Introdução ao Cálculo - Aula 14 - Função Exponencial

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Introdução ao Cálculo 
AULA 14 – Função Exponencial 
Professora: Mariah Rissi Leitão 
E-mail: rissi.mariah@gmail.com 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Exemplo: 
Suponha que a dívida de um certo município seja de 1 milhão de dólares e que, a partir de 
hoje, a cada década, a dívida dobre em relação ao valor da década anterior 
 
 
 
 
Para cada tempo x, em décadas, a dívida y, em milhões de dólares, pode ser expressa pela 
função: 𝐲 = 𝟐𝐱 
 Lei da função: 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 ; com a > 0 a ≠ 1. 
DEFINIÇÃO 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
𝒂 > 𝟏 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) é crescente e 𝐼𝑚 = ℝ+ 
Para quaisquer 𝑥
1
 e 𝑥2 do domínio: 
𝑥2 > 𝑥1  𝑦2 > 𝑦1 
(as desigualdades têm mesmo sentido) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) é decrescente e 𝐼𝑚 = ℝ+ 
Para quaisquer 𝑥
1
 e 𝑥
2
 do domínio: 
𝑥2 > 𝑥1  𝑦2 < 𝑦1 (as desigualdades têm sentidos 
diferentes) 
 
GRÁFICO CARTESIANO 
 
* Temos 2 casos a considerar: 
quando 𝑎 > 1;
quando 0 < 𝑎 < 1
 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
GRÁFICO CARTESIANO – Exemplos 
 
Nos dois exemplos, podemos observar que: 
 
i. o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; 
ii. o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); 
iii. os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é 
positiva), portanto o conjunto imagem é 𝐼𝑚 = ℝ
+
. 
 
 
 
 
 
RELEMBRAR - POTÊNCIA 
1. Multiplicação de potências de mesma base: 𝒂𝒎 . 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏; 
2. Divisão de potências de mesma base: 𝒂𝒎 ∶ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏
 
; 
3. Potência de potência: 𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎 . 𝒏 ; 
4. Potência com expoente racional: 
5. Potência com expoente negativo: 𝒂−𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏
, 𝒂 ≠ 𝟎 
6. Expoente zero: a0 = 1 ; 
7. Se a > 0 e a ≠ 0, temos 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏 apenas se 𝒎 = 𝒏. 
 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita 
aparece em expoente. 
 
Exemplos de equações exponenciais: 
 
a) 3𝑥 = 81 (a solução é 𝑥 = 4) 
b) 2𝑥−5 = 16 (a solução é 𝑥 = 9) 
c) 16𝑥 − 42𝑥−1 − 10 = 22𝑥−1 (a solução é 𝑥 = 1) 
d) 32𝑥−1 − 3𝑥 − 3𝑥−1 + 1 = 0 (as soluções são 𝑥’ = 0 𝑒 𝑥’’ = 1) 
 
Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 
 
i. redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 
ii. aplicação da propriedade: 
 
 
)0 e 1(  aanmaa nm
EXEMPLOS 
a) 3𝑥 = 81 → Resolução: Como 81 = 34, podemos escrever 3𝑥 = 34. E daí, 𝑥 = 4. 
 
b) 9𝑥 = 1 → Resolução: 9𝑥 = 1  9𝑥 = 90 ; logo 𝑥 = 0. 
 
c) 23𝑥−1 = 322𝑥 → Resolução: 23𝑥−1 = 322𝑥  23𝑥−1 = (25)2𝑥 
 23𝑥−1 = 210𝑥 ; 𝑑𝑎í 3𝑥 − 1 = 10𝑥 ↔ 𝑥 = −
1
7
. 
 
 
 
4
3
 logo ; 33 33 273 :Resolução
273 )
.4 então ; 
4
3
4
3
 
4
3
4
3
 
256
81
4
3
 :Resolução
256
81
4
3
 )
4
3
4 34
4
4
4
4
































x
e
x
d
xxx
x
xxx
x
EXEMPLOS 
𝑓) 9𝑥– 6.3𝑥– 27 = 0 
Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação: 
32𝑥– 6.3𝑥– 27 = 0  (3𝑥)2 − 6.3𝑥– 27 = 0 
Fazendo 3𝑥 = 𝑦, obtemos: 
𝑦2 − 6𝑦– 27 = 0 ; 
Aplicando Bhaskara encontramos  𝑦’ = −3 𝑒 𝑦’’ = 9 
Para achar o 𝑥, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3𝑥 = 𝑦: 
 
𝑦’ = −3 ↔ 3𝑥 = −3 , não existe x’, pois potência de base é positiva 
𝑦’’ = 9 ↔ 3𝑥 = 9 ↔ 3𝑥 = 32 ↔ 𝑥’’ = 2 . 
 
Portanto a solução é 𝑥 = 2. 
 
 
 Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita 
aparece em expoente. 
 
 ).32 para satisfeita é (que 03125150.5-25 d)
-3); xpara satisfeita é (que 
5
4
5
4
 c)
real); x todopara satisfeita é (que 22 b)
);4 é solução (a 813 a)
x
3
12-2x 2

















x
x
x
x
x
x
 
Exemplos de inequações exponenciais: 
 
Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 
 
i. redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; 
 
ii. aplicação da propriedade: 
𝒂 > 𝟏 → 𝑎𝑚 > 𝑎𝑛 𝑚 > 𝑛
𝟎 < 𝒂 < 𝟏 → 𝑎𝑚 > 𝑎𝑛  𝑚 < 𝑛
 
 
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL 
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL 
EXEMPLOS 
 
• 1º caso: 𝑎 > 1 
 
O sentido da desigualdade se mantém. 
𝟐𝟓𝟑𝒙−𝟏 > 𝟏𝟐𝟓𝒙+𝟐 
 (𝟓𝟐)𝟑𝐱−𝟏 > (𝟓𝟑)𝐱+𝟐 
6𝑥 − 2 > 3𝑥 + 6 
𝑥 >
8
3
 
• 2º caso: 0 < 𝑎 < 1 
O sentido da desigualdade se 
inverte. 
1
8
2𝑥−5
≤
1
4
𝑥+1
 
1
2
3 2𝑥−5
≤
1
2
2 𝑥+1
 
6𝑥 − 15 ≥ 2𝑥 + 2 
𝑥 ≥
17
4
 
 
 
 
 
 1. Utilize as propriedades de potência e resolva as equações a seguir: 
 
 
 
 2. Resolva as equações exponenciais: 
 
 
 
 3. Resolva : 
 
 
 
 4. Encontre a solução das inequações a seguir: 
EXERCÍCIOS 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 APLICAÇÃO: 
 
1. A massa de substância radioativa em certa amostra é 
dada, pela expressão , com t em anos e A(t) em gramas : 
A(t) = 500 . 𝑒− 0,09 𝑡 . 
Quantas gramas havia no início da contagem do tempo? 
R: A(0) = 500 g 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
2.