pág.

apostilaC22015


DisciplinaCálculo I94.908 materiais1.625.628 seguidores
Pré-visualização9 páginas
MAT302 - Cálculo 2
Bibliografia: Cálculo volume I, 5 edição. James Stewart
Prof. Valdecir Bottega
INTEGRAIS
Integral Indefinida pág. 403
Até aqui, nosso problema básico era:
encontrar a derivada de uma função dada.
A partir de agora, estudaremos o problema inverso:
encontrar uma função cuja derivada é dada.
Exemplo: Qual é a função cuja derivada é a função F\u2032\ue0a2x\ue0a3 = 2x ?
f\ue0a2x\ue0a3 = x2 , pois ddx x
2 = 2x. A função F é chamada uma antiderivada de F\u2032.
Definição:
Uma antiderivada da função f é uma função F tal que
F\u2032\ue0a2x\ue0a3 = f\ue0a2x\ue0a3
em todo ponto onde f\ue0a2x\ue0a3 é definida.
Observação: Sabemos que F\ue0a2x\ue0a3 = x3 é uma antiderivada de F\u2032\ue0a2x\ue0a3 = 3x2, assim como:
G\ue0a2x\ue0a3 = x3 + 1 e H\ue0a2x\ue0a3 = x3 \u2212 5.
Na verdade, qualquer função do tipo J\ue0a2x\ue0a3 = x3 + C é antiderivada de F\u2032\ue0a2x\ue0a3.
Teorema:
Se F\u2032\ue0a2x\ue0a3 = f\ue0a2x\ue0a3 em todo ponto do intervalo aberto I, então
toda antiderivada G , de f em I, tem a forma
G\ue0a2x\ue0a3 = F\ue0a2x\ue0a3 + C
onde C é uma constante.
Assim, uma única função tem muitas antiderivadas. O conjunto de todas as antiderivadas da função F\u2032\ue0a2x\ue0a3 é chamada
integral indefinida (ou antidiferencial) de f com relação a x e denotada por \u222b f\ue0a2x\ue0a3dx.
\u222b f\ue0a2x\ue0a3dx = F\ue0a2x\ue0a3 + C
A operação de antidiferenciação, assim como a diferenciação, é linear:
\u222b cf\ue0a2x\ue0a3dx = c \u222b f\ue0a2x\ue0a3dx (onde c é uma constante)
e
\u222b\ue0a4f\ue0a2x\ue0a3 ± g\ue0a2x\ue0a3\ue0a5dx = \u222b f\ue0a2x\ue0a3dx ± \u222bg\ue0a2x\ue0a3dx
1
A integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra. Este fato nos permite obter fórmulas de integração
diretamente das fórmulas de diferenciação.
FÓRMULAS:
\u222b xndx = 1
n+1 x
n+1 + C (se n \u2260 \u22121) \u222b sinxdx = \u2212cos x + C \u222b tanudu = ln|secu | + C
\u222bdx = x + C \u222b sec2xdx = tanx + C \u222b cotudu = ln|sinu | + C
\u222b exdx = ex + C \u222b csc2xdx = \u2212cotx + C \u222b secudu = ln|secu + tanu | + C
\u222b 1x dx = lnx + C \u222b secx tanxdx = secx + C \u222b cscudu = ln|cscu \u2212 cotu | + C
\u222b cos xdx = sinx + C \u222b cscxcotxdx = \u2212cscx + C
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
sin2x + cos2x = 1
1 + tan2x = sec2x
1 + cot2x = csc2x
secx = 1cos x
cscx = 1
sinx
tanx = sinxcos x
cotx = cos x
sinx
LISTA DE EXERCÍCIOS 1:
Calcule a integral de:
1\ue0a3 \u222b 1
x3
dx 2\ue0a3 \u222b5u3/2du 3\ue0a3 \u222b 2
3 x
dx
4\ue0a3 \u222b6t2 3 t dt 5\ue0a3 \u222b\ue0a24x3 + x2 \ue0a3dx 6\ue0a3 \u222b y3\ue0a22y2 \u2212 3\ue0a3dy
7\ue0a3 \u222b\ue0a23 \u2212 2t + t2 \ue0a3dt 8\ue0a3 \u222b\ue0a28x4 + 4x3 \u2212 6x2 \u2212 4x + 5\ue0a3dx 9\ue0a3 \u222b x \ue0a2x + 1\ue0a3dx
10\ue0a3 \u222b\ue0a2x3/2 \u2212 x\ue0a3dx 11\ue0a3 \u222b 2
x3
+ 3
x2
+ 5 dx 12\ue0a3 \u222b x
2 + 4x \u2212 4
x
dx
13\ue0a3 \u222b 3 x + 1
3 x
dx 14\ue0a3 \u222b\ue0a23sin t \u2212 2cos t\ue0a3dt 15\ue0a3 \u222b\ue0a25cos x \u2212 4sinx\ue0a3dx
16\ue0a3 \u222b sinx
cos2x
dx 17\ue0a3 \u222b cos x
sin2x
dx 18\ue0a3 \u222b\ue0a24cscxcotx + 2sec2x\ue0a3dx
19\ue0a3 \u222b\ue0a23csc2t \u2212 5sec t tan t\ue0a3dt 20\ue0a3 \u222b\ue0a22cot2\u3b8 \u2212 3 tan2\u3b8\ue0a3d\u3b8 21\ue0a3 \u222b 3tg\u3b8 \u2212 4 cos
2\u3b8
cos\u3b8
d\u3b8
2
Respostas:
1) \u2212 1
2x2
+ C 2\ue0a32u5/2 + C 3\ue0a33x2/3 + C
4\ue0a3 95 t
10/3 + C 5\ue0a3x4 + 13 x
3 + C 6\ue0a3 13 y
6 \u2212 34 y
4 + C
7\ue0a33t \u2212 t2 + 13 t
3 + C 8\ue0a3 85 x
5 + x4 \u2212 2x3 \u2212 2x2 + 5x + C 9\ue0a3 25 x
5/2 + 23 x
3/2 + C
10\ue0a3 25 x
5/2 \u2212 12 x
2 + C 11\ue0a3 \u2212 1
x2
\u2212 3x + 5x + C 12\ue0a3 25 x
5/2 + 83 x
3/2 \u2212 8x1/2 + C
13\ue0a3 34 x
4/3 + 32 x
2/3 + C 14\ue0a3 \u2212 3cos t \u2212 2sin t + C 15\ue0a35sinx + 4cos x + C
16\ue0a3 secx + C 17\ue0a3 \u2212 cscx + C 18\ue0a3 \u2212 4cscx + 2 tanx + C
19\ue0a3 \u2212 3cot t \u2212 5 sec t + C 20\ue0a3 \u2212 2cot\u3b8 \u2212 3 tan\u3b8 + \u3b8 + C 21\ue0a33sec\u3b8 \u2212 4sin\u3b8 + C
Integração por Substituição:
Trabalharemos algumas técnicas para integrar funções compostas. Essas técnicas envolvem uma substituição. O uso da
substituição na integração pode ser comparado ao uso da Regra da Cadeia na diferenciação. Iniciaremos recordando a
Regra da Cadeia da diferenciação.
Seja a função y = f\ue0a2g\ue0a2x\ue0a3\ue0a3 com y = f\ue0a2u\ue0a3 e u = g\ue0a2x\ue0a3 funções diferenciáveis. Para calcular y \u2032 devemos utilizar a Regra da
Cadeia e obteremos:
y \u2032 = ddx \ue0a4f\ue0a2g\ue0a2x\ue0a3\ue0a3\ue0a5 = f
\u2032\ue0a2g\ue0a2x\ue0a3\ue0a3. g \u2032\ue0a2x\ue0a3 = f \u2032\ue0a2u\ue0a3. u \u2032
Exemplo: Derive a função composta y = \ue0a2x2 + 3\ue0a33 : Seja u = x2 + 3 . Então y = u3. Utilizando a Regra da
Cadeia, obtemos:
y \u2032 = 3u2.u \u2032 = 3u2. \ue0a2x2 + 3\ue0a3 \u2032 = 3. \ue0a2x2 + 3\ue0a32. 2x
Teorema:
Sejam f e g duas funções tais que f \u2218 g e g \u2032 são contínuas em um intervalo I.
Se F é uma antiderivada de f em I, então:
\u222b f\ue0a2g\ue0a2x\ue0a3\ue0a3g \u2032\ue0a2x\ue0a3dx = F\ue0a2g\ue0a2x\ue0a3\ue0a3 + C
Ex. 1: Calcule \u222b ecosx sinxdx. Resp.: \u2212ecosx + C
Ex. 2: Calcule \u222b cos\ue0a23x + 1\ue0a3dx . Resp.: 13 sin\ue0a23x + 1\ue0a3 + C
Ex. 3: Calcule \u222b 2x \u2212 1
x2 \u2212 x
dx. Resp.: ln|x2 \u2212 x|+C
Ex. 4: Calcule \u222b e2x+1dx. Resp.: 12 e2x+1 + C
Ex. 5: Calcule \u222b xex2 dx. Resp.: 12 ex
2
+ C
Ex. 6: Calcule \u222b tdt
t + 3
Resp.: 23 \ue0a2t + 3\ue0a3
3
\u2212 6 \ue0a2t + 3\ue0a3 + C
3
LISTA DE EXERCÍCIOS 2:
Calcule a integral de:
1) \u222b 3 3x \u2212 4 dx 13) \u222b csc22\u3b8d\u3b8 25) \u222b x3dx
1 \u2212 2x2
2) \u222b 5r + 1 dr 14) \u222b r2 sec2r3dr 26) \u222b secx tanxcos\ue0a2secx\ue0a3dx
3) \u222b3x 4 \u2212 x2 dx 15) \u222b 4sinxdx
\ue0a21 + cos x\ue0a32
27) \u222b dx3 \u2212 2x
4) \u222b x\ue0a22x2 + 1\ue0a36dx 16) \u222b 1t \u2212 1 dtt2 28) \u222b
3x
x2 + 4
dx
5) \u222b xdx
\ue0a2x2 + 1\ue0a33
17) \u222b sin2x 2 \u2212 cos 2x dx 29) \u222b 3x2
5x3 \u2212 1
dx
6) \u222b sds
3s2 + 1
18) \u222b sin3\u3b8cos\u3b8d\u3b8 30) \u222b cos t1 + 2sin t dt
7) \u222b x4 3x5 \u2212 5 dx 19) \u222b
1
2 cos
1
4 x
sin 14 x
dx 31) \u222b\ue0a2cot5x + csc5x\ue0a3dx
8) \u222b\ue0a2x2 + 1\ue0a34xdx . 20) \u222b sec
23 t
t
dt 32) \u222b 2 \u2212 3sin2x
cos 2x dx
9) \u222b x3\ue0a22 \u2212 x2 \ue0a312dx 21) \u222b x\ue0a2x2 + 1\ue0a3 4 \u2212 2x2 \u2212 x4 dx 33) \u222b 2x3
x2 \u2212 4
dx
10) \u222b\ue0a2x3 + 3\ue0a31/4x5dx 22) \u222b 3 + s \ue0a2s + 1\ue0a32ds 34) \u222b dx
x lnx
11) \u222b sin 13 xdx 23) \u222b\ue0a22t2 + 1\ue0a3
1/3t3dt 35) \u222b ln23xx dx
12) \u222b 12 tcos 4t2dt 24) \u222b t + 1t
3/2 t2 \u2212 1
t2
dt 36) \u222b 2t + 3
t + 1 dt
Respostas
1) 14 3 \ue0a23x \u2212 4\ue0a3
4
+ C 13) \u2212 12 cot2\u3b8 + C 25)
1
12 \ue0a21 \u2212 2x
2 \ue0a33/2 \u2212 14 \ue0a21 \u2212 2x
2 \ue0a31/2
2) 215 \ue0a25r + 1\ue0a3
3
+ C 14) 13 tanr3 + C 26) sin\ue0a2secx\ue0a3 + C
3) \u2212 \ue0a24 \u2212 x2 \ue0a3
3
+ C 15) 41 + cos x + C 27) -
1
2 ln|3 \u2212 2x| + C
4) 128 \ue0a22x2 + 1\ue0a3
7
+ C 16) \u2212 23
1
t \u2212 1
3/2
+ C 28) 32 ln\ue0a2x2 + 4\ue0a3 + C
5) \u2212 1
4\ue0a2x2 + 1\ue0a32
+ C 17) 13 \ue0a22 \u2212 cos 2x\ue0a3
3/2 + C 29) 15 ln|5x3 \u2212 1| + C
6) 13 \ue0a23s2 + 1\ue0a3 + C 18)
1
4 sin
4\u3b8 + C 30) 12 ln|1 + 2sin t| + C
7) 245 \ue0a23x5 \u2212 5\ue0a3
3
+ C 19) 4sin 12 14 x + C 31)
1
5 ln\ue0a21 \u2212 cos 5x\ue0a3 + C
8) 110 \ue0a2x2 + 1\ue0a3
5
+ C 20) 23 tan3 t + C 32) ln\ue0a21 + sin2x\ue0a3 +
1
2 ln|cos 2x|
9) \u2212 \ue0a22 \u2212 x
2 \ue0a313
13 +
\ue0a22 \u2212 x2 \ue0a314
28 + C 21) \u2212
1
6 \ue0a24 \u2212 2x
2 \u2212 x4 \ue0a3
3
+ C 33) x2 + 4 ln|x2 \u2212 4| + C
10) 427 \ue0a2x3 + 3\ue0a3
9/4 \u2212 45 \ue0a2x
3 + 3\ue0a35/4 + C 22) 27 \ue0a23 + s\ue0a3
7
\u2212 85 \ue0a23 + s\ue0a3
5
+ 83 \ue0a23 + s\ue0a3
3
34) ln|lnx| + C
11) \u2212 3cos 13 x + C 23)
3
56 \ue0a22t
2 + 1\ue0a37/3 \u2212 332 \ue0a22t
2 + 1\ue0a34/3 + C 35) 13 ln
33x + C
12) 116 sin4t2 + C 24)
2
5 t +
1
t
5/2
+ C 36) 2t + ln|t + 1| + C
4
Somatório:
Trabalhamos no capítulo anterior com o conceito de integral indefinida ou antidiferencial. A partir deste momento
trabalharemos com um novo problema: Como encontrar a área de uma região no plano. Essas duas noções estão
relacionadas pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
O cálculo da área de uma região envolve a notação de somatório, que é uma forma abreviada de escrever somas de
muitos termos. Esta notação utiliza a letra grega maiúscula sigma \ue0a2\u2211\ue0a3.
Definição;
A soma de n temos a1, a2, . . . ,an é denotada por
\u2211
i=1
n
a i = a1 + a2 +. . .+an
onde i é o índice do somatório, a i é o i-ésimo termo da soma e n e 1 são, respectivamente, os limites superior e
inferior do somatório.
Exemplos:
1) \u2211
i=1
4
i = 1 + 2 + 3 + 4
2) \u2211
j=2
5
j2 = 22 + 32 + 42 + 52
3) \u2211
i=1
n
f\ue0a2x i\ue0a3\u394x = f\ue0a2x1\ue0a3\u394x + f\ue0a2x2\ue0a3\u394x +. . .+f\ue0a2xn\ue0a3\u394x
Observações:
1) Os limites superior e inferior do somatório tem que ser constantes.
2) O limite inferior não precisa ser 1. Pode ser qualquer valor inteiro menor ou igual ao limite superior.
3) Qualquer variável ( i, j ou k) pode ser usada como índice do somatório.
Área de uma região plana:
Definição:
Seja uma função contínua, não-negativa y = f\ue0a2x\ue0a3. Estudaremos a região A limitada inferiormente pelo eixo x, à esquerda
pela reta x = a, à direita pela reta x = b e superiormente pela curva y = f\ue0a2x\ue0a3.
Podemos tentar a aproximação da área A tomando retângulos inscritos ou circunscritos. A somatória das áreas de cada
retângulo pode ser usada como uma aproximação para a área desejada.
A altura de cada retângulo é o valor da função f\ue0a2x\ue0a3 para algum ponto t ao longo da base do retângulo. Escolhemos \u394x
para a base de cada retângulo.