Espaços Vetoriais_Subespaços Vetoriais

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Espaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Álgebra Linear
Alânnio Barbosa Nóbrega
alannio@dme.ufcg.edu.br
2013
Alânnio Barbosa Nóbrega Álgebra Linear
dme
Espaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Definição
Um espaço vetorial é um conjunto V , cujos elementos são cha-
mados vetores, munido de duas operações:
A Soma de Vetores: A cada par u, v ∈ V podemos
associar um outro vetor u + v ∈ V ;
O Produto de um Vetor por um Escalar:Dados um vetor
v ∈ V e um escalar α ∈ R, temos αv ∈ V
Alânnio Barbosa Nóbrega Álgebra Linear
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Subespaços Vetoriais
Definição
Um espaço vetorial é um conjunto V , cujos elementos são cha-
mados vetores, munido de duas operações:
A Soma de Vetores: A cada par u, v ∈ V podemos
associar um outro vetor u + v ∈ V ;
O Produto de um Vetor por um Escalar:Dados um vetor
v ∈ V e um escalar α ∈ R, temos αv ∈ V
Alânnio Barbosa Nóbrega Álgebra Linear
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Subespaços Vetoriais
Definição
Um espaço vetorial é um conjunto V , cujos elementos são cha-
mados vetores, munido de duas operações:
A Soma de Vetores: A cada par u, v ∈ V podemos
associar um outro vetor u + v ∈ V ;
O Produto de um Vetor por um Escalar:Dados um vetor
v ∈ V e um escalar α ∈ R, temos αv ∈ V
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Espaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
Propriedades
Dados u, v ,w ∈ V e α, β ∈ R temos em relação a soma de
vetores e o produto de um vetor por um escalar as seguintes
propriedades:
Comutatividade:u + v = v + u;
Associatividade para soma de
vetores:(u + v) + w = u + (v + w);
Vetor nulo: Existe um vetor 0 ∈ V tal que
u + 0 = u, ∀u ∈ V ;
Inverso aditivo Para cada vetor v ∈ V existe um vetor
−v ∈ V tal que v + (−v) = 0.
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Subespaços Vetoriais
Propriedades
Dados u, v ,w ∈ V e α, β ∈ R temos em relação a soma de
vetores e o produto de um vetor por um escalar as seguintes
propriedades:
Comutatividade:u + v = v + u;
Associatividade para soma de
vetores:(u + v) + w = u + (v + w);
Vetor nulo: Existe um vetor 0 ∈ V tal que
u + 0 = u, ∀u ∈ V ;
Inverso aditivo Para cada vetor v ∈ V existe um vetor
−v ∈ V tal que v + (−v) = 0.
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Subespaços Vetoriais
Propriedades
Dados u, v ,w ∈ V e α, β ∈ R temos em relação a soma de
vetores e o produto de um vetor por um escalar as seguintes
propriedades:
Comutatividade:u + v = v + u;
Associatividade para soma de
vetores:(u + v) + w = u + (v + w);
Vetor nulo: Existe um vetor 0 ∈ V tal que
u + 0 = u, ∀u ∈ V ;
Inverso aditivo Para cada vetor v ∈ V existe um vetor
−v ∈ V tal que v + (−v) = 0.
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Subespaços Vetoriais
Propriedades
Dados u, v ,w ∈ V e α, β ∈ R temos em relação a soma de
vetores e o produto de um vetor por um escalar as seguintes
propriedades:
Comutatividade:u + v = v + u;
Associatividade para soma de
vetores:(u + v) + w = u + (v + w);
Vetor nulo: Existe um vetor 0 ∈ V tal que
u + 0 = u, ∀u ∈ V ;
Inverso aditivo Para cada vetor v ∈ V existe um vetor
−v ∈ V tal que v + (−v) = 0.
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Subespaços Vetoriais
Propriedades
Dados u, v ,w ∈ V e α, β ∈ R temos em relação a soma de
vetores e o produto de um vetor por um escalar as seguintes
propriedades:
Comutatividade:u + v = v + u;
Associatividade para soma de
vetores:(u + v) + w = u + (v + w);
Vetor nulo: Existe um vetor 0 ∈ V tal que
u + 0 = u, ∀u ∈ V ;
Inverso aditivo Para cada vetor v ∈ V existe um vetor
−v ∈ V tal que v + (−v) = 0.
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Subespaços Vetoriais
Multiplicação por 1:1.u = u;
Associatividade para o produto por um
escalar:(αβ)u = α(βu);
Distributividade: (α+β)u = αu+βu e α(u+v) = αu+αv
Exemplos
O conjunto R com a adição e a multiplicação usual é um
espaço vetorial;
O conjunto R3 com as seguintes operações: Dados
u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3 e α ∈ R definimos
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e αu = (αx1, αy1, αz1) é
um espaço vetorial;
O conjunto Rn com as seguintes operações: Dados
u = (x1, x2, · · · , xn), v = (y1, y2, · · · , yn) ∈ R3 e α ∈ R
definimos u + v = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn) e
αu = (αx1, αx2, · · · , αxn) é um espaço vetorial;
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Subespaços Vetoriais
Multiplicação por 1:1.u = u;
Associatividade para o produto por um
escalar:(αβ)u = α(βu);
Distributividade: (α+β)u = αu+βu e α(u+v) = αu+αv
Exemplos
O conjunto R com a adição e a multiplicação usual é um
espaço vetorial;
O conjunto R3 com as seguintes operações: Dados
u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3 e α ∈ R definimos
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e αu = (αx1, αy1, αz1) é
um espaço vetorial;
O conjunto Rn com as seguintes operações: Dados
u = (x1, x2, · · · , xn), v = (y1, y2, · · · , yn) ∈ R3 e α ∈ R
definimos u + v = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn) e
αu = (αx1, αx2, · · · , αxn) é um espaço vetorial;
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Multiplicação por 1:1.u = u;
Associatividade para o produto por um
escalar:(αβ)u = α(βu);
Distributividade: (α+β)u = αu+βu e α(u+v) = αu+αv
Exemplos
O conjunto R com a adição e a multiplicação usual é um
espaço vetorial;
O conjunto R3 com as seguintes operações: Dados
u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3 e α ∈ R definimos
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e αu = (αx1, αy1, αz1) é
um espaço vetorial;
O conjunto Rn com as seguintes operações: Dados
u = (x1, x2, · · · , xn), v = (y1, y2, · · · , yn) ∈ R3 e α ∈ R
definimos u + v = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn) e
αu = (αx1, αx2, · · · , αxn) é um espaço vetorial;
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Multiplicação por 1:1.u = u;
Associatividade para o produto por um
escalar:(αβ)u = α(βu);
Distributividade: (α+β)u = αu+βu e α(u+v) = αu+αv
Exemplos
O conjunto R com a adição e a multiplicação usual é um
espaço vetorial;
O conjunto R3 com as seguintes operações: Dados
u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3 e α ∈ R definimos
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e αu = (αx1, αy1, αz1) é
um espaço vetorial;
O conjunto Rn com as seguintes operações: Dados
u = (x1, x2, · · · , xn), v = (y1, y2, · · · , yn) ∈ R3 e α ∈ R
definimos u + v = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn) e
αu = (αx1, αx2, · · · , αxn) é um espaço vetorial;
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Multiplicação por 1:1.u = u;
Associatividade para o produto por um
escalar:(αβ)u = α(βu);
Distributividade: (α+β)u = αu+βu e α(u+v) = αu+αv
Exemplos
O conjunto R com a adição e a multiplicação usual é um
espaço vetorial;
O conjunto R3 com as seguintes operações: Dados
u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3 e α ∈ R definimos
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e αu = (αx1, αy1, αz1) é
um espaço vetorial;
O conjunto Rn com as seguintes operações: Dados
u = (x1, x2, · · · , xn), v = (y1, y2, · · · , yn) ∈ R3 e α ∈ R
definimos u + v = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn) e
αu = (αx1, αx2, · · · , αxn) é um espaço vetorial;
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Multiplicação por 1:1.u = u;
Associatividade para o produto por um
escalar:(αβ)u = α(βu);
Distributividade: (α+β)u = αu+βu e α(u+v) = αu+αv
Exemplos
O conjunto R com a adição e a multiplicação usual é um
espaço vetorial;
O conjunto R3 com as seguintes operações: Dados
u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3 e α ∈ R definimos
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e αu = (αx1, αy1, αz1) é
um espaço vetorial;
O conjunto Rn com as seguintes operações: Dados
u = (x1, x2, · · · , xn), v = (y1, y2, · · · , yn) ∈ R3 e α ∈ R
definimos u + v = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn) e
αu = (αx1, αx2, · · · , αxn) é um espaço vetorial;
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Multiplicação por 1:1.u = u;
Associatividade para oproduto por um
escalar:(αβ)u = α(βu);
Distributividade: (α+β)u = αu+βu e α(u+v) = αu+αv
Exemplos
O conjunto R com a adição e a multiplicação usual é um
espaço vetorial;
O conjunto R3 com as seguintes operações: Dados
u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3 e α ∈ R definimos
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e αu = (αx1, αy1, αz1) é
um espaço vetorial;
O conjunto Rn com as seguintes operações: Dados
u = (x1, x2, · · · , xn), v = (y1, y2, · · · , yn) ∈ R3 e α ∈ R
definimos u + v = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn) e
αu = (αx1, αx2, · · · , αxn) é um espaço vetorial;
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Espaços Vetoriais
Subespaços Vetoriais
O conjunto M(m,n) "conjunto das matizes de ordem
m × n"com a adição de matrizes e a multiplicação de um
escalar por uma matriz, como definimos no primeiro
estágio, é um espaço vetorial;
O conjunto Pn(R) "conjunto dos polinômios de coeficientes
reais com grau menor ou igual a n"com as seguintes
operações:
Dados p1 = anxn + · · ·+ a1x + a0 e
p2 = bnxn + · · ·+ b1x + b0 e α ∈ R definimos
p1 + p2 = (an + bn)xn + · · ·+ (a1 + b1)x + (a0 + b0)
e
αp1 = αanxn + · · ·+ αa1x + αa0
é um espaço vetorial.
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O conjunto M(m,n) "conjunto das matizes de ordem
m × n"com a adição de matrizes e a multiplicação de um
escalar por uma matriz, como definimos no primeiro
estágio, é um espaço vetorial;
O conjunto Pn(R) "conjunto dos polinômios de coeficientes
reais com grau menor ou igual a n"com as seguintes
operações:
Dados p1 = anxn + · · ·+ a1x + a0 e
p2 = bnxn + · · ·+ b1x + b0 e α ∈ R definimos
p1 + p2 = (an + bn)xn + · · ·+ (a1 + b1)x + (a0 + b0)
e
αp1 = αanxn + · · ·+ αa1x + αa0
é um espaço vetorial.
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O conjunto M(m,n) "conjunto das matizes de ordem
m × n"com a adição de matrizes e a multiplicação de um
escalar por uma matriz, como definimos no primeiro
estágio, é um espaço vetorial;
O conjunto Pn(R) "conjunto dos polinômios de coeficientes
reais com grau menor ou igual a n"com as seguintes
operações:
Dados p1 = anxn + · · ·+ a1x + a0 e
p2 = bnxn + · · ·+ b1x + b0 e α ∈ R definimos
p1 + p2 = (an + bn)xn + · · ·+ (a1 + b1)x + (a0 + b0)
e
αp1 = αanxn + · · ·+ αa1x + αa0
é um espaço vetorial.
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Definição
Dado um espaço vetorial V , um subconjunto W ⊂ V é um
subespaço vetorial de V quando:
u, v ∈W ⇒ u + v ∈W
α ∈ R,u ∈W ⇒ αu ∈W .
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Exemplos
Seja V um espaço vetorial e v ∈ V o conjunto
[v ] = {αv , α ∈ R} é um subespaço vetorial de V
O conjunto W = {(x , y , z) ∈ R3; x = 0} é um subespaço
vetorial de R3.
O conjunto
W = {p = a2x2 + a1x + a0 ∈ P2(R);a2 + a1 + a0 = 0} é um
subespaço vetorial de P2(R).
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Exemplos
Seja V um espaço vetorial e v ∈ V o conjunto
[v ] = {αv , α ∈ R} é um subespaço vetorial de V
O conjunto W = {(x , y , z) ∈ R3; x = 0} é um subespaço
vetorial de R3.
O conjunto
W = {p = a2x2 + a1x + a0 ∈ P2(R);a2 + a1 + a0 = 0} é um
subespaço vetorial de P2(R).
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Exemplos
Seja V um espaço vetorial e v ∈ V o conjunto
[v ] = {αv , α ∈ R} é um subespaço vetorial de V
O conjunto W = {(x , y , z) ∈ R3; x = 0} é um subespaço
vetorial de R3.
O conjunto
W = {p = a2x2 + a1x + a0 ∈ P2(R);a2 + a1 + a0 = 0} é um
subespaço vetorial de P2(R).
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Exemplos
Seja V um espaço vetorial e v ∈ V o conjunto
[v ] = {αv , α ∈ R} é um subespaço vetorial de V
O conjunto W = {(x , y , z) ∈ R3; x = 0} é um subespaço
vetorial de R3.
O conjunto
W = {p = a2x2 + a1x + a0 ∈ P2(R);a2 + a1 + a0 = 0} é um
subespaço vetorial de P2(R).
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Contra-exemplos
O conjunto W = {(x , y) ∈ R2; y = x2} não é um subespaço
vetorial de R2.
O conjunto W = {A ∈ M(2,2);a11 ≤ 0} não é um
subespaço vetorial de M(2,2).
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Contra-exemplos
O conjunto W = {(x , y) ∈ R2; y = x2} não é um subespaço
vetorial de R2.
O conjunto W = {A ∈ M(2,2);a11 ≤ 0} não é um
subespaço vetorial de M(2,2).
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Contra-exemplos
O conjunto W = {(x , y) ∈ R2; y = x2} não é um subespaço
vetorial de R2.
O conjunto W = {A ∈ M(2,2);a11 ≤ 0} não é um
subespaço vetorial de M(2,2).
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