ANALISE DE REDES - JORGE JARDIM - 2020

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Análise de Sistemas de Energia Elétrica I 
 
Análise de Redes 
 
Versão 1.1 
 
 
Jorge L. Jardim 
 
2016 
 
 
Modelos 
 
 
PUC-RJ - DEE - 2 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
Conteúdo 
1 Modelos ........................................................................ 5 
1.1 Modelo de Ramo ........................................................... 6 
1.1.1 Linha de transmissão .................................................... 6 
1.1.2 Transformadores ........................................................... 7 
1.1.3 Transformador em Fase ................................................ 8 
1.1.4 Transformador Defasador ........................................... 10 
1.2 Fluxos de Potência Ativa e Reativa ............................. 11 
1.2.1 Linha de Transmissão ................................................. 11 
1.2.2 Transformador em Fase .............................................. 12 
1.2.3 Phase-Shifting Transformer with akm=1 ....................... 12 
1.2.4 Modelo Geral para um Componente de Rede ............. 13 
1.3 Transformadores de 3 Enrolamentos .......................... 13 
1.4 Acoplamento Mútuo em Linhas de Transmissão ......... 14 
1.5 Representação de Carga ............................................ 15 
1.6 Representação de Geradores ..................................... 16 
1.7 Leitura Adicional .......................................................... 16 
2 Matrizes de Rede ....................................................... 17 
2.1 Matriz de Admitância de Barra .................................... 17 
2.3 Matriz de Impedância de Barra ................................... 19 
2.4 Matrizes de Laço ......................................................... 20 
3 Solução de Equações Lineares ................................ 22 
3.1 Eliminação de Gauss .................................................. 23 
3.2 Transformação LU ....................................................... 24 
3.3 Métodos de fatoração LU ............................................ 25 
4 Esparsidade ............................................................... 27 
4.1 Princípios dos Grafos .................................................. 27 
4.2 Ordenação ................................................................... 30 
4.3 Armazenamento de Matrizes Esparsas ....................... 31 
4.3.1 Esquema de Coordenadas .......................................... 32 
4.3.2 Esquema de Lista Adjunta........................................... 32 
4.3.3 Esquema de Lista Encadeada ..................................... 33 
5 Componentes Simétricas e Análise de Curto-Circuito
 .................................................................................... 35 
5.1 Conceitos Teóricos (Revisão) ..................................... 35 
5.1.1 Princípio da Superposição dos Nós ............................ 35 
5.1.2 Teorema de Thévenin ................................................. 38 
5.1.3 Teorema de Norton ..................................................... 41 
5.2 Componentes Simétricas ............................................ 42 
5.2.1 Teorema Aplicado a Sistemas Trifásicos .................... 43 
5.3 Modelos de Equipamentos em Sequência de Fase .... 46 
Modelos 
 
 
PUC-RJ - DEE - 3 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
5.3.1 Geradores ................................................................... 47 
5.3.2 Linhas de Transmissão ............................................... 48 
5.3.3 Transformadores ......................................................... 50 
5.3.4 Cargas ......................................................................... 51 
5.4 Cálculo de Curto-Circuito ............................................ 52 
5.4.1 Métodos para Cálculo de Faltas Simples .................... 52 
5.4.2 Métodos Computacionais Gerais ................................ 57 
5.4.3 Circuito de Falta em Sequência .................................. 58 
6 Fluxo de Potência ...................................................... 64 
6.1 Formulação do Problema ............................................ 65 
6.1.1 Tipos de Barras ........................................................... 66 
6.2 Métodos de Solução .................................................... 67 
6.2.1 Método de Gauss-Seidel ............................................. 67 
6.2.2 Método de Newton-Raphson ....................................... 68 
6.2.3 Método de Newton Aplicado às Equações de Sistemas de 
Potência ................................................................................... 69 
6.3 Controles Adicionais .................................................... 72 
6.3.1 Controle de Tensão por Tap ........................................ 72 
6.3.2 Controle de Fluxo (MW) com Transformador Defasador72 
6.3.3 Outros Controles ......................................................... 73 
6.3.4 Limites em Controles ................................................... 73 
6.4 Fluxo de Potência Desacoplado .................................. 74 
6.5 Método Desaclopado Rápido ...................................... 76 
6.6 Método de Fluxo de Potência CC ................................ 77 
7 Elos CC ....................................................................... 79 
7.1 Modos de Solução das Equações de Elos CC ............ 83 
8 Elos CC-VSC .............................................................. 84 
8.1 Modelo de Elo CC do Tipo VSC .................................. 85 
8.1.1 Controles ..................................................................... 86 
8.1.2 Perdas ......................................................................... 87 
8.1.3 Limites de Controle ..................................................... 87 
8.1.4 Rede de Transmissão CC ........................................... 88 
8.3 Método de Cálculo do Fluxo de Potência .................... 89 
8.3.1 Base de Tensão .......................................................... 93 
8.4 Aspectos de Implantação ............................................ 94 
8.4.1 Fluxogramas ................................................................ 94 
9 Análise de Sensibilidade .......................................... 95 
10 Fluxo de Potência Continuado ................................. 96 
10.1 Método do Vetor Tangente .......................................... 96 
10.2 Passo Previsor ............................................................ 97 
10.3 Passo Corretor ............................................................ 98 
Modelos 
 
 
PUC-RJ - DEE - 4 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
11 Equivalentes de Rede ............................................... 99 
11.1 Método Ward ............................................................. 100 
11.2 Ward PV .................................................................... 102 
11.3 Zona de Acomodação ............................................... 102 
12 Avaliação de Segurança Estática .......................... 103 
12.1 Estados Operativos ................................................... 103 
12.2 Critérios de Segurança .............................................. 103 
12.3 Ações Operativas ...................................................... 105 
12.4 Análise de Contingências .......................................... 106 
12.5 Ferramentas Avançadas para Avaliação de Segurança Online
 .................................................................................. 107 
12.5.1 Fluxo de Potência Ótimo ........................................... 107 
12.5.2 Regiões de Segurança .............................................. 108 
13 Bibiografia ................................................................ 113 
 
 
 
 
Modelos 
 
 
PUC-RJ - DEE - 5 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
1 Modelos 
O modelo adequado para um estudo depende evidentemente do tipo de estudo. Grosso modo, 
podemos classificar os estudos de análise de sistemas, conforme aseguinte tabela. 
 
Tipo Estático Dinâmico Função da 
Frequência 
Multi-Fase 
(Desequilíbrio) 
Transitórios Eletromagnéticos X X X 
Harmônicos X X 
Estabilidade transitória e dinâmica X Em geral não1 
Curto-Circuito X X 
Fluxo de Potência X 
1 – alguns estudos consideram variações de frequência em torno da nominal. 
 
Em Análise I veremos estudos de curto-circuito e fluxo de potência. Análise II cobre estabilidade 
transitória e dinâmica. Transitórios eletromagnéticos e harmônicos são tipicamente abordados em 
curso específico. 
 
Para Análise I, a rede elétrica é representada de forma estática (equações algébricas) e a frequência 
fundamental. Os componentes que exercem algum controle tais como transformadores com tap 
controlado, geradores, compensadores estáticos, etc. são representados de forma simplificada e 
também por equações algébricas. 
 
A representação da rede para estudos de estabilidade transitória e dinâmica é muito próxima, e em 
alguns casos idêntica a utilizada na análise estática. A principais diferenças estão nos modelos dos 
equipamentos de controle (geradores, transformadores controláveis, etc.) que passam a ser 
modelados por equações diferenciais e algébricas com um nível de detalhe muito maior. 
 
Estudos de transitórios eletromagnéticos, harmônicos e curto-circuito são tipicamente realizados 
em ambiente de projeto da rede e procuram dimensionar os equipamentos e os sistemas de proteção 
para os limites de estresse aos quais estarão sujeitos e às normas estabelecidas pelos órgãos 
reguladores. Todavia, há algumas exceções. Por exemplo, em alguns países, se faz análise de 
curto-circuito em ambiente de operação tempo real para verificar se há risco de superação de 
capacidade de disjuntores. Mas estes casos são raros. 
 
Os estudos de fluxo de potência (e suas variantes) e estabilidade transitória e dinâmica são 
realizados para o planejamento e evolutivo (expansão) da rede e também de forma rotineira para o 
planejamento da operação em múltiplos horizontes de tempo. 
 
Outros estudos, tais como os de otimização econômica e confiabilidade, são baseados 
tradicionalmente e modelos estáticos da rede. 
 
Este curso trata da modelagem e principais métodos numéricos para solução de problemas de fluxo 
de potência e curto-circuito. 
 
Modelos 
 
 
PUC-RJ - DEE - 6 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
1.1 Modelo de Ramo 
Os modelos aqui considerados assumem que não há variação das impedâncias com a frequência, ou 
seja, são válidos somente para a frequência nominal, e que a simetria entre as três fases, o que 
permite a representação unifilar (sequência positiva) da rede. 
1.1.1 Linha de transmissão 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1-1 – Modelo equivalente  de uma linha de transmissão. 
 
O modelo equivalente  de uma linha de transmissão mostrada na Figura 1-1 é definido por 
parâmetros complexos: impedância série kmz ; e admitâncias shunt 
sh
kmy e 
sh
mky . Estes parâmetros são 
definidos como: 
 kmkmkm jxrz  (1.1) 
 kmkmkmkm jbgzy 
1 (1.2) 
Onde a condutância série gkm e susceptância série bkm são: 
 
22
kmkm
km
km
xr
r
g

 (1.3) 
 
22
kmkm
km
km
xr
x
b

 (1.4) 
Em geral, a admitância shunt é expressa por: 
 shkm
sh
km
sh
km jbgy  (1.5) 
Para linha rkm e xkm têm valores positivos. Isto significa que gkm é positive e bkm negativa 
(susceptância indutiva); a susceptância shunt shkmb e a condutância shunt
sh
kmg são ambas positivas em 
linhas reais. 
As correntes complexas Ikm e Imk (Figura 1-1) podem ser expressas como funções das tensões 
complexas nas barras terminais da linha (ramo) k e m: 
   k
sh
kmmkkmkm EyEEyI  (1.6) 
   m
sh
mkkmkmmk EyEEyI  (1.7) 
Onde as tensões complexas são dadas por: 
 kjkk eVE

 (1.8) 
 
k m 
 
 
Modelos 
 
 
PUC-RJ - DEE - 7 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
 mjmm eVE

 (1.9) 
 
1.1.2 Transformadores 
A Figura 1-2 mostra um modelo equivalente de um transformador formado por um transformador 
ideal no lado primário com relação de espiras (tap) tkm e impedância série zkm que representa as 
perdas resistivas e reatância de dispersão. Dados de rede são normalmente formatados como em 
(b), e embora as duas representações sejam equivalentes, (a) leva a expressões de fluxo de potência 
mais simples, e consequentemente é adotada na sequência deste curso. A conversão dos dados para 
este formato é trivialmente feita por (relação de transformação) kmkm ta /1 . 
 
 
 
 
 (a) 
 
 
 
 
 (b) 
Figura 1-2 – Modelo de transformador com relação de transformação 
)( 1 kmkm
j
kmkm
j
kmkm eateat
  
 
 
k m 
 
 
 
p 
 
 
 
k m 
 
 
 
p 
 
 
Modelos 
 
 
PUC-RJ - DEE - 8 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
1.1.3 Transformador em Fase 
A Figura 1-3 mostra um modelo de transformador em fase indicando a tensão no ponto p 
intermediário. Neste modelo, a magnitude da relação de transformação de tensão ideal é 
 km
k
p
a
V
V
 (1.10) 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1-3 – Modelo de transformador em fase 
Como pk   , esta também é a relação entre as tensões complexas nos nós k e p, 
 kmj
k
j
p
k
p
a
eV
eV
E
E
k
p



 (1.11) 
Não há perda de potência (ativa nem reativa) no transformador ideal (a parte k-p do modelo do 
transformador). Isto leva a 
 0
**  mkpkmk IEIE (1.12) 
 km
mk
km
mk
km a
I
I
I
I
 (1.13) 
i.e., as correntes Ikm e Imk estão defasadas de 180
o. 
A Figura 1-4 representa o modelo  equivalente para o transformador em fase na Figura 1-3. 
 
 
 
 
 
 
Figura 1-4 – Modelo equivalente  para um transformador em fase. 
Os parâmetros A, B e C deste modelo podem ser obtidos identificando-se os coeficientes das 
expressões para as correntes complexas Ikm e Imk associadas com os modelos das Figura 1-3 e Figura 
1-4. Da Figura 1-3 resulta 
 mkmkmkkmkmpmkmkmkm EyaEyaEEyaI )()()(
2  (1.14) 
 
k m 
 
 
 
p 
 
 
 
 
k m 
 
 
Modelos 
 
 
PUC-RJ - DEE - 9 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
 mkmkkmkmpmkmmk EyEyaEEyI )()()(  (1.15) 
E a Figura 1-4 estabelece que: 
 
mkkm EAEBAI )()(  (1.16) 
 
mkmk ECAEAI )()(  (1.17) 
Identificando os coeficientes Ek e Em das expressões (1.14-1.17) resulta 
 
kmkm yaA  
 
kmkmkm yaaB )1(  
 kmkm yaC )1(  
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1-5 - Modelo  para um transformador em fase. 
 
Observações: 
• Transformadores em fase podem ter tap fixo ou variável. Neste caso, a variação do tampo 
pode ser manual ou automática. No caso de serem manual, o tap pode ser alterado pelos 
operadores a fim de seguirem uma instrução operativa. No caso de serem automáticos, o 
controle pode ser exercido com o objetivo de controlar a tensão em uma barra (situação mais 
comum) ou o fluxo de potência reativa através do transformador (menos comum). 
• Os taps podem variar dentro de limites e em geral em pequenos degraus discretos. Por exemplo, 
um transformador pode ter o tap variando de 0.9 p.u./p.u. a 1.1 p.u./p.u., e em 33 degraus 
incrementais de aproximadamente 0.0061 p.u./p.u. Como estes degraus são pequenos, muitas 
vezes se considera o controle como sendo contínuo, sem que se tenham perdas significativas de 
precisão. 
• A impedância do transformador, mais precisamente 𝑧𝑘𝑚, varia com o tap, mas pouco. 
Muitos estudos não consideram esta variação. Quando consideram, utilizam uma tabela de 
correção fornecido pelo fabricante do equipamento. 
• A resistência em geral é pequena e muitas vezes desprezada em estudos de regime. 
kmI mkI 
k 
m 
𝑎𝑘𝑚𝑦𝑘𝑚 
𝑎𝑘𝑚(𝑎𝑘𝑚 − 1)𝑦𝑘𝑚 (1 − 𝑎𝑘𝑚)𝑦𝑘𝑚 
Modelos 
 
 
PUC-RJ - DEE - 10 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
1.1.4 Transformador Defasador 
Transformadores defasadores, tais como o representadona Figura 1-6, são usados para controlar o 
fluxo de potência ativa. A variável de controle é o ângulo de fase e a variável controlada em geral 
é o fluxo de potência ativa no ramo do próprio transformador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1-6 – Transformador defasador com kmjkmeat

 . 
 
Um transformador defasador afeta a fase e a magnitude das tensões complexas Ek e Ep, via a 
seguinte relação, 
 km
j
kmkm
k
p
eat
E
E

 (1.18) 
Assim, kmkp   e Vp=akmVk, , o que leva, usando Eq. (1.13) e (1.18), a 
 km
j
kmkm
mk
km eat
I
I 
 * (1.19) 
Assim como no transformador em fase, as correntes complexas Ikm e Imk podem ser expressas em 
termos das tensões complexas nos terminais do transformador: 
 mkmkmkkmpmkmkmkm EytEyEEytI )()()(
**  (1.20) 
 mkmkkmkmpmkmmk EyEytEEyI )()()(  (1.21) 
Não há como se determinar os parâmetros A, B e C para o modelo equivalente  para estas equações, 
já que o coeficiente kmkm yt
* de Em na equação de Ikm, difere do coeficiente kmkm yt de Ek na 
equação de Imk, contanto que a defasagem não seja nula. Isto pode ser inconveniente para alguns 
cálculos com o modelo. 
 
Observações: 
Assim como os transformadores em fase, os defasadores podem ter defasagem fixa ou variável. 
Neste caso, a defasagem pode ser manual ou automática. As automáticas são em geral 
implementadas para controle do fluxo de potência ativa através do transformador. Outras filosofias 
de controle podem ser adotadas, mas são menos comuns. 
Também o controle automático nem sempre é possível, o que deve ser considerado no projeto de 
alguns algoritmos de análise de sistemas de potência. 
 
k m 
 
 
 
p 
 
 
Modelos 
 
 
PUC-RJ - DEE - 11 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
A defasagem também varia em degraus incrementais dentro de limites (ex., + 30 graus). 
A impedância de transformadores defasadores, em geral, varia muito com a defasagem. Em alguns 
casos, tal variação pode chegar a 100%. Portanto, os algoritmos que modelam variação automática 
de defasagem devem ajustar a impedância dos transformadores em função da defasagem. O ajuste 
é feito com base em uma tabela, fornecida pelo fabricante do equipamento. 
1.2 Fluxos de Potência Ativa e Reativa 
1.2.1 Linha de Transmissão 
Considere a corrente complexa Ikm na linha de transmissão (2.6) e considere 
sh
km
sh
km jby  . Então, 
   k
sh
kmmkkmkm EjbEEyI  (1.22) 
O conjugado do fluxo de potência complex ( kmkmkm jQPS 
* ) é 
   2** kshkmjmjkjkkmkmkkm VjbeVeVeVyIES mkk    (1.23) 
As expressões para Pkm e Qkm podem ser determinadas identificando-se os coeficientes 
correspondentes as partes real e imaginária (1.23). Isto resulta em 
 kmkmmkkmkmmkkmkkm bVVgVVgVP  sincos
2  (1.24) 
 kmkmmkkmkmmk
sh
kmkmkkm gVVbVVbbVQ  sincos)(
2  (1.25) 
Os fluxos de potência ativa e reativa na direção oposta, Pmk e Qmk, podem ser obtidos da mesma 
maneira, resultando em: 
 kmkmmkkmkmmkkmmmk bVVgVVgVP  sincos
2  (1.26) 
 kmkmmkkmkmmk
sh
kmkmmmk gVVbVVbbVQ  sincos)(
2  (1.27) 
O consumo de potência ativa e reativa na linha são dadas por: 
 
222 )cos2( mkkmkmmkmkkmmkkm EEgVVVVgPP   (1.28) 
 
222
2222
)(
)cos2()(
mkkmmk
sh
km
kmmkmkkmmk
sh
kmmkkm
EEbVVb
VVVVbVVbQQ

 
 (1.29) 
Note que |Ek-Em| representa a magnitude da queda de tensão através da linha, gkm|Ek-Em|
2 representa 
as perdas de potência ativa, -bkm|Ek-Em|
2 representa as perdas de potência reatvia; e 
)( 22 mk
sh
km VVb  representa a potência gerada pelo elemento shunt do modelo (assumindo-se que 
se trata de uma seção de linha verdadeira, isto é, com bkm<0 e 0
sh
kmb ). 
 
Observação: 
Um exame da Eq. (1.29) mostra que quando não há circulação de potência, isto é 𝜃𝑘𝑚 = 0, e 
considerando as tensões próximas a um, as perdas reativas são dadas aproximadamente por −𝑏𝑘𝑚
𝑠ℎ 
(note que 𝑏𝑘𝑚
𝑠ℎ é positiva, ou seja, as perdas são negativas, ou, em outras palavras, a linha de 
transmissão gera potência reativa. A medida que a corrente aumenta em um dos sentidos, o termo 
𝑏𝑘𝑚(𝑉𝑘
2 + 𝑉𝑚
2 − 𝑉𝑘𝑉𝑚 cos 𝜃𝑘𝑚) contribui com o aumento de perda reativa (note que 𝑏𝑘𝑚 é 
Modelos 
 
 
PUC-RJ - DEE - 12 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
negativo). Quando os dois termos se igualam, se diz que a linha está transmitindo a sua potência 
natural. Aumentos adicionais de potência fazem com que a linha de transmissão passe a consumir 
potência reativa e consequente redução de tensão nos seus terminais. Para manter o nível de tensão 
do sistema em níveis adequados pode ser necessário o suprimento de potência reativa por outras 
fontes (geradores, bancos de capacitores, etc.). 
1.2.2 Transformador em Fase 
A corrente complexa 𝐼𝑘𝑚 em um transformador em fase é expressa como Eq. (1.14) 
 )( mkkmkmkmkm EEayI  (1.30) 
O fluxo de potência complexo conjugado ( kmkmkm jQPS 
* ) é dado por 
  mkk jmjkkmjkkmkmkmkkm eVeVaeVayIES   ** (1.31) 
Separando a parte real e imaginária desta expressão resulta nas seguintes equações de fluxo de 
potência ativa e reativa. 
 kmkmmkkmkmkmmkkmkmkkmkm bVVagVVagVaP  sincos)(
2  (1.32) 
 kmkmmkkmkmkmmkkmkmkkmkm gVVabVVabVaQ  sincos)(
2  (1.33) 
Estas mesmas expressões podem ser obtidas comparando-se as Eqs (1.31) e (1.23); na Eq. (1.31) o 
termo 2k
sh
kmVjb não está presente, e Vk é substituído por akmVk. Assim, a expressão para os fluxos de 
potência ativa e reativa do transformador em fase são as mesmas derivadas para a linha de 
transmissão, exceto por duas modificações: shkmb é ignorado, e Vk substituído por akmVk. 
Os fluxos de potência na direção oposta, Pmk e Qmk, podem ser obtidos da mesma forma, resultando 
em: 
 kmkmmkkmkmkmmkkmkmkmk bVVagVVagVP  sincos
2  (1.34) 
 kmkmmkkmkmkmmkkmkmkmk gVVabVVabVQ  sincos
2  (1.35) 
1.2.3 Phase-Shifting Transformer with akm=1 
A corrente complexa 𝐼𝑘𝑚 em um transformador defasador com 𝑎𝑘𝑚 = 1 é a seguinte, Eqs. (1.19) e 
(1.20): 
 )()( m
j
k
j
kmm
j
kkmkm EeEeyEeEyI
kmkmkm 
 
 (1.36) 
O fluxo de potência complex conjugado é dado então por 
 )(
)()(** mkmkkmk j
m
j
k
j
kkmkmkkm eVeVeVyIES



 (1.37) 
Separando as partes reais e imaginárias destas expressões, resulta nas expressões de potência ativa 
e reativa, Pkm e Qkm, respectivamente: 
 )sin()cos(2 kmkmkmmkkmkmkmmkkmkkm bVVgVVgVP   (1.38) 
 )sin()cos(2 kmkmkmmkkmkmkmmkkmkkm gVVbVVbVQ   (1.39) 
Assim, como nas linhas de transmissão, estas expressões podem ser obtidas por inspeção 
comparando-se as Eqs. (1.37) e (1.23): na Eq. (1.37), o termo 2k
sh
kmVjb não está presente, e k é 
substituído por k+km . Assim, as expressões de fluxo de potência ativa e reativa nos 
Modelos 
 
 
PUC-RJ - DEE - 13 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
transformadores defasadores são as mesmas derivadas pra a linha de transmissão, exceto por duas 
modificações: ignora-se shkmb e substitui-se k com k+km. 
Os fluxo de potência ativa e reativa em sentido posto, Pmk e Qmk, podem ser obtidos da mesma 
forma, resultando em: 
 )sin()cos(2 kmkmkmmkkmkmkmmkkmkmk bVVgVVgVP   (1.40) 
 )sin()cos(2 kmkmkmmkkmkmkmmkkmkmk gVVbVVbVQ   (1.41) 
1.2.4 Modelo Geral para um Componente de Rede 
Combinando as Eqs. (1.24), (1.25), (1.26), (1.27), (1.32), (1.33), (1.34), (1.35), (1.38), (1.39), (1.40) 
e (1.41), as expressões gerais para o fluxos de potência de um ramo podem ser escritas como 
 ))sin()cos((
22
kmkmkmkmkmkmmkkmkmkkmkm bgVVagVaP   (1.42) 
 ))sin()cos(()(22 kmkmkmkmkmkmmkkm
sh
kmkmkkmkm gbVVabbVaQ   (1.43) 
 ))sin()cos((2 kmkmkmkmkmkmmkkmkmkmk bgVVagVP   (1.44) 
 ))sin()cos(()(2 kmkmkmkmkmkmmkkm
sh
kmkmkmk gbVVabbVQ   (1.45) 
Para linhas de transmissão akm = 1 e  = 0. Para transformadoresem fase  = 0 e 
sh
kmb = 0. Para 
transformadores defasadores shkmb = 0. 
1.3 Transformadores de 3 Enrolamentos 
Transformadores de três enrolamentos são usados para acoplamento de três níveis de tensão 
diferentes. Os fabricantes normalmente especificam as impedâncias de dispersão entre 
enrolamentos, dois-a-dois, com o remanescente em aberto. Para representar este tipo de 
transformador, se utiliza um equivalente estrela. Considerando o transformador da Error! 
Reference source not found., tem-se que 
 𝑧𝑘 + 𝑧𝑚 = 𝑧𝑘𝑚 (1.46) 
 𝑧𝑚 + 𝑧𝑗 = 𝑧𝑚𝑗 (1.47) 
 𝑧𝑗 + 𝑧𝑘 = 𝑧𝑗𝑘 (1.48) 
Onde 𝑧𝑘𝑚, 𝑧𝑗𝑘 e 𝑧𝑚𝑗 são as impedâncias fornecidas pelos fabricantes. Então, tem-se que 
 𝑧𝑘 =
1
2
(𝑧𝑘𝑚 + 𝑧𝑗𝑘 − 𝑧𝑘𝑗) (1.49) 
 𝑧𝑚 =
1
2
(𝑧𝑘𝑚 + 𝑧𝑘𝑗 − 𝑧𝑗𝑘) (1.50) 
 𝑧𝑗 =
1
2
(𝑧𝑗𝑘 + 𝑧𝑘𝑗 − 𝑧𝑘𝑚) (1.51) 
Desta forma, criando-se uma barra fictícia, ‘o’, representa-se o transformador de três enrolamentos 
como 3 transformadores de dois enrolamentos. 
Modelos 
 
 
PUC-RJ - DEE - 14 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
 
Figura 1-7– Modelo equivalente de um transformador de 3 enrolamentos. 
 
Para representação de tap no enrolamento j, por exemplo, pode-se seguir o esquema da Figura 1-8. 
 
Figura 1-8 – Modelo equivalente de um transformador de 3 enrolamentos. 
1.4 Acoplamento Mútuo em Linhas de Transmissão 
Acoplamento mútuo entre linhas de transmissão ocorre quando estas dividem a mesma faixa de 
passagem. Como será visto na análise de curto-circuito, o efeito de tais acoplamentos não é 
desprezível. 
Se, por exemplo, há em uma rede de sequência positiva 2 linhas mutuamente acopladas, conforme 
Figura 2.8, da teoria de circuitos temos que: 
[
𝑉𝑘 − 𝑉𝑚
𝑉𝑗 − 𝑉𝑙
] = [
𝑧𝑘𝑚 𝑧𝑘𝑚𝑗𝑙
𝑧𝑘𝑚𝑗𝑙 𝑧𝑗𝑙
] [
𝐼𝑘𝑚
𝐼𝑗𝑙
] (1.52) 
Onde 𝑧𝑘𝑚 é a impedância própria da linha km, 𝑧𝑗𝑙 é a impedância própria da linha jl, e 𝑧𝑘𝑚𝑗𝑙 é a 
impedância mútua entre as duas linhas. Note que a alteração simultânea do sentido da corrente e o 
da diferença de tensão não altera a matriz de impedâncias, denominada normalmente de matriz de 
impedâncias primitivas. As correntes podem então ser determinadas por 
[
𝐼𝑘𝑚
𝐼𝑗𝑙
] = [
𝑧𝑘𝑚 𝑧𝑘𝑚𝑗𝑙
𝑧𝑘𝑚𝑗𝑙 𝑧𝑗𝑙
]
−1
 [
𝑉𝑘 − 𝑉𝑚
𝑉𝑗 − 𝑉𝑙
] (1.53) 
Ou 
[
𝐼𝑘𝑚
𝐼𝑗𝑙
] = [
𝑦𝑘𝑚 𝑦𝑘𝑚𝑗𝑙
𝑦𝑘𝑚𝑗𝑙 𝑦𝑗𝑙
] [
𝑉𝑘 − 𝑉𝑚
𝑉𝑗 − 𝑉𝑙
] (1.54) 
k 
j 
m 
𝑧𝑘 
𝑧𝑗 
𝑧𝑚 
o 
k 
j 
m 
𝑧𝑘 
𝑧𝑗 
𝑧𝑚 
o 
p 
1:a 
Modelos 
 
 
PUC-RJ - DEE - 15 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
 
Figura 1-9 – Acoplamento mútuo entre a linha ligando as barras k e m, e a linha ligando a barra j 
e l. 
Observação: 
Não havendo acoplamento mútuo, a matriz de impedâncias é diagonal e se volta a condição trivial 
na qual, por exemplo, 𝐼𝑘𝑚 depende só de 𝑉𝑘 e 𝑉𝑚. 
 
1.5 Representação de Carga 
Entre as várias possibilidades para se representar cargas em análises de rede, em geral adota-se uma 
combinação de cargas modeladas como impedância constante, corrente constante e potência 
constante, o que resulta nas seguintes expressões. 
 100/)( 2kkkkkkk VPzVPiPpPloPl  
 %100 kkk PzPiPp 
 100/)( 2kkkkkkk VQzVPQiPQpQloQl  
 %100 kkk QzQiQp 
onde Ppk (Qpk), Pik (Qpk) e Pzk (Qpk) são os percentuais da carga ativa (reativa) da barra k 
representados por potência constante, corrente constante e impedância constante respectivamente. 
Plok é a potência ativa da barra para uma tensão Vk de 1 pu. 
 
Observação: Os algoritmos de solução de redes devem tomar cuidado com o tratamento de cargas 
modeladas como potência constante, pois neste caso, o fluxo de corrente tende aumentar muito com 
a diminuição de tensão na barra, o que na maioria das vezes resulta em dificuldades de 
convergência. Então, é comum se adotar um mecanismo de proteção que transforma a carga de 
potência constante para impedância constante (ou corrente constante) para valores de tensão abaixo 
de um nível especificado. 
 
k m 
j l 
𝑧𝑘𝑚 
𝑧𝑗𝑙 
𝑧𝑘𝑚−𝑗𝑙 
𝐼𝑘𝑚 
𝐼𝑗𝑙 
Modelos 
 
 
PUC-RJ - DEE - 16 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
1.6 Representação de Geradores 
Dependendo do tipo de estudo com representação estática da rede, os geradores podem ser 
representados por uma fonte de tensão constante atrás de uma reatância (ou o respectivo equivalente 
Norton), ou por uma fonte de potência (Pgk) e fonte de potência reativa variável (Qgk). A potência 
reativa pode variar de forma a manter uma tensão especificada (Vspeci) em uma barra controlada i 
(situação típica de estudos de fluxo de potência). O controle de tensão é chamado de local se i = k 
ou remoto em caso contrário. 
A potência reativa pode variar dentro dos limites de capabilidade do gerador. 
 
maxmin
kkk QgQgQg  
Sempre que os limites são violados, Qgk é fixado no respectivo limite. Normalmente 
max
kQg é 
definido pelo limite térmico da armadura ou rotor para a tensão e fator de potência nominal do 
gerador. minkQ é definida como o limite de subexcitação do gerador na potência e tensão nominal do 
gerador. 
Como este modelo representa a região de capabilidade como sendo retangular, a análise pode ser 
conservativa. Em outras palavras, partes da região de capabilidade são ignoradas. Alguns autores 
sugerem um modelo mais fidedigno da região de capabilidade. 
 
1.7 Leitura Adicional 
 
[1] Monticelli, A. e Garcia, A. “Introdução a Sistemas de Energia Elétrica”, Editora Edgard 
Editora da Unicamp, 2011. 
[2] Monticelli, A. “Fluxo de Cargas em Redes de Energia Elétrica”, Editora Edgard Blucher 
ltda, 1983. 
[3] Ramos, D.S. e Dias, E.M. “Sistemas Elétricos de Potência - Regime Permanente”, 
Guanabara Dois, 1983. 
[4] Monticelli, A. ‘State Estimation’, 2000. 
[5] Paiva, J.P.Sucena ‘Redes de Energia Eléctrica: Uma Análise Sistémica’, Instituto Superior 
Técnico, 2011. 
 
 
 
 
Matrizes de Rede 
 
 
PUC-RJ - DEE - 17 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
2 Matrizes de Rede 
Um modelo matemático de redes elétricas em sistemas de grande porte contém muitas equações e, 
sempre que possível, são descritos em forma matricial. Pode-se chegar a tais descrições utilizando-
se matrizes de incidência, como normalmente visto em teoria de circuitos. Todavia, a forma mais 
prática e usual de descrever sistemas elétricos é via leis de Kirchhoff. A lei de Kirchhoff das 
correntes é mais comumente usada, resultando em matrizes referidas às barras, e será a forma 
explorada neste curso. As formas matriciais deduzidas a partir da lei de Kirchhoff das tensões 
resultam em matrizes referidas aos laços e serão somente mencionadas. 
 
2.1 Matriz de Admitância de Barra 
Princípio básico: Lei de Kirchhoff das correntes 
 ∑𝐼𝑖𝑗
𝑛
𝑗=1
= 𝐼𝑖 (2.1) 
Onde 𝐼𝑖 é a corrente complexa injetada no nó i por uma fonte externa. 
 𝐼𝑖𝑗 é a corrente deixando o nó i para o nó j via um ramo de ligação entre os dois nós. 
 
Sabemos que 
 
 𝐼𝑖𝑗 = 𝑦𝑖𝑗(𝑉𝑖 − 𝑉𝑗) onde 𝑦𝑖𝑗 = 𝑔𝑖𝑗 + 𝑗𝑏𝑖𝑗 (2.2) 
Então: 
 
 𝐼𝑖 = ∑ 𝑦𝑖𝑗(𝑉𝑖 − 𝑉𝑗)
𝑛
𝑗=1 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 (2.3) 
Em geral 𝑦𝑖𝑗 = 𝑦𝑗𝑖, transformadores defasadores são uma exceção. 
 
Exemplo 1: 
 
 
 
 𝐼1 = 𝑦12(𝑉1 − 𝑉2) + 𝑦13(𝑉1 − 𝑉3) 
 𝐼2 = 𝑦12(𝑉2 − 𝑉1) + 𝑦23(𝑉2 − 𝑉3) 
 𝐼3 = 𝑦31(𝑉3 − 𝑉1) + 𝑦23(𝑉3 − 𝑉2) 
 
Ou 
 𝐼1 = (𝑦12 + 𝑦13)𝑉1 − 𝑦12𝑉2 − 𝑦13𝑉3 
 𝐼2 = −𝑦12𝑉1 + (𝑦12 + 𝑦23)𝑉2 − 𝑦23𝑉3 
𝐼1 𝐼2 
𝐼3 
𝑦12 
𝑦13 𝑦23 
Matrizes de Rede 
 
 
PUC-RJ - DEE - 18 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
 𝐼3 = −𝑦13𝑉1 − 𝑦23𝑉2 + (𝑦13 + 𝑦23)𝑉3 
 
Na forma matricial: 
 
 [
𝐼1
𝐼2
𝐼3
] = [
𝑦12 + 𝑦13 −𝑦12 −𝑦13
−𝑦12 𝑦12 + 𝑦23 −𝑦23
−𝑦13 −𝑦23 𝑦13 + 𝑦23
] [
𝑉1
𝑉2
𝑉3
] 
 
Generalizando 
 
 [
𝐼1
𝐼2
⋮
𝐼𝑛
] =
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑𝑦1𝑗
𝑛
1
−𝑦12 … −𝑦1𝑛
−𝑦21 ∑𝑦2𝑗
𝑛
1
… −𝑦2𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
−𝑦𝑛1 −𝑦𝑛2 … ∑𝑦𝑛𝑗
𝑛
1]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[
𝑉1
𝑉2
⋮
𝑉𝑛
] (2.4) 
 
 
Em forma compacta 
 
 𝐼 = 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑉 (2.5) 
 
Onde 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 é denominada matriz de admitâncias de barra. A regra de formação de 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 é a 
seguinte: 
 
𝑦𝑖𝑖 Os elementos da diagonal de 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 são encontrados somando-se as admitâncias dos 
ramos que chegam ao nó (barra). 
𝑦𝑖𝑗 Os elementos fora da diagonal são o negativo das admitâncias dos ramos entre os nós 
i e j. Se não há um ramo entre i e j, o elemento é zero. 
 
Com ((2.5), pode-se obter I a partir de V. Para se obter V a partir de I temos que resolver 
 
 𝑉 = 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
−1 𝐼 = 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝐼 (2.6) 
Onde, 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 é comumente chamada de matriz de impedâncias de barra. 
 
Note que ((2.6) depende da existência de 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎. Se 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 é singular (linhas ou colunas 
linearmente dependentes), 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 não existe. 
 
No Exemplo 1 pode-se calcular I a partir de V, mas não temos como calcular V a partir de I, pois 
se observarmos com cuidado, verificamos que, por exemplo, a terceira linha da matriz de 
admitâncias de barra é idêntica a soma da primeira com a segunda linha. Em outras palavras, as 
linhas de 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 são linearmente dependentes neste caso, e, portanto, esta matriz é singular. 
 
Na prática o problema de dependência linear é resolvido especificando-se um nó de referência, cujo 
valor é zero. Ou seja, as demais tensões são relativas a este nó. Com isto, elimina-se a linha e 
coluna da matriz referentes a este nó. 
Matrizes de Rede 
 
 
PUC-RJ - DEE - 19 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
 
Voltando ao Exemplo 1 e elegendo o nó 3 como de referência, temos 
 
 [
𝐼1
𝐼2
] [
𝑦12 + 𝑦13 −𝑦12
−𝑦12 𝑦12 + 𝑦23
] [
𝑉1
𝑉2
] 
 
Desta forma a singularidade é eliminada. Na prática, o nó de referência é o nó terra, cuja tensão é 
zero. 
 
Note que se as ligações para o nó 3 (terra) são eliminadas, 𝑦13 e 𝑦23 se anulam e a matriz volta a 
ser singular. Então, em sistemas de potência, uma rede sem ramo para a terra resulta em 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 
singular. 
 
Observações sobre 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎; 
1. A matriz é complexa e estruturalmente simétrica, podendo não ser numericamente simétrica. 
2. A matriz é esparsa porque cada barra (nó) é conectada a poucos nós (nós vizinhos), fazendo 
com que a maioria dos elementos 𝑦𝑖𝑗 sejam nulos. 
3. Se houver ligações para o nó de referência (terra), 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 pode ser invertida e as tensões 
podem ser calculadas a partir das injeções de corrente. 
 
2.2 Alterações na matriz 𝒀𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 
 
Uma vez formada, 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 pode ser modificada usando-se a mesma regra de sua formação. Assim, 
para remover um circuito ligando os nós i e j e cuja admitância é 𝑦𝑖𝑗. 
• Subtrai-se 𝑦𝑖𝑗 dos elementos 𝑌𝑖𝑖 e 𝑌𝑗𝑗. 
• Adiciona-se 𝑦𝑖𝑗 aos elementos 𝑌𝑖𝑗 e 𝑌𝑗𝑖. 
2.3 Matriz de Impedância de Barra 
Como definido em ((2.6), a matriz de impedância de barra é a inversa da matriz de admitância de 
barra. 
 
As vezes é mais conveniente definir 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 como os coeficientes de injeção de correntes na lei de 
Kirchhoff das correntes, resolvida para as tensões de barra 
 
 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑖𝑗 =
𝜕𝑉𝑖
𝜕𝐼𝑗
; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 (2.7) 
 
Para que (2.7 se aplique é necessário haver uma caminho entre a corrente injetada 𝐼𝑗 e a barra i. 
 
Note que uma coluna de 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 pode ser computada por 
 
 
[
 
 
 
 
𝑧1𝑘
⋮
𝑧𝑘𝑘
⋮
𝑧𝑛𝑘]
 
 
 
 
= [𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎]
−1
[
 
 
 
 
0
⋮
𝐼𝑘 = 1
⋮
0 ]
 
 
 
 
 
 
É possível que 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 seja singular se não há como existir uma tensão diferente de zero em alguma 
parte do sistema. Isto acontece se, por exemplo, uma barra está curto-circuitada para terra. Neste 
Matrizes de Rede 
 
 
PUC-RJ - DEE - 20 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
caso a tensão da barra é nula e consequentemente, por ((2.7), tem-se uma linha da matriz 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 
nula, e esta matriz é singular. Nestas condições, a matriz 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 não existe. 
 
Dito de forma simples, quando nenhuma barra está conectada à referência (terra), a matriz 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 
existe, mas é singular (𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 não existe), e quando qualquer barra está curto-circuitada para a 
referência (terra), 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 existe, mas é singular (𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 não existe). 
 
Propriedades adicionais de 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎; 
1. Para sistemas lineares, o teorema da reciprocidade se aplica, ou seja, 
𝜕𝑉𝑖
𝜕𝐼𝑗
=
𝜕𝑉𝑗
𝜕𝐼𝑖
, ou 𝑧𝑖𝑗 = 𝑧𝑗𝑖 , 
implicando em simetria da matriz. 
2. Como uma injeção de corrente em um nó k produzirá em geral uma elevação de tensão em 
todas as outras barras, 𝑧𝑘𝑙 = 𝑧𝑙𝑘 ≠ 0. Assim, 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 não é esparsa. 
3. O comportamento de um sistema visto de um subconjunto de m barras (m<n), pode ser 
obtido descartando-se as colunas e linhas não usadas de 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎. Esta propriedade torna a 
matriz de impedância útil em algumas aplicações tais como em estudos de curto-circuito. 
Esta é uma propriedade importante para reduzir significativamente a dimensão do modelo. 
 
Observação: Há algoritmos para construção de 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 a partir dos valores das impedâncias 
primitivas. Estes métodos tinham um apelo no passado, quando a capacidade computacional era 
muito mais limitada e havia alguma vantagem em termos de menor necessidade de memória, e os 
modelos de rede eram de dimensão muito inferior aos atuais. Atualmente, os cálculos envolvendo 
𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 usam somente uma partição relativamente pequena desta matriz. Com isto, e considerando 
a capacidade computacional muito superior, tais partições são obtivas via inversão parcial da matriz 
𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎. 
2.4 Matrizes de Laço 
A lei de Kirchhoff de corrente leva às matrizes de admitância e impedância de barras. Estas 
matrizes são também denominadas de matrizes de admitância e impedância nodal na teoria de 
circuitos. A abordagem dual a esta é baseada na lei de Kirchhoff das tensões, que leva às matrizes 
de impedância e admitância de laço. Estas matrizes não são usadas em sistemas de potência tanto 
quanto as duais de barra, e por esta razão recebem muito menos atenção. 
 
Figura 2-1 – Correntes de laço usadas na lei de Kirchhoff das tensões. 
 
A Figura 2-1 ilustra várias correntes de laço. A lei de Kirchhoff das tensões aplicada ao laço i é 
 
 
𝐸𝑖 = ∑ 𝑧𝑖𝑞𝐼𝑖 − ∑ 𝑧𝑖𝑗𝐼𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑗≠𝑞
𝑞 (2.8) 
 
𝐼𝑖 𝐼𝑗 𝐼𝑘 
𝑧𝑖𝑘 
𝑧𝑗𝑘 
Matrizes de Rede 
 
 
PUC-RJ - DEE - 21 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
Onde 𝐼𝑖 é a corrente do laço para o qual a lei é aplicada, ∑𝑞 denota a soma de todos os laços que 
tocam o laço i, e 𝑧𝑖𝑗 denota a impedância do ramo entre os laços i e j. Se o laço i não toca o laço j, 
𝑧 é zero. Também, n é o número total de laços e 𝐸𝑖 é a soma complexa de todas as fontes de tensão 
no laço i. Na forma matricial ((2.8) é 
 
𝑉𝑙𝑎ç𝑜 = 𝑍𝑙𝑎ç𝑜𝐼𝑙𝑎ç𝑜 
E por inspeção em (2.8) verifica-se que as regras de construção de 𝑍𝑙𝑎ç𝑜 são as seguintes. 
• Os elementos da diagonal de 𝑍𝑙𝑎ç𝑜 são encontrados pela soma das impedâncias no laço. 
• Os elementos fora da diagonal são constituídos pelo negativo da impedância entre os dois 
laços. 
Ou seja, o algoritmo para construção de 𝑍𝑙𝑎ç𝑜 é dual ao da construção de 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎. 𝑍𝑙𝑎ç𝑜 é esparsa e 
simétrica. 𝑍𝑙𝑎ç𝑜 é não singular se a definição do laços é tal que um laço não esteja incluído em 
outro laço. 
 
A inversa de 𝑍𝑙𝑎ç𝑜 é 𝑌𝑙𝑎ç𝑜, que é a dual de 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎. A matriz 𝑌_𝑙𝑎ç𝑜 é cheia. 
 
 
Solução de Equações Lineares 
 
 
PUC-RJ - DEE - 22 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
3 Solução de Equações Lineares 
Seja o sistema de equações lineares 
 
 𝐴𝑥 = 𝑏 3.1 
 
Onde 𝐴 é 𝑛 𝑥 𝑛 e não singular, 𝑥 é um vetor desconhecido de dimensão n, e b é um vetor dado de 
dimensão n. 
 
Para se resolver (3.1), por exemplo, pode-se computar a matriz inversa usando-se um dos métodos 
numéricos para isto. Mas a inversão explícita não é feita na prática porque,tendo em vista que no 
caso de sistemas de potência A é tipicamente densa e de grande dimensão, seria extremamente 
ineficiente, e demandaria uma grande quantidade de memória desnecessariamente. 
 
Métodos mais eficientes de solução direta de sistemas lineares são o de eliminação de Gauss e 
decomposição LU, que exploram de forma eficiente a esparsidade das equações. Estes métodos se 
baseiam no conceito de que sistemas de equações triangulares são ‘fáceis’ de resolver. Estes têm a 
forma 
 
 𝑈𝑥 = 𝑐 3.2 
 
Onde 𝑈 tem a forma triangular superior (todos os elementos sob a diagonal principal são zero), ou 
a forma 
 
 𝐿𝑥 = 𝑏 3.3 
 
Onde 𝐿 tem a forma triangular inferior (todos os elementos sobre a diagonal principal são zero). 
 
Por exemplo, para 𝑛 = 3, (3.2) tem a seguinte forma 
 
 [
𝑢11 𝑢12 𝑢13
0 𝑢22 𝑢23
0 0 𝑢33
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
𝑐1
𝑐2
𝑐3
] 3.4 
 
A solução, admitindo-se que 𝑢𝑖𝑖 ≠ 0, é obtida na seguinte sequência 
 
 𝑥3 = 𝑐3/𝑢33 
 𝑥2 = (𝑐2 − 𝑢23𝑥3)/𝑢22 
 𝑥1 = (𝑐1 − 𝑢12𝑥2 − 𝑢13𝑥3)/𝑢11 
 
Generalizando para qualquer dimensão, temos 
 
 
𝑥𝑛 = 𝑐𝑛/𝑢𝑛𝑛 
𝑥𝑘 = (𝑐𝑘 − ∑ 𝑢𝑘𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=𝑘+1 )/𝑢𝑘𝑘; 𝑘 = 𝑛 − 1, 𝑛 − 2,… ,1 
 
3.5 
 
Este processo é conhecido como substituição para trás (‘back-substitution’). De forma similar, (3.3) 
pode ser resolvida pelos seguintes passos. 
 
 𝑐1 = 𝑏1/𝑙11 3.6 
Solução de Equações Lineares 
 
 
PUC-RJ - DEE - 23 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
𝑐𝑘 = (𝑏𝑘 − ∑ 𝑙𝑘𝑗𝑐𝑗)
𝑘−1
𝑗=1 /𝑙𝑘𝑘; 𝑘 = 2, 3, … , 𝑛 
 
Este processo é conhecido como substituição para frente. 
 
3.1 Eliminação de Gauss 
Uma transformação de uma matriz para a forma triangular é a eliminação de Gauss, que está 
ilustrada a seguir. Seja, 
 
 [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
𝑏1
𝑏2
𝑏3
] 3.7 
 
Multiplicando a primeira equação por 𝑎21/𝑎11 e subtraindo da segunda produz o sistema 
equivalente 
 
 [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
0 𝑎22
(𝑖)
𝑎23
(𝑖)
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
𝑏1
𝑏2
(𝑖)
𝑏3
] 3.8 
Onde 
 𝑎22
(𝑖)
= 𝑎22 − (
𝑎21
𝑎11
) 𝑎12 
 𝑎23
(𝑖)
= 𝑎23 − (
𝑎21
𝑎11
) 𝑎13 
 𝑏2
(𝑖)
= 𝑏2 − (
𝑎21
𝑎11
) 𝑏1 
Similarmente, multiplicando-se a primeira equação por 𝑎31/𝑎11 e subtraindo da terceira produz 
 
 [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
0 𝑎22
(𝑖)
𝑎23
(𝑖)
0 𝑎32
(𝑖)
𝑎33
(𝑖)
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
𝑏1
𝑏2
(𝑖)
𝑏3
(𝑖)
] 3.9 
Onde 
 𝑎32
(𝑖)
= 𝑎32 − (
𝑎31
𝑎11
) 𝑎12 
 𝑎33
(𝑖)
= 𝑎33 − (
𝑎31
𝑎11
) 𝑎13 
 𝑏3
(𝑖)
= 𝑏3 − (
𝑎31
𝑎11
) 𝑏1 
Finalmente, multiplicando a nova segunda linha por 𝑎32
(𝑖)
/𝑎22
(𝑖)
 e subtraindo da nova terceira linha 
resulta em 
 
 [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
0 𝑎22
(𝑖)
𝑎23
(𝑖)
0 0 𝑎33
(𝑖𝑖)
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
𝑏1
𝑏2
(𝑖)
𝑏3
(𝑖𝑖)
] 3.10 
Onde 
 𝑎33
(𝑖𝑖)
= 𝑎33
(𝑖)
− (
𝑎32
(𝑖)
𝑎22
(𝑖)) 𝑎23
(𝑖)
 
 𝑏3
(𝑖𝑖)
= 𝑏3
(𝑖)
− (
𝑎32
(𝑖)
𝑎22
(𝑖)) 𝑏2
(𝑖)
 
Solução de Equações Lineares 
 
 
PUC-RJ - DEE - 24 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
 
Este processo pode ser generalizado para dimensão n, com as seguintes fórmulas. 
 
 𝑎𝑖𝑗
(𝑘+1)
= 𝑎𝑖𝑗
(𝑘)
− (
𝑎𝑖𝑘
(𝑘)
𝑎𝑘𝑘
(𝑘))𝑎𝑘𝑗
(𝑘)
 𝑖, 𝑗 > 𝑘 3.11 
e 
 𝑏𝑖
(𝑘+1)
= 𝑏𝑖
(𝑘)
− (
𝑎𝑖𝑘
(𝑘)
𝑎𝑘𝑘
(𝑘))𝑏𝑘𝑗
(𝑘)
 𝑖 > 𝑘 3.12 
 
Observação: assume-se nas equações acima que os elementos 𝑎𝑘𝑘 são diferentes de zero. Isto em 
geral é verdadeiro nas matrizes do tipo 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 que têm os elementos da diagonal principal maior 
que os fora da diagonal, diz-se assim que são diagonal dominante. De qualquer forma, caso um 
mais destes elementos sejam zero, pode-se fazer uma troca de colunas e linhas de tal forma a 
eliminar o problema, considerando novamente que a matriz não seja singular. 
 
3.2 Transformação LU 
 
Defina 𝑙𝑖𝑘 para 𝑖 > 𝑘 pela equação 
 
 𝑙𝑖𝑘 = 𝑎𝑖𝑘
𝑘 /𝑎𝑘𝑘
𝑘 3.13 
 
Com referência a (3.11), percebe-se que este valor é exatamente o que está multiplicando a k-ésima 
(pivô) linha e que subsequentemente subtrai da i-ésima linha na construção da nova i-ésima linha. 
Assim, 𝑙𝑖𝑘 é chamado de multiplicador. 
 
Então, seja 𝐿(𝑘) a matriz triangular inferior unitária 
 
 𝐿(𝑘) =
[
 
 
 
 
 
1
.
1
−𝑙𝑘+1,𝑘 .
⋮ .
−𝑙𝑛,𝑘 1 ]
 
 
 
 
 
 3.14 
 
Que difere da matriz identidade, I, somente na k-ésima coluna abaixo da diagonal principal, onde 
aparece os negativos dos multiplicadores 𝑙𝑖𝑘. Matrizes da forma (3.14) são frequentemente 
chamadas de matrizes triangular inferior elementares. Esta matriz permite que a relação (3.11) seja 
expressa em notação matricial como a relação 
 
 𝐴(𝑘+1) = 𝐿(𝑘)𝐴(𝑘) 3.15 
 
Usando estas relações para todos os valores de k resulta na equação 
 
 𝑈 = 𝐴(𝑛) = 𝐿(𝑛−1)𝐿(𝑛−2)…𝐿(1)𝐴 3.16 
 
Agora, a inversa de 𝐿𝑘 é dada por 
 
Solução de Equações Lineares 
 
 
PUC-RJ - DEE - 25 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
 (𝐿(𝑘))
−1
=
[
 
 
 
 
 
1
.
1
𝑙𝑘+1,𝑘 .
⋮ .
𝑙𝑛,𝑘 1 ]
 
 
 
 
 
 3.17 
Como pode ser verificado multiplicando-se (3.14) por (3.17). Então, multiplicando-se (3.16) 
sucessivamente por (𝐿(𝑛−1))
−1
…(𝐿(1))
−1
 resulta na equação. 
 
 𝐴 = (𝐿(1))
−1
(𝐿(2))
−1
. . . (𝐿(𝑛−1))
−1
𝑈 3.18 
 
A multiplicação direta, usando (3.17), resulta em 
 
 (𝐿(1))
−1
(𝐿(2))
−1
. . . (𝐿(𝑛−1))
−1
=
[
 
 
 
 
 
 
1
𝑙21 .
𝑙31 1
. 𝑙𝑘+1,𝑘 .
. ⋮ .
𝑙𝑛1 𝑙𝑛,𝑘 1 ]
 
 
 
 
 
 
 3.19 
 
A equação (3.16) pode então ser escrita como uma fatoração triangular. 
 
 𝐴 = 𝐿𝑈 3.20 
 
Onde 𝑈 = 𝐴(𝑛) e 𝐿 é a matriz triangular inferior unitária. 
 
A fatoração LU facilita na solução das equações lineares da seguinte forma. Substituindo-se A por 
LU em (3.1) tem-se 
 
 𝐿𝑈𝑥 = 𝑏 3.21 
 
Se c é dado por 
 
 𝑐 = 𝑈𝑥 3.22 
 
Ele pode ser computado pela seguinte equação 
 
 𝐿𝑐 = 𝑏 3.23 
 
Via substituição para frente (3.6). Então, x pode ser computado por substituição para trás (3.5). 
Como será visto na abordagem de esparsidade de matrizes, há como se manter a esparsidade dos 
fatores L e U utilizando-se ordenação das equações (linhas e colunas da matriz), o que também 
influencia positivamente o desempenho computacional em função da requerer muito menos 
operações numéricas. 
 
3.3 Métodos de fatoração LU 
Com base em (3.20) temos 
Solução de Equações Lineares 
 
 
PUC-RJ - DEE - 26 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
 
 𝑎𝑖𝑗 = ∑ 𝑙𝑖𝑝𝑢𝑝𝑗
min (𝑖,𝑗)
𝑝=1
, 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 3.24 
 
Rearranjando, temos 
 
 𝑙𝑖𝑗 = (𝑎𝑖𝑗 −∑𝑙𝑖𝑝𝑢𝑝𝑗
𝑗−1
𝑝=1
)/𝑢𝑗𝑗 , 𝑖 > 𝑗 3.25 
 𝑢𝑖𝑗 = (𝑎𝑖𝑗 −∑ 𝑙𝑖𝑝𝑢𝑝𝑗
𝑖−1
𝑝=1
), 𝑖 ≤ 𝑗 3.26 
 
Onde uma soma ∑𝑚𝑘=𝑙 com 𝑚 < 𝑙 é tida como zero. 
 
Algoritmo Doolittle 
Neste algoritmo, a sequência computacional envolve a linhas da matriz em ordem crescente, ou 
seja, no k-ésimo estágio computa-se na ordem 𝑙𝑘1, 𝑙𝑘2, … , 𝑙𝑘,𝑘−1, 𝑢𝑘𝑘, … , 𝑢𝑘𝑛. 
 
Algoritmo Crout 
Assumindo que U em vez de L tem elementos da diagonal iguais a um, resulta na seguinte 
sequência. 
 
 𝑙𝑖𝑗 = (𝑎𝑖𝑗 −∑𝑙𝑖𝑝𝑢𝑝𝑗
𝑗−1
𝑝=1
), 𝑖 ≥ 𝑗 3.27 
 𝑢𝑖𝑗 = (𝑎𝑖𝑗 −∑ 𝑙𝑖𝑝𝑢𝑝𝑗
𝑖−1
𝑝=1
)/𝑙𝑖𝑖, 𝑖 < 𝑗 3.28 
 
 
Esparsidade 
 
 
PUC-RJ - DEE - 27 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
4 Esparsidade 
Como vimos na aula sobre matrizes, as matrizes mais utilizadas em análise de sistemas de potência 
são tipicamente esparsas, ou seja, contém apenas uns poucos elementos por linha ou coluna. Este 
é o caso da matriz Ybus e da matriz Jacobiano utilizada na solução de curto-circuitos e do problema 
de fluxo de potência, respectivamente. Estes métodos requerem a computação da inversa destas 
matrizes. Todavia, as respectivas matrizes inversas são densas. Para sistemas de médio e grande 
porte trabalhar com matrizes densas não é desejável devido ao alto requisito de memória necessário 
e baixíssimo desempenho computacional. 
 
A solução para este problema é fatorara matriz de tal forma que os seus fatores também sejam 
esparsos. Também como vimos, a fatoração LU ou similar, é utilizada neste caso. Entretanto, a 
ordem das linhas e colunas da matriz é crucial para que se mantenha os fatores L e U esparsos. 
 
De forma resumida, o tratamento de matrizes esparsas requer os três principais aspectos, como 
segue. 
- Escolher um esquema de armazenamento somente para os elementos não nulos da matriz. 
- Determinar a ordem de linhas e colunas para fatoração da matriz. 
- Adaptar o algoritmo de fatoração para a forma de armazenamento escolhida. 
- Adaptar o algoritmo de solução das equações para a forma de armazenamento escolhida. 
 
4.1 Princípios dos Grafos 
Esparsidade de matrizes e teoria dos gráficos são assuntos que podem ser relacionados. O padrão 
de uma matriz quadrada pode ser representado por um gráfico, por exemplo, e então resultados da 
teoria dos gráficos podem ser usados para se obter resultados de matrizes esparsas. 
 
Um grafo orientado consiste de um conjunto de nós (também chamados vértices) e ramos 
direcionais entre os nós. Qualquer matriz quadrada tem um grafo associado, e qualquer grafo tem 
um padrão de matriz quadrada associada. Para um dada matriz quadrada A, um nodo está associado 
a um linha da matriz. Se 𝑎𝑖𝑗 é um elemento, existe um ramo entre os nós i e j no grafo. Isto é 
usualmente escrito, na forma de diagrama, como uma linha com uma seta, como ilustrado na figura 
abaixo. Por exemplo, a linha entre os nós 1 e 2 corresponde ao elemento 𝑎12 da matriz. 
 
Figura 4-1 – Grafo orientado – matriz assimétrica. 
 
Para uma matriz simétrica, uma conexão entre os nós i e j implica em também haver uma conexão 
do nó j para o nó i; assim a seta pode ser desconsiderada e obtemos um grafo não orientado ou 
simplesmente grafo, como ilustrado abaixo. Formalmente, G(A), o grafo associado com a matriz 
Z, não é uma figura, mas um conjunto X de nós e um conjunto E (do inglês ‘Edge’) de ramos. Um 
1 2 3 
4 
[
× × ⬚ ⬚
⬚ × × ⬚
⬚ × × ×
× ⬚ ⬚ ×
] 
Esparsidade 
 
 
PUC-RJ - DEE - 28 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
ramo é um par ordenado de nós (𝑥𝑖 , 𝑥𝑗) e está associado com os elementos 𝑎𝑖𝑗 e 𝑎𝑗𝑖 da matriz, que 
neste caso é simétrica. 
 
Figura 4-2 – Grafo não orientado – matriz simétrica. 
 
Uma operação fundamental no processo de fatoração (ou eliminação de Gauss) de uma matriz é o 
de adicionar um múltiplo de uma linha da matriz, digamos a primeira, às outras linhas para fazer 
todos os elementos na primeira coluna, abaixo da diagonal, iguais a zero. Por exemplo, na figura 
acima, adicionando-se a primeira linha à quarta cria-se um novo elemento na posição (4,2). 
 
A teoria dos gráficos ajuda a visualizar o padrão de mudança de elementos à medida que a 
eliminação acontece. Relativo ao grafo 𝐺, o grafo 𝐺𝑦 é obtido removendo-se o nó 𝑦 e adicionando-
se um novo ramo (𝑥, 𝑧) sempre que (𝑥, 𝑦) e (𝑦, 𝑧) sejam ramos de 𝐺 e (𝑥, 𝑧) não seja. Em outras 
palavras, a remoção de um nó cria ligação entre os nós aos quais o nó removido está conectado, se 
tais ligações não existirem. Por exemplo, 𝐺1 para o gráfico da figura acima teria a representação 
da figura abaixo, com o novo ramo (4,2) adicionado. Observe que este é precisamente o grafo 
correspondente à submatriz 3x3 que resulta da eliminação do elemento (4,1) no processo de 
eliminação de Gauss. Sempre que um elemento novo é adicionado a matriz, o que corresponde no 
exemplo ao ramo entre os nós 2 e 4, diz-se que ocorreu um preenchimento (‘fill-in’) na matriz. 
 
Figura 4-3 – Preenchimento no processo de fatoração. 
 
No processo de fatoração, o preenchimento ocorre nos fatores L e U. Assim, quanto menos 
preenchimentos ocorrerem, mais esparsos os fatores LU serão e consequentemente menor no 
número de operações aritméticas e menor a necessidade de armazenamento. 
 
Considere o grafo/matriz abaixo. 
[
× × ⬚ ×
× × × ⬚
⬚ × × ×
× ⬚ × ×
] 
1 2 3 
4 
[
× × ⬚ ×
⬚ × × ×
⬚ × × ×
⬚ × × ×
] 
2 3 
4 
Esparsidade 
 
 
PUC-RJ - DEE - 29 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
 
Figura 4-4 – Exemplo de matriz esparsa. 
 
O nó 1 está ‘ligado’ aos demais nós. A eliminação dos elementos da coluna 1 no processo de 
eliminação de Gauss resultará na soma da primeira linha da matriz multiplicada por fatores 
apropriados às demais linhas resultando no seguinte grafo/matriz. 
 
Figura 4-5 – Máximo preenchimento devido a uma má ordenação de linhas e colunas. 
 
A eliminação do nó 1 do grafo resultou no aparecimento de ramos entre todos os demais nós, que 
originalmente não existiam. O efeito equivalente na matriz foi o preenchimento de todos os 
elementos que eram originalmente nulos. Agora, para ilustrar o efeito da ordenação de linhas e 
colunas, consideremos a ordenação da figura abaixo. O processo de eliminação de Gauss, ou 
equivalentemente a remoção de nós, não gera nenhum preenchimento na matriz. Por exemplo, para 
eliminação do elemento (5,1) adiciona-se a primeira linha multiplicada por um fator à quinta linha. 
Com isto somente o elemento (5,5) que já é não nulo, é alterado, não havendo preenchimento. O 
mesmo acontece com a eliminação dos demais elementos da quinta linha da matriz. 
 
Figura 4-6 - Ausência de preenchimentos devido a uma boa ordenação de linhas e colunas. 
 
Portanto, podemos ver que a determinação de uma ‘boa’ ordem das linhas da matriz é crucial para 
a diminuição do número de operações numéricas necessárias à fatoração e do espaço necessário 
para armazenamento dos fatores. 
[
 
 
 
 
× × × × ×
× × ⬚ ⬚ ⬚
× ⬚ × ⬚ ⬚
× ⬚ ⬚ × ⬚
× ⬚ ⬚ ⬚ ×]
 
 
 
 
 1 2 
3 
4 
5 
[
 
 
 
 
× × × × ×
⬚ × × × ×
⬚ × × × ×
⬚ × × × ×
⬚ × × × ×]
 
 
 
 
 2 
3 
4 
5 
[
 
 
 
 
× ⬚ ⬚ ⬚ ×
⬚ × ⬚ ⬚ ×
⬚ ⬚ × ⬚ ×
⬚ ⬚ ⬚ × ×
× × × × ×]
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 5 
Esparsidade 
 
 
PUC-RJ - DEE - 30 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
4.2 Ordenação 
Como visto, a preservação da esparsidade depende de uma ordenação apropriada das equações e 
variáveis do problema. As equações correspondem às linhas da matriz e as variáveis às suas 
colunas. 
 
Todos as estratégias de ordenação têm como objetivo, pelo menos parcial, o de controlar os 
preenchimentos. Estas estratégias podem ser classificadas em duas categorias básicas: aquelas que 
em cada passo da fatoração minimiza um objetivo para este passo sem levar em consideração os 
efeitos nos passos seguintes (estratégias locais) e aqueles que confinam os preenchimentos a uma 
forma desejada (por exemplo, dentro de uma banda ou dentro de em pequeno número de colunas). 
A simetria ou não da matriz a ser ordenada tem efeito nos detalhes de implementação da estratégia. 
Para os problemas de sistemas de potência, as matrizes são estruturalmente simétricas ou quase 
simétricas. Neste caso, pode-se forçosamente faze-las simétricas. Outra característica importante 
destas matrizes é que também são tipicamente dominantes na diagonal, ou seja, o valor absoluto da 
magnitude dos elementos da diagonal é bem maior que os de fora da diagonal. Isto tem um efeito 
positivo na precisão numérica dos cálculos, pois utilizar valores pequenos como pivô em uma 
fatoração aumenta o acúmulo de erros numéricos. 
 
Assim, sendo as matrizes simétricas e com dominância diagonal, como no caso de sistemas de 
potência, é suficiente utilizar os elementos da diagonal como pivô no processo de fatoração, o que 
significa que as linhas e colunas da matriz podem ser ordenadas conjuntamente. 
 
Definição: O grau de um nó pertencente a um grafo G é o número de elementos incidentes neste 
nó. 
 
Em 1967 Tinney & Walker propuseram três esquemas de ordenação que ficaram conhecidos como 
Esquemas 1, 2 e 3. 
 
Esquema 1: Ordene os nós (linha-coluna) na ordem dos respectivos graus (número de elementos a 
que estão conectados) antes da eliminação. Este esquema às vezes é referido como ordenação 
estática. 
 
Esquema 2: Ordene osnós na ordem dos respectivos graus no ponto que são escolhidos para 
eliminação. Isto requer a manutenção da informação das eliminações e preenchimentos dos nós já 
ordenados. Este esquema é frequentemente denominado de grau mínimo (‘minimum degree’). 
 
Esquema 3: Ordene os nós na ordem do número de preenchimentos que seriam produzidos pela 
sucessivas eliminações. Isto requer a manutenção não somente das variações dos graus, mas 
também a simulação do efeito da eliminação nos demais nós ainda não ordenados. 
 
Em todos estes esquemas, a escolha de um nó quando há igualdade de condições (‘tie’) é arbitrária. 
Os principais fatos conhecidos a respeito destes esquemas podem ser resumidos como segue: 
 
• O Esquema 1 não é efetivo em preservar a esparsidade, mas é útil como um passo de 
inicialização para os Esquemas 2 e 3; 
• O Esquema 2 é muito efetivo em preservar a esparsidade. Com uma programação 
cuidadosa, não são necessárias buscas e ordenações (exceto agrupamentos simples de graus 
produzidos pelo Esquema 1) e o número de operações é proporcional ao número de nós. 
Esparsidade 
 
 
PUC-RJ - DEE - 31 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
• O Esquema 3 não é necessariamente mais efetivo em preservar a esparsidade que o Esquema 
2. Por outro lado, se bem programado, toma muito pouco mais tempo do que o Esquema 2 
para produzir o ordenamento. A chave é manter a anotação das mudanças no número de 
preenchimentos que serão produzidos por cada um dos nós já ordenados a medida que a 
ordenação progride. Programado adequadamente, o número de operações deste esquema 
também é proporcional ao número de nós. Aparentemente, este esquema é pouco usado. 
 
O Esquema 2 é o mais usado na prática e é efetivo para uma vasta gama de problemas. Para redes, 
é sempre superior a ordenação na forma de ‘banda’ e outros esquemas utilizados para outros tipos 
de problemas. Entretanto, nem sempre produz uma ordenação que minimize a quantidade de 
preenchimentos. Isto pode ser demonstrado pelo exemplo simples da figura abaixo. O esquema 
ordena o nó 5 como o primeiro, introduzindo uma ligação (preenchimento) entre os nós 4 e 6. A 
ordem mostrada no gráfico não produz preenchimentos. 
 
Figura 4-7 – Exemplo em que o Esquema 2 não é ótimo. 
 
4.3 Armazenamento de Matrizes Esparsas 
 
Há várias formas de se armazenar uma matriz esparsa, a melhor forma depende dos tipos de 
operação a que a matriz estará sujeita. Uma importante distinção é feita entre estruturas estáticas 
que permanecerão fixas e dinâmicas que serão ajustadas para acomodar preenchimentos à medida 
com que venham ocorrer. Naturalmente, o sobre custo computacional de ajuste de uma estrutura 
dinâmica pode ser significativo. Adicionalmente, o espaço de memória requerido por uma estrutura 
estática é conhecido de antemão, ao passo que isto não ocorre no caso de uma estrutura dinâmica. 
Os dois tipos são usados em fatoração de matrizes esparsas. 
 
Outro aspecto importante, do ponto de vista computacional, a ser considerado, é a forma e 
frequência de acesso aos dados durante as operações numéricas. Os dados são levados da memória 
para a unidade de processamento em grupos de elementos armazenados contiguamente, e esta 
operação tem um custo (de tempo) elevado. Então, o ideal é que o aproveitamento destes dados 
seja máximo, ou seja, que poucos dados no grupo não sejam aproveitados (trazidos inutilmente) e 
que o número vezes que os dados são trazidos seja minimizado. Nas operações de matrizes, 
procura-se este objetivo fazendo operações por linhas (ou colunas) nas quais os dados da linha (ou 
coluna) estejam armazenados de forma contígua. Assim, ao trazer um grupo de dados da memória 
para uma operação com a linha (ou coluna) a probabilidade de que todos os elementos da linha (ou 
coluna) estejam presentes é alta, minimizando-se a necessidade de acessos à memória. 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
× × × × ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚
× × × × ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚
× × × × ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚
× × × × × ⬚ ⬚ ⬚ ⬚
⬚ ⬚ ⬚ × × × ⬚ ⬚ ⬚
⬚ ⬚ ⬚ ⬚ × × × × ×
⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ × × × ×
⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ × × × ×
⬚ ⬚ ⬚ ⬚ ⬚ × × × ×]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 5 6 
7 
8 
9 
Esparsidade 
 
 
PUC-RJ - DEE - 32 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
Normalmente o que se quer é uma representação muito compacta que permita fácil manipulação. 
Não há uma estrutura melhor, a maioria dos programas usam padrões diferentes de armazenamento 
com finalidades diferentes. 
 
4.3.1 Esquema de Coordenadas 
Neste esquema, o valor do elemento e suas coordenadas (linha e coluna) são armazenadas de forma 
não ordenada. A forma de implementação deste esquema depende da linguagem de programação 
utilizada, evidentemente, mas, por exemplo, pode-se utilizar um vetor real e dois inteiros. A figura 
e a tabela abaixo ilustram este esquema. 
 
 
Figura 4-8 – Matriz esparsa não simétrica. 
 
Tabela 4.1 – Aramazenamento não ordenado com coordenadas. 
Índice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
Linha 1 2 2 1 5 3 4 5 2 4 5 
Coluna 4 5 1 1 5 2 4 3 3 2 1 
Valor -1. 3. 2. 1. 6. -3. -4. -5. -2. 4. 5. 
 
O maior problema com este esquema está na inconveniência de acesso por linha ou por coluna. Ele 
pode ser usado sem problemas se se deseja multiplica-la por um vetor cheio. Entretanto, a solução 
direta de um conjunto de equações lineares, por exemplo, envolve uma sequência de operações com 
linhas (ou colunas) da matriz. Há dois esquemas de armazenamento principais que proporcionam 
pronto acesso a esta informação: uma coleção de vetores esparsos e uma lista encadeada. 
 
4.3.2 Esquema de Lista Adjunta 
O esquema de lista adjunta armazena linhas (ou colunas) de uma matriz em sequência. Os valores 
dos elementos da matriz são armazenados de forma ordenada linha-por-linha (ou coluna-por-
coluna). Um vetor inteiro contém o número da coluna de cada elemento, e um vetor inteiro aponta 
para a posição em que cada linha (ou coluna) inicia. A tabela abaixo ilustra este esquema de 
armazenamento por linha para a matriz da Figura 4-8. 
 
Tabela 4.2 – Armazenamento por lista adjunta (linha-por-linha). 
Índice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
Inicio 1 3 6 7 9 12 
Coluna 1 4 1 3 5 2 2 4 1 3 5 
Valor 1. -1. 2. -2. 3. -3. 4. -4. 5. -5. 6. 
 
Note que não há uma sexta linha. Entretanto, neste esquema, há necessidade de se ter alguma 
informação de onde a última linha (quinta, neste caso) termina. 
 
𝐴 =
[
 
 
 
 
1 0 0 −1 0
2 0 −2 0 3
0 −3 0 0 0
0 4 0 −4 0
5 0 −5 0 6]
 
 
 
 
 
Esparsidade 
 
 
PUC-RJ - DEE - 33 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
Observa-se que este esquema requer um pouco menos necessidade de armazenamento em relação 
ao esquema de coordenadas. Mas o mais importante aspecto desta forma de armazenamento é que 
ele facilita o acesso às linhas (ou colunas) da matriz. Isto tem muita importância do ponto de vista 
computacional, pois o aproveitamento dos dados trazidos da memória para a unidade de 
processamento é maior e consequentemente há menos acesso a memória, aumentando muito a 
eficiência. 
 
O acesso a todos os elementos de uma linha (i) pode ser feito com o seguinte código exemplificado 
em Fortran. 
 
Do k = inicio(i), inicio(i+1) – 1 
 Col = Coluna(k) 
 Val = Valor(k) 
 : 
End Do 
 
O problema com este esquema é no caso da estrutura de dados não ser estática, ou seja, quando há 
necessidade de introduzir novos elementos, por exemplo, preenchimentos, nas linhas (ou colunas). 
Neste caso, seria necessário deslocar vários elementos nos 3 vetores, o que acarreta um sobre custo 
computacional. As listas encadeadas tratam melhor esta situação. 
 
4.3.3 Esquema de Lista Encadeada 
A essência da lista encadeada (‘linked list’) é que haja um apontador (inicial) para o primeiro 
elemento de uma linha (ou coluna) e para cada elemento existe um apontador (ou elo) para o 
próximo elemento da linha (ou coluna). Se não há um próximo elemento, o apontador é nulo. A 
linha pode ser percorrida acessando-se o primeiroelemento da mesma via o apontador inicial e os 
elos até que se encontre um elo nulo. A tabela abaixo ilustra o uso da lista encadeada para a matriz 
da Figura 4-8. 
 
Tabela 4.3 – 
Índice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
Inicio 1 3 6 7 9 
Elo 2 0 4 5 0 0 8 0 10 11 0 
Coluna 1 4 1 3 5 2 2 4 1 3 5 
Valor 1. -1. 2. -2. 3. -3. 4. -4. 5. -5. 6. 
 
Nota-se uma necessidade maior de armazenamento neste esquema do que no de lista adjunta, mas 
ganha-se muito em flexibilidade e eficiência quando há necessidade de alterações frequentes na 
matriz. Por exemplo, no caso de se querer inserir um elemento na terceira linha, quarta coluna desta 
matriz, adiciona-se este elemento com índice de armazenamento 12, ou seja, na última posição livre 
do vetor, e altera-se os elos, da mesma linha. A tabela abaixo ilustra esta operação com o valor do 
elemento sendo 3.5. O primeiro elemento na linha 3 (-3.) tem um elo para a posição 12 onde se 
encontra o segundo elemento desta mesma linha (3.5) na coluna 4. O elo deste elemento é nulo (0), 
indicando que não há mais elementos nesta linha. Assim, para inserção de um valor, a necessidade 
de alterações no armazenamento existente foi mínima e, portanto, de baixíssimo custo 
computacional. 
Tabela 4.4 – 
Índice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Esparsidade 
 
 
PUC-RJ - DEE - 34 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
Inicio 1 3 6 7 9 
Elo 2 0 4 5 0 12 8 0 10 11 0 0 
Coluna 1 4 1 3 5 2 2 4 1 3 5 4 
Valor 1. -1. 2. -2. 3. -3. 4. -4. 5. -5. 6. 3.5 
 
Cabe notar, entretanto, que o acesso aos elementos de uma linha neste esquema requer um acesso 
indireto da memória, ou seja, para acessar os elementos de uma linha (ou coluna) há necessidade 
de primeiro ‘descobrir’ sua posição via o apontador elo. Isto, do ponto de vista computacional não 
é eficiente. 
 
 
Componentes Simétricas e Análise de Curto-Circuito 
 
 
PUC-RJ - DEE - 35 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
5 Componentes Simétricas e Análise de Curto-Circuito 
Um curto-circuito — também chamado de “curto”, “falta” ou “defeito” — ocorre quando dois 
pontos de um circuito elétrico, anteriormente separados por um ou mais elementos elétricos ou por 
materiais dielétricos, são ligados através de um condutor ou um elemento de baixa impedância. 
 
A principal consequência de um curto-circuito é a elevação dos valores das correntes que circulam 
no circuito. Isto ocorre devido à diminuição da impedância entre os dois pontos afetados, 
facilitando a circulação de correntes mais elevadas, e podendo ocasionar danos aos equipamentos 
elétricos. 
 
Em decorrência da possibilidade de eventos danosos às redes elétricas, são necessários estudos 
preventivos, os quais, combinados com medidas práticas, garantirão a integridade do sistema a ser 
protegido em condições anormais de operação. 
 
Um dos principais tipos de estudo em curto-circuito é a simulação de condições de falta no sistema 
o qual se deseja proteger. Destas simulações, entre outras informações úteis, são obtidos os valores 
de corrente e tensão de falta os quais servirão de referência para o dimensionamento de 
equipamentos tais como relés e disjuntores, e ajustes de sistemas de proteção. 
 
O curto-circuito é a falha mais comum em qualquer sistema de potência, o que evidencia a 
importância de seu estudo. Os principais tipos de curto-circuito são: 
 
• Trifásico 
• Trifásico-terra 
• Bifásico 
• Bifásico-terra 
• Monofásico 
 
5.1 Conceitos Teóricos (Revisão) 
5.1.1 Princípio da Superposição dos Nós 
 
Os sistemas elétricos representados por fontes de tensão e elementos passivos de rede (impedâncias 
na frequência fundamental) são sistemas lineares. Nestas condições, o princípio de superposição 
pode ser aplicado à análise destes sistemas. O princípio, para circuitos elétricos, afirma que uma 
resposta em um circuito alimentado por mais de uma fonte independente é igual à soma das 
respostas para cada fonte agindo individualmente. 
 
Considere o circuito monofásico de três barras, quatro impedâncias e duas fontes de tensão 
alternada, conforme mostrado na Figura 5-1. 
 
Componentes Simétricas e Análise de Curto-Circuito 
 
 
PUC-RJ - DEE - 36 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
 
Figura 5-1 - Circuito monofásico usado para aplicação do princípio da superposição 
 
Suponha que, em determinado momento, ocorra um curto entre a barra 1 e a barra de referência. O 
novo circuito é exibido na Figura 5-2, onde 𝐼𝑓 é a corrente de falta. 
 
 
Figura 5-2 - Circuito da Figura 5-1 após ocorrência de curto entre a barra 1 e a barra de referência 
 
Suponha agora que se deseja calcular a tensão na barra 1 após a ocorrência do curto (𝑉1) e que o 
valores de 𝐼𝑓 e tensão na barra 1 antes da falta (𝑉1
0) sejam conhecidos. Ao somar 𝑉1
0 com o valor 
de tensão na barra 1 (𝑉1
′) do circuito da Figura 5-2 com o efeito das fontes de tensão anulado 
(circuito correspondente ao da Figura 5-3), teremos, pelo princípio da superposição, o valor de 𝑉1. 
 
 
Figura 5-3 Circuito da Figura 5-2 com efeito da das fontes de tensão anulado 
 
Matematicamente, o princípio da superposição fornece que: 
 
 𝑉1 = 𝑉1
0 + 𝑉1
′ (5.1) 
 
De acordo com o significado de cada termo da equação (5.1), pode-se reescrevê-la da seguinte 
maneira: 
Componentes Simétricas e Análise de Curto-Circuito 
 
 
PUC-RJ - DEE - 37 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
 
 𝑉1𝑝ó𝑠−𝑐𝑢𝑟𝑡𝑜 = 𝑉1𝑝𝑟é−𝑐𝑢𝑟𝑡𝑜 + ∆𝑉 (5.2) 
 
Por conseguinte, para o cálculo do valor de tensão em determinada barra de um circuito após a 
ocorrência de um curto, basta calcular o valor de ∆𝑉 e somar este valor com o valor de tensão pré-
falta. 
 
Obviamente, a análise feita para a barra 1 do circuito da Figura 5-1 pode ser igualmente estendida 
a todas as barras de um sistema arbitrário de número de fases também arbitrário. Para o cálculo do 
estado (os valores de tensão de todas as barras) de um sistema no qual houve um curto-circuito e 
para o qual é válido o princípio da superposição basta utilizar a expressão: 
 
 [𝑉𝑖𝑝ó𝑠−𝑐𝑢𝑟𝑡𝑜] = [𝑉𝑖𝑝𝑟é−𝑐𝑢𝑟𝑡𝑜] + [∆𝑉] (5.3) 
 
Onde: 
 
o 𝑉𝑖𝑝ó𝑠−𝑐𝑢𝑟𝑡𝑜 é o vetor de tensões pós-falta do sistema; 
o 𝑉𝑖𝑝𝑟é−𝑐𝑢𝑟𝑡𝑜 é o vetor de tensões pré-falta do sistema; 
o ∆𝑉 é o vetor de variações de tensão. 
 
 [∆𝑉] = [𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎][𝐼𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎] (5.4) 
 
A representação do sistema via matriz de admitância de barra ajustada para o cálculo do vetor de 
variações de tensão fornece: 
 
 [𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎][∆𝑉] = [𝐼𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎] (5.5) 
 
Onde 𝐼𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎 é o vetor de correntes de falta. 
 
Desta forma, supondo a matriz 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 conhecida, as variações de tensão das barras em decorrência 
de um curto podem ser obtidas através do cálculo das correntes de falta e da resolução de um sistema 
linear. 
 
Componentes Simétricas e Análise de Curto-Circuito 
 
 
PUC-RJ - DEE - 38 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
5.1.2 Teorema de Thévenin 
 
O teorema de Thévenin estabelece que, sob o ponto de vista de um número arbitrário de terminais 
(chamados de terminais ou pontos de interesse), qualquer circuito que contém somente elementos 
lineares pode ser substituído por uma fonte de tensão e uma impedância em série. Na Figura 5-4 
temos uma ilustração desta equivalência para dois terminais de interesse e um circuito monofásico: 
 
 
Figura 5-4 - Equivalência entre circuito de elementos lineares e circuito de Thévenin entre dois 
pontos. 
 
Primeiramente, será verificado como é feita a extração da impedância de Thévenin entre dois pontos 
da matriz 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎. Em seguida, será verificado o processo de obtenção dos parâmetros de Thévenin 
quando houver mais de dois pontos de interesse, situação na qual temos uma matriz de impedância 
de Thévenin. 
 
A relação entre as matrizes 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 e 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎, por definição, é: 
 
 [𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎] = [𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎]
−1 (5.6) 
 
Presuma que se deseja representar o circuitoda Figura 5-1, visto pelas barras 1 e de referência, pelo 
seu circuito equivalente de Thévenin. Para fazê-lo, deve-se encontrar os parâmetros 𝑉𝑡ℎ e 𝑍𝑡ℎ. 
 
Pelas expressões (5.2)e (5.4), verifica-se que o vetor 𝑉 (valores de tensão) após a inserção da fonte 
de corrente 𝐼𝑓 na barra 1 (circuito da Figura 5-2) é dado pela expressão matricial: 
 
 [𝑉] = [𝑉0] + [∆𝑉] = [𝑉0] + [𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎][𝐼𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎] (5.7) 
 
Expandindo os termos, obtém-se: 
 
 
[
𝑉1
𝑉2
𝑉3
] = [
𝑉1
0
𝑉2
0
𝑉3
0
] + [
𝑍1,1 𝑍1,2 𝑍1,3
𝑍2,1 𝑍2,2 𝑍2,3
𝑍3,1 𝑍3,2 𝑍3,3
] [
𝐼𝑓
0
0
] (5.8) 
 
Portanto, o valor da tensão na barra 1 após a inserção da fonte de corrente é dado pela expressão: 
 
 𝑉1 = 𝑉1
0 + 𝑍1,1𝐼𝑓 (5.9) 
 
Levando em consideração que a fonte de corrente foi conectada entre a barra 1 e a de referência, a 
expressão acima é equivalente ao da Figura 5-5. 
Componentes Simétricas e Análise de Curto-Circuito 
 
 
PUC-RJ - DEE - 39 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
 
 
Figura 5-5 - Circuito equivalente de Thévenin do circuito da Figura 5-1 visto das barras 1 e de 
referência com uma fonte de corrente 
 
Através da comparação entre o circuito da Figura 5-5 e o circuito equivalente de Thévenin da Figura 
5-4, conclui-se que a impedância de Thévenin entre a barra de referência e a barra 1 do circuito da 
Figura 5-1 é igual ao valor do elemento da primeira linha e primeira coluna da matriz 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 e a 
tensão de Thévenin é igual ao valor de tensão da barra 1. Logo: 
 
 𝑍𝑡ℎ = 𝑍1,1 (5.10) 
 𝑉𝑡ℎ = 𝑉1
0 (5.11) 
 
Note que os valores de 𝑍𝑡ℎ e 𝑉𝑡ℎ são invariantes, ou seja, independentes do valor da corrente 𝐼𝑓. 
 
Generalizando-se os conceitos anteriores, conclui-se que, em um circuito arbitrário monofásico, a 
impedância de Thévenin entre a barra de referência e a barra genérica 𝑘 é igual ao elemento da 
diagonal principal e linha referente à barra 𝑘 da matriz 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 do circuito. 
 
Agora, será verificado o processo de obtenção do parâmetro de impedância nos casos em que há 
mais de dois pontos de interesse. Considere o circuito da Figura 5-1 com a inserção de duas fontes 
de corrente: fonte 𝐼𝑓 entre a barra 1 e a barra de referência; e fonte 𝐼𝑓
′ entre a barra 3 e a barra de 
referência (faltas simultâneas). O vetor de tensões após a inclusão das fontes é dado pela expressão 
matricial: 
 
 
[
𝑉1
𝑉2
𝑉3
] = [
𝑉1
0
𝑉2
0
𝑉3
0
] + [
𝑍1,1 𝑍1,2 𝑍1,3
𝑍2,1 𝑍2,2 𝑍2,3
𝑍3,1 𝑍3,2 𝑍3,3
] [
𝐼𝑓
0
𝐼𝑓
′
] (5.12) 
 
Portanto: 
 
 
[
𝑉1
𝑉3
] = [
𝑉1
0
𝑉3
0] + [
𝑍1,1 𝑍1,3
𝑍3,1 𝑍3,3
] [
𝐼𝑓
𝐼𝑓
′] (5.13) 
 
Adicionando e subtraindo 𝑍1,3𝐼𝑓 na primeira linha e adicionando e subtraindo 𝑍3,1𝐼𝑓
′ na segunda 
linha, temos: 
 
Componentes Simétricas e Análise de Curto-Circuito 
 
 
PUC-RJ - DEE - 40 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
 𝑉1 = 𝑉1
0 + (𝑍1,1 − 𝑍1,3)𝐼𝑓 + 𝑍1,3(𝐼𝑓 + 𝐼𝑓
′)
𝑉3 = 𝑉3
0 + 𝑍3,1(𝐼𝑓 + 𝐼𝑓
′) + (𝑍3,3 − 𝑍3,1)𝐼𝑓
′
 (5.14) 
 
As expressões acima são equivalentes ao circuito da Figura 5-6. 
 
 
Figura 5-6 - Circuito equivalente de Thévenin sob o ponto de vista de três terminais com duas 
fontes de corrente 
 
A parte envolvida por linhas tracejadas na Figura 5-6 corresponde ao circuito equivalente de 
Thévenin do circuito da Figura 5-1 sob a ótica de três pontos. Por conseguinte: 
 
 
[𝑍𝑡ℎ𝑣] = [
𝑍1,1 𝑍1,3
𝑍3,1 𝑍3,3
] (5.15) 
 
[𝑉𝑡ℎ𝑣] = [
𝑉1
0
𝑉3
0] (5.16) 
 
A expressão (5.15) mostra que a matriz de impedâncias de Thévenin pode ser construída extraindo-
se da matriz 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 apenas os elementos associados aos pontos de interesse, conforme propriedade 
desta matriz vista em Matrizes de Representação de Redes. 
 
O procedimento para obtenção dos parâmetros de Thévenin é igual para circuitos trifásicos, com a 
exceção do fato de que os pontos de interesse deixam de ser barras (as quais em circuitos 
monofásicos coincidem com nós) e passam a ser os nós das fases das barras de interesse. 
 
Componentes Simétricas e Análise de Curto-Circuito 
 
 
PUC-RJ - DEE - 41 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
5.1.3 Teorema de Norton 
 
O teorema de Norton afirma que sob o ponto de vista de um número arbitrário de terminais de 
interesse, qualquer circuito contendo somente elementos lineares pode ser substituído por uma fonte 
de corrente e uma impedância em paralelo. 
 
 
Figura 5-7 - Equivalência entre circuito de elementos lineares e circuito de Norton entre dois 
pontos 
 
Se um circuito genérico de elementos lineares pode ser representando tanto por um circuito de 
Thévenin quanto por um de Norton, então os parâmetros destes dois últimos devem possuir uma 
relação. Através da Figura 5-5 e da Figura 5-7, é fácil verificar que: 
 
 𝑍𝑡ℎ𝑣 = 𝑍𝑛𝑜𝑟 = 𝑌𝑛𝑜𝑟
−1 (5.17) 
 𝑉𝑡ℎ𝑣 = 𝑍𝑡ℎ𝑣 . 𝐼𝑛𝑜𝑟 (5.18) 
 
Para os casos de mais de duas barras de interesse, têm-se as seguintes expressões matriciais: 
 
 [𝑍𝑡ℎ𝑣] = [𝑍𝑛𝑜𝑟] = [𝑌𝑛𝑜𝑟]
−1 (5.19) 
 [𝑉𝑡ℎ𝑣] = [𝑍𝑡ℎ𝑣] . [𝐼𝑛𝑜𝑟] (5.20) 
 
Logo, para obter a matriz admitância de Norton, basta adotar os mesmos critérios utilizados para a 
obtenção da matriz impedância de Thévenin e invertê-la. 
 
 
Componentes Simétricas e Análise de Curto-Circuito 
 
 
PUC-RJ - DEE - 42 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
5.2 Componentes Simétricas 
 
Em um trabalho de 1918, Charles LeGeyt Fortescue demonstrou que cada fasor de um conjunto de 
𝑛 fasores desiquilibrados poderia ser expresso pela soma de 𝑛 fasores, cada qual pertencente a um 
de 𝑛 sistemas de fasores equilibrados de sequências de fase distintas e simétricas. 
 
Considere 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3, … , 𝐹𝑛 um conjunto de 𝑛 fasores arbitrários. Matematicamente, o teorema de 
Fortescue, mais conhecido como método das componentes simétricas, expressa que: 
 
 
[
 
 
 
 
 
𝐹1
𝐹2
⋮
𝐹𝑖
⋮
𝐹𝑛]
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
 𝐹1
(0)
𝐹2
(0)
⋮
𝐹𝑖
(0)
⋮
𝐹𝑛
(0)
]
 
 
 
 
 
 
+
[
 
 
 
 
 
 𝐹1
(1)
𝐹2
(1)
⋮
𝐹𝑖
(1)
⋮
𝐹𝑛
(1)
]
 
 
 
 
 
 
+
[
 
 
 
 
 
 𝐹1
(2)
𝐹2
(2)
⋮
𝐹𝑖
(2)
⋮
𝐹𝑛
(2)
]
 
 
 
 
 
 
+ ⋯+
[
 
 
 
 
 
 𝐹1
(𝑛−1)
𝐹2
(𝑛−1)
⋮
𝐹𝑖
(𝑛−1)
⋮
𝐹𝑛
(𝑛−1)
]
 
 
 
 
 
 
 (5.21) 
 
Onde {𝐹1
(𝑖)
, 𝐹2
(𝑖)
, 𝐹3
(𝑖)
, … , 𝐹𝑛
(𝑖)
} é o i-ésimo conjunto de fasores equilibrados para o qual vale a 
igualdade arg(𝐹𝑘+1
(𝑖)
) − arg(𝐹𝑘
(𝑖)
) = 2𝜋i/n para todo 𝑘 tal que 1 < 𝑘 ≤ 𝑛 − 1. Note então que os 
fasores 𝐹𝑘
(0)
 estão em fase. 
 
A importância do teorema, para o cálculo de curto-circuito, reside no fato de que grandezas elétricas 
de um circuito elétrico linear desiquilibrado de 𝑛 fases podem ser obtidas, alternativamente, através 
de um conjunto de 𝑛 circuitos monofásicos, simplificando consideravelmente as operações. 
 
 
Componentes Simétricas e Análise de Curto-Circuito 
 
 
PUC-RJ - DEE - 43 - Análise de Sistemas Elétricos I 
 
5.2.1 Teorema Aplicado a Sistemas Trifásicos 
 
A Figura 5-8 ilustra a aplicação do teorema de Fortescue a tensões trifásicas desbalanceadas. 
 
 
Figura 5-8 – Tensões trifásicas desbalanceadas e suas componentes simétricas: (a) tensões 
desbalanceadas instantâneas e os respectivos fasores; (b) fasores de sequ. Positiva balanceados; 
(c) fasores de sequeência negativa balanceados e (d) fasores de sequência zero. 
 
Em circuitos elétricos de três fases, pelo método das componentes simétricas, as tensões de fase de 
uma barra 𝑉𝑎, 𝑉𝑏 e 𝑉𝑐 podem ser decompostas em três sistemas (sequências) de fasores equilibrados, 
conforme é mostrado abaixo: 
 
 
{
𝑉𝑎 = 𝑉𝑎
(0)
+ 𝑉𝑎
(1)
+ 𝑉𝑎
(2)
𝑉𝑏 = 𝑉𝑏
(0)
+ 𝑉𝑏
(1)
+ 𝑉𝑏
(2)
𝑉𝑐 = 𝑉𝑐
(0)
+ 𝑉𝑐
(1)
+ 𝑉𝑐
(2)
 (5.22) 
 
Os fasores com sobrescrito 0, 1 e 2 são, respectivamente, os fasores de sequência zero (em fase), 
positiva (2𝜋/3 → 120𝑜) e negativa (4𝜋/3 → 240𝑜). 
 
Considere um operador a, o qual defasa um fasor em 120° no sentido anti-horário. Temos que: 
 
 𝑎 = 1,0 ∟ 120°