Introdução ao Cálculo - Função do 2º Grau (Parte 5) (1)

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4. FUNÇÃO QUADRÁTICA
4.1 Definição
Dizemos que f: ℝ → ℝ é uma função quadrática ou função polinomial do 2º grau, se existem constantes
a ∈ ℝ∗ , b e c ∈ ℝ tais que f(x) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 para todo x ∈ ℝ.
Exemplos:
1) 𝑓 x = x2 − x + 3
𝑎 = 1 , 𝑏 = −1 e c = 3
2) 𝑓 𝑥 = −2𝑥2 + 5
𝑎 = −2 , 𝑏 = 0 e c = 5
3) 𝑦 = −𝑥2
𝑎 = −1 , 𝑏 = 0 e c = 0
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4.2 Gráfico
Os gráficos das funções polinomiais do 2º grau são representados por curvas, chamadas de parábolas.
O coeficiente “a” na expressão y = ax2 + bx + c, determina a concavidade da parábola:
• a > 0: a parábola apresenta uma concavidade voltada para cima.
• a < 0: a parábola apresenta uma concavidade voltada para baixo.
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4.3 Raiz(es) ou zero(s) da Função Quadrática
As raízes da função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau igualada a zero:
ax2 +bx + c = 0
Cuja solução pode ser dada pela fórmula de Bhaskara:
Onde: ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 (discriminante) 
• Se ∆> 0 a função tem duas raízes distintas.
• Se ∆= 0 a função tem duas raízes iguais.
• Se ∆< 0 a função não tem raízes reais.
Exemplo: Determine a(s) raiz(es) das funções abaixo, caso exista(m):
a) f x = x2 − 3x − 4 b) g x = −4x2 + 4x − 1 c) g x = x2 − 2x + 5
Resposta: -1 e 4 Resposta:
1
2
Resposta: Não existem raízes 
reais
𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
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4.4 Coordenadas do vértice
O vértice de uma parábola corresponde aos o valor mínimo (se a > 0) ou o valor máximo da
função (se a < 0), e suas coordenadas são dadas pelas fórmulas:
𝐕
Exemplo 1: Determine o vértice da parábola y = 2x2 - 4x + 5.
Resposta: 𝑉 = 1,3
Exemplo 2: Para produzirmos x unidades de uma mercadoria, temos que o custo dessa produção 
em reais é dado pela expressão matemática C = x² – 80x + 3000. Com base nessa expressão, 
determine a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo e qual o valor do 
mínimo do custo.
Respostas:
• Quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo será de 40 peças.
• Valor mínimo do custo será de R$ 1 400,00.
𝒙𝒗 = −
𝒃
𝟐𝒂
𝒚𝒗 = −
∆
𝟒𝒂
𝐕 = −
𝐛
𝟐𝒂
,−
∆
𝟒𝐚
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4.4 Esboço do gráfico
Podemos esboçar o gráfico de uma função quadrática que tenha raiz(es) seguindo os
procedimentos abaixo:
1) Verificar a concavidade: a > 0 ou a < 0
2) Determinar o vértice: 𝐕 = −
𝐛
𝟐𝒂
, −
∆
𝟒𝐚
3) Achar as raízes: 𝒙 =
−𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
4) Identificar a interseção com o eixo y: 𝒇 𝟎 = 𝒄
5) Calcular um ponto da função, utilizando a interseção com o eixo y, como parâmetro.
Exemplo: Esboce o gráfico das funções f x = x2 − 3x − 4 e g x = −4x2 + 4x − 1. 
Quando ∆= 𝟎, estes passos
viram um só, pois o vértice
coincidirá com a raiz.
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Exercício 28: Determine a(s) raiz(es) das funções abaixo:
a) f x = x2 − 2x − 3
b) f x = 9x2 − 6x + 1
c) y = −x2 + 6x − 8
Exercício 29: Determine o vértice das do gráfico das funções abaixo:
a) f x = x2 + 6x − 16
b) g x = −3x2 − 6x + 1
Exercício 30: Determine o valor de k para que função f(x) = x2 - 4x + k tem o valor mínimo igual a 8.
Exercício 31: A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor:
(A) mínimo, igual a -16, para x = 6
(B) mínimo, igual a 16, para x = -12
(C) máximo, igual a 56, para x = 6
(D) máximo, igual a 72, para x = 12
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Exercício 32: A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h,
em metros, t segundos após o chute, seja dada por h(t) = – t² + 6 t, determine:
a) a altura máxima atingida pela bola e após quanto tempo isso ocorre;
b) O instante em que a bola retorna ao chão;
Exercício 33: Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da
venda deste produto é V(x) = 3x² − 12x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x² − 40x − 40.
Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da
produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é
igual a:
(A) 4 lotes
(B) 5 lotes
(C) 6 lotes
(D) 7 lotes
(E) 8 lotes
Exercício 34: Esboce o gráfico das funções abaixo:
a) f x = x2 − 4x − 5
b) g x = −4x2 + 4x − 1