Lista de controle de sistemas dinâmicos

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DEPARTAMENTO DAS ENGENHARIAS DE TELECOMUNICAÇÕES E MECATRÔNICA - DETEM 
 
 CURSO DE ENGENHARIA MECATRÔNICA – CONTROLE DE SISTEMAS DINÂMICOS 
 
 PROF. GUILHERME GOMES DA SILVA 
 
 
Primeira Prova de Controle de Sistemas Dinâmicos 
Nome: Natália Rodrigues dos Santos Data: 10 de novembro de 2019 
1. Simplifique o diagrama de blocos e encontre a função de transferência de malha fechada. 
 
Resolução: 
 Para a simplificação do diagrama de blocos, divide-se em etapas, como pode ser visto 
abaixo: 
i. Desloca o sinal de H2 para o primeiro somador, para isso, divide-se o sinal 
de H2 por G1, de modo que o sinal continue o mesmo. Sendo assim, se tem: 
 
ii. Após isso, se une os sinais G1 e G2, com a realimentação positiva de H1, 
sendo assim, multiplica-se o sinal de G1 e G2, e depois, utiliza-se a fórmula: 
 
𝐺𝐺(𝑠𝑠)
1 − 𝐺𝐺(𝑠𝑠) × 𝐻𝐻(𝑠𝑠)
 
 
Dessa forma, o equivalente é: 
 
𝐺𝐺1(𝑠𝑠) × 𝐺𝐺2(𝑠𝑠)
1 − 𝐺𝐺1(𝑠𝑠) × 𝐺𝐺2(𝑠𝑠) × 𝐻𝐻(𝑠𝑠)
 
 
Sendo assim: 
 
 
 
iii. Une-se o equivalente com o bloco G3, e inclui na realimentação negativa 
H2/G1. 
 
𝐺𝐺1(𝑠𝑠) × 𝐺𝐺2(𝑠𝑠) × 𝐺𝐺1(𝑠𝑠)
1 − 𝐺𝐺1(𝑠𝑠) × 𝐺𝐺2(𝑠𝑠) × 𝐻𝐻(𝑠𝑠) + 𝐺𝐺3(𝑠𝑠) × 𝐺𝐺2(𝑠𝑠) × 𝐻𝐻(𝑠𝑠)
 
Dessa forma: 
 
iv. Para finalizar, inclui-se a realimentação negativa. Obtendo a realimentação 
a função de transferência. 
 
𝐺𝐺1(𝑠𝑠)𝐺𝐺2(𝑠𝑠)𝐺𝐺1(𝑠𝑠)
1 − 𝐺𝐺1(𝑠𝑠)𝐺𝐺2(𝑠𝑠)𝐻𝐻(𝑠𝑠) + 𝐺𝐺3(𝑠𝑠)𝐺𝐺2(𝑠𝑠)𝐻𝐻(𝑠𝑠) + 𝐺𝐺1(𝑠𝑠)𝐺𝐺2(𝑠𝑠)𝐺𝐺1(𝑠𝑠)
 
 
E o equivalente: 
 
2. Um sistema em malha fechada com realimentação unitária tem função de transferência de 
malha aberta igual a: 
𝐺𝐺(𝑠𝑠) =
𝐾𝐾
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)
 
 
 Especifique o ganho K para que a saída tenha um sobressinal não maior que 10% na 
resposta a um degrau unitário. O máximo sobressinal é dado por: 
 
𝑀𝑀𝜌𝜌 = 𝑒𝑒
�− 𝜋𝜋𝜋𝜋
�1−𝜋𝜋2
� 
 
 
Resolução: 
i. Realimentação com degrau unitário. 
Considerando o sinal 
 
𝐺𝐺(𝑠𝑠) =
𝐾𝐾
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)
 
 
 Então: 
𝑌𝑌(𝑠𝑠) =
𝐾𝐾
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)
1 + 𝐾𝐾𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)
=
𝐾𝐾
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2) + 𝐾𝐾
 
 
 
ii. Aplicando a limitação de 0.1 (10%). 
0,1 = 𝑒𝑒
�− 𝜋𝜋𝜋𝜋
�1−𝜋𝜋2
� 
 
 
Usa-se ln nos dois lados: 
ln 0,1 = −
𝜋𝜋𝜋𝜋
√1 − 𝜋𝜋2
 
 
−2.3 = −
𝜋𝜋𝜋𝜋
√1 − 𝜋𝜋2
 
 
 
−2,32 = −
𝜋𝜋2𝜋𝜋2
1 − 𝜋𝜋2
 
 
 
1 − 𝜋𝜋2 =
−𝜋𝜋2𝜋𝜋2
5,29
 
 
Sendo assim: 
 
𝜋𝜋 = �
1
2,86
= 0,59 
 
3. Considere o sistema abaixo e determine: 
 
 
a. Função de transferência de ramo direto 
Resolução: 
 Considerando os sinais E(s) e B(s) no sistema, como visto abaixo: 
 
 
 
 A função de ramo direto pode ser obtida por: 
 
𝑌𝑌(𝑠𝑠)
𝐸𝐸(𝑠𝑠)
= 𝐺𝐺(𝑠𝑠) 
 
 Equivalente da G(s) 
 
𝐺𝐺(𝑠𝑠) =
1
𝑠𝑠
×
10
𝑠𝑠 + 5
=
10
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 5)
 
 
 Logo: 
𝑌𝑌(𝑠𝑠)
𝐸𝐸(𝑠𝑠)
=
10
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 5)
 
 
b. Função de transferência de malha aberta 
Resolução: 
Ainda considerando os sinais E(s) e B(s), sabe-se que a função de malha aberta é dada 
por: 
𝐵𝐵(𝑠𝑠)
𝐸𝐸(𝑠𝑠)
= 𝐺𝐺(𝑠𝑠) × 𝐻𝐻(𝑠𝑠) 
Logo: 
𝐵𝐵(𝑠𝑠)
𝐸𝐸(𝑠𝑠)
=
10
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 5)
 ×
1
𝑠𝑠 + 1
=
10
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 5)
 
 
c. Função de transferência de malha fechada 
Resolução: 
A função de transferência de malha fechada é dada por: 
 
𝑈𝑈(𝑠𝑠)
𝑌𝑌(𝑠𝑠)
=
𝐺𝐺(𝑠𝑠)
1 + 𝐺𝐺(𝑠𝑠) × 𝐻𝐻(𝑠𝑠)
 
 Dessa forma: 
𝑈𝑈(𝑠𝑠)
𝑌𝑌(𝑠𝑠)
=
10
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 5)
1 + 10𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 5)
=
10
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 5)
× 
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 5)
10 + 𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 5)
 
 
=
10(𝑠𝑠 + 1)
𝑠𝑠�10 + 𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 5)�
 
 
 
 
 
d. Função de transferência do erro atuante em razão de entrada U(s) 
Resolução: 
A função de transferência do erro é dada por: 
 
𝐸𝐸(𝑠𝑠)
𝑈𝑈(𝑠𝑠)
=
1
1 + 𝐺𝐺𝐻𝐻(𝑠𝑠)
 
 
Sendo assim: 
 
𝐸𝐸(𝑠𝑠)
𝑈𝑈(𝑠𝑠)
=
1
1 + 10𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 1)(𝑠𝑠 + 5)
=
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 5)(𝑠𝑠 + 1)
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 5)(𝑠𝑠 + 1) + 10
 
 
 
4. Um sistema de controle com ruído de sensor e uma entrada de perturbação é mostrado na 
figura abaixo. O objetivo é reduzir os efeitos do ruído e da perturbação. Encontre: 
 
a. A função de transferência que mostre o efeito da perturbação em Y(s). 
Resolução: 
O sinal de saída Y(s) pode ser expresso pela junção do sinal do controlador com a 
interferência do sinal de entrada e de saída somado ao sinal do perturbador, e, o 
resultado multiplicado pelo sinal da dinâmica: 
 
𝑌𝑌(𝑠𝑠) =
2
𝑠𝑠 + 2
 × (𝐷𝐷(𝑠𝑠) +
𝐾𝐾
𝑠𝑠
(𝑅𝑅(𝑠𝑠) − 𝑌𝑌(𝑠𝑠)) 
 
 
𝑌𝑌(𝑠𝑠) �1 +
2𝑘𝑘
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)
� =
2
𝑠𝑠 + 2
× 𝐷𝐷(𝑠𝑠) +
2𝑘𝑘
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)
× 𝑅𝑅(𝑠𝑠) 
 
Dessa forma, a função de transferência: 
 
𝑌𝑌(𝑠𝑠)
𝐷𝐷(𝑠𝑠)
=
2𝑘𝑘
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2) + 2𝑘𝑘
 
 
b. A função de transferência que mostre o efeito do ruído em Y(s). 
Resolução: 
Considerando a perturbação na realimentação, se tem: 
 
𝑌𝑌(𝑠𝑠) =
2𝑘𝑘
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)
 × (𝑅𝑅(𝑠𝑠) − 𝑌𝑌(𝑠𝑠) −𝑁𝑁(𝑠𝑠)) 
Então: 
 
𝑌𝑌(𝑠𝑠) =
2𝑘𝑘
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)
 × 𝑅𝑅(𝑠𝑠) −
2𝑘𝑘
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)
× 𝑌𝑌(𝑠𝑠) −
2𝑘𝑘
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)
 × 𝑁𝑁(𝑠𝑠) 
 
𝑌𝑌(𝑠𝑠) �1 +
2𝑘𝑘
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)
� =
2𝑘𝑘
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)
 × 𝑅𝑅(𝑠𝑠) −
2𝑘𝑘
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2)
 × 𝑁𝑁(𝑠𝑠) 
 
𝑌𝑌(𝑠𝑠)
𝑁𝑁(𝑠𝑠)
=
2𝑘𝑘
𝑠𝑠(𝑠𝑠 + 2) + 2𝑘𝑘
 
 
 
5. Determine o valor de k no sistema abaixo de modo que o coeficiente de amortecimento seja 
0,5. Obtenha o tempo de subida, o tempo de pico, o máximo sobressinal e o tempo de 
acomodação na resposta para R(s )=3/s . 
 
 
Resolução: 
Primeiramente, calcula-se a FT da malha: 
Considerando a realimentação negativa do sinal k, se tem: 
 
16
𝑠𝑠 + 0,8
1 + 16𝑘𝑘𝑠𝑠 + 0,8
=
16
𝑠𝑠 + 0,8
×
𝑠𝑠 + 0,8
16 𝑘𝑘 + 𝑠𝑠 + 0,8
=
16
16 𝑘𝑘 + 𝑠𝑠 + 0,8
 
 
Adiciona-se o sinal de 1/s, tendo então 
 
16
16 𝑘𝑘 + 𝑠𝑠 + 0,8
 ×
1
𝑠𝑠
=
16
16𝑘𝑘𝑠𝑠 + 𝑠𝑠2 + 0.8𝑠𝑠
 
 
A partir da realimentação negativa: 
 
16
16𝑘𝑘𝑠𝑠 + 𝑠𝑠2 + 0.8𝑠𝑠
1 + 1616𝑘𝑘𝑠𝑠 + 𝑠𝑠2 + 0.8𝑠𝑠
=
16
16𝑘𝑘𝑠𝑠 + 𝑠𝑠2 + 0.8𝑠𝑠 + 16
 
 
Sendo assim, a partir da equação característica, temos que: 
Wn² = 16, ou seja, Wn = 4 e do enunciado, ԑ=0.5 
Ainda da equação característica, se tem; 
 
0.8 + 16𝑘𝑘 = 2 𝜋𝜋 𝑊𝑊𝑛𝑛 
 
= 16𝑘𝑘 = 2 × 0.5 × 4 − 0,8 
 
𝑘𝑘 =
3,2
16
= 0,2 
 
O tempo de pico é dado por: 
𝑇𝑇𝑝𝑝 =
𝜋𝜋
𝑊𝑊𝑛𝑛√1 − 𝜋𝜋2
 
 
Então: 
𝑇𝑇𝑝𝑝 =
𝜋𝜋
4�1 − 0,52
= 0,907 
 
Considerando o valor de ԑ, o sistema é definido como sub amortecido, então, se tem: 
 
𝑀𝑀𝜌𝜌 = 𝑒𝑒
�− 𝜋𝜋𝜋𝜋
�1−𝜋𝜋2
� 
 
Logo o sobressinal é dado por: 
𝑀𝑀𝜌𝜌 = 𝑒𝑒
�− 𝜋𝜋0,5
�1−0,52
� 
= 0,1630 
Para R=3/s, Mp=0,489 
 
 
O tempo de subida é dado por: 
𝑇𝑇𝑇𝑇 ≅
0.8 + 2.5𝜋𝜋
𝑊𝑊𝑛𝑛
 
 
Então 
𝑇𝑇𝑇𝑇 ≅
0.8 + 2.5 × 0,5
4
= 0,5125 
 
O tempo de acomodação é dado por: 
𝑇𝑇𝑠𝑠2% ≅
4
𝜋𝜋 × 𝑊𝑊𝑛𝑛
 𝑒𝑒 𝑇𝑇𝑠𝑠5% ≅
3,2
𝜋𝜋 × 𝑊𝑊𝑛𝑛
 
 
Então: 
𝑇𝑇𝑠𝑠2% ≅
4
0,5 × 4
= 2 𝑒𝑒 𝑇𝑇𝑠𝑠5% ≅
3,2
0,5 × 4
= 1,6